12.1 随机现象与样本空间&12.2 古典概率（分层作业练题型）高二数学沪教版必修第三册

**基本信息** 本同步练通过A、B、C组及拓展分层设计，构建从基础概念到高考应用的递进路径，A组夯实事件类型等核心知识点，B组提升综合应用能力，C组深化创新思维，拓展对接高考真题，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|事件类型、样本空间、古典概型等基础知识点|以辨析题（如事件类型判断）、基础计算题（如样本点计数）巩固概念，题型直接对应核心考点| |B组|互斥与对立事件综合、有放回与无放回概率计算|设置跨知识点应用题（如概率性质与事件关系结合），强化逻辑推理能力| |C组|复杂情境问题（如函数零点与概率结合、立体几何背景概率）|结合实际情境（如抽奖、游戏）设计开放题，发展数学建模与创新意识| |拓展|高考真题及模拟题|选取近年高考题（如2023全国乙卷），实现学考衔接，提升应试能力|

分层作业 12.1 随机现象与样本空间&12.2 古典概率 目 录 A组 巩固过关 題型01 事件的类型 题型02样本空间与样本点 題型03事件的关系和运算 題型04古典概型 題型05有放回与无放回概率 题型06互斥事件与对立事件 題型07概率的基本性质 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 题型0 1 )事件的类型 1．将一根长为a的铁丝随意截成三段，这三段铁丝构成一个三角形，此事件是（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．不能判定 2．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件： ①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品； ②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品； ③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品； ④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于10． 其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．(填序号) 3．下列说法正确的有（    ） A．连续投10次骰子，“连续投出10个1”是必然事件 B．已知一批产品的次品率为，从中任取99件，“99件全是次品”是不可能事件 C．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件 D．如果两个事件的积事件是不可能事件，那么这两个事件一定是对立事件 4．指出下列事件中，哪些是随机事件、必然事件或不可能事件： (1)从1个三角形的3个顶点处各任画1条射线，这3条射线交于一点； (2)把9写成两个实数的和，其中一定有1个数小于5； (3)实数a，b不都为0，但a2＋b2＝0； (4)汽车排放尾气会污染环境； (5)明天早晨有雾； (6)某地明年7月28日的最高气温高于今年8月10日的最高气温． ( 题型0 2 )样本空间与样本点 5．下列随机试验的样本空间为无限集的是（   ）. A．掷一颗骰子（每一面上分别标注数字1、2、3、4、5、6的质地均匀的小正方体），观察朝上的点数 B．从装有标号为1、2、3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察标号，不考虑标号顺序 C．连续抛掷一枚硬币，直到正面出现为止，观察抛掷的次数 D．做一道5选2的多选题（5个备选答案中只有2个正确答案），观察选择的答案组合 6．若随机试验的样本空间为，则下列说法不正确的是（    ） A．事件是随机事件 B．事件是必然事件 C．事件是不可能事件 D．事件是随机事件 7．若从两男两女四人中随机选出两人，设两个男生分别用表示，两个女生分别用 表示，相应的样本空间为，则与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为______. 8．一只口袋装有除颜色外，形状、大小等完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中分两次依次取两个球． (1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个试验的样本点个数； (3)“至少有1个白球”这一事件包含哪几个样本点？ ( 题型0 3 )事件的关系和运算 9．某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设事件A表示随机事件“两次都投中”，事件B表示随机事件“两次都未投中”，事件C表示随机事件“恰有一次投中”，事件D表示随机事件“至少有一次投中”，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝“两弹都击中飞机”，事件B＝“两弹都没击中飞机”，事件C＝“恰有一弹击中飞机”，事件D＝“至少有一弹击中飞机”，下列关系错误的是（　） A． B． C． D． 11．如图是某班级50名学生参加数学、语文、英语兴趣小组的情况，设事件“参加数学兴趣小组”，事件“参加语文兴趣小组”，事件“参加英语兴趣小组”.现从这个班任意选择一名学生，则事件所代表的区域是_________.（注：事件A的对立事件用符号表示） 12．把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分别写在10张形状大小一样的卡片上，并随机抽取1张．设A：出现奇数，B：出现被3除余2的数．写出下面两个事件的对应子集： (1)A、B至少有一个发生； (2)A、B同时发生． 13．掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件：“出现奇数点”，事件：“出现偶数点”，事件：“点数小于”，事件：“点数大于”，事件：“点数是的倍数”.求： (1)，； (2)，； (3)，，，. ( 题型0 4 )古典概型 14．下列试验是古典概型的是（     ） A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点 B．某小组有男生人，女生人，从中任选人做演讲 C．某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环 D．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽 15．现有五张质地均匀，大小完全相同的卡片，在其正面分别标有数字，，0，2，3，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后，不放回，再从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字之和为正数的概率为（    ） A． B． C． D． 16．用这三个数字组成无重复数字的三位数，记事件“能被整除”，事件“为奇数”，则事件与事件至少有一个发生的概率为（    ） A． B． C． D． 17．某校知识竞赛分初赛、复赛两轮．初赛要求如下：参赛者从5道编号为“1、2、3、4、5”的试题中随机抽取3道作答，已知该参赛者会这5道试题中的3道（编号为奇数的题目）．规定抽取的3道题至少答对2题方可进入复赛，求参赛者能进入复赛的概率______． 18．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为，当且仅当，时称为“凹数”（如），若，且互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为________. 19．已知函数，若是从集合中任意选取的一个元素，则在上仅有一个零点的概率为（     ） A． B． C． D． 20．签筒中有支外形完全相同的签，签面上分别写有数字．从中不放回地依次随机抽取支签，先后抽得的数字分别记为．若满足，，，则为锐角三角形的概率为（     ） A． B． C． D． ( 题型0 5 )有放回与无放回概率 21．一个袋中有大小和质地都相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，现从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则“摸出的2个球颜色相同”的概率为（   ） A． B． C． D． 22．某商场举行抽奖活动，从装有编号0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取2次，取出的2个小球号码之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．那么中奖的概率是（    ） A． B． C． D． 23．一个盒中有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地依次选取两张标签，记事件“两张标签上的数字之和为6”．若标签的选取是不放回的，记；若标签的选取是有放回的，记，则______． 24．一个箱子里有五个球，分别以1-5编号，若有放回的取四次，每次取一个，记至少取出一次的球的个数为X，则______． 25．一个盒子中装有6个小球，其中3个红球，2个黑球和1个白球． (1)采用有放回方式从中依次随机地取出2个球，求这2个球颜色相同的概率； (2)采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，求第二次取到红球的概率． 26．一个盒子中有3个绿球，个红球，这些球除颜色外完全相同. (1)若从盒子中随机抽取1个球，抽到红球的概率为，求； (2)若，采用不放回的方式从盒子中依次随机抽取2个球，求第二次抽到的球是绿球的概率. ( 题型0 6 ) 互斥事件与对立事件 27．某小组有两名男生和两名女生，从中任选两人参加演讲比赛，则下列事件中，与事件“恰有一名男生被选中”互斥但不对立的是（    ） A．恰有一名女生被选中 B．被选中的学生的性别相同 C．被选中的学生均是男生 D．至少有一名女生被选中 28．一个不透明的袋子中有2个白球，2个红球，摇匀后随机不放回摸出2个球，记事件A为“摸出1个白球1个红球”，则与事件A互斥而不对立的事件是（    ） A．至少摸出1个白球 B．至少摸出1个红球 C．摸出2个白球 D．摸出2个白球或摸出2个红球 29．已知事件A，B为随机事件，则“A，B为对立事件”是“A，B为互斥事件”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 30．将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件“点数为2”，事件“点数为奇数”，事件“点数不小于3”，事件“点数不大于2”，则下列说法错误的是（   ） A．A与B互斥 B．A与C互斥 C．B与D互为对立 D．C与D互为对立 31．甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，事件为“甲、乙中至少有一人中奖”，则下列说法正确的是（   ） A．与互斥 B．与对立 C．与互斥 D．与对立 32．抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数不大于2”，“点数为1”．则下列结论错误的是（    ） A．，为对立事件 B．，为互斥不对立事件 C．，不是互斥事件 D．，是互斥事件 ( 题型0 7 )概率的基本性质 33．已知事件A和B互斥，满足，，则（    ） A． B． C． D． 34．某随机试验中，事件与事件互斥，且，则不正确的是（    ） A． B． C． D． 35．现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出2只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚”.则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 1．从一副混合后的扑克牌（52张）中，随机抽取1张．事件为“抽得红桃K”，事件为“抽得黑桃”，则概率_________（结果用最简分数表示）． 2．在如图所示的方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数不全是奇数的概率为______． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1．（2025·26高一上·江西南昌·期末）给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 2．（2025·26高二·全国·暑假作业）如果事件，互斥，记，分别为事件，的对立事件，那么（    ） A．是必然事件 B．是必然事件 C．与一定互斥 D．与一定不互斥 3．（2026·广东汕头·模拟预测）“”是“事件A与事件B互为对立事件”的（   ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·27高二上·重庆·开学考试）将一枚均匀的骰子抛掷两次，事件：两次点数均为偶数；：第二次点数不小于3；则概率（   ） A． B． C． D． 6．（2025·26高一下·吉林长春·期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______. 7．（2025·26高一下·甘肃白银·期末）九宫格填数游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏，某九宫格如图所示，小王需要在九宫格上填上至中不重复的整数，小王通过推理已经得到了个小格子中的准确数字，，，，，这个数字未知，且，为奇数，则的概率为______. 9 7 4 5 8．已知关于的方程，当时，“该方程有实数解”是随机现象，求的范围． 1．（2025·26高一下·湖南·期末）已知函数，若是集合中任意一个元素，则有两个零点的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·27高二上·重庆·开学考试）在数轴的原点处有一只青蛙（视为质点），它每隔相同时间会沿数轴向正向或负向等可能地跳一个单位长度，设它跳了次后到达的位置对应的实数为，记事件“”，“”，则概率______；_____． 3．（2025·26高一下·甘肃天水·期末）抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀且四个面分别标有数字的正四面体骰子，记蓝色骰子与地面接触的面上的数字为，黄色骰子与地面接触的面上的数字为．（先列出样本空间和随机事件再求） (1)记事件为“”，求事件的概率； (2)记事件为“能被整除”，事件为“”，求事件的概率． 1．（2023·全国乙卷·高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·全国甲卷·高考真题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·上海·高考真题）已知有4名男生6名女生，现从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为_____________． 4．（2022·全国乙卷·高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 12.1 随机现象与样本空间&12.2 古典概率 目 录 A组 巩固过关 題型01 事件的类型 题型02样本空间与样本点 題型03事件的关系和运算 題型04古典概型 題型05有放回与无放回概率 题型06互斥事件与对立事件 題型07概率的基本性质 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 题型0 1 )事件的类型 1．将一根长为a的铁丝随意截成三段，这三段铁丝构成一个三角形，此事件是（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．不能判定 【答案】C 【详解】将一根长为的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，这个事件是可能发生的事件，也可能不发生，但不是必然事件．所以事件是随机事件． 故选：C． 2．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件： ①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品； ②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品； ③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品； ④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于10． 其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．(填序号) 【答案】 ③④ ② ① 【详解】200件产品中，8件是二级品，现从中任意选出9件，当然不可能全是二级品， 不是一级品的件数最多为8，小于10，从而有可能全部是一级品，也有可能不全是一级品． 故答案为：③④；②；①. 3．下列说法正确的有（    ） A．连续投10次骰子，“连续投出10个1”是必然事件 B．已知一批产品的次品率为，从中任取99件，“99件全是次品”是不可能事件 C．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件 D．如果两个事件的积事件是不可能事件，那么这两个事件一定是对立事件 【答案】C 【详解】必然事件：在一定条件下一定发生的事件； 不可能事件：在一定条件下一定不发生的事件，发生的概率为0； 互斥事件：在一次试验中不能同时发生的两个事件，且满足； 对立事件：在一次试验中，两个事件有且仅有一个发生，且满足且（为样本空间）， 对于A选项，连续投10次骰子，“连续投出10个1”是有可能发生、也有可能不发生的事件， 属于随机事件，并非必然事件，故A的说法错误，符合题干要求； 对于B选项，已知产品的次品率为，则该批产品存在次品，任取99件时“99件全是次品”是概率很小但仍有可能发生的事件， 属于随机事件，并非不可能事件，故B的说法错误，符合题干要求； 对于C选项，因为对立事件要求两个事件不能同时发生，所以对立事件一定是互斥事件， 但互斥事件仅仅要求不能同时发生，不需要满足“两个事件的并集是整个样本空间”， 因此互斥事件不一定是对立事件，故C的说法正确，不符合题干要求； 对于D选项，两个事件的积事件是不可能事件，仅仅能说明两个事件为互斥事件， 但它们的并集不一定是整个样本空间，因此不一定是对立事件，因此D的说法错误，符合题干要求. 4．指出下列事件中，哪些是随机事件、必然事件或不可能事件： (1)从1个三角形的3个顶点处各任画1条射线，这3条射线交于一点； (2)把9写成两个实数的和，其中一定有1个数小于5； (3)实数a，b不都为0，但a2＋b2＝0； (4)汽车排放尾气会污染环境； (5)明天早晨有雾； (6)某地明年7月28日的最高气温高于今年8月10日的最高气温． 【答案】(1)随机事件 (2)必然事件 (3)不可能事件 (4)必然事件 (5)随机事件 (6)随机事件 【详解】（1）3条射线可以交于不同的点，具有随机性.故事件“从1个三角形的3个顶点处各任画1条射线，这3条射线交于一点.”为随机事件. （2）故事件“把9写成两个实数的和，其中一定有1个数小于5”为必然事件. （3）当时，且，则事件“实数a，b不都为0，但a2＋b2＝0”为不可能事件. （4）汽车排放尾气必然会污染环境，则事件“汽车排放尾气会污染环境”为必然事件. （5）明天早晨有雾与否具有不确定性. （6）某地明年7月28日的最高气温是否高于今年8月10日的最高气温具有不确定性．故事件“某地明年7月28日的最高气温高于今年8月10日的最高气温．”为随机事件. ( 题型0 2 )样本空间与样本点 5．下列随机试验的样本空间为无限集的是（   ）. A．掷一颗骰子（每一面上分别标注数字1、2、3、4、5、6的质地均匀的小正方体），观察朝上的点数 B．从装有标号为1、2、3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察标号，不考虑标号顺序 C．连续抛掷一枚硬币，直到正面出现为止，观察抛掷的次数 D．做一道5选2的多选题（5个备选答案中只有2个正确答案），观察选择的答案组合 【答案】C 【详解】对于A，掷一颗骰子，观察朝上的点数这一随机试验的样本空间为，故是有限集，故A不合题意； 对于B，按要求依次取两个球不放回，观察标号，不考虑标号顺序这一随机试验的样本空间为，故是有限集，故B不合题意； 对于C，连续抛一枚硬币，直到正面出现为止，观察抛的次数这一随机试验，因不确定何时出现正面，故其样本空间为无限集，故C符合题意； 对于D，设这道5选2的多选题的5个备选答案分别为,则选择的答案组合的样本空间为, 故是有限集，即D不符合题意. 故选：C. 6．若随机试验的样本空间为，则下列说法不正确的是（    ） A．事件是随机事件 B．事件是必然事件 C．事件是不可能事件 D．事件是随机事件 【答案】D 【详解】随机试验的样本空间为， 则事件是随机事件，故A正确； 事件是必然事件，故B正确； 事件是不可能事件，故C正确； 事件是不可能事件，故D错误. 故选：D 7．若从两男两女四人中随机选出两人，设两个男生分别用表示，两个女生分别用 表示，相应的样本空间为，则与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为______. 【答案】 【详解】由题意可知与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为， 故答案为： 8．一只口袋装有除颜色外，形状、大小等完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中分两次依次取两个球． (1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个试验的样本点个数； (3)“至少有1个白球”这一事件包含哪几个样本点？ 【答案】(1)(白,白),(黑,黑),(红,红),(白,黑),(白,红),(黑,白),(红,白),(黑,红),(红,黑)． (2)9； (3)(白,白) ,(白,黑),(白,红),(黑,白),(红,白). 【详解】（1）这个试验的样本空间(白,白),(黑,黑),(红,红),(白,黑),(白,红),(黑,白),(红,白),(黑,红),(红,黑)． （2）由（1）知，样本点个数是9. （3）“至少有1个白球”这一事件包含以下5个样本点：(白,白) ,(白,黑),(白,红),(黑,白),(红,白). ( 题型0 3 )事件的关系和运算 9．某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设事件A表示随机事件“两次都投中”，事件B表示随机事件“两次都未投中”，事件C表示随机事件“恰有一次投中”，事件D表示随机事件“至少有一次投中”，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可得：事件A表示表示“两次都投中”； 事件B表示“两次都未投中”； 事件C表示“恰有一次投中”； 事件D表示“至少有一次投中”，即表示“两次都投中”或“恰有一次投中”， 故，所以选项A正确； 事件B和事件D是对立事件，故，所以选项B正确； 事件表示“两次都投中”或“两次都未投中”，而事件表示“两次都未投中”、 “两次都投中”或“恰有一次投中”，故选项C错误； 事件表示“两次都投中”或“恰有一次投中”，故，所以选项D正确； 故选：C. 10．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝“两弹都击中飞机”，事件B＝“两弹都没击中飞机”，事件C＝“恰有一弹击中飞机”，事件D＝“至少有一弹击中飞机”，下列关系错误的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为事件指两弹都没击中飞机，第一枚击中第二枚没中，第一枚没中第二枚击中，两弹都击中飞机； “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中； “至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中. 所以，， 所以，，故选项A，B，C正确，D不正确． 故选：D 11．如图是某班级50名学生参加数学、语文、英语兴趣小组的情况，设事件“参加数学兴趣小组”，事件“参加语文兴趣小组”，事件“参加英语兴趣小组”.现从这个班任意选择一名学生，则事件所代表的区域是_________.（注：事件A的对立事件用符号表示） 【答案】4 【详解】事件表示喜欢数学兴趣小组，且喜欢语文兴趣小组，但不喜欢英语兴趣小组， 故表示的区域为4. 故答案为：4 12．把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分别写在10张形状大小一样的卡片上，并随机抽取1张．设A：出现奇数，B：出现被3除余2的数．写出下面两个事件的对应子集： (1)A、B至少有一个发生； (2)A、B同时发生． 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可知出现奇数所有可能为， 出现被3除余2的数的可能为， 所以A、B至少有一个发生为； （2）由（1）知事件，事件， 所以A、B同时发生为. 13．掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件：“出现奇数点”，事件：“出现偶数点”，事件：“点数小于”，事件：“点数大于”，事件：“点数是的倍数”.求： (1)，； (2)，； (3)，，，. 【答案】(1)， (2)， (3)，，， 【分析】 【详解】（1）掷一枚质地均匀的正方体骰子，样本空间为， 事件包含的样本点为,. 故,. （2）由（1）知，. （3）由（1）知，, 故. ( 题型0 4 )古典概型 14．下列试验是古典概型的是（     ） A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点 B．某小组有男生人，女生人，从中任选人做演讲 C．某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环 D．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽 【答案】B 【详解】对于A，横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限样本空间特征，A错误； 对于B，人数有限，且任选人与性别无关，是等可能的，B正确； 对于C，命中环，环，环……环的概率不相同，不满足等可能性特征，C错误； 对于D，“发芽”与“不发芽”的概率不一定相等，不满足等可能性特征，D错误． 15．现有五张质地均匀，大小完全相同的卡片，在其正面分别标有数字，，0，2，3，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后，不放回，再从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字之和为正数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得抽出的可能有：，，，，，， ，，，，，，，，， ，，，，，共20种可能； 要使两个数字和为正数的有：，，，，，， ，，，，，，共12种可能； 所以所求概率为. 16．用这三个数字组成无重复数字的三位数，记事件“能被整除”，事件“为奇数”，则事件与事件至少有一个发生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，用这三个数字组成无重复数字的三位数， 则样本空间，共有个样本点， 则，所以， 则． 17．某校知识竞赛分初赛、复赛两轮．初赛要求如下：参赛者从5道编号为“1、2、3、4、5”的试题中随机抽取3道作答，已知该参赛者会这5道试题中的3道（编号为奇数的题目）．规定抽取的3道题至少答对2题方可进入复赛，求参赛者能进入复赛的概率______． 【答案】/0.7 【详解】参赛者从5道编号为“1、2、3、4、5”的试题中随机抽取3道的样本空间为 共种. 至少答对2题的样本点有共种. 所以参赛者能进入复赛的概率为. 18．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为，当且仅当，时称为“凹数”（如），若，且互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为________. 【答案】 【详解】，且互不相同所组成的三位数的所有可能情况为，共6个数， 其中是“凹数”的有共2个数， 故所求概率为. 19．已知函数，若是从集合中任意选取的一个元素，则在上仅有一个零点的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合的元素为，共个，即总基本事件数， 在上仅有一个零点的条件：是开口向上的二次函数， 对称轴为，分两类情况讨论： ①判别式：，解得， 此时零点为，仅有1个零点，符合条件， ②端点函数值异号，在区间内只有一个零点： 计算得，。 若，即， 解得，此时符合条件的为， ③端点为零点且另一零点不在区间内： 当时，，此时的另一个零点是， 故也满足在区间内只有一个零点， 综上所有符合条件的为，共个，故所求概率. 20．签筒中有支外形完全相同的签，签面上分别写有数字．从中不放回地依次随机抽取支签，先后抽得的数字分别记为．若满足，，，则为锐角三角形的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，由余弦定理得； 若为锐角三角形，则，， 即且， 整理可得：且，且； 从支签中不放回依次随机抽取支签，所有可能的结果记为，则有种可能的结果； 其中满足且的有，共种情况； 为锐角三角形的概率. ( 题型0 5 )有放回与无放回概率 21．一个袋中有大小和质地都相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，现从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则“摸出的2个球颜色相同”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对2个红色球，2个绿色球依次编号为， 从袋中不放回地依次随机摸两个球， 共有共12种， 两个球颜色相同的情况共有4种， 则两个球颜色相同的概率. 故选：D 22．某商场举行抽奖活动，从装有编号0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取2次，取出的2个小球号码之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．那么中奖的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从装有编号0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回， 连续取2次的基本事件共有种， 取出的2个小球号码之和等于5的基本事件有：，共2种， 取出的2个小球号码之和等于4的基本事件有：，共3种， 取出的2个小球号码之和等于3的基本事件有：，共4种， 所以中奖的概率是. 故选：C. 23．一个盒中有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地依次选取两张标签，记事件“两张标签上的数字之和为6”．若标签的选取是不放回的，记；若标签的选取是有放回的，记，则______． 【答案】/ 【详解】当标签的选取是不放回的，共有方式， 其中事件A有共4种方式， 所以； 当标签的选取是放回的，共有方式， 其中事件A有，5种方式， 所以, 所以. 故答案为： 24．一个箱子里有五个球，分别以1-5编号，若有放回的取四次，每次取一个，记至少取出一次的球的个数为X，则______． 【答案】 【详解】根据题意至少取出一次的球的个数为2，即4次取球中仅有2种编号的球， 首先取4次球，总共有种， 在1-5编号中选2个编号共有种， 2个编号排到4个位置共有，只出现一个编号的有2种， 所以. 25．一个盒子中装有6个小球，其中3个红球，2个黑球和1个白球． (1)采用有放回方式从中依次随机地取出2个球，求这2个球颜色相同的概率； (2)采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，求第二次取到红球的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）一个盒子中装有6个小球， 其中3个红球记为，2个黑球记为和1个白球记为， 采用有放回方式从中依次随机地取出2个球，基本事件为： ，共36种， 记这2个球颜色相同为事件A，它包含的基本事件为：，共14种， 故． （2）采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，基本事件为： ，共30种， 记第二次取到红球为事件B,它包含的基本事件为：共15种， 故． 26．一个盒子中有3个绿球，个红球，这些球除颜色外完全相同. (1)若从盒子中随机抽取1个球，抽到红球的概率为，求； (2)若，采用不放回的方式从盒子中依次随机抽取2个球，求第二次抽到的球是绿球的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）从盒子中随机抽取1个球， 抽到红球的概率为，解得. （2）设3个绿球分别为，个红球分别为， 采用不放回的方式从中依次随机抽取2个球， 不同情况有， 共20种， 其中第二次抽到的球为绿球，即第二个字母为或或的情况共有12种， 故第二次抽到的球是绿球的概率为. ( 题型0 6 ) 互斥事件与对立事件 27．某小组有两名男生和两名女生，从中任选两人参加演讲比赛，则下列事件中，与事件“恰有一名男生被选中”互斥但不对立的是（    ） A．恰有一名女生被选中 B．被选中的学生的性别相同 C．被选中的学生均是男生 D．至少有一名女生被选中 【答案】C 【详解】从两名男生和两名女生中，任选两人参加演讲比赛，按性别情况可以分三类， 分别是：①两名男生②两名女生③一名男生一名女生， 事件“恰有一名男生被选中”对应③，即一名男生一名女生； 对于A，“恰有一名女生被选中”对应③，与目标事件③相同，可同时发生， 不是互斥事件，故A错误； 对于B，“被选中的学生的性别相同”对应①和②，与目标事件③不能同时发生， 是互斥事件，但目标事件不发生，该事件一定发生，是对立事件，故B错误； 对于C，“被选中的学生均是男生”对应①，与目标事件③不能同时发生，是互斥事件， 但存在②，使得两个事件可同时不发生，故不是对立事件， 所以目标事件与该事件是互斥但不对立事件，故C正确； 对于D，“至少有一名女生被选中”对应②和③，与目标事件可同时发生， 不是互斥事件，故D错误. 28．一个不透明的袋子中有2个白球，2个红球，摇匀后随机不放回摸出2个球，记事件A为“摸出1个白球1个红球”，则与事件A互斥而不对立的事件是（    ） A．至少摸出1个白球 B．至少摸出1个红球 C．摸出2个白球 D．摸出2个白球或摸出2个红球 【答案】C 【详解】对于A，“至少摸出1个白球”与“摸出1个白球1个红球”不是互斥事件，A错误； 对于B，“至少摸出1个红球”与“摸出1个白球1个红球”不是互斥事件，B错误； 对于C，“摸出2个白球”与“摸出1个白球1个红球”是互斥事件，但还有种“摸出2个红球”的情况， 故两者不是对立事件，C正确； 对于D，“摸出2个白球或摸出2个红球”与“摸出1个白球1个红球”是既互斥又对立的事件，故.D错误. 29．已知事件A，B为随机事件，则“A，B为对立事件”是“A，B为互斥事件”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】充分性：若是对立事件，必然满足互斥，即“对立事件”可推出“互斥事件”，充分条件成立， 必要性：互斥事件未必是对立事件，即“互斥事件”推不出“对立事件”，必要条件不成立， 综上，“ A, B  为对立事件”是“ A, B 为互斥事件”的充分不必要条件. 故选： A. 30．将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件“点数为2”，事件“点数为奇数”，事件“点数不小于3”，事件“点数不大于2”，则下列说法错误的是（   ） A．A与B互斥 B．A与C互斥 C．B与D互为对立 D．C与D互为对立 【答案】C 【详解】“点数为2”与“点数为奇数”不能同时发生，所以与互斥，故A正确； “点数为2”与“点数不小于3”不能同时发生，所以与互斥，故B正确； 当“点数为1”时，与同时发生，故C错误； “点数不小于3”与“点数不大于2”不能同时发生且至少有一个发生，所以与互为对立，故D正确． 31．甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，事件为“甲、乙中至少有一人中奖”，则下列说法正确的是（   ） A．与互斥 B．与对立 C．与互斥 D．与对立 【答案】C 【详解】与可以同时发生，所以与不互斥，故A错误； 与可以同时发生，所以与不互斥也不对立，故B错误； 为甲乙都中奖，为甲乙都不中奖，与不可能同时发生，所以与互斥，故C正确； 若事件发生，则事件一定发生，故与不是互斥事件，更不是对立事件，故D错误. 故选：C 32．抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数不大于2”，“点数为1”．则下列结论错误的是（    ） A．，为对立事件 B．，为互斥不对立事件 C．，不是互斥事件 D．，是互斥事件 【答案】B 【详解】点数为奇数与点数为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，所以E，F是对立事件，选项A正确； 点数大于2与点数不大于2不可能同时发生，且必有一个发生，G，H为互斥且对立事件，选项B不正确； 点数为奇数与点数大于2可能同时发生，E，G不互斥，选项C正确； 点数大于2与点数为1不可能同时发生，G，R为互斥事件，选项D正确. 故选：B. ( 题型0 7 )概率的基本性质 33．已知事件A和B互斥，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，， 所以，整理得，解得. 因此. 34．某随机试验中，事件与事件互斥，且，则不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，因为与互斥，所以， 即，A正确； 对于B，因为与互斥，所以，即，B错误； 对于C，因为与互斥，所以，因此， 故，C正确； 对于D，因为， 当与互斥时，，因此，D正确． 35．现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出2只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚”.则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设左脚运动鞋为，右脚运动鞋为，左脚凉鞋为，右脚凉鞋为， 则， 所以，A错误； ，B正确； ，C正确； ，D正确. 故选：A 1．从一副混合后的扑克牌（52张）中，随机抽取1张．事件为“抽得红桃K”，事件为“抽得黑桃”，则概率_________（结果用最简分数表示）． 【答案】 【详解】，，且事件与事件互斥， ． 2．在如图所示的方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数不全是奇数的概率为______． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【答案】 【详解】因为每行和每列均恰有1个方格被选中，用表示第一、二、三行里所选方格的数字， 则每种选法可标记为， 则每种选法可能的结果为，共有6种取法， 其中所选方格中的3个数均为奇数的情况有，有2种选法， 所以所选方格中的3个数均为奇数的概率为， 则所选方格中的3个数不全是奇数的概率为. 1．（2025·26高一上·江西南昌·期末）给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【答案】B 【详解】因为非空集合满足, 所以，对于A，根据子集的定义，任意必然有，这是必然事件，A选项正确； 对于B，当时，仍有可能，例，，取满足但，故B选项错误； 对于C，任取，则或都有可能，是随机事件，故C选项正确； 对于D，任取，则一定成立，是必然事件，故D选项正确. 故选：B 2．（2025·26高二·全国·暑假作业）如果事件，互斥，记，分别为事件，的对立事件，那么（    ） A．是必然事件 B．是必然事件 C．与一定互斥 D．与一定不互斥 【答案】B 【详解】解：如图①所示，不是必然事件，是必然事件，与不互斥； 如图②所示，是必然事件，是必然事件，与互斥． 故选B. 3．（2026·广东汕头·模拟预测）“”是“事件A与事件B互为对立事件”的（   ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【详解】投掷一枚硬币3次，满足,但不一定是对立事件， 如：事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”， 则，，满足，但不是对立事件. 若事件A与事件B是对立事件，则为必然事件，再由概率的加法公式得； 所以“”是“事件A与事件B互为对立事件”的必要不充分条件； 故选：D 4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】至少有1名男生包含2名全是男生､1名男生1名女生，故，， 故A，C正确； 事件B与D是互斥事件，故，故B正确， 表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示2名全是女生或名至少有一名男生， 故，D错误， 故选：D. 5．（2026·27高二上·重庆·开学考试）将一枚均匀的骰子抛掷两次，事件：两次点数均为偶数；：第二次点数不小于3；则概率（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】抛一枚均匀的骰子两次，样本空间共有个等可能的基本事件. 事件为两次点数均为偶数，第一次取偶数有3种结果，第二次取偶数也有3种结果， 故包含的基本事件数为，所以； 事件为第二次点数不小于3，则第二次可取3，4，5，6共4种结果，第一次任意取有6种结果， 故包含的基本事件数为，所以； 事件表示两次点数均为偶数且第二次点数不小于3， 则第一次取偶数有3种结果，第二次取不小于3的偶数有2种结果， 故包含的基本事件数为， 所以， 所以. 6．（2025·26高一下·吉林长春·期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______. 【答案】/0.25 【详解】因为，又，， 得到，又因为，所以. 故答案为：. 7．（2025·26高一下·甘肃白银·期末）九宫格填数游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏，某九宫格如图所示，小王需要在九宫格上填上至中不重复的整数，小王通过推理已经得到了个小格子中的准确数字，，，，，这个数字未知，且，为奇数，则的概率为______. 9 7 4 5 【答案】/ 【详解】根据题意，小王需要在个小格子中填上中不重复的整数， 小王通过推理已经得到了个小格子中的准确数字， 且，，，，这个数字未知，，为奇数， 这个试验的等可能结果用下表表示： 2 2 6 6 8 8 2 2 6 6 8 8 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 6 8 2 8 2 6 6 8 2 8 2 6 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 8 6 8 2 6 2 8 6 8 2 6 2 共有种情况，即基本事件的总数为， 其中包含着种，即， 所以的概率为. 8．已知关于的方程，当时，“该方程有实数解”是随机现象，求的范围． 【答案】． 【详解】解： 当时，原方程变成解得，故满足“该方程有实数解”； 当时，要使有实数解， 则，解得，则且； 故要使有实数解，， 当时，“该方程有实数解”是随机现象， 则与的交集不是空集，且后者不是前者的子集， 所以的范围． 1．（2025·26高一下·湖南·期末）已知函数，若是集合中任意一个元素，则有两个零点的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】是集合中任意一个元素，则可能为，有种情况， 因为在上单调递增，至多有一个零点， 在上单调递减，至多有一个零点， 所以要使有两个零点，则在上有一个零点，在上有一个零点， 当时，令，则， 当时，令，则， 所以的取值范围为：. 又因为，所以的可能取值为，有种情况， 所以若是集合中任意一个元素，则有两个零点的概率为. 2．（2026·27高二上·重庆·开学考试）在数轴的原点处有一只青蛙（视为质点），它每隔相同时间会沿数轴向正向或负向等可能地跳一个单位长度，设它跳了次后到达的位置对应的实数为，记事件“”，“”，则概率______；_____． 【答案】 /0.375 /0.5 【详解】每次跳跃有正向、负向两种等可能结果，跳3次的总基本事件数为． 设3次跳跃中正向跳跃次，则负向跳跃次， 则3次跳跃后到达的位置对应的实数为． 由于事件“”，则令，解得， 即正向跳跃2次，负向跳跃1次，则对应的基本事件数为3，故． 同理可知，跳5次的总基本事件数为， 则设5次跳跃中正向跳跃次，则负向跳跃次， 则5次跳跃后到达的位置对应的实数为． 由于“”，则令，解得，4，5． 当时，即正向跳跃3次，负向跳跃2次，则对应的基本事件数为10； 当时，即正向跳跃4次，负向跳跃1次，则对应的基本事件数为5； 当时，即正向跳跃5次，负向跳跃0次，则对应的基本事件数为1； 故事件包含的基本事件总数为，． 3．（2025·26高一下·甘肃天水·期末）抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀且四个面分别标有数字的正四面体骰子，记蓝色骰子与地面接触的面上的数字为，黄色骰子与地面接触的面上的数字为．（先列出样本空间和随机事件再求） (1)记事件为“”，求事件的概率； (2)记事件为“能被整除”，事件为“”，求事件的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可知，所有样本点可表示为，其中，都是，，，中的数， 则样本空间且，                 事件：“”，则对立事件：“”， 对立事件， 符合条件的基本事件数， 所以，因此． （2）由（1）可知，样本空间且， 事件表示“能被整除或”， 则事件包含样本点为：，，，，，，，，，，，， 符合条件的基本事件数， 所以. 1．（2023·全国乙卷·高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表： 乙甲 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 共有36个不同结果，它们等可能， 其中甲乙抽到相同结果有，共6个， 因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率. 故选：A 2．（2022·全国甲卷·高考真题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】[方法一]：【最优解】无序 从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况，故概率为. [方法二]：有序 从6张卡片中无放回抽取2张，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况， 其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为. 故选：C. 【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解； 方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出； 3．（2023·上海·高考真题）已知有4名男生6名女生，现从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为_____________． 【答案】/0.5 【详解】由题意所选的3人中恰有1名男生2名女生的概率， 故答案为： 4．（2022·全国乙卷·高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________． 【答案】/0.3 【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名， 有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法； 其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率. 故答案为：. 解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为 甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率 故答案为： 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 12.1 随机现象与样本空间&12.2 古典概率 ( 题型0 1 )事件的类型 1．【答案】C 【详解】将一根长为的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，这个事件是可能发生的事件，也可能不发生，但不是必然事件．所以事件是随机事件． 故选：C． 2．【答案】 ③④ ② ① 【详解】200件产品中，8件是二级品，现从中任意选出9件，当然不可能全是二级品， 不是一级品的件数最多为8，小于10，从而有可能全部是一级品，也有可能不全是一级品． 故答案为：③④；②；①. 3．【答案】C 【详解】必然事件：在一定条件下一定发生的事件； 不可能事件：在一定条件下一定不发生的事件，发生的概率为0； 互斥事件：在一次试验中不能同时发生的两个事件，且满足； 对立事件：在一次试验中，两个事件有且仅有一个发生，且满足且（为样本空间）， 对于A选项，连续投10次骰子，“连续投出10个1”是有可能发生、也有可能不发生的事件， 属于随机事件，并非必然事件，故A的说法错误，符合题干要求； 对于B选项，已知产品的次品率为，则该批产品存在次品，任取99件时“99件全是次品”是概率很小但仍有可能发生的事件， 属于随机事件，并非不可能事件，故B的说法错误，符合题干要求； 对于C选项，因为对立事件要求两个事件不能同时发生，所以对立事件一定是互斥事件， 但互斥事件仅仅要求不能同时发生，不需要满足“两个事件的并集是整个样本空间”， 因此互斥事件不一定是对立事件，故C的说法正确，不符合题干要求； 对于D选项，两个事件的积事件是不可能事件，仅仅能说明两个事件为互斥事件， 但它们的并集不一定是整个样本空间，因此不一定是对立事件，因此D的说法错误，符合题干要求. 4．【答案】(1)随机事件 (2)必然事件 (3)不可能事件 (4)必然事件 (5)随机事件 (6)随机事件 【详解】（1）3条射线可以交于不同的点，具有随机性.故事件“从1个三角形的3个顶点处各任画1条射线，这3条射线交于一点.”为随机事件. （2）故事件“把9写成两个实数的和，其中一定有1个数小于5”为必然事件. （3）当时，且，则事件“实数a，b不都为0，但a2＋b2＝0”为不可能事件. （4）汽车排放尾气必然会污染环境，则事件“汽车排放尾气会污染环境”为必然事件. （5）明天早晨有雾与否具有不确定性. （6）某地明年7月28日的最高气温是否高于今年8月10日的最高气温具有不确定性．故事件“某地明年7月28日的最高气温高于今年8月10日的最高气温．”为随机事件. ( 题型0 2 )样本空间与样本点 5．【答案】C 【详解】对于A，掷一颗骰子，观察朝上的点数这一随机试验的样本空间为，故是有限集，故A不合题意； 对于B，按要求依次取两个球不放回，观察标号，不考虑标号顺序这一随机试验的样本空间为，故是有限集，故B不合题意； 对于C，连续抛一枚硬币，直到正面出现为止，观察抛的次数这一随机试验，因不确定何时出现正面，故其样本空间为无限集，故C符合题意； 对于D，设这道5选2的多选题的5个备选答案分别为,则选择的答案组合的样本空间为, 故是有限集，即D不符合题意. 故选：C. 6．【答案】D 【详解】随机试验的样本空间为， 则事件是随机事件，故A正确； 事件是必然事件，故B正确； 事件是不可能事件，故C正确； 事件是不可能事件，故D错误. 故选：D 7．【答案】 【详解】由题意可知与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为， 故答案为： 8．【答案】(1)(白,白),(黑,黑),(红,红),(白,黑),(白,红),(黑,白),(红,白),(黑,红),(红,黑)． (2)9； (3)(白,白) ,(白,黑),(白,红),(黑,白),(红,白). 【详解】（1）这个试验的样本空间(白,白),(黑,黑),(红,红),(白,黑),(白,红),(黑,白),(红,白),(黑,红),(红,黑)． （2）由（1）知，样本点个数是9. （3）“至少有1个白球”这一事件包含以下5个样本点：(白,白) ,(白,黑),(白,红),(黑,白),(红,白). ( 题型0 3 )事件的关系和运算 9．【答案】C 【详解】根据题意可得：事件A表示表示“两次都投中”； 事件B表示“两次都未投中”； 事件C表示“恰有一次投中”； 事件D表示“至少有一次投中”，即表示“两次都投中”或“恰有一次投中”， 故，所以选项A正确； 事件B和事件D是对立事件，故，所以选项B正确； 事件表示“两次都投中”或“两次都未投中”，而事件表示“两次都未投中”、 “两次都投中”或“恰有一次投中”，故选项C错误； 事件表示“两次都投中”或“恰有一次投中”，故，所以选项D正确； 故选：C. 10．【答案】D 【详解】因为事件指两弹都没击中飞机，第一枚击中第二枚没中，第一枚没中第二枚击中，两弹都击中飞机； “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中； “至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中. 所以，， 所以，，故选项A，B，C正确，D不正确． 故选：D 11．【答案】4 【详解】事件表示喜欢数学兴趣小组，且喜欢语文兴趣小组，但不喜欢英语兴趣小组， 故表示的区域为4. 故答案为：4 12．【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可知出现奇数所有可能为， 出现被3除余2的数的可能为， 所以A、B至少有一个发生为； （2）由（1）知事件，事件， 所以A、B同时发生为. 13．【答案】(1)， (2)， (3)，，， 【分析】 【详解】（1）掷一枚质地均匀的正方体骰子，样本空间为， 事件包含的样本点为,. 故,. （2）由（1）知，. （3）由（1）知，, 故. ( 题型0 4 )古典概型 14．【答案】B 【详解】对于A，横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限样本空间特征，A错误； 对于B，人数有限，且任选人与性别无关，是等可能的，B正确； 对于C，命中环，环，环……环的概率不相同，不满足等可能性特征，C错误； 对于D，“发芽”与“不发芽”的概率不一定相等，不满足等可能性特征，D错误． 15．【答案】C 【详解】由题意可得抽出的可能有：，，，，，， ，，，，，，，，， ，，，，，共20种可能； 要使两个数字和为正数的有：，，，，，， ，，，，，，共12种可能； 所以所求概率为. 16．【答案】A 【详解】由题意知，用这三个数字组成无重复数字的三位数， 则样本空间，共有个样本点， 则，所以， 则． 17．【答案】/0.7 【详解】参赛者从5道编号为“1、2、3、4、5”的试题中随机抽取3道的样本空间为 共种. 至少答对2题的样本点有共种. 所以参赛者能进入复赛的概率为. 18．【答案】 【详解】，且互不相同所组成的三位数的所有可能情况为，共6个数， 其中是“凹数”的有共2个数， 故所求概率为. 19．【答案】D 【详解】集合的元素为，共个，即总基本事件数， 在上仅有一个零点的条件：是开口向上的二次函数， 对称轴为，分两类情况讨论： ①判别式：，解得， 此时零点为，仅有1个零点，符合条件， ②端点函数值异号，在区间内只有一个零点： 计算得，。 若，即， 解得，此时符合条件的为， ③端点为零点且另一零点不在区间内： 当时，，此时的另一个零点是， 故也满足在区间内只有一个零点， 综上所有符合条件的为，共个，故所求概率. 20．【答案】B 【详解】在中，由余弦定理得； 若为锐角三角形，则，， 即且， 整理可得：且，且； 从支签中不放回依次随机抽取支签，所有可能的结果记为，则有种可能的结果； 其中满足且的有，共种情况； 为锐角三角形的概率. ( 题型0 5 )有放回与无放回概率 21．【答案】D 【详解】对2个红色球，2个绿色球依次编号为， 从袋中不放回地依次随机摸两个球， 共有共12种， 两个球颜色相同的情况共有4种， 则两个球颜色相同的概率. 故选：D 22．【答案】C 【详解】从装有编号0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回， 连续取2次的基本事件共有种， 取出的2个小球号码之和等于5的基本事件有：，共2种， 取出的2个小球号码之和等于4的基本事件有：，共3种， 取出的2个小球号码之和等于3的基本事件有：，共4种， 所以中奖的概率是. 故选：C. 23．【答案】/ 【详解】当标签的选取是不放回的，共有方式， 其中事件A有共4种方式， 所以； 当标签的选取是放回的，共有方式， 其中事件A有，5种方式， 所以, 所以. 故答案为： 24．【答案】 【详解】根据题意至少取出一次的球的个数为2，即4次取球中仅有2种编号的球， 首先取4次球，总共有种， 在1-5编号中选2个编号共有种， 2个编号排到4个位置共有，只出现一个编号的有2种， 所以. 25．【答案】(1) (2) 【详解】（1）一个盒子中装有6个小球， 其中3个红球记为，2个黑球记为和1个白球记为， 采用有放回方式从中依次随机地取出2个球，基本事件为： ，共36种， 记这2个球颜色相同为事件A，它包含的基本事件为：，共14种， 故． （2）采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，基本事件为： ，共30种， 记第二次取到红球为事件B,它包含的基本事件为：共15种， 故． 26．【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）从盒子中随机抽取1个球， 抽到红球的概率为，解得. （2）设3个绿球分别为，个红球分别为， 采用不放回的方式从中依次随机抽取2个球， 不同情况有， 共20种， 其中第二次抽到的球为绿球，即第二个字母为或或的情况共有12种， 故第二次抽到的球是绿球的概率为. ( 题型0 6 ) 互斥事件与对立事件 27．【答案】C 【详解】从两名男生和两名女生中，任选两人参加演讲比赛，按性别情况可以分三类， 分别是：①两名男生②两名女生③一名男生一名女生， 事件“恰有一名男生被选中”对应③，即一名男生一名女生； 对于A，“恰有一名女生被选中”对应③，与目标事件③相同，可同时发生， 不是互斥事件，故A错误； 对于B，“被选中的学生的性别相同”对应①和②，与目标事件③不能同时发生， 是互斥事件，但目标事件不发生，该事件一定发生，是对立事件，故B错误； 对于C，“被选中的学生均是男生”对应①，与目标事件③不能同时发生，是互斥事件， 但存在②，使得两个事件可同时不发生，故不是对立事件， 所以目标事件与该事件是互斥但不对立事件，故C正确； 对于D，“至少有一名女生被选中”对应②和③，与目标事件可同时发生， 不是互斥事件，故D错误. 28．【答案】C 【详解】对于A，“至少摸出1个白球”与“摸出1个白球1个红球”不是互斥事件，A错误； 对于B，“至少摸出1个红球”与“摸出1个白球1个红球”不是互斥事件，B错误； 对于C，“摸出2个白球”与“摸出1个白球1个红球”是互斥事件，但还有种“摸出2个红球”的情况， 故两者不是对立事件，C正确； 对于D，“摸出2个白球或摸出2个红球”与“摸出1个白球1个红球”是既互斥又对立的事件，故.D错误. 29．【答案】A 【详解】充分性：若是对立事件，必然满足互斥，即“对立事件”可推出“互斥事件”，充分条件成立， 必要性：互斥事件未必是对立事件，即“互斥事件”推不出“对立事件”，必要条件不成立， 综上，“ A, B  为对立事件”是“ A, B 为互斥事件”的充分不必要条件. 故选： A. 30．【答案】C 【详解】“点数为2”与“点数为奇数”不能同时发生，所以与互斥，故A正确； “点数为2”与“点数不小于3”不能同时发生，所以与互斥，故B正确； 当“点数为1”时，与同时发生，故C错误； “点数不小于3”与“点数不大于2”不能同时发生且至少有一个发生，所以与互为对立，故D正确． 31．【答案】C 【详解】与可以同时发生，所以与不互斥，故A错误； 与可以同时发生，所以与不互斥也不对立，故B错误； 为甲乙都中奖，为甲乙都不中奖，与不可能同时发生，所以与互斥，故C正确； 若事件发生，则事件一定发生，故与不是互斥事件，更不是对立事件，故D错误. 故选：C 32．【答案】B 【详解】点数为奇数与点数为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，所以E，F是对立事件，选项A正确； 点数大于2与点数不大于2不可能同时发生，且必有一个发生，G，H为互斥且对立事件，选项B不正确； 点数为奇数与点数大于2可能同时发生，E，G不互斥，选项C正确； 点数大于2与点数为1不可能同时发生，G，R为互斥事件，选项D正确. 故选：B. ( 题型0 7 )概率的基本性质 33．【答案】C 【详解】已知，， 所以，整理得，解得. 因此. 34．【答案】B 【详解】对于A，因为与互斥，所以， 即，A正确； 对于B，因为与互斥，所以，即，B错误； 对于C，因为与互斥，所以，因此， 故，C正确； 对于D，因为， 当与互斥时，，因此，D正确． 35．【答案】A 【详解】设左脚运动鞋为，右脚运动鞋为，左脚凉鞋为，右脚凉鞋为， 则， 所以，A错误； ，B正确； ，C正确； ，D正确. 故选：A 1．【答案】 【详解】，，且事件与事件互斥， ． 2． 【答案】 【详解】因为每行和每列均恰有1个方格被选中，用表示第一、二、三行里所选方格的数字， 则每种选法可标记为， 则每种选法可能的结果为，共有6种取法， 其中所选方格中的3个数均为奇数的情况有，有2种选法， 所以所选方格中的3个数均为奇数的概率为， 则所选方格中的3个数不全是奇数的概率为. 1．【答案】B 【详解】因为非空集合满足, 所以，对于A，根据子集的定义，任意必然有，这是必然事件，A选项正确； 对于B，当时，仍有可能，例，，取满足但，故B选项错误； 对于C，任取，则或都有可能，是随机事件，故C选项正确； 对于D，任取，则一定成立，是必然事件，故D选项正确. 故选：B 2．【答案】B 【详解】解：如图①所示，不是必然事件，是必然事件，与不互斥； 如图②所示，是必然事件，是必然事件，与互斥． 故选B. 3．【答案】D 【详解】投掷一枚硬币3次，满足,但不一定是对立事件， 如：事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”， 则，，满足，但不是对立事件. 若事件A与事件B是对立事件，则为必然事件，再由概率的加法公式得； 所以“”是“事件A与事件B互为对立事件”的必要不充分条件； 故选：D 4．【答案】D 【详解】至少有1名男生包含2名全是男生､1名男生1名女生，故，， 故A，C正确； 事件B与D是互斥事件，故，故B正确， 表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示2名全是女生或名至少有一名男生， 故，D错误， 故选：D. 5．【答案】B 【详解】抛一枚均匀的骰子两次，样本空间共有个等可能的基本事件. 事件为两次点数均为偶数，第一次取偶数有3种结果，第二次取偶数也有3种结果， 故包含的基本事件数为，所以； 事件为第二次点数不小于3，则第二次可取3，4，5，6共4种结果，第一次任意取有6种结果， 故包含的基本事件数为，所以； 事件表示两次点数均为偶数且第二次点数不小于3， 则第一次取偶数有3种结果，第二次取不小于3的偶数有2种结果， 故包含的基本事件数为， 所以， 所以. 6．【答案】/0.25 【详解】因为，又，， 得到，又因为，所以. 故答案为：. 7． 【答案】/ 【详解】根据题意，小王需要在个小格子中填上中不重复的整数， 小王通过推理已经得到了个小格子中的准确数字， 且，，，，这个数字未知，，为奇数， 这个试验的等可能结果用下表表示： 2 2 6 6 8 8 2 2 6 6 8 8 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 6 8 2 8 2 6 6 8 2 8 2 6 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 8 6 8 2 6 2 8 6 8 2 6 2 共有种情况，即基本事件的总数为， 其中包含着种，即， 所以的概率为. 8．【答案】． 【详解】解： 当时，原方程变成解得，故满足“该方程有实数解”； 当时，要使有实数解， 则，解得，则且； 故要使有实数解，， 当时，“该方程有实数解”是随机现象， 则与的交集不是空集，且后者不是前者的子集， 所以的范围． 1．【答案】B 【详解】是集合中任意一个元素，则可能为，有种情况， 因为在上单调递增，至多有一个零点， 在上单调递减，至多有一个零点， 所以要使有两个零点，则在上有一个零点，在上有一个零点， 当时，令，则， 当时，令，则， 所以的取值范围为：. 又因为，所以的可能取值为，有种情况， 所以若是集合中任意一个元素，则有两个零点的概率为. 2．【答案】 /0.375 /0.5 【详解】每次跳跃有正向、负向两种等可能结果，跳3次的总基本事件数为． 设3次跳跃中正向跳跃次，则负向跳跃次， 则3次跳跃后到达的位置对应的实数为． 由于事件“”，则令，解得， 即正向跳跃2次，负向跳跃1次，则对应的基本事件数为3，故． 同理可知，跳5次的总基本事件数为， 则设5次跳跃中正向跳跃次，则负向跳跃次， 则5次跳跃后到达的位置对应的实数为． 由于“”，则令，解得，4，5． 当时，即正向跳跃3次，负向跳跃2次，则对应的基本事件数为10； 当时，即正向跳跃4次，负向跳跃1次，则对应的基本事件数为5； 当时，即正向跳跃5次，负向跳跃0次，则对应的基本事件数为1； 故事件包含的基本事件总数为，． 3．【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可知，所有样本点可表示为，其中，都是，，，中的数， 则样本空间且，                 事件：“”，则对立事件：“”， 对立事件， 符合条件的基本事件数， 所以，因此． （2）由（1）可知，样本空间且， 事件表示“能被整除或”， 则事件包含样本点为：，，，，，，，，，，，， 符合条件的基本事件数， 所以. 1．【答案】A 【详解】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表： 乙甲 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 共有36个不同结果，它们等可能， 其中甲乙抽到相同结果有，共6个， 因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率. 故选：A 2．【答案】C 【详解】[方法一]：【最优解】无序 从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况，故概率为. [方法二]：有序 从6张卡片中无放回抽取2张，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况， 其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为. 故选：C. 【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解； 方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出； 3．【答案】/0.5 【详解】由题意所选的3人中恰有1名男生2名女生的概率， 故答案为： 4．【答案】/0.3 【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名， 有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法； 其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率. 故答案为：. 解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为 甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率 故答案为： 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $