25.1 比例线段+25.2 平行线分线段成比例+25.3 相似图形 7大题型（分层作业练题型）数学新教材冀教版九年级上册

**基本信息** 分层清晰，梯度合理，以“基础巩固-能力进阶-思维拔高-中考衔接”为路径，覆盖比例线段、平行线分线段成比例、相似图形核心知识点，强化从概念理解到综合应用的数学思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|成比例线段、比例性质、黄金分割等单一知识点|选择填空为主，结合生活情境（如古籍长度测量），夯实抽象能力与运算能力| |B组能力进阶|平行线分线段综合应用、相似图形判定|跨知识点综合题（如比例性质与三角形形状判断），培养推理意识| |C组思维拔高|动态几何、黄金矩形方程应用|复杂情境题（如运动过程中图形面积关系），发展创新意识| |拓展链接中考|近年中考真题（如2023达州、2024济南）|对接中考题型，强化应用意识与模型观念|

分层作业 25.1 比例线段+25.2 平行线分线段成比例 +25.3 相似图形 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 成比例线段 题型02 比例的性质 题型03 黄金分割 题型04 由平行判断成比例的线段 题型05 由平行截线求相关线段的长或比值 题型06 相似图形 题型07 相似多边形的性质 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 成比例线段 1．（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）下列各组线段中，、、、成比例的一组是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．（2026·河北沧州·模拟预测）嘉嘉周末到沧州博物馆观看沧州诗经文化展．他想了解一本古籍的长度，在古籍旁放了一支笔拍下照片如图所示．回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为和，笔的实际长度为，则该古籍的实际长度为（   ） A． B． C． D． 3．（2026九年级下·全国·专题练习）若线段a、b、c、d是成比例线段，且，则_____． 4. 已知线段a、b满足，且． (1)求a、b的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 题型02 比例的性质 5．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若，那么的值为（     ） A．10 B．5 C． D． 6．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 7. （26-27九年级上·吉林长春·开学考试）若，则的值是______． 8. （2026·河南周口·二模）已知a，b，c使等式成立，则代数式的值是________． 题型03 黄金分割 9．（25-26八年级下·山东泰安·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 10. 已知C是线段的黄金分割点，则 （     ） A． B． C． D． 11．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米． 12. （25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，汉字“十”端庄美观，横竖笔画交接处点恰好是线段的黄金分割点，若长，则的长为________． 题型04 由平行判断成比例的线段 13. （25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在中，交于点，交于点，下列式子中，不成立的是（    ） A． B． C． D． 14. 如下是嘉嘉的作业，其中括号内应填的内容是（   ） 嘉嘉的作业： ∵， ∴ A． B． C． D． 15. （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知中，点在上，点在上，．，，，则________． 16. （25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，，则的长为______． 题型05 由平行截线求相关线段的长或比值 17．（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）如图，在中，，，，，则的长是（     ） A． B．4 C．6 D．8 18．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，直线，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，则的值为（     ） A． B．4 C． D． 19．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是_______． 20. （25-26九年级下·山东烟台·期末）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为__________． 题型06 相似图形 21. （26-27九年级上·山东聊城·开学考试）如图，两个正方形，两个等边三角形，两个等腰直角三角形，两个矩形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形不相似的是（     ） A． B． C． D． 22. （26-27九年级上·北京·课后作业）下列说法正确的是（     ） A．矩形都是相似图形 B．正方形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．相似多边形对应角的比叫作相似比 23. （2026·河南周口·一模）我国传统建筑中常用榫卯结构，构件之间通过凹凸结合连接，体现了几何图形的全等变换．下列变换中，不属于全等变换的是（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．相似放大 24．（25-26九年级下·广东深圳·阶段检测）下列说法中正确的有（   ） ①所有的圆都是形状相同的图形； ②所有的正方形都是形状相同的图形； ③所有的等腰三角形都是形状相同的图形； ④所有的矩形都是形状相同的图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型07 相似多边形的性质 25. （25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）两个相似多边形的相似比为，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为（     ） A．60 B．40 C．36 D．16 26. （2026·广东云浮·一模）如图，四边形四边形EFGH．若，，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D．无法确定 27. （2026·宁夏吴忠·二模）风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝较短的那条对角线长度为______． 28. （26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，四边形四边形． (1)求：______； (2)求边、的长度． B组 能力进阶 1. 如果D，E分别在的两边，上，由下列哪一组条件可以推出（     ） A．， B．， C．， D．， 2. （2026·四川广元·二模）如图，在平面直角坐标系中，，点，．为的中点，连接．把线段沿射线平移至，使点落在轴上，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 3. （25-26九年级上·广东茂名·期中）下列两个图形：①两个等边三角形；②两个等腰直角三角形；③两个正方形；④两个菱形；⑤两个正六边形，一定相似的有（    ） A．4组 B．3组 C．2组 D．5组 4. （25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，设是已知线段，经过点作，使；连接，在上截取；在上截取，则的值是____________． 5. （25-26九年级上·河南开封·期末）如图，已知，它们依次交直线、于点A、D、F和点B、C、E，如果，，那么CE等于______． 6. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清的边 ， 上，且，“远”字的笔画“、”的位置在 的黄金分割点处，且 若，则 的长为_______(结果保留根号)． 7. （26-27九年级上·全国·单元复习）解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知a，b，c是的三边，且满足，，请你探索的形状． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D为上一点，点P在上，过点P作交于点M，作交于点N． (1)若点D是的中点，且，求的值； (2)若点D是上任意一点，试证明：． 9. （25-26八年级下·山东青岛·期末）【问题背景】如图，以矩形的宽为边，在其内部作正方形，若，则称矩形为“黄金矩形”，其长与宽的比（）称为“黄金比率”． 【问题探究】求“黄金比率”： 设，，则， ∵，∴，即． ∴． ∴，（负数不合题意，舍去）． ∴黄金比率为：． (1)【问题提出】如图，以矩形的宽为边在其内部作两个正方形，，若，则称矩形为“白银矩形”，其长与宽的比（）称为“白银比率”，求“白银比率”． (2)【问题拓展】如图，从正方形上剪下宽的矩形后，剩余部分（矩形）是“白银矩形”，求正方形的边长． C组 思维拔高 1．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 2．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中，D，E分别是上的点，连接交于点，已知是的中点且，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图1，木质镂空花格常见于江南园林的门窗与屏风．图2是其示意图，正八边形的内部包含4个全等的正方形和1个正八边形（阴影部分），则正八边形与阴影部分的面积比是_______． 4. （2026·山西阳泉·模拟预测）如图，点C为线段的黄金分割点（，黄金分割比为），分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两组弧分别交于点D，E，连接交于点O．若，则的长为______（结果保留根号）． 5. （25-26九年级下·山东青岛·开学考试）如图，在中，，，，为边的中点，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿运动到点停止，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动到点停止，当点停止运动时，点也停止运动．过点作交的边于点，以和为边作．设点的运动时间为（秒）． (1)用含的代数式表示长； (2)点在边上运动时（不含、），若的面积为，求出关于的函数关系式，并求出为何值时，； (3)当点不与的顶点重合时，连结，直接写出将分成面积相等的两部分时t的值． 拓展 链接中考 1．（2022·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的_________倍． 2．（2023·四川达州·中考真题）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，之间的距离为__________． 3. （2024·山东济南·中考真题）如图，在正方形中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 4. （2023·吉林·中考真题）如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 5. （2023·安徽·中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）    A． B． C． D． 6. （2026·内蒙古·中考真题）如图，等边三角形纸片的边长为10，点，分别为，边上的点．将沿折叠，若点恰好落在该纸片边的中点处，则四边形的周长是____________． 7. （2025·河北·中考真题）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（    ） A． B． C． D． 8. （2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 9. （2026·甘肃兰州·中考真题）敦煌藻井是敦煌石窟图案中的精华，位于石窟顶部中央，绘制了从东晋十六国至元代末年的千年时段，它被称为“天空的艺术”．如图1是方井套叠藻井，由三层方井以45度角交错套叠而成，层层递进极具纵深感．如图2是抽象的几何图形，外切于的正方形，正方形，正方形以45度角交错套叠而成，其中，则正方形与正方形的相似比是（     ） A． B． C． D． 10. （2025·甘肃平凉·中考真题）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为______． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 25.1比例线段+25.2平行线分线段成比例 +25.3相似图形 目录 分层作业 A组巩固过关 题型01成比例线段 题型02比例的性质 题型03黄金分割 题型04由平行判断成比例的线段 题型05由平行截线求相关线段的长或比值 题型06相似图形 题型07相似多边形的性质 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 题型01成比例线段 1.B 2.D 3.8 4【详解】(1)解：0=2， 3 ∴a=2b ‘a+2b=28, .2b+2b=28. 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得b=7, 则a=2×7=14」 (2)解：.线段X是线段a、b的比例中项， x2=ab,即x2=14×7, 解得x=7V2或x=-7V2<0(不符合题意，舍去)， 则x的值为72 题型02比例的性质 5.C 6.D 2 3 8.-3 题型03黄金分割 9.D 10.A 11.(5-1). 12.4/5-4. 题型04由平行判断成比例的线段 13.D 14.C 15.6 16.15 题型05由平行截线求相关线段的长或比值 17.C 18.C 19.6 20.6cm 题型06相似图形 21.D 22.B 23.D 24.B 题型07相似多边形的性质 25.A 26.C 27.90 28.【详解】(1)解：，四边形ABCD一四边形ABCD, ∴.∠A=∠A=62°，∠B=∠B=75, ∴.0=360°-∠A-∠B-∠D=360°-62°-75°-140°=83°： (2)解：，四边形ABCD一四边形ABCD, 2/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC AB AD BC AB A'D ￥-y-9 8116 解得x=12,y=33 2 B组 能力进阶 3.V5 1.C 2.B 3.A 4.2 5.3 6.9V5-1/-1+/5 又(【架】1)架：号号 ·b=3 a21 :.a+2b=1+2×b=1+2×3 a a 4 (2)解：令a中4-b+3-c+8=k 324 ∴.a+4=3k,b+3=2k,c+8=4k, ∴.a=3k-4,b=2k-3,c=4k-8. 又.a+b+c=12 ∴.（3k-4)+(2k-3)+(4k-8)=12, ∴k=3」 .∴.a=5,b=3,c=4, b2+c2=32+42=52,a2=52, .a2=b2+c2 ∴.△ABC是直角三角形. 8. 【详解】(1)解：过点D作DE‖PM交AB于E, :PM‖AC D ∴.DEAC, 3/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE_CD BE BD' 点D为BC中点， ..AE-CD_1 AB BC2' ∴点E是AB中点， .AP:PD=2:1,且DEPM, 础品 PD 2 ..AM=AP_2 AE AD 3 点E是AB中点， .AM=2=1 AB 6 3 (2)证明：过点D作DF‖PM交AB于F,过点D作DG‖PN交AC于G, M D .DF‖PM,DG‖PN, ..AM=AP AN AP ·AFAD'AGAD 又.PM‖AC,PN‖AB, .DF‖AC,DG‖AB, ·AE-CD AG BD ·ABBC'ACBC? .AM=AM.AF_AP CD ANAN AG AP BD AB AF AB AD BC' AC AG AC AD BC .AM+AN=AP.CD BD AP ·AB'AC AD BC'BCAD 9.【详解】(1)设AB=a,AD=b,则AE=a-2b, 品品 a_b 六ia-2b即a-2ab-b=0, 418 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..q= 2b±4b2-4-b） 2b±V86_2b±22b=b±2b. 2 2 2 “.a1=(1+V2)b,a2=(1-/2)b(负数不合题意，舍去)， AB=0=1+2: 白银比率为：ADb (2)设正方形ABCD的边长为Xcm,则AE=(x-3)cm, :矩形ADFE是“白银矩形”，由(1)得白银比率为1+V2, 01+范，则六142，解网x 32+6 2 V2+6 ∴.正方形ABCD的边长为 2 cm C组 思维拔高 1.D 2.B 3.{3+2V2:1 5-1 4.2 5.【详解】(1)解：在Rt△ABC中，BC=6,AB=8, AC=VAB2+BC2=82+62=10, ,D为边AC的中点， CD-AC5. 当0<t<3时，此时点Q在BC边上运动， 则BQ=2t, 故CQ=BC-BQ=6-2t: 当3<t<5.5时，此时点Q在CD上运动， 则BC+CQ=2t, 故CQ=2t-6: 综上所述：CQ长为6-2t(0<t<3)或2t-6(3<t<5.5】 (2)点Q在BC边上运动时（不含B、C),此时0<t<3, BQ=2t,CQ=BC-BQ=6-2t; ,四边形PMQN是平行四边形， .MQ‖AB, 故△CMQ一△CAB, 5/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 MQ_CQ AB CB' MQ_6-2t 即8 6 w0-g+B s=w0-08-8t+8-2=-5416t SAARC=7X AB·BC8×6=24 根据题意可得3 16t2+16t 24 2 解员 故当t=2时，S:S6ac=1:2. (3)①当0<t<3时，连接BD、PQ,交于点O,如图： C M D B ,BD将口PMQN分成面积相等的两部分，PQ是口PMQN的对角线， ∴.BD经过平行四边形PMQN的中心， ∴.P0=OQ, 又，∠PBQ=90, ∴.BO=PO, ∴.∠OPB=∠OBP. ,D为边AC的中点，∠ABC=90°， ∴.BD=DA ∴.∠A=∠OBA, .∠OPB=∠A, ..PQ AC, 618 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BP_BQ BA BC' 根据题意可得，BP=AB-AP=8-t,BQ=2t, 8-t_2t 故861 24 解得t= 11: ②当3<t<5.5时，连接BD、MN,交于点O,如图， B ,四边形PMQN是平行四边形， ∴.MQPN,MQ=PN, 故△CMQ~△CBA, MQ CQ AB CB' QM_CQ_CM ·ABCA CB' .CQ=2t-6,AB=8,CA=10,BC=6, QM_2t-6_CM 故8106 52CM=6-18 QM=8t-24 5 即Wp=8t-24 5, :.NB-NP+PB-NP+AB-AP-8t-24+8-t, 5 BM=BC-CM=6-6t-18 5 ,BD将口PMQN分成面积相等的两部分，MN是口PMQN的对角线， ∴.BD经过平行四边形PMQN的中心， ∴.ON=OM! 又∠PBQ=90°， ∴.BO=NO, 718 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ONB=∠OBA, ,D为边AC的中点，∠ABC=90°， ∴.BD=DA ∴.∠A=∠OBA, ∴.∠ONB=∠A, :.MN‖AC NB_BM AB BC' 8t-24+8-t6- 6t-18 故5 5 8 6 解得t-48 11: 24.48 综上所述，满足条件的t的值为1或1i· 拓展 链接中考 1.1.2 2.80V5-160cm-160+80V5cm 3.D 4.A 5.B 6.20 7.C 8.D 9.B 10.195 8/8 分层作业 25.1 比例线段+25.2 平行线分线段成比例 +25.3 相似图形 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 成比例线段 题型02 比例的性质 题型03 黄金分割 题型04 由平行判断成比例的线段 题型05 由平行截线求相关线段的长或比值 题型06 相似图形 题型07 相似多边形的性质 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 成比例线段 1．（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）下列各组线段中，、、、成比例的一组是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】比例线段、成比例线段 【分析】利用比例的基本性质，通过验证与是否相等判断四条线段是否成比例． 【详解】解：A、， ，， ， 该组线段不成比例； B、， ，， ， 该组线段成比例； C、， ，， ， 该组线段不成比例； D、， ，， ， 该组线段不成比例． 2．（2026·河北沧州·模拟预测）嘉嘉周末到沧州博物馆观看沧州诗经文化展．他想了解一本古籍的长度，在古籍旁放了一支笔拍下照片如图所示．回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为和，笔的实际长度为，则该古籍的实际长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例线段的应用（或相似图形的性质）．根据照片中的物体长度与实际物体长度成比例（即比例尺固定），列出比例式求解即可． 【详解】解：设该古籍的实际长度为 照片上物体的长度与实际物体的长度成正比 ∴ 解得 该古籍的实际长度为故选D． 3．（2026九年级下·全国·专题练习）若线段a、b、c、d是成比例线段，且，则_____． 【答案】8 【难度】0.94 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查成比例线段，根据成比例线段的定义，列出比例式并求解即可． 【详解】解：由题意：， ∵， ∴； 故答案为：8 4. 已知线段a、b满足，且． (1)求a、b的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】比例线段、成比例线段 【分析】（1）根据可得，再代入计算即可得； （2）根据比例中项的定义求解即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得， 则． （2）解：线段是线段、的比例中项， ，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 则的值为． 题型02 比例的性质 5．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若，那么的值为（     ） A．10 B．5 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】比例的性质 【详解】解：∵， ∴，，． ∵， ∴． 6．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】分式的求值、比例的性质 【分析】根据比例的基本性质，可通过设参数法结合比例性质化简，逐一判断选项即可. 【详解】解：由可设，（）． 选项A，，仅当时等于，不恒成立，故A错误； 选项B，由交叉相乘得，与不符，故B错误； 选项C，，仅当时等于，不恒成立，故C错误； 选项D，，等式恒成立，故D正确． 7. （26-27九年级上·吉林长春·开学考试）若，则的值是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、比例的性质 【分析】根据已知比例关系，设、，其中，代入所求分式化简计算即可． 【详解】解： 可设，，其中 将，代入得： ． 8. （2026·河南周口·二模）已知a，b，c使等式成立，则代数式的值是________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、分式化简求值、比例的性质 【分析】设已知连等式的比值为，根据等式性质得到的关系，求出的值，推出，代入所求代数式化简计算即可得到结果； 【详解】解：设， ∴，，， 将三式左右两边分别相乘，得， 移项得， 因为均为分式的分母，故，，，即， 因此， 解得：， ∴，且， 将代入所求代数式，得． 题型03 黄金分割 9．（25-26八年级下·山东泰安·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】黄金分割 【详解】解：由题意，， ∵的长度为， ∴. 10. 已知C是线段的黄金分割点，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】黄金分割 【分析】利用黄金分割的性质可直接得到对应比值． 【详解】∵ 点是线段的黄金分割点，且， 根据黄金分割的定义可得 ， ∴ ． 11．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】黄金分割 【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得，代入数值得出答案． 【详解】∵点E是AB的黄金分割点， ∴． ∵AB=2米， ∴米． 故答案为：（）． 12. （25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，汉字“十”端庄美观，横竖笔画交接处点恰好是线段的黄金分割点，若长，则的长为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】公式法解一元二次方程、黄金分割 【分析】由图可知为较长线段，根据黄金分割点的定义可得，代入数据列一元二次方程求解即可． 【详解】解：由图可知，点是线段的黄金分割点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型04 由平行判断成比例的线段 13. （25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在中，交于点，交于点，下列式子中，不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可． 【详解】解：， ，选项A成立，不符合题意； ，选项B成立，不符合题意； ，选项C成立，不符合题意； ，选项D不成立，符合题意； 故选：D． 14. 如下是嘉嘉的作业，其中括号内应填的内容是（   ） 嘉嘉的作业： ∵， ∴ A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 15. （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知中，点在上，点在上，．，，，则________． 【答案】6 【难度】0.85 【知识点】由平行判断成比例的线段、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】根据平行线分线段成比例列出比例式，即可求解，再计算出即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ． 16. （25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，，则的长为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用平行四边形的性质求解、由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．由平行四边形的性质可得，，设，则，，代入比例式中求解即可得解． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， ，， ，， ， 设，则，， ，， ，解得， 即． 故答案为：． 题型05 由平行截线求相关线段的长或比值 17．（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）如图，在中，，，，，则的长是（     ） A． B．4 C．6 D．8 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ 18．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，直线，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，则的值为（     ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】根据的长，用含的代数式表示出，再根据平行线分线段成比例定理即可列比例式方程，解出即可得的值． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是此方程的解， ∴的值为． 19．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是_______． 【答案】6 【难度】0.7 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵直线分别交直线，于点，，，，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 20. （25-26九年级下·山东烟台·期末）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为__________． 【答案】/厘米 【难度】0.85 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图： 由题意可得， ∵相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴， ∵， ∴． 题型06 相似图形 21. （26-27九年级上·山东聊城·开学考试）如图，两个正方形，两个等边三角形，两个等腰直角三角形，两个矩形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形不相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似图形、相似多边形、相似多边形的性质 【分析】根据相似多边形“对应角相等，对应边成比例”的性质判定即可． 【详解】A选项，两个正方形对应角相等，且对应边成比例，两个正方形相似； B选项：两个等边三角形的对应角相等，且对应边成比例，两个等边三角形相似； C选项：两个等腰直角三角形的对应角相等，且对应边成比例，两个等腰直角三角形相似； D选项：两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，两个矩形不相似． 22. （26-27九年级上·北京·课后作业）下列说法正确的是（     ） A．矩形都是相似图形 B．正方形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．相似多边形对应角的比叫作相似比 【答案】B 【知识点】相似图形、相似多边形、相似多边形的性质 【分析】判断相似需同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件； 【详解】解：∵ 矩形的对应边不一定成比例， ∴ A错误； ∵ 正方形的对应角相等，对应边成比例， ∴ B正确； ∵ 各边对应成比例的多边形对应角不一定相等， ∴ C错误； ∵ 相似比是对应边的比， ∴ D错误； 23. （2026·河南周口·一模）我国传统建筑中常用榫卯结构，构件之间通过凹凸结合连接，体现了几何图形的全等变换．下列变换中，不属于全等变换的是（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．相似放大 【答案】D 【知识点】图形的平移、轴对称图形的识别、判断生活中的旋转现象、相似图形 【详解】解：平移变换、旋转变换，轴对称变换都不改变图形的形状和大小，都属于全等变换； 相似放大变换改变了图形的大小，不属于全等变换. 24．（25-26九年级下·广东深圳·阶段检测）下列说法中正确的有（   ） ①所有的圆都是形状相同的图形； ②所有的正方形都是形状相同的图形； ③所有的等腰三角形都是形状相同的图形； ④所有的矩形都是形状相同的图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】相似图形 【分析】本题考查形状相同图形即相似图形的概念，只需逐一判断每个说法，统计正确个数即可得到答案. 【详解】解：形状相同的图形要求对应角相等，对应边成比例，仅大小可以不同. ①∵所有圆仅半径不同，形状完全一致， ∴①正确； ②∵所有正方形的内角均为，对应边一定成比例， ∴所有正方形形状都相同，②正确； ③∵等腰三角形的内角度数不固定，对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，不同角度的等腰三角形形状不同， ∴③错误； ④∵矩形的长与宽的比值不一定相等，对应边不成比例，不同长宽比的矩形形状不同， ∴④错误； 综上，正确的说法共2个． 故选：B． 题型07 相似多边形的性质 25. （25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）两个相似多边形的相似比为，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为（     ） A．60 B．40 C．36 D．16 【答案】A 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、相似多边形的性质 【分析】利用相似多边形周长比等于相似比得到两个多边形的周长比，再结合周长差列方程求解即可． 【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为，相似多边形的周长比等于相似比， ∴它们的周长比为， 设较大多边形的周长为，较小多边形的周长为， ∵它们的周长之差为20， ∴， 解得， ∴较大多边形的周长为， 故选：A． 26. （2026·广东云浮·一模）如图，四边形四边形EFGH．若，，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【知识点】相似多边形的性质 【分析】根据相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，先求出两个四边形的相似比，再计算面积比即可． 【详解】解：四边形四边形，且，， 它们的相似比为， 它们的面积之比为， 即． 27. （2026·宁夏吴忠·二模）风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝较短的那条对角线长度为______． 【答案】90 【知识点】相似多边形的性质 【分析】先说明大风筝和小风筝相似，且相似比为，再利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为， ∴大风筝和小风筝相似，相似比为， ∴大风筝两条对角线长：小风筝两条对角线长， ∴大风筝较短的那条对角线长度为． 28. （26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，四边形四边形． (1)求：______； (2)求边、的长度． 【答案】(1) (2)， 【知识点】多边形内角和问题、相似多边形的性质 【分析】（1）利用相似四边形对应角相等得出、，结合四边形内角和为，减去其余三个内角即可求出； （2）根据相似多边形对应边成比例列式求出、即可． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴，， ∴； （2）解：∵四边形四边形， ∴， ∴， 解得，． B组 能力进阶 1. 如果D，E分别在的两边，上，由下列哪一组条件可以推出（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】同位角相等两直线平行、比例线段、相似三角形的判定与性质综合 【分析】若能推出，即可证明 ，得到同位角相等，进而推出 ． 【详解】解：A 由可得，结合，得，不能推出 ，A错误； B 仅知道和，无法保证三角形相似，不能推出 ，B错误； C ，，又，， ， ， ， ，C正确； D ，，又，，不能推出 ，D错误； 2. （2026·四川广元·二模）如图，在平面直角坐标系中，，点，．为的中点，连接．把线段沿射线平移至，使点落在轴上，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用平行四边形的性质求解、三角形中位线的实际应用、利用平移的性质求解、由平行判断成比例的线段 【分析】根据题意可得，，，，，根据平行四边形的判定和性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出点是的中点，，根据三角形中位线的定义和性质得出，结合平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意可得，，，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即点是的中点，， ∴是的中位线。 ∴， ∴平行四边形的面积为． 3. （25-26九年级上·广东茂名·期中）下列两个图形：①两个等边三角形；②两个等腰直角三角形；③两个正方形；④两个菱形；⑤两个正六边形，一定相似的有（    ） A．4组 B．3组 C．2组 D．5组 【答案】A 【知识点】相似图形、相似多边形 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，解题的关键是掌握相似图形的判定方法． 相似图形需对应角相等且对应边成比例． 【详解】解：①∵两个等边三角形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ②∵两个等腰直角三角形角均为、、，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ③∵两个正方形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ④∵两个菱形对应角不一定相等， ∴不一定相似，不符合题意； ⑤∵两个正六边形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ∴一定相似的有①、②、③、⑤，共4组， 故选：A． 4. （25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，设是已知线段，经过点作，使；连接，在上截取；在上截取，则的值是____________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、比例线段 【分析】本题考查了勾股定理与比例线段的计算，解题的关键是通过勾股定理求出线段长度，再推导比例关系． 设，利用垂直关系得，由勾股定理求；结合求出，进而得，最后计算． 【详解】解：，， ． 由勾股定理得： ； ， ； ； ； 故答案为∶ 5. （25-26九年级上·河南开封·期末）如图，已知，它们依次交直线、于点A、D、F和点B、C、E，如果，，那么CE等于______． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】由平行判断成比例的线段、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 即， 解得：， 故答案为：3． 6. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清的边 ， 上，且，“远”字的笔画“、”的位置在 的黄金分割点处，且 若，则 的长为_______(结果保留根号)． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质求线段长、根据正方形的性质求线段长、黄金分割 【分析】先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴． 7. （26-27九年级上·全国·单元复习）解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知a，b，c是的三边，且满足，，请你探索的形状． 【答案】(1) (2)直角三角形 【难度】0.65 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、分式化简求值、三角形三边关系的应用、判断三边能否构成直角三角形、比例的性质 【分析】（1）把所求分式拆开，利用已知条件求出的值，代入直接计算． （2）利用设参数k的方法表示三边，再根据三边之和列方程求出k，得到三边长，最后用勾股定理逆定理判定三角形形状． 【详解】（1）解：， ． ； （2）解：令． ，，， ，，． 又． ， ． ，，， ，， 是直角三角形． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D为上一点，点P在上，过点P作交于点M，作交于点N． (1)若点D是的中点，且，求的值； (2)若点D是上任意一点，试证明：． 【答案】(1) (2)证明：过点作交于，过点作交于， ，， ，， 又，， ，， ，， ，， ． 【难度】0.55 【知识点】由平行判断成比例的线段、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】（1）过点作交于，结合平行线分线段成比例解得，，进而求解； （2）过点作交于，过点作交于，由平行线分线段成比例解得，，，，进而得到，，即可求解． 【详解】（1）解：过点作交于， ， ， ， 点为中点， ， 点是中点， ，且， ， ， 点是中点， ． （2）略 9. （25-26八年级下·山东青岛·期末）【问题背景】如图，以矩形的宽为边，在其内部作正方形，若，则称矩形为“黄金矩形”，其长与宽的比（）称为“黄金比率”． 【问题探究】求“黄金比率”： 设，，则， ∵，∴，即． ∴． ∴，（负数不合题意，舍去）． ∴黄金比率为：． (1)【问题提出】如图，以矩形的宽为边在其内部作两个正方形，，若，则称矩形为“白银矩形”，其长与宽的比（）称为“白银比率”，求“白银比率”． (2)【问题拓展】如图，从正方形上剪下宽的矩形后，剩余部分（矩形）是“白银矩形”，求正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.5 【知识点】利用矩形的性质证明、根据正方形的性质证明、黄金分割 【分析】（1）设，，则，再根据求解即可； （2）设正方形的边长为，则，根据矩形是“白银矩形”结合由（1）得白银比率为，推出，求解即可． 【详解】（1）设，，则， ∵， ∴，即， ∴， ∴，（负数不合题意，舍去）， ∴白银比率为：； （2）设正方形的边长为，则， ∵矩形是“白银矩形”，由（1）得白银比率为， ∴，则，解得， ∴正方形的边长为． C组 思维拔高 1．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】黄金分割 【详解】解：设的长度是， 矩形是黄金矩形，是， ，即，故①正确； ，即，故④正确； 四边形是正方形， ， ， 矩形是黄金矩形， ，即，故②正确； ， ，故③正确； 故选：D． 2．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中，D，E分别是上的点，连接交于点，已知是的中点且，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】过点作交于点，根据平行线分线段成比例求解． 【详解】解：如图，过点作交于点， 是的中点， ，则， ， ， ， ． 3．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图1，木质镂空花格常见于江南园林的门窗与屏风．图2是其示意图，正八边形的内部包含4个全等的正方形和1个正八边形（阴影部分），则正八边形与阴影部分的面积比是_______． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、根据矩形的性质与判定求面积、根据正方形的性质求线段长、相似多边形的性质 【分析】由题意可知是等腰直角三角形，设，可得，，由相似多边形的面积比等于相似比的平方，即可得出结论． 【详解】解：如图2： 正八边形， ，，， 四边形是矩形， ， 内部阴影是正八边形， ， 由4个全等的正方形可知：是等腰直角三角形，， 设，则， ， 阴影部分为正八边形，正八边形都相似， ∴正八边形与阴影部分的面积比为． 4. （2026·山西阳泉·模拟预测）如图，点C为线段的黄金分割点（，黄金分割比为），分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两组弧分别交于点D，E，连接交于点O．若，则的长为______（结果保留根号）． 【答案】 【难度】0.45 【知识点】作垂线(尺规作图)、黄金分割 【分析】根据点C为线段的黄金分割点，，可得到，由作法得：垂直平分，即可求解． 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由作法得：垂直平分， ∴． 5. （25-26九年级下·山东青岛·开学考试）如图，在中，，，，为边的中点，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿运动到点停止，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动到点停止，当点停止运动时，点也停止运动．过点作交的边于点，以和为边作．设点的运动时间为（秒）． (1)用含的代数式表示长； (2)点在边上运动时（不含、），若的面积为，求出关于的函数关系式，并求出为何值时，； (3)当点不与的顶点重合时，连结，直接写出将分成面积相等的两部分时t的值． 【答案】(1)长为或 (2)； (3)或 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、（特殊）平行四边形的动点问题、成比例线段、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先根据勾股定理和中点的定义求出，；再利用分类讨论的思想方法，结合时间，路程与速度的关系式解答即可得出结论； （2）根据题意可得，，根据平行四边形的性质得出，根据相似三角形的判定和性质得出，根据平行四边形的面积公式即可求得关于的函数关系式，根据题意，列出方程，解方程即可求出的值； （3）分两种情况讨论：①当时，连接、，交于点，利用平行四边形的性质和已知条件得到，结合直角三角形的性质得出，，根据等边对等角推得，根据平行线的判定定理得出，根据平行线分线段成比例得出，据此列出方程，解方程求出的值；②当时，连接、，交于点，根据平行四边形的性质得出，，根据相似三角形的判定和性质求出，，类比①的方法得出，据此列出方程，解方程求出的值． 【详解】（1）解：在中，，， 故， ∵为边的中点， ∴． 当时，此时点在边上运动， 则， 故； 当时，此时点在上运动， 则， 故； 综上所述：长为或 （2）点在边上运动时（不含、），此时， 故，； ∵四边形是平行四边形， ∴， 故， ∴， 即， ∴； 故， ； 根据题意可得， 解得； 故当时，． （3）①当时，连接、，交于点，如图： ∵将分成面积相等的两部分，是的对角线， ∴经过平行四边形的中心， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵为边的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据题意可得，，， 故， 解得； ②当时，连接、，交于点，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 故， ∴， ∴， ∵，，，， 故， ∴，， 即， ∴， ， ∵将分成面积相等的两部分，是的对角线， ∴经过平行四边形的中心， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵为边的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故， 解得； 综上所述，满足条件的t的值为或． 拓展 链接中考 1．（2022·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的_________倍． 【答案】1.2 【难度】0.85 【知识点】比例的性质、数学常识 【分析】设被称物的重量为，砝码的重量为，根据图中可图列出方程即可求解． 【详解】解：设被称物的重量为，砝码的重量为，依题意得， ， 解得， 故答案为：1.2． 2．（2023·四川达州·中考真题）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，之间的距离为__________． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】黄金分割 【分析】此题考查了黄金分割点的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．根据黄金分割的概念和黄金比值计算即可． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 故答案为：． 3. （2024·山东济南·中考真题）如图，在正方形中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、根据正方形的性质证明、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】连接，设交于点H，正方形边长为，由作图知，，垂直平分，得到，，由勾股定理得到，证明，推出，推出，得到，即得． 【详解】连接，设交于点H，正方形边长为， 由作图知，，垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 4. （2023·吉林·中考真题）如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出，即可求解． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵ ∴， 故选：A． 5. （2023·安徽·中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，，， ∴，，， ∵， ∴ ∴，， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， 故选：B． 6. （2026·内蒙古·中考真题）如图，等边三角形纸片的边长为10，点，分别为，边上的点．将沿折叠，若点恰好落在该纸片边的中点处，则四边形的周长是____________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】等边三角形的性质、与三角形中位线有关的求解问题、折叠问题、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】连接交于点O，由三线合一得，． 由折叠的性质可知，，，，，可得，由平行线分线段成比例求出，再根据三角形中位线的性质求出即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O， 是等边三角形，边长为 ， 点是边的中点 ，． 由折叠的性质可知，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长． 7. （2025·河北·中考真题）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似图形 【分析】本题考查了相似图形的性质，设该化石的实际长度为，根据题意得出，即可求解． 【详解】设该化石的实际长度为，依题意， ， 解得： 故选：C． 8. （2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【答案】D 【知识点】相似图形 【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形． 故选D． 9. （2026·甘肃兰州·中考真题）敦煌藻井是敦煌石窟图案中的精华，位于石窟顶部中央，绘制了从东晋十六国至元代末年的千年时段，它被称为“天空的艺术”．如图1是方井套叠藻井，由三层方井以45度角交错套叠而成，层层递进极具纵深感．如图2是抽象的几何图形，外切于的正方形，正方形，正方形以45度角交错套叠而成，其中，则正方形与正方形的相似比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】化为最简二次根式、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、相似多边形的性质 【分析】根据题意可得，为等腰直角三角形，可得到，同理，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形，均为正方形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴正方形与正方形的相似比是． 10. （2025·甘肃平凉·中考真题）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为______． 【答案】195 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的应用，证明大风筝和小风筝相似，相似比为，即可解决问题．熟练掌握相似多边形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为， 大风筝和小风筝相似，相似比为， 大风筝两条对角线长小风筝两条对角线长， 大风筝两条对角线的长分别为和， 大风筝两条对角线长的和为， 故答案为：195． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $