2.2.1.2有理数的乘法运算律及应用（课件）--2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦有理数乘法运算律及应用，通过复习小学乘法交换律、结合律、分配律，以“有理数乘法中运算律是否成立”的问题导入，搭建新旧知识桥梁，引导学生逐步探究有理数乘法运算律。 其亮点在于采用探究式教学，通过计算实例（如5×(-6)与(-6)×5）让学生自主归纳规律，结合例2两种解法对比强化分配律应用，培养运算能力与推理意识。题目设计含情境化（小康作业题）、易错题等，助力学生提升应用意识，教师可直接用于课堂教学，提高效率。

2.2.1.2 有理数的乘法运算律及应用（专项精讲） 一、知识点导入 上一节我们掌握了有理数的乘法法则，熟练掌握了两数相乘、多数连乘的符号判定与计算方法。在多个有理数连续相乘的运算中，若依次计算步骤繁琐、极易出错。小学阶段学习的乘法交换律、结合律、分配律，在有理数范围内同样完全适用。合理运用乘法三大运算律，可以快速分组、凑整、约分，大幅简化计算过程，是有理数乘法简便运算的核心方法，也是七年级计算题型的必考重点。 二、有理数乘法三大运算律（标准公式） 1. 乘法交换律 内容：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。 字母公式：$$a\times b=b\times a$$ 解读：无论因数是正数、负数、分数还是小数，均可自由交换位置，主要用于调整因数顺序，方便后续凑整、约分组合。 2. 乘法结合律 内容：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 字母公式：$$(a\times b)\times c=a\times(b\times c)$$ 解读：可自由对多个因数进行分组结合，优先计算能凑整、直接约分、结果为整数的组合，规避复杂运算。交换律与结合律常搭配使用，适用于纯乘法连算题型。 3. 乘法分配律 内容：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。 字母公式：$$a\times(b+c)=a\times b+a\times c$$ 拓展变形（高频考点）：$$a\times(b-c)=a\times b-a\times c$$，多用于分数、带分数简便运算，是本章最难、最常用的运算律。 三、四大简便运算核心技巧（必考） 1. 凑整结合法 将乘积为整数、整十数的小数、分数优先结合相乘，快速简化运算，是最基础的简算技巧。 例题：计算 $$(-4)\times(-2.5)\times(-7)$$ 解：原式$$=[(-4)\times(-2.5)]\times(-7)=10\times(-7)=-70$$ 2. 约分结合法 多个分数连乘时，优先将可以交叉约分的分数结合相乘，减少大数计算，避免计算错误。 例题：计算 $$\frac{3}{5}\times\left(-\frac{2}{7}\right)\times\left(-\frac{5}{3}\right)$$ 解：原式$$=\left[\frac{3}{5}\times\left(-\frac{5}{3}\right)\right]\times\left(-\frac{2}{7}\right)=(-1)\times\left(-\frac{2}{7}\right)=\frac{2}{7}$$ 3. 凑0速算法 多个因数连乘时，若算式中出现0，可直接判定积为0，无需逐一计算。 例题：$$(-12)\times3.5\times0\times\left(-\frac{4}{9}\right)=0$$ 4. 分配律巧拆法（重难点） 针对带分数、接近整数的小数，将数拆成整数与分数（小数）的和或差，再用分配律展开计算，规避复杂乘法。 例题：计算 $$100\frac{1}{16}\times(-8)$$ 解：原式$$=\left(100+\frac{1}{16}\right)\times(-8)=100\times(-8)+\frac{1}{16}\times(-8)=-800-\frac{1}{2}=-800.5$$ 四、典型综合例题精讲 例题1（交换律+结合律）：$$(-1.25)\times(-7)\times0.8$$ 解：原式$$=[(-1.25)\times0.8]\times(-7)=(-1)\times(-7)=7$$ 例题2（分配律基础应用）：$$\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)\times(-12)$$ 解：原式$$=\frac{1}{2}\times(-12)-\frac{1}{3}\times(-12)+\frac{1}{4}\times(-12)=-6+4-3=-5$$ 五、运算律实际应用 常应用于批量统计问题，如商品盈亏、质量误差、平均变化量等场景。通过乘法分配律批量计算，替代逐个累加，大幅提升运算效率。 例题：某零食抽检5袋，每袋标准质量100g，超出记正、不足记负，误差记录：+2g、-1g、+3g、-2g、0g，求5袋总质量。 解：总质量$$=100\times5+(2-1+3-2+0)=500+2=502$$（g） 答：5袋零食总质量为502g。 六、高频易错点汇总 1. 符号遗漏：运用分配律展开时，括号内负数、减法符号容易遗漏，导致结果符号错误； 2. 漏乘项：分配律计算时，漏乘括号内某一项，是最常见低级错误； 3. 乱改符号：移动因数位置时，丢失数字自带的正负号； 4. 混淆运算律：只有乘法有交换律、结合律，加减与乘法混合不可随意乱结合； 5. 拆分错误：带分数拆分只拆数值，不保留符号，导致整体计算失误。 七、随堂专项练习 1. 简便计算（交换律、结合律） （1）$$(-8)\times(-3)\times0.125$$ （2）$$\frac{4}{7}\times\left(-\frac{3}{5}\right)\times\left(-\frac{7}{4}\right)$$ 2. 简便计算（乘法分配律） （1）$$\left(\frac{1}{3}-\frac{5}{6}\right)\times24$$（2）$$99\frac{5}{6}\times(-12)$$ 3. 应用题：某商店一天卖出8件商品，每件盈利或亏损记录：+5元、-3元、+5元、+5元、-3元、+5元、-3元、-3元，求当日总盈亏情况。 八、参考答案与解析 1.（1）原式$$=[(-8)\times0.125]\times(-3)=(-1)\times(-3)=3$$ （2）原式$$=\left[\frac{4}{7}\times\left(-\frac{7}{4}\right)\right]\times\left(-\frac{3}{5}\right)=(-1)\times\left(-\frac{3}{5}\right)=\frac{3}{5}$$ 2.（1）原式$$=\frac{1}{3}\times24-\frac{5}{6}\times24=8-20=-12$$ （2）原式$$=\left(100-\frac{1}{6}\right)\times(-12)=100\times(-12)-\frac{1}{6}\times(-12)=-1200+2=-1198$$ 3. 解：原式$$=4\times5+4\times(-3)=20-12=8$$（元） 答：当日总盈利8元。 人教版数学（新教材）七年级上册 2.2.1.2有理数的乘法运算律及应用 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/20 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第2章 有理数的运算 学习目标 学习目标 学习目标 2 新课导入 在小学我们学过乘法的交换律、结合律、乘法对加法的分配律，例如 思考：对于有理数的乘法，它们还成立吗？ 3×5 = 5×3 (3×5)×2 = 3×(5×2) 3×(5+2) = 3×5+3×2 探究1：计算5×(－6)与(－6)×5，所得的积相同吗？换几组乘数再试一试，从上述计算中，你能得出什么结论？ 一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变. 乘法交换律：ab＝ba 注意：a×b也可以写成a·b或ab 当用字母表示乘数时， “×”可以写为“·”或省略. 5×（－6）＝－30，（－6）×5＝－30， 　　即5×（－6）＝ （－6）×5． 探究新知 　探究2：计算下列各题，并比较它们的结果，你有什么发现？ 　[3×（－4）] ×（－5） 与 3×[（－4）×（－5）]. 在有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变. 乘法结合律：(ab)c＝a(bc) [3×（－4）] ×（－5）＝（－12）×（－5）＝60， 3×[（－4）×（－5）]＝ 3×20＝60. 即[3×（－4）] ×（－5）＝3×[（－4）×（－5）]. 探究新知 探究3：计算5×[3＋(-7)]与5×3＋5×(-7)，所得的结果相同吗？换几组数再试一试。从上述计算中，你能得出什么结论？. 一般地，在有理数中，一个数与两个数的和相乘，等于这个数分别与这两个数相乘，再把积相加. 分配律：a(b＋c)＝ab＋ac 5×[3＋（－7）]＝ 5×（－4）＝－20， 　5×3＋5×（－7）＝ 15－35＝－20. 　 即5×[3＋（－7）]＝ 5×3＋5×（－7）. 探究新知 交换律、结合律、分配律等运算律在运算中有重要作用，它们是解决许多数学问题的基础。 乘法交换律：ab＝ba 乘法结合律：(ab)c＝a(bc) 分配律：a(b＋c)＝ab＋ac 探究新知 例1：计算 2×3×0.5×(-7) 解：(1)2×3×0.5×(-7) =(2×0.5) ×[3×(-7)] =1×(-21) =-21 探究新知 1. 下列运算过程中，错误的是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 9 2. 小康在计算一道老师布置的作业题：计 算 时，老师告诉他：“被 盖住的数是, , 53,95其中一个，并且这道题直接计算非常简便，”则算式中 被 盖住的数是( ) B A. B. C. 53 D. 95 【点拨】依题意，被 盖住的数是, ,53,95其中一个， 且被 盖住的数是17的倍数，所以算式中被 盖住的数是 . 返回 举一反三 10 3. 在整数， ，0，6，2中，若选取两个整数分别 填入“”的和 中，并使等式成立，则选取后 填入“ ”的数字有( ) D A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【点拨】从5个数中选出使等式成立的组合有 ， ，乘法满足交换律，故有4种选择.此题易忽略乘 法交换律而漏解. 返回 举一反三 11 例2：用两种方法计算： 先做加减法运算， 再做乘法运算。 比较解法1与解法2,它们在运算顺序上有什么区别？解法2用了什么运算律？哪种解法更简便？ 利用分配律，先做乘法运算， 再做加减法运算。 探究新知 探究4：改变例1的乘积式子中某些乘数的符号，得到下列一些式子，观察这些式子，它们的积是正的还是负的？ 2×3×(-0.5)×(-7) 2×(-3)×(-0.5)×(-7) (-2)×(-3)×(-0.5)×(-7) 几个不为0的数相乘，积的符号与负的乘数的个数之间有什么关系？ 如果有乘数为0，那么积有什么特点？ 2×3×0.5×(-7) =-21 =21 =-21 =21 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；负的乘数的个数是奇数时，积为负数；几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0。 探究新知 想一想：遇到多个不为0的数相乘时，可以可以怎么计算呢？ 遇到多个不为0的数相乘，可以先用上面的结论确定积的符号，再巴乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 (-3) =- =- (-5) = =6 探究新知 【知识技能类作业】必做题： 1.运用运算律填空： (1)[(－4)×5]×() ＝(－4)×[ ____ ×( ________ )]；  (2)(－0.25)×21×(－8)×() ＝[(－0.25)×( ____ )]×[ ____ ×()]． 5 8 21 探究新知 【知识技能类作业】必做题： 2.观察下面的计算过程： (－＋)×3×5＝(－＋)×15＝5－3＋6＝8 在上面的计算过程中运用的运算律是( ) A.乘法交换律及结合律 B.乘法交换律及分配律 C.加法结合律及分配律 D.乘法结合律及分配律 D 探究新知 【知识技能类作业】必做题： 3．计算： (1)；(2)． 解：（1） ． （2） ． 探究新知 【知识技能类作业】选做题： 4.计算：（1）（－85）×（－25）×（－4） （2） 解：（1）（－85）×（－25）×（－4） ＝－85×（25×4） ＝－85×100 ＝－8500； 探究新知 【综合拓展类作业】 5.在等式4×□－2×□＝30的两个方格中分别填入一个数，使这两个数互为相反数，且等式成立，则第一个方格内的数是________． 5 探究新知 练 习 【教材P43】 1. 计算： （1）(-85)×(-25)×(-4)； 解： (-85)×(-25)×(-4) = -85×25×4 = -85×(25×4) = -85×100 = -8500 （2） ； 当堂检测 （4） . （3） ； 当堂检测 2. 计算：（1） ； 解： 当堂检测 （2） . 当堂检测 4. 2 025个有理数相乘，如果积为0，那么在2 025个有理数 中( ) C A. 全部为0 B. 只有一个数为0 C. 至少有一个数为0 D. 有两个数互为相反数 返回 举一反三 24 5. 如图，这6个方格中每个方格上都标有一个数，且每相邻 三个数之积为6，则 的值为( ) 2 B A. B. C. 1 D. 2 【点拨】由题意，得，所以 .因为每相邻三个 数之积为6，所以，即.所以 . 返回 举一反三 25 6.已知2,,6, 四个数,取其中的任意三个数求积,积最大是 _____. 240 举一反三 26 7.若4个不相等的正整数,,, 满足 ，则 ____. 24 【点拨】因为，,, 是四个不相等的正整数， ，所以四个括号内的值分别 是，.不妨设,,, ， 解得,,, ，所以 返回 举一反三 27 乘法的运算律及多个有理数相乘 运算律 步骤 第一步：看是否有因数 0； 乘法交换律：ab＝ba． 分配律：a(b＋c)＝ab＋ac． 乘法结合律：(ab)c＝a(bc)． 第二步：确定符号（奇负偶正）； 第三步：绝对值相乘． 课堂小结 谢谢观看 THANKS $