2027届高考物理一轮复习专项训练 8.1 机械振动 机械波

**基本信息** 聚焦机械振动与机械波，通过分层题型训练构建从基础证明到复杂叠加的知识网络，强化科学推理与模型建构能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |热点题型集训|5题|含简谐运动证明、弹簧振子周期计算、多波源叠加分析等|从简谐运动本质证明到机械波传播规律，构建"概念-推理-应用"逻辑链| |好题集训|14题|涵盖单摆周期、波的干涉、不同介质波速计算等综合题|以波的叠加和振动图像为核心，整合运动与相互作用观念，突出科学探究能力|

大专题八 自主复习 8.1 机械振动 机械波 （一）热点题型集训 【简谐运动证明】 1.物理学家将力学方法和统计方法相结合，分析宏观可测的热现象，建立了分子动理论。气体所表现出来的宏观特性可以通过气体分子的热运动以及分子间的相互作用来解释。如图，大气压强为，一个气缸内部体积为，初始压强为，内有一活塞横截面积为，质量为。 （1）等温情况下，向右拉开活塞移动距离X，求活塞受拉力； （2）在水平弹簧振子中，弹簧劲度系数为，小球质量为，则弹簧振子做简谐运动振动频率为，论证拉开微小位移X时，活塞做简谐振动，并求出振动频率。 【弹簧振子】 2．弹簧振子的振动周期可表示为，其中m为振子的质量，k为弹簧的劲度系数。如图所示，质量为的滑块左右两端与轻弹簧相连，两弹簧的原长相等，另一端均固定在光滑水平面上的竖直挡板上，劲度系数分别为、（）。开始时两弹簧均处于原长，将滑块向左移动一小段距离后由静止释放，滑块第一次运动到最右边所需时间为（　　） A． B． C． D． 【连续振动和振动一次的波形叠加】 3．（多选）如图甲所示，在某均匀介质中简谐波源、相距，时刻两者开始上下振动；只振动了半个周期，连续振动。距离波源的处的质点在时第一次到达波峰。开始阶段两波源的振动图像如图乙所示。则下列说法正确的是（　　） A．两列波的传播速度都为1m/s B．质点在内的路程为 C．时，位于、连线上有质点第一次位移达到 D．在内，、连线上的质点共有6次位移达到 【不同频率的两列波叠加】 4．（多选）波源P、Q分别位于x＝0和x＝12m处，如图所示，t＝0时刻分别恰好传到2m和6m处，图中箭头分别为两列波的传播方向，波速为2m/s，振幅均为5cm，则（　　） A．t＝1s后，x＝4m处的质点做振幅为10cm的简谐运动 B．波源间质点位移大小第1次达到10cm是由于两列波的波峰相遇 C．波源间质点位移大小第1次和第2次达到10cm的两质点相距2.5m D．t＝3s时，两波源间（不含波源）有4个质点位移为零 【两种不同介质中叠加】 5．（多选）如图所示，两个位于和处的波源分别处在介质Ⅰ和Ⅱ中，是两介质的分界面，时刻两波源同时开始做简谐振动，沿轴正方向起振，沿轴负方向起振，振幅均为，分别产生沿轴相向传播的两列机械波。时介质Ⅰ的波恰好传到分界面，此时两波源都刚好第4次回到平衡位置，时，介质Ⅱ的波也刚好传到分界面。不计波传播过程的能量损失，则（　　） A．波在介质Ⅰ和介质Ⅱ中的波速之比为 B．时刻处的质点第一次达到最大位移 C．在内处的质点的路程为 D．经过足够长时间后，在轴上区间共有9个振动加强点，有10个振动减弱点 （二）好题集训 1．如图所示，有两细线AC、BC长为65cm，下端C点系一质量为50g的实心小钢球，悬挂点A、B之间的距离为50cm，MC为竖直直线。以下说法正确的是（　　） A．若小钢球静止，细线AC所受的拉力为N B．若将小钢球沿纸面拉离平衡位置后由静止释放，小球将做简谐振动 C．若在地球上实验，小钢球被垂直纸面向外拉离2cm后由静止释放，其周期约为2s D．若在月球上实验，小钢球被垂直纸面向外拉离3cm后由静止释放，其周期约为1.2πs 2．如图所示，在均匀介质中，（，）和（，）为两个波源，其振动方向垂直于xOy平面，振动的位移时间关系分别为和，形成的机械波波速为4m/s，介质中某质点P的平衡位置坐标为（，），t＝0时刻，、两波源同时开始振动，则0~5s内，质点P通过的路程为（　　） A．0.8cm B．1.6cm C．2.6cm D．4.8cm 3．在同一水平面，两种不同介质Ⅰ和Ⅱ的分界面为一条直线，在水平面内垂直于的直线为轴，交点为坐标原点O，在和处各有一个波源S1和S2发出同种机械波，频率均为2Hz，在时刻两波源同时开始沿垂直纸面方向从平衡位置振动，且起振方向相同，两列波在不同介质中的振幅均为5cm。经半个周期后波形示意图如图所示，其中圆弧实线表示垂直纸面向外振幅最大处。则（    ） A．两波的起振方向可能垂直纸面向里 B．波源S1在介质Ⅰ中的波长为2m C．时两波在点相遇 D．在时点的位移为 4．波源位于坐标原点的一列简谐横波，经向右传播到达P点，此时波源处于Q点。已知这列波振幅，P、Q两点坐标分别为（5m，0）和（0，1.5cm），则（　　） A．该波的频率为 B．该波波源起振方向向下 C．波源Q向右运动需要 D．该波中的质点，在周期内所走最短路程为 5．一列沿x轴正方向传播的简谐横波在时刻的波形图如图所示，此时P点偏离平衡位置的位移大小是振幅的二分之一。已知波速，则此后P点第三次达到平衡位置的时间是（　　） A． B． C． D． 6．（多选）如图，是某均匀介质中平面内的直角三角形间距离为间距离为，两列频率相同、振动步调相反、振幅均为A的平面波、分别沿方向、方向传播，时刻，两列波分别传播到A点和点，当平面波到达点时，平面波已引起质点振动了点的质点运动的路程为，则下列判断正确的是（　　） A．两列波叠加后，点是振动加强点 B．两列波叠加后，点是振动加强点 C．波传播的速度大小为 D．时刻，点处质点运动路程为 7．（多选）如下左图，一个质量为M的大圆环直立在水平面上，圆环顶端固定了一根劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧下面拴接了一个质量为m的小球（可视为质点），用力向下拉住小球，然后释放，小球开始上下振动，不计空气阻力，以向上为正方向，小球振动的位移时间图像是一个余弦函数，如下右图所示。小球振动过程中，大圆环始终与地面接触，且对地面的最小压力为0，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．图中t1时刻，大圆环对地压力大小为Mg B．图中t2时刻，小球的加速度大小为 C．图中t4时刻，大圆环对地压力大小为Mg+2mg D．图中 8．某兴趣小组研究机械波的干涉，在一平静的水面上相距的位置放置两相同振源，两振源同时开始以相同振幅、相同相位、相同频率做简谐运动，该振动形成水波的传播速度为，经过一段时间后，下列说法正确的是（　　） A．水波的波长为 B．两振源连线的中垂线上所有点都是振动减弱点 C．若某一振源的相位发生变化，仍能观察到干涉 D．两振源之间的连线上共有22个振动减弱点（不含两振源） 9．（多选）如图所示，在x＝0.6m处的波源P产生一列沿x轴负方向传播的简谐横波，在x＝－0.6m处的波源Q产生一列沿x轴正方向传播的简谐横波。t＝0时刻两波源开始振动，t＝0.5s时两列简谐波的波形图分别如图中实线和虚线所示，下列说法正确的是（　　） A．两列波的波速大小均为2m/s B．再经过0.1s，平衡位置在x＝－0.2m处的质点位移为－0.1m C．平衡位置在x＝－0.4m处的质点为振动减弱点 D．平衡位置在x＝0.2m处的质点前0.5s内运动的路程为50cm 10．（多选）如图甲所示，在均匀介质中，两个波源、分别位于和m处。已知时刻，开始自平衡位置向下振动，s时，第二次处于波峰位置，s时，波源也开始自平衡位置向下振动，产生的两列简谐横波恰好于P点相遇。经足够长时间后，x轴上质点的振幅随x变化的部分图像如图乙所示。若m，则下列说法正确的是（　　） A．波源、的振幅相同 B．当s时，两列波开始相遇 C．间（除、P外）有12个振动加强点 D．在0~10s内质点Q的路程为2cm 11．图甲为装满介质的容器截面图。C、A、O、B为介质表面的水平面上的四个点，其中A和B是波源，O点位于不同深度的两部分介质分界线上。图乙和图丙分别是波源A和波源B振动一个周期后形成的图像。波源B到容器底部B′的距离hB=0.4m，OA=3m，OB=1m，容器左侧壁与水平地面的夹角θ=45°。已知机械波在该介质中的波速v与介质深度h的关系为，g=10m/s2。当t=0时刻，两波源同时开始振动，t=0.75s后O点振幅不再发生变化，求： (1)波源B在容器底部B′处的波长λB及波源A到容器底部A′的距离hA； (2)在AC之间，距A点的距离为x时，波速vx与x的关系式； (3)t=1.5s时，质点O运动的路程。 12．（多选）均匀介质中三个面波源、、位于xoy平面直角坐标系中，三个波源从时刻开始均垂直纸面方向振动，振动方程分别为、、，其中为。三个波源及点的坐标如图所示，该介质中的波速均为2.5cm/s。下列说法正确的是（　　） A．质点比质点起振早2.4s B．质点在10s内通过的路程为8cm C．若取走波源，则稳定后在轴上有9个减弱点（不考虑波源处） D．若取走波源，则稳定后在轴上有4个加强点（不考虑波源处） 13．（多选）如图所示，一根沿竖直方向固定的光滑绝缘细杆，沿杆所在直线建立y轴，y轴正方向竖直向下，O 点为坐标原点。杆所在区域及附近空间存在平行于y轴的电场，电场强度与坐标y的关系满足（k 为大于0的常数）。现将一个质量为m，均匀带负电的绝缘小圆环穿在杆上，小圆环所带电量的数值大小为q，小圆环直径略大于杆的直径，重力加速度为g，不计空气阻力，小圆环在运动中电量保持不变。关于小圆环的运动，下列说法中正确的是（　　） A．将小圆环从O点由静止释放，小圆环下落到的位置时速度为零 B．将小圆环从O点由静止释放，小圆环下落到的位置时速度最快 C．将小圆环分别从和处由静止释放，小圆环第一次运动到O点的时间分别为和，则一定有 D．将小圆环分别从和处由静止释放，小圆环第一次运动到O点的时间分别为和，则一定有 14．（多选）如图所示，有人设想在地球上挖一条光滑直通道，通道中心与地心的距离为，从A点静止释放一个质量为的物体，通过推理后发现物体的运动可视为简谐运动（弹簧振子做简谐运动的周期）。已知质量分布均匀的空腔对空腔内的物体的万有引力为零，设物体所处位置到通道中心的距离为，地球半径为且质量分布均匀，重力加速度为，忽略地球自转。则物体从A点运动到点的时间和物体通过通道中心的速率分别为（　　） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1 机械振动 机械波 （一）热点题型集训 1【答案】（1）． （2）． 【解析】（1）．根据玻意耳定律，对活塞分析可知，解得 （2）．设X方向为正方向，则此时活塞所受合力， 当X很微小时，则，即活塞的振动可视为简谐振动，其中 振动频率为 2【答案】B【详解】易知两弹簧的形变量大小相等，当弹簧形变量为x时，对滑块有 ，滑块受力情况与只有一个劲度系数为的弹簧作用相同，所以该系统的振动周期为，滑块运动到最右边所需时间为半个周期。 3【答案】AC【详解】A．根据题意可知，振动的波形先到达P点，由于经历1s开始到达波峰，则振动的波峰形式传播到P点的时间，则波的传播速度，由于波速由介质决定，则两列波的传播速度都为1m/s；B．结合上述，波速为1m/s，P点经历2s开始以振动的波形振动，该波形振动了2s，，P点经历的路程，振动波形传播到P点的时间，则0~20s内P点以振动波形的振动时间，可知，该时间内P点经历的路程，结合上述，质点P在0~20s内的路程为，故B错误；C．时，两列波分别传播的距离为，根据波源、相距，画出两列波相遇时的情况如图所示 可得两列波的波峰第一次在Q点相遇，Q点处的质点的位移；D．在0~16s内，、振动的波形传播的距离均为，两列波相遇的区间的长度为，因，故此区间内恰好有6个由波源产生的波，即存在6个波源产生的波的波峰，根据两波的相遇过程，可知从点发出的半个波前进过程中能遇到5个波峰。 4【答案】BC【详解】A．题图可知两波的波长不同，因为同种介质波速相同，因而两波频率不同，不能形成稳定干涉，振幅周期性变化；BC．由题意知，，t＝0.5s时，波源P达到第1次波峰，此时距波源Q第1个波峰出现在x=6.5m，故再经两波峰第一次相遇，即在时波峰相遇，质点坐标x＝3.25m；同理，可以求得两波谷第一次相遇为t＝2.375s，质点坐标x＝5.75m，两个波峰相遇使质点位移大小第1次达到10cm，第1次和第2次位移达到10cm的两质点相距2.5m；D．t＝3s时，P波传到8m处，Q波传到0m处，波形如下（红线为P波，蓝线为Q波） 根据叠加原理可知，两波源间（不含波源）有5个质点位移为零。 5【答案】AC【详解】A．波在介质I的波速为，波在介质Ⅱ的波速为，波在介质I和介质Ⅱ中的波速之比为3：2；B．两列波的振动周期都是1s，t=3s时，介质Ⅱ的波刚好到达x=3m处，该点到两波源的波程差为0，两列波的相位差为，故为振动减弱点，而两列波的振幅相同，故t=3.25s时刻x=3m处的质点在平衡位置；C．t=2s时两波源都刚好第4次回到平衡位置，故两列波的周期都是1s，t=3s时，介质Ⅱ的波也刚好传到分界面，此后3s~10s两波源的振动形式均传到而产生干涉，因该点为振动减弱点始终处于平衡位置不动，则该点在2s~3s做一个周期的振动，路程为；D．两列波的振动周期、频率都相同，在不同介质中的波速、波长不同，经过3s时，介质Ⅱ的波刚好到达x=3m处，且此刻两列波的相位差为，因起振方向相反，有振动减弱点到x=0m和x=3m的距离差为半波长的偶数倍，即为（n=0,1,2,……），在x轴上0m<x≤3m区间内则有，，，四个振动减弱点；振动加强点到两波源的距离差为半波长的奇数倍，即为（n=0,1,2,……） 在x轴上0m<x≤3m区间内则有，，，四个振动加强点；同理，在介质Ⅱ中，在x轴上3m<x<6m，同理振动减弱点到x=3m和x=6m的距离差为半波长的偶数倍，即为（n=0,1,2,……），x轴上3m<x<6m区间内有，，，,五个振动减弱点； 振动加强点到两波源的距离差为半波长的奇数倍，即为（n=0,1,2,……），在x轴上3m<x<6m区间内则有，，，，，六个振动加强点。 综上所述经过足够长时间后，在x轴上0m<x<6m区间共有9个振动减弱点，有10个振动加强点。 （二）好题集训 1【答案】D【详解】A．设细线AC与竖直线MC的夹角为，根据几何关系有，小钢球静止时，由平衡条件可得，所以细线AC所受的拉力为； B．若小钢球沿纸面向右拉离平衡位置，小球由静止释放后向左运动经过平衡位置时，绳BC绷紧时会有机械能损耗，向左拉离同理，所以小球不能做简谐振动； C．若在地球上实验，向纸外拉离2cm，根据几何关系可得双线摆的摆长为60cm。因为单摆做简谐振动的条件为摆角小于，由于，所以小球可以做简谐振动，周期；D．若在月球上实验，拉离3cm，也是做简谐振动，其周期为。 2【答案】C【详解】、的振动周期为，则波长为传至P点的时间 传播至P点的时间为，P点与、的距离差为 故P点位振动减弱点。在内P点不动，内P点振动了，运动的路程为 在内P点振动了，运动的路程为，则内，质点P通过的路程为。 3【答案】C【详解】AB．振动频率相同均为2Hz，可知，根据波形图是振动半个周期的波形图，可以判断得出两波源开始起振方向垂直纸面向外，首先波源用到达最大位移处，然后再用将波峰状态传播如题图位置，因此，，根据可知，两列波的波速分别为8m/s，16m/s，波速之比为1:2。C．的波形传到点用时，等于的波形传到点用时，即两列波同时传到O点。D．两列波同时传到O点，且起振方向相同，振动加强，则振幅为10cm，因为 ，故位移为。 4【答案】D【详解】B．介质中所有质点的起振方向均相同，根据同侧法可知，质点P的起振方向向上，则该波波源起振方向向上；A．波经向右传播到达P点，则波速为，一个完整的正弦波形的波动方程为，当纵坐标恰好等于振幅的一半时，距离原点最近的平衡位置解得 ，可知，将上述函数对应的波形向左平移得到图示波形，可知，解得，根据 ，解得，；C．简谐横波，的质点 各自平衡位置垂直于波的传播方向振动，质点并不随波迁移，即波源Q不会向右运动；D．质点相对于平衡位置位移越大，质点运动速度越小，即质点在周期内位置始终在靠近波峰位置运动，且远离平衡位置过程与靠近平衡位置过程具有对称关系，此时平均速度最小，运动路程最短，即左右对称部分经历的时间均为，由于一个完整的正弦式波形的振动方程为 ，当时间时，解得，可知，该波中的质点，在周期内所走最短路程为。 5【答案】A【详解】由波形图可知，根据解得，角频率为 波沿x轴正方向传播，设P质点的振动方程为，将t=0，代入上述方向， 则有，化简得，解得或，波沿x轴正方向传播，故此时P点沿y轴负方向运动，故，则P质点的振动方程为，当P质点第一次回到平衡位置时，化简得，可得，即 解得，故P点从开始到第三次达到平衡位置的时间为。 6【答案】BC【详解】A．两列波同时传播到点，由于两列波的振动方向相反，因此点是振动减弱点； B．由于波传播到点时，波引起点质点振动方向刚好与波引起点质点振动方向相同，因此点是振动加强点；C．波传播速度；D．振动周期，波传播到点时间 波传播到点的时间，因此时刻，点质点路程为 。 7【答案】BD【详解】A．t1时刻，小球处于平衡位置，则，对大圆环有 牛顿第三定律，大圆环对地压力大小为Mg+mg；B．t2时刻，小球运动到正向最大位移处，此时大圆环对地面的压力最小，则，所以小球的加速度大小为；C．t4时刻，小球运动到负向最大位移处，此时，所以，对大圆环有 根据牛顿第三定律可得大圆环对地压力大小为2Mg+2mg；D．根据题意可得，解得。 8【答案】C【详解】A．根据波速、波长和频率的关系，水波的波长；B．两振源相位相同，分析波的干涉，与两振源距离相等的点为振动加强点，故两振源连线的中垂线上的点都是振动加强点；C．其中一个振源的相位发生变化，但水波的频率不变，两水波的频率仍然相同，频率相同的两水波仍可发生干涉；D．两振源之间的连线上，某点到两振源的距离差为半波长的奇数倍时，该点为振动减弱点，令为整数，则有（n=0，±1，±2，±3…），其中，解得，即n取-10到9之间的所有整数，可知，振动减弱点有20个。 9【答案】AD【详解】A．根据图像可知经过t＝0.5s时两列简谐波都传播了，故可知两列波的波速大小均为；B．由图可知，两列波均传播，则两列波的周期均为，再经过0.1s，两列波在处的质点均回到平衡位置，则位移为0；C．根据波形可知再经过，两列波在平衡位置在x＝－0.4m处出现波峰与波峰相遇，故该处为振动加强点；D．波源P产生的波传播到的时间为，波源Q产生的波传播到的时间为 则，平衡位置在处的质点运动的路程为，由于两列波的起振方向相同，两波源到的距离差，则此处为振动减弱点，内质点运动的路程为，则平衡位置在处的质点在前内的路程为。 10【答案】AD【详解】A．从图乙可知，振动减弱点振幅为0，则波源、的振幅相同,；B．s时，第二次处于波峰位置，则有，解得周期T=1s，图乙可知波长为1m，则波速，设从开始振动经时间t两列波相遇，则传播时间为（t-2s），则有，联立解得；C．根据振动加强点的条件到P点距离为，则到P点距离为，设间某点到的距离分别为，则有相距10m，在间（除外），波程差的取值范围是(0，10m)，则n可以取共11个值，即有11个振动加强点；D．结合以上分析可知，到Q点距离为到Q点距离为，则两波源到Q点的波程差 ，即Q点为减弱点，合振幅为0。则Q点通过的路程为两波在此处未叠加时，Q的通过的路程，到Q点时间为，由于s时Q才振动，即从时刻开时到5.75s，才传播到Q点，到Q点时间为，则Q单独振动时间为，即Q单独振动了半个周期，即在0~10s内质点Q的路程为。 11【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）由可得，波源B在容器底部B′处的波速，由图丙可得周期 波源B在容器底部B′处的波长，波源B的振动形式传到O点所用时间为 波源A的振动形式传到O点所用时间，求得，由，可得 （2）由几何关系可得，（或） （3）由图可得波源A的振幅A1=5cm，波源B的振幅A2=4cm，当波源A的振动形式传到O点时，O点以波源B的形式振动了，所以质点O先运动了，t=0.75s后，在O点发生干涉，由于两波源振动步调相反，故此时振幅，所以在t=0.75s和t=1.5s之间，质点O运动的周期个数为，则质点O运动了，解得总路程为 12【答案】BD【详解】A．由图可知，波源距离质点最近，为，质点开始振动的时刻为 波源距离质点最近，为，则质点开始振动的时刻为，所以质点O比质点A早起振；B．波源距离质点为，则质点开始振动的时刻为 波源距离质点为，则质点开始振动的时刻为，由题意可知，波源与波源振动完全相反，且质点到两波源的距离相等，则质点为波源与波源作用下的振动减弱点，振幅为，振动与振幅较大的波源的振动相同；振动周期为，波长为，波源距离质点为，波源距离质点为，距离差为，又因为波源与波源振动方向相反，所以质点振动减弱，振幅为，波源与波源传播到质点之前，质点振动时间为，则质点在波源与波源作用下的路程为 波源与波源传播到质点之后，由于振幅为0，所以质点的路程为，则质点A在10s内通过的路程为；C．若取走波源，则波源与波源振动方向相同，设某一振动减弱点到波源的距离为，则，，可得，当时，或，当时，或，当时，或 当时，或，当时，或，则在两波源连线上，即在x轴上共10个振动减弱点，故C错误；D．若取走波源，则波源与波源振动方向相反，两波源的距离为，设某一振动加强点到波源的距离为，则，，可得，当时，或，当时， 或，则在两波源连线上共4个振动加强点，即在y轴上有4个振动加强点。 13【答案】BD【详解】AB．小圆环受重力和电场力，合力，当时合力为零，速度最快；CD．小圆环的运动为简谐运动，合力，符合简谐运动回复力形式。简谐运动正弦形式的位移公式为，由于小圆环从或处由静止释放，平衡位置为，初始时刻时位于最大位移处，此时，代入公式得，即，故，位移公式可转为 ；对，其相对于平衡位置的振幅，当运动到O点时，相对于平衡位置的位移，代入，得， 即，解得，结合，得，对，振幅 当运动到O点，相对于平衡位置的位移，代入，得 即，解得，结合，得，显然，即。 14【答案】AC【详解】AB．如图所示 设半径为的球体质量为，因为质量分布均匀的空腔对空腔内的物体的万有引力为零，所以质量为的物体在距离地心处受到的万有引力大小，故万有引力在通道方向的分力大小为（令为平衡位置），该力与成正比，故物体做简谐运动，令，当时有，根据万有引力与重力的关系有，联立则物体从A点运动到点的时间为；CD．作图像，如图所示 从A点到点，万有引力对物体做的功为 从A点到点，根据动能定理有，解得物体通过通道中心的速度大小。 1 学科网（北京）股份有限公司 $