江苏省无锡市第一中学2026-2027学年高三上学期9月阶段数学练习卷（2）

**基本信息** 高三阶段练习卷聚焦函数、三角、导数等核心知识，以纳皮尔对数历史情境（第6题）渗透文化传承，解答题分层设计（如第19题切线、极值、零点递进），考查抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、函数图像、三角函数性质|第6题结合对数表考位数判断，体现数学眼光| |多选|3/18|函数性质、导数应用|第11题方程根与取值范围，考查逻辑推理| |填空|3/15|三角求值、导函数图像|第14题导函数图像分析零点，强化直观想象| |解答题|5/77|三角化简、导数单调性、零点存在性|第19题三问递进，综合考查创新应用与数学思维|

参考答案 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1．C 【分析】由补集运算得出集合，再由元素与集合的关系判断． 【详解】因为全集，所以， 根据元素与集合的关系可知，ABD错误，C正确． 故选：C． 2．A 【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为可得： 当时，，充分性成立； 当时，，必要性不成立； 所以当，是的充分不必要条件. 故选：A. 3．D 【分析】由可得，即可排除BC，再由可得，即可排除A，从而得到结果. 【详解】当时，，，则，排除选项B和C； 当时，，排除选项A，选项D符合题意. 故选：D 4．B 【分析】根据余弦函数的周期公式以及对称中心，建立方程，可得答案. 【详解】由，则，由，则，解得， 由，则当时，函数取得对称中心， 由题意可得，化简可得， 当时，，显然当时，， 所以，则. 故选：B. 5．B 【分析】分，，，四种情况讨论，结合一次函数与对数函数的单调性以及值域即可求解. 【详解】若，则在上单调递减，在上单调递减， 且当时，，当时，， 此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得； 若，则当时，，当时，，的值域不为，不合题意； 若，则在上单调递增，在上单调递减， 且当时，，当时，， 的值域不可能为，不合题意； 若，则在上单调递增，在上单调递增， 且当时，，当时，， 此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得， 综上所述，实数的取值范围为. 6．C 【分析】根据所给条件列出不等式，结合对数的运算即可求解. 【详解】由题意可知,两边同时取对数可得， 所以，故，则， 由表中数据可知, 故选：C 7．C 【分析】根据给定条件，建立方程并构造函数，利用导数求出函数的最大值即可. 【详解】函数，的定义域均为， 设，则点关于轴的对称点为， 依题意，方程组有解，即方程组有解， 因此方程有解， 令函数，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， 则，由有解得， 所以的最大值为. 8．C 【分析】利用导数判断函数的单调性，判断各个选项. 【详解】对函数， 求导得 对于A，当时，，， 此时，函数在区间内单调递减，A错误； 对于B，当时，由上可知函数在区间内单调递减， 当时，，，此时有正有负， 函数在区间内不是单调递减的，B错误； 对于C，当时，，， 此时，函数在区间内单调递增，C正确； 对于D，当时，由上分析可知函数在区间内单调递减， 函数在区间内单调递增，D错误； 故选：C. 2、 多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错得得0分. 9．ABD 【分析】对于A，利用指数不等式的解法求解即可；对于B，当时，．即可判断；对于C，设，结合导数研究单调性即可判断；对于D，根据，即可判断,利用，即可判断。 【详解】对于选项A，当时，，所以，选项A正确． 对于选项B，当时，．选项B正确． 对于选项C，由题意，设，则． ，则． 故，当时，单调递减，． 故使，故选项C错误. 对于选项D由题意：，因为，所以， 另一方面：，因为， 即，所以，选项D正确， 10．AB 【分析】由函数逐项判断. 【详解】因为函数， 所以函数的最小正周期为，故A正确； 令，则，所以函数的图象关于直线对称，故B正确； 令，则，所以函数的图象关于点对称，故C错误； D. 因为，所以，所以， 则，所以函数在上的值域为，故D错误. 故选：AB 11．ABD 【分析】A利用导函数判断单调性；B根据二阶导函数的零点求对称中心；C根据对称性和单调性以及韦达定理求出；D根据对称性和单调性以及基本不等式求解. 【详解】因为，所以， 则在定义域内单调递增，故A正确； ，得，故的对称中心为即，故B正确； 因为，为方程的两个不同根， 所以， 因为，所以，则， 故，得，故C错误； 因为， 所以， 则，即， 因为，所以， 等号成立时，故D正确. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 【分析】利用对数运算性质求出的值即可. 【详解】因为，所以， 由得：， 即，所以或， 当时，与矛盾，所以舍去， 当，满足题意，所以． 13. 【分析】根据条件可得出α+β为钝角，α为锐角，然后即可得出cosα和cos（α+β）的值，然后根据cosβ＝cos[（α+β）﹣α]，利用两角差的余弦公式即可得解． 【详解】解：∵α，β∈（0，π），，， ∴α为锐角，α+β为锐角或钝角， 若α+β为锐角，则，不成立， ∴α+β为钝角，，且， ∴cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝． 14．/ 【分析】根据给定的图象，结合导数可得在上递增，由此求出，借助最大值点求出，再作出在上的图象，数形结合求解即得. 【详解】因为在区间上，两个函数图象均为正值，则原函数在区间上单调递增， 因此最大值为的函数图象是原函数的图象， 由及，得，解得， 于是，由，得，即，， 而，则，因此， 依题意，在上的图象与直线有3个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数在上的图象，如图， 观察图象知，，，所以. 故答案为： 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）结合诱导公式即可对已知式子进行化简； （2）把已知角代入，结合诱导公式即可化简求解； （3）由已知结合同角基本关系即可求解． 【详解】解：（1）； （2）若，则； （3）由，可得， 因为，，所以， 所以. 16．(1)递增区间是，，递减区间是； (2). 【分析】（1）求出函数的导数，把代入并求出的单调区间. （2）由（1）的信息，结合单调性建立恒成立的不等式，再分离参数求解即得. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，， 当或时，，当时，， 因此函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数的递增区间是，，递减区间是. （2）由（1）知，，由在其定义域上单调递增，得， 则， 当时，，当且仅当时取等号， 因此，解得，当时，，在上递增， 所以k的取值范围是 17． （1），， （2） 【分析】（1）先将函数化简，再利用周期公式和正弦函数的单调增函数求解； （2）先将函数化简，设，解出的值，根据题意可知，且的正零点由小到大的顺序依次为，…，可以求出，，再代入，求出. 【详解】（1），，的周期为，，，解得，， ，，，或或，在上的单调递增区间为，，. （2），，，，设，， ， 或， 的正零点由小到大的顺序依次为，…， ，，解得， ，，. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）由复合函数的单调性判断即可； （2）由偶函数的对称性及单调性，结合定义域列不等式组求解即可； （3）设，将方程在区间内有3个不等实根转化为方程有两个不相等的实数根，其中，，列出不等式组，求出的范围及，再利用二次函数求最值即可． 【详解】（1）由得，，解得， 又因为在单调递增，在单调递增，在单调递减， 所以的单调增区间为． （2）因为定义域关于原点对称， 又，所以为偶函数， 由（1）得，，解得． （3）设，当时，，，即， 则方程有3个不等实根方程有两个不相等的实数根，其中，， 所以，即，解得， 所以， 当即时有最小值，最小值为． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）利用极值点的定义，得出，然后构造函数求出的范围即可； （3）根据的单调性对进行分类讨论，注意，然后转化为在上有唯一零点求解即可. 【详解】（1），， 故在处的切线为， 也是的切线， 故方程只有一个解，即只有一个解， ，解得. （2）， ， 当时，，无极值点，不符合题意； 当时，在上，，单调递减； 在上，，单调递增； 故的极小值点，则， 故， 设，，则， 此时， 设，则， 时，，单调递增； 时，，单调递减； ，故, 即 （3），， ， 当时，，在单调递减，不存在3个零点； 当时，，在单调递增，不存在3个零点； 当时，， 因为在上单调递增，设， 则在上也是单调递增，且， 当，， 故存在唯一一个，使， 即在，，，单调递减； 在，，，单调递增； 且，故，且， 故在有唯一零点， ，故， 当时，，因为在有唯一零点，故在也有唯一零点， 故当，有3个零点; 综上所述，所有实数的取值集合为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $无锡市第一中学高三上学期阶段练习卷(2) 2026.09.08 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.设全集U={L,2,3,4,5},集合M满足CM={2,4},则() A.1∈M B.4CM C.5EM D.3M 2.设x∈R,则“sinx=1”是“cosx=0”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.函数fs)血(x+2的图像大致是（) x-1 21 C. -2-o1 21o 4.已知函数f(x)=c0S(o>0)的最小正周期为T.若2π<T<4π，且曲线y=f(x)关于点 买0中心对 称，则f()=() A.号 B c.3 2 D.3 2 [(2a-1)x+a,x<1 5.若函数f(x)= 1ogx,x≥1 (a>0且a≠1)的值域为R,则实数a的取值范围() (1,+0) c. 6.苏格兰数学家纳皮尔(J.Npir,1550-1617)发明的对数及对数表（如下表），为当时的天文学家处理 “大数”的计算大大缩短了时间.即就是任何一个正实数N可以表示成N=ax101≤a<10,n∈Z),则 lgN=n+lga0≤1ga<1),这样我们可以知道N的位数.已知正整数M31是35位数，则M的值为（) 2 4 5 12 13 14 15 IgN 0.30 0.48 0.60 0.70 1.04 1.08 1.11 1.15 1.18 A.3 B.12 C.13 D.14 7.已知函数f(w=x+1-2,g)=e+aae®，若曲线y=f)上存在点P,使得点P关于y轴的对 1 称点在曲线y=g(x)上，则a的最大值为() A.1 B.-1 c. D.1 e 8.已知函数f(x)=cosx+二cos2x+二cos3x,则下列叙述正确的是() 3 A.在区何0到 内单调递增 B.f(x)在区间 仔内单调道减 C.f(x)在区间 π2r 2’3 内单调递增 D.f(x)在区间(0，π)内单调递减 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选 错得得0分. 9.已知a,x,y∈R,x+10=9,y+12=11,则() A.当a>log32时，x>-6 B.存在实数a,使得x=y C.对任意a>1,都有x2+y2>2 D.当a=lg11时，x<0<y 10.已知函数f(x)=sinx,则() A.函数f(x)的最小正周期为π B.函数f(田的图象关于直线x=5亚对称 C.函数f(x)的图象关于点 _亚，0对称 12+V3 D.函数f(x)在- 上的值域为 612 4’4 11.已知f(x)=x3-3x2+3x,则下列说法正确的是() A.f(x)在定义域内单调递增 B.f(x)的对称中心为(1,1) C.已知x1,x2为方程x2+4x+b=0的两个根，≠x2且f(:)+∫(x2)>2,则a的取值范围为(-2，+0) D.若/+2训+fB-nm)-2.剥对3的绿小值为2m心号0心到 2 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知a>b>0,ha=2hb,且algb=blga,则a+b= ,sra+B)= 5 13.已知，B∈(0，π)，且coSa= 10 ,则c0sB=一一一 1M已知函数f(0=4sin(or+叭4>0,00.0<：母及其导函数了)=a1cs(or+p)的图象如图所 示，若函数y=f四)-m在D,乙上恰有3个不同的零点，，，且飞<5<5，则5+25+5 6 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(本小题13分) 已知fa)= sin(a-3r)cod2r-@)sin-a+) cos(-π-a)sin(-π-a) (1)化简f(a): (2)若a=,求@的位： 8)首mu争与，求@的位 3 16.(本小题15分) 己知函数f(x)=ln(x+1)+ k(kER). x+2 (1)若k=-3,求f(x)的单调区间； (2)若∫(x)在其定义域上单调递增，求k的取值范围. 4 17.(本小题15分) 已知函数/=5in-1 co-m,其中0>0. 2 (1)已知函数∫(x)的最小正周期为π，求函数f(x)在[0,2]上的单调递增区间： 包当-巨时，函数f问的正零点由小到大的顺序依次为，。为：，若。一2=石求0的值 2 18.(本小题17分) 己知函数f(x)=1og2(2-x2) (1)求f(x)的单调增区间（只需写出结果即可）： (2)求不等式f(2x-1)≤f(x)的解集； (3)若方程[f-mf+n=0在区间（←1内有3个不等实根，求4-5.2”+的最小值. 6 19.(本小题17分) 己知函数f(x)=ah(x-1),g(x)=x2-2x. (1)如果函数f(x)在(2，f(2)处的切线，也是g(x)的切线，求实数a的值 ②法P田-g国-f)在日+1e+有在极小值P),试求F6)的能围 6是否存在实数a,使得弱数0()-+)-2》有3个零点，若存在，来出所有实数0的取值类合， 若不存在，请说明理由 1无锡市第一中学高三上学期阶段练习卷(2) 2026.09.08 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.设全集=L23,45,集合M满足CM=24号，则() A.IgM B.4CM C.5∈M D.3gM 2.设x∈R,则“sinx=1”是“Cosx=0”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条 件 3函数) n(x+2) x-1的图像大致是() B -2下1【 -2-1 -2-01 30 4.己知函数f()=Cos0x(@>0)的最小正周期为T若2π<T<4π，且曲线y=f()关于点4)中心对 称，则)（) 1 1 5 5 A.2 B.2 C.2 D.2 (2a-1)x+a,x<1 5.若西数f=6g,x≥a>0且a》的值蛟为R,测实数n的取值范用() ^ B.. 11 11 c.32 (32/U+o) 6.苏格兰数学家纳皮尔(J.apir,1550-1617)发明的对数及对数表（如下表），为当时的天文学家处 N=a×10(1≤a<10,n∈Z 理“大数”的计算大大缩短了时间即就是任何一个正实数N可以表示成 ,则 lgN=n+lga(0≤lga<1) M31 ,这样我们可以知道N的位数已知正整数是35位数，则M的值为() 2 3 5 11 12 13 14 15 IgN 0.30 0.48 0.60 0.70 1.04 1.08 1.11 1.15 1.18 A.3 B.12 C.13 D.14 7.已知函数)=x+2,8()=。+是口eR),若曲线y=上存在点卫，使得点P关于轴的对 称点在曲线y=(x)上，则a的最大值为() 1 1 A.e B.1 C.e D.1 1 8.已知函数/()=c0sx+20s2x+30s3x,则下列叙述正确的是() 0, A.f(x)在区间2)内单调递增 B.了()在区间5内单调递藏 π2π C.f(x)在区间2’3)内单调递增 D.儿四)在区间 (0,π) 内单调递减 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选 错得得0分 9.已知a,x,y∈R,x+10=gy+12=1 ,则() A.当>1g,2 ，>6 x=y B.存在实数a,使得 2 C.对任意>1，都有 x2+y2>2 D.当a=g1l时， x<0<y 10.已知函数()如，则（) A.函数的最小正周期为 5π B.函数f(x)的图象关于直线x=2对称 .0 C.函数f()的图象关于点4)对称 π [12+V3 D.函数f(x)在6'12上的值域为44」 1.已知()=r-3x2+3 ,则下列说法正确的是() A.(四在定义域内单调递增 B.的对称中心为 c.已知，。为方程m+4+h=0的两个根，名≠5且)+/)>2则“的取值范围为 (-2,+o0) 老m+2+--2,期22的最小收为m引 1 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.己知a>b>0,lha=2hb,且algb=blga,则a+b= cosa= 13.已知a,B∈(0，π)，且 5 sin(a+) 10,则CosB= 14.已知函 数)=4sim(ar+p4>0a>0,0<p< F2)及其导函数f()=@Acos(or+)的图象如图 3 所示，若函数y=f()-m在0,6列上恰有3个不同的零点x,:,,且x<:<,则x+2x+ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(本小题13分) sin(a-37)cos(2z-a)sin(3z 已知f(a)= 2 cos(-π-a)sin(-π-am) 化简f(a) (2)若a=-3 3,求f(a)的值： 求f(a)的值， 16.(本小题15分) 4 己知函数f)=l(x+1+众，keR). x+2 (1)若k=-3,求f()的单调区间； (2)若(x)在其定义域上单调递增，求k的取值范围. 17.(本小题15分) 已知函数/)=3 cosox-m ,其中0>0. (1)已知函数 f(x) 的最小正周期为不，求函数四在02上的单调递增区间： 2 ②当=兰时数儿的正零点由小到大的顺序依次为5，若2 36,求ω的值. 6 18.(本小题17分) 已知函数f)=log,(2-x) (1)求(x)的单调增区间（只需写出结果即可）： (2)求不等式(2x-)≤f(w)的解集； 1 )若方程fx-mf+n=0在区间(-1，)内有3个不等实根，求4-5·2”+4的最小值. 19.(本小题17分) f(x)=aln(x-1)g(x)=x2-2x 已知函数 (1)如果函数f(x)在(2，f(2)处的切线，也是8(x)的切线，求实数a的值， +1e*l (2)若F(x)=g(x)-f(x)在Le 存在极小值F(),试求F()的范围 G)=fx+1)-28x+D (3)是否存在实数a,使得函 (x+)有3个零点，若存在，求出所有实数a的取值集合， 若不存在，请说明理由。