2.3 用反比例函数解决问题 同步练习 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 苏科版九年级上册“用反比例函数解决问题”同步练习，通过基础巩固、能力提升、拓展探究、综合训练四层设计，以“概念梳理—典例示范—分层应用”路径巩固知识，培养数学建模与问题解决能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一知识点（面积、行程等）|选择、填空、解答题结合，聚焦概念理解与基本应用| |能力提升|综合应用（分段函数、与一次函数结合）|表格数据分析、函数交点与面积计算，强化推理能力| |拓展探究|实际情境与跨知识点（矩形花圃、材料温度）|实际问题建模，培养数学眼光与创新意识| |综合训练|整合多知识点（密度、电学等综合）|周期问题分析、多条件限制应用，提升数学语言表达能力|

苏科版九年级上册数学 · 课时作业 2.3　用反比例函数解决问题　课时作业 苏科版 九年级上册 第2章 反比例函数　（建议用时：60分钟） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________ 一、知识点梳理 知识点1　利用反比例函数解决实际问题的一般步骤 ①审题：找出问题中的变量及它们之间的数量关系；②建模：若两个变量的乘积为定值，即 （），则可建立反比例函数模型 ；③求解：用待定系数法求出表达式，并写出自变量的取值范围；④应用：利用函数的图象与性质解决问题；⑤检验：检验结果是否符合实际意义。 知识点2　常见的反比例函数模型 问题类型 数量关系 反比例函数关系 面积问题 面积 = 长 × 宽 面积一定时， 行程问题 路程 = 速度 × 时间 路程一定时， 工作问题 工作总量 = 工作效率 × 工作时间 总量一定时， 电学问题 电压一定时， 杠杆问题 阻力 × 阻力臂 = 动力 × 动力臂 阻力与阻力臂一定时， 压强问题 压力一定时， 密度问题 质量一定时， 气体问题 温度不变时， 为定值 知识点3　实际问题中自变量的取值范围 在实际问题中，自变量除了满足 外，还要使实际问题有意义。例如长度、时间、速度、电阻等都应取正数，因此图象往往只是双曲线在第一象限内的一支（或其中的一部分）。 方法提示：若已知函数值的范围求自变量的范围，可先求出“边界值”，再根据增减性确定范围。如 （），当 时，由 得 ，又 随 的增大而减小，所以 。 知识点4　分段函数问题 有些实际问题中，变量关系在不同时段遵循不同规律（如药物浓度、材料温度、饮水机水温等），先是正比例函数或一次函数，后是反比例函数。解题时要分段求表达式，并注意分段点（两段图象的公共点）的坐标。 知识点5　反比例函数与一次函数的综合 （1）求交点：联立两个函数表达式，解方程（组），方程的解就是交点的横坐标； （2）比较大小：若 与 的图象交于 ， 两点，则以两交点的横坐标和 为界，把 轴分成若干部分，看哪个函数的图象在上方，就是哪个函数的值较大； （3）求面积：求△ 的面积时，常用“割补法”，以直线与坐标轴的交点为分割点，把三角形分成两个有一边在坐标轴上的三角形。 二、典例精讲 【例1】一个矩形的面积为 20 cm²，相邻两边的长分别为 cm 和 cm。 （1）求 关于 的函数表达式，并写出自变量的取值范围；（2）若 的值不超过10，求 的取值范围。 解：（1）由 得 （）； （2）当 时，。因为 ，在第一象限内 随 的增大而减小，所以当 时，。 【例2】某蓄水池的排水管每小时排水 8 m³，6 h 可将满池水全部排空。 （1）蓄水池的容积是多少？（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到 m³，那么将满池水排空所需的时间 （h）与 之间有怎样的函数关系？（3）如果准备在5 h内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？ 解：（1）容积为 （m³）； （2）（）； （3）由 得 ，因为 ，所以 。答：每小时的排水量至少为 9.6 m³。 【例3】某蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流 （A）与电阻 （Ω）之间的函数关系如图所示。 （例3图） （1）求 关于 的函数表达式；（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10 A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围内？ 解：（1）设 ，把 代入得 ，所以 （）； （2）由 得 ，所以 。答：可变电阻应不小于3.6 Ω。 【例4】为预防流感，某学校对教室进行“药熏消毒”。已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 （mg）与时间 （min）成正比例；药物燃烧完后， 与 成反比例（如图）。现测得药物8 min燃烧完，此时室内空气中每立方米的含药量为6 mg。 （例4图） （1）分别求出药物燃烧时和燃烧后 关于 的函数表达式； （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6 mg时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟学生才能进教室？ （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3 mg且持续时间不低于10 min时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？ 解：（1）燃烧时，设 ，由 得 ，所以 （）；燃烧后，设 ，由 得 （）； （2）由 得 ，所以至少需要经过30 min学生才能进教室； （3）把 代入 得 ；代入 得 。因为 ，所以这次消毒是有效的。 【例5】如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点，与 轴交于点 。 （例5图） （1）求两个函数的表达式；（2）根据图象直接写出 时 的取值范围；（3）求△ 的面积。 解：（1）把 代入 得 ，所以 ；，所以 ； （2）由图象可知，当 或 时，直线在双曲线的上方，即 ； （3）点 ，。。 三、基础巩固 （一）选择题 1．面积为6的三角形，一边长 与这条边上的高 之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 2．甲、乙两地相距120 km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间 （h）与速度 （km/h）之间的关系，下列说法正确的是（　　） A． 是 的正比例函数 B． 随 的增大而增大 C． 随 的增大而减小 D． 的图象经过原点 3．已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为1200 N和0.5 m，当动力臂为1.5 m时，撬动物体所用的动力为（　　） A．200 N B．400 N C．600 N D．1800 N 4．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 （kPa）是气体体积 （m³）的反比例函数。当 时，。当气球内的气压大于120 kPa时，气球将爆炸。为了安全起见，气球的体积应（　　） A．不小于 0.8 m³ B．小于 0.8 m³ C．不小于 1.6 m³ D．小于 1.6 m³ 5．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于 ， 两点，则使 成立的 的取值范围是（　　） （第5题图） A． B． 或 C． D． 或 6．当压力 一定时，物体所受的压强 （Pa）与受力面积 （m²）成反比例。当 时，，则当 时， 的值为（　　） A．200 B．400 C．2500 D．5000 （二）填空题 7．某仓库有煤1000 t，每天用煤 t，这批煤能用 天，则 关于 的函数表达式为________________。 8．一定质量的氧气，其密度 （kg/m³）是体积 （m³）的反比例函数。当 时，，则当 时，________ kg/m³。 9．在家庭电路中，电压 V 保持不变，用电器的功率 （W）与电阻 （Ω）之间的关系为 ，即 。当 时，________W。 10．已知反比例函数 的图象经过点 ，则当 时， 的取值范围是________________。 （三）解答题 11．小明家到学校的路程为3600 m，他骑自行车上学的速度为 m/min，所需时间为 min。 （1）求 关于 的函数表达式； （2）若小明骑车的速度为240 m/min，他需要多少分钟到达学校？ （3）若小明要在12 min内（含12 min）到达学校，他骑车的速度至少是多少？ 12．某工程队要修建一条长1200 m的道路。 （1）若每天修 m，需要 天完成，求 关于 的函数表达式； （2）原计划每天修60 m，实际施工时要求比原计划提前5天完成，那么实际每天至少要修多少米？ 13．在某电路中，电压保持不变，电流 （A）与电阻 （Ω）的几组对应值如下表： /Ω 3 4 6 12 /A 4 3 2 1 （1）求 关于 的函数表达式；（2）若该电路中的电流不超过3 A，求电阻 的取值范围；（3）若电阻 满足 ，求电流 的取值范围。 14．研究表明，某人饮酒后，其血液中的酒精含量 （mg/100 mL）与时间 （h）的关系如图：饮酒后1.5 h内， 与 成正比例；1.5 h时 达到最大值300；1.5 h后， 与 成反比例。 （第14题图） （1）求 关于 的函数表达式； （2）按国家规定，驾驶员血液中的酒精含量不低于20 mg/100 mL时属于“酒后驾驶”，不能驾车。某人晚上20:00喝完酒，第二天早上7:00能否驾车去上班？请说明理由。 四、能力提升 15．某容器内气体的体积 （L）与气体的压强 （kPa）在温度不变时的几组对应值如下表： /L 20 30 40 60 /kPa 90 60 45 30 （1）猜想 与 之间的函数关系，并求出表达式； （2）为了安全，容器内的气压不能超过150 kPa，那么气体的体积至少应为多少升？ 16．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点。 （第16题图） （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式 的解集； （3）求△ 的面积。 17．某种材料在锻造前需要加热。材料温度 （℃）与时间 （min）的关系如图：加热时，温度 与时间 成一次函数关系，材料从15 ℃开始，5 min后升至60 ℃；停止加热后，温度 与时间 成反比例关系；当温度降至15 ℃时，需要重新加热。 （第17题图） （1）分别求出加热阶段和停止加热阶段 关于 的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）已知材料温度不低于30 ℃时才能进行锻造操作，那么在一次加热、冷却过程中，可锻造操作的时间有多长？ 五、拓展探究 18．如图，某校要靠墙建一个面积为 50 m² 的矩形花圃，墙长12 m，花圃的另外三边用篱笆围成。设花圃垂直于墙的一边长为 m，平行于墙的一边长为 m。 （第18题图） （1）求 关于 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围； （2）若所用篱笆的总长为20 m，求花圃的长和宽。 19．已知点 ， 都在反比例函数 （）的图象上。 （1）求 ， 的值； （2）求直线 的函数表达式； （3）求△ 的面积； （4）点 是线段 上的一点（不与 ， 重合），过点 作 轴于点 ， 与双曲线交于点 。当 的横坐标为2时，求线段 的长。 六、综合训练 20．一定质量的二氧化碳，当它的体积 m³ 时，密度 kg/m³。当 m³ 时， 的值为（　　） A．0.5 kg/m³ B．1 kg/m³ C．2 kg/m³ D．9.9 kg/m³ 21．某用电器的输出功率 （W）与电阻 （Ω）的关系为 （ 为定值）。当 时，；则当 时，________。 22．正比例函数 与反比例函数 的图象交于点 和另一点，则另一个交点的坐标为________；当 时， 的取值范围是________________。 23．一辆汽车以80 km/h的平均速度从甲地出发，6 h后到达乙地。 （1）若汽车按原路返回，求返程所用时间 （h）与平均速度 （km/h）之间的函数表达式； （2）若返程时限速120 km/h，那么返程至少需要多少小时？ （3）若要求返程在5 h内（含5 h）到达，且不超过限速，求返程平均速度 的取值范围。 24．某学校的饮水机，通电加热时水温每分钟上升10 ℃，加热到100 ℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此时水温 （℃）与通电时间 （min）成反比例关系；当水温降至20 ℃时，饮水机又自动开始加热，重复上述过程（如图）。已知开机前水温为20 ℃。 （第24题图） （1）求第一个周期内加热阶段和降温阶段 关于 的函数表达式，并求出一个周期的时长； （2）若饮水机早上7:00开机，则7:50时饮水机内的水温是多少？ （3）在一个周期内，水温不低于50 ℃的时间有多长？ 参考答案与解析 三、基础巩固 1．B　解析：由 得 ，所以 。 2．C　解析：（）， 是 的反比例函数，，在第一象限内 随 的增大而减小，图象不经过原点。 3．B　解析：由杠杆原理得 ，所以 （N）。 4．A　解析：，。由 得 ，所以气球的体积应不小于 0.8 m³。 5．B　解析：直线在双曲线上方的部分对应的 的范围是 或 。注意：当 时，，而 ，所以 恒成立。 6．B　解析：，所以 ，当 时，。 7．（）　解析：用煤总量 = 每天用煤量 × 天数，即 。 8．7.15　解析：，所以 ，当 时，。 9．484　解析：。 10．　解析：，。当 时 ；当 时 。在第一象限内 随 的增大而减小，所以 。 11．解：（1）（）； （2）当 时，，即需要15 min到达学校； （3）由 得 ，所以 。答：他骑车的速度至少是300 m/min。 12．解：（1）（）； （2）原计划用时 （天），实际用时不超过 （天）。由 得 。答：实际每天至少要修80 m。 13．解：（1）因为 ，所以 （）； （2）由 得 ； （3）当 时 ；当 时 。 随 的增大而减小，所以 。 14．解：（1）当 时，设 ，由 得 ，所以 ； 当 时，设 ，，所以 。 （2）不能驾车。理由：从晚上20:00到第二天早上7:00共经过11 h，当 时，，所以此时仍属于酒后驾驶，不能驾车。 （补充：由 得 ，即至少要经过22.5 h才能驾车。） 四、能力提升 15．解：（1）因为 ，所以 是 的反比例函数，（）； （2）由 得 。答：气体的体积至少应为12 L。 16．解：（1）把 代入 得 ，所以反比例函数为 ； 把 代入得 。将 ， 两点坐标代入 ，得方程组 ，，解得 ，，所以一次函数为 。 （2）直线在双曲线下方时， 或 ； （3）直线与 轴交于点 ，。 17．解：（1）加热阶段：设 ，由图象经过 ， 得 ，，所以 （）； 停止加热阶段：设 ，，所以 。当 时 ，所以 。 （2）加热阶段：由 得 ；冷却阶段：由 得 。 所以可锻造操作的时间为 （min），即 min。 五、拓展探究 18．解：（1）由 得 。因为 ，所以 ，，即自变量的取值范围是 ； （2）由题意得 ，两边同乘 得 ，即 ，，解得 。 此时 ，符合题意。答：花圃的长为10 m，宽为5 m。 19．解：（1），； （2）设直线 为 ，将 ， 代入，得方程组 ，，解得 ，，所以 ； （3）直线 与 轴交于点 ，； （4）当 时，点 的纵坐标为 ，点 的纵坐标为 ，所以 。 六、综合训练 20．B　解析：，，当 时，。 21．20　解析：，所以 。 22．； 或 　解析：两交点关于原点对称；由图象可知，直线 在双曲线上方的部分对应 或 。 23．解：（1）路程为 （km），所以 （）； （2）当 时，， 随 的增大而减小， 时 ，所以返程至少需要4 h； （3）由 得 ，又 ，所以 。 24．解：（1）加热阶段：，由 得 ，所以 （）； 降温阶段：设 ，，所以 。当 时 ，所以 ，一个周期的时长为40 min。 （2）从7:00到7:50经过50 min，，相当于第二个周期开始后的第10 min，处于降温阶段，此时水温 （℃）； （3）加热阶段：由 得 ；降温阶段：由 得 。所以水温不低于50 ℃的时间为 （min）。 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $