第一、二单元阶段复习讲义【导图知识卡片+知识梳理+15个考点讲练+实战演练 共50题】-2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册阶段知识清单培优讲义

该小学数学讲义通过思维导图和知识清单系统构建分数除法与圆的知识体系，以导图指引知识脉络，清单分点梳理分数除法计算方法、解决问题及圆的认识、周长、面积等核心内容，15个重难点考点按逻辑分布，体现知识内在联系。 讲义亮点在于“典型例题+举一反三”的分层练习设计，如结合猜灯谜情境理解分数除法意义，通过载人飞艇订单问题培养数学思维，用转化法解决组合图形问题发展空间观念，助力学生自主复习，教师可据此实施精准教学。

null2026-2027学年北师大版数学六年级上册第一次月考知识点培优讲义「新教材」 第一、二单元分数除法、圆 (思维导图+知识清单+15个重难点考点讲练+实战演练共50题●原卷版) 重难点考点讲练目录 【重难点考点一】分数与整数的除法..... 【重难点考点二】分数与分数的除法...... 【重难点考点三】被除数与商的大小关系（分数除法） 【重难点考点四】已知一个数的几分之几是多少，求这个数 ........6 【重难点考点五】圆的周长..... ··7 【重难点考点六】半圆的周长 ·.7 【重难点考点七】圆的周长的应用... ....8 【重难点考点八】含圆的组合图形的周长 【重难点考点九】圆的面积... ·..9 【重难点考点十】圆的面积的应用.. ....10 【重难点考点十一】圆环的面积... 【重难点考点十二】求最大面积 ….12 【重难点考点十三】含圆的组合图形的面积..· ·...13 【重难点考点十四】方中圆和圆中方的面积问题...…….…….13 【重难点考点十五】用转化法求园的组合图形的周长与面积.. ……….14 第1页共19页 模块一知识梳理导图指引 第一单元《分数除法》 六年级上册阶段复习知识点梳理 第二单元《圆》 1.分数除法的意义 6.倒数 1,圆的认识 6.圆的对称性 乘积是1的两个数互为例数。 圈是轴对称图形 点到圆心的距离都相等 有无条对称轴 ●例如：已知号×2=普， 。的例数是 ×圆心0 对称轴都经过围心 求另一个因数 。子的倒数是 半径r 垂】的倒数是1 一直径d 。0没有倒数 2.分数除法的计算方法】 关系：d=2rr=d 甲数+乙数=甲数×乙数的倒数 (0除外) 第一单元 7.圆的画法 2.图的周长 (1)定圆心 墨 7.整理与复习 分数除法 圆的周长总是直径的π倍， （2)定半径： & d (3)旋转一周。 (1)计算分数除法时， 公式：C=πd=2πr 第二单元 画出圆。 (元取3.14) 3.一个数除以分数 圆 (2)解决问题时先找 3.圆的面积 圆的面积等于半径的平方乘元。 8.生活中的圈 0例如：3+7=3×3=9 车轮、图形桌面、时钟 (3)注意结果的形式 公式：S=πr2 表盘、硬币、井蓝等都 是图形物体。 4.分数除以一个数(0除外) 分数÷一个数=分数÷这个数 4.圆环的面积 ●例如：专+3=专×}=音 不 环的面积=大质积一小面新 思©斤@ 公式：S=π(R2-r2) 5,解决间须 8,易错提醒 ·已知一个数的几分之几是多少，求这个数。 (1)0不能作除数。 9.整理与复习 5.扇形的面积 道关系股平的分2 (1)掌报圆的周长公式、面积公式： (2)求到数时，先看是不是0 再交换分子，分母位置， (2)会用公式解决单的实际问题 (3)灵活运用半径、直径的关系： 多（少）几分之几的数 公式：S=2×30 (4)体会腰形在生活中的广泛应用 单位“1的量 甲数+乙数■甲数×乙数的倒数(0除外》 常用公式 周长：C=πd=2π 分数除法 面积：S=2 一个数+分数这个数×分数的倒数 多思考，多练习， 汇总 圆环面积：S=π(R2-2) 扇形面积：S=πr2×0 分数÷一个数=分数×这个数的倒数 数学学习更轻松！ (m取3.14) 模块二 知识清单 温故知新 【第一单元分数除法】 知识点一分数除法的计算 1.分数除法的意义 (1)分数除以整数的意义：一个分数除以整数表示把这个分数平均分成整数份，求每份是多少。 (2)一个数除以的意义：一个数除以分数表示一个数里面有几个另一个数。 2.分数除以整数(0除外)的计算方法 (1)用分子和整数相除的商做分子，分母不变。 (2)分数除以整数，等于分数乘这个整数的倒数。 3.一个数除以分数的计算方法：一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数。 4.商与被除数的大小关系 ①一个数(0除外)除以小于1的数，商比原来的数大。 第2页共19页 ②一个数(0除外)除以大于1的数，商比原来的数小。 ③一个数(0除外)除以等于1的数，商与原来的数相等。 5.分数连除的计算方法：分数连除，可以分步转化为乘法计算，也可以一次都转化为乘法再计算，能 约分的要约分。 6.不含括号的分数混合运算的运算顺序：在一个分数混合运算的算式里，如果只含有同一级运算，按 照从左到右的顺序计算；如果含有两级运算，先算第二级运算，再算第一级运算。 7.含有括号的分数混合运算的运算顺序：在一个分数混合运算的算式里，如果既有小括号又有中括号， 要先算小括号里面的，再算中括号里面的。 8.整数的运算定律在分数混合运算中的运用 在进行分数的混合运算中，可以利用加法、减法、乘法、除法的运算定律或运算性质，使计算简便。 知识点二分数除法解决问题 1.已知一个数的几分之几是多少，求这个数。 （1)方程法。 ①找准单位“1”的量，设为x; ②找出题目中的等量关系； ③列出方程求解； ④检验作答。 （2)算术法。 单位“1”未知，用除法，分量：分率=单位“1”。 ①找出单位“1”； ②找出已知量和已知量占单位“1”的几分之几（分率)； ③列出除法算式，即已知量：已知量占单位“1”的几分之几=单位“1”的量。 2.已知两个数，求一个数比另一个数多或少几分之几。 求一个数比另一个数多或少几分之几，口诀是“作差除比后”。 3.已知比一个数多或少几分之几的数是多少，求这个数 (1)已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数，用分量：(1+分率)=单位“1”。 (2)已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数，用分量÷(1一分率)=单位“1”。 4.稍复杂的“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”。（量率对应问题） (1)稍复杂的“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的应用题的结构特征：单位“1”是未知 第3页共19页 的，已知的比较量与所给的几分之几不对应。 (2)解题方法： ①用方程解：找到题中数量间的等量关系，设未知量为×，列出方程。 ②算术法解：找到题中单位“1”，计算出已知量占单位“1”的几分之几，利用已知量÷已知量占单 位“1”的几分之几=单位“1”的量（标准量）列式解答。 (3)解题关键：找准单位“1”，弄清谁是谁的几分之几，谁比谁多几分之几，计算出已知量是单位 “1”的几分之几。 【第二单元圆】 知识点一圆的认识 1.圆的定义：一条线段绕一个端点旋转360度，另一个端点形成的图形叫圆。 2.圆心 将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。 圆心一般用字母0表示。它到圆上任意一点的距离都相等。 3.半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。 半径一般用字母r表示，如图中的线段OA。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5.直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。如图中的线段BC。 6.轴对称图形 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的 这条直线叫做对称轴。 7.圆的对称轴：直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。 知识点二圆的周长 1.圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 第4页共19页 2.圆周率：圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数，我们把圆的周长和直径的比 值叫做圆周率，用字母π表示，圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，π一般取3.14，世界上第 一个把圆周率算到小数点后第七位的人是我国的数学家祖冲之。 3.圆的周长公式。 C=πd或C=2r 圆周长=π×直径，圆周长=m×半径×2 知识点三圆的面积 1.圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。 2.圆的面积公式：S=πr2或者S=π(d÷2)2或者S=π(C÷π÷2)2 3.在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 4.在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 5.一个环形，外圆的半径是R,内圆的半径是r,它的面积是S=R-2 或S=(R-)。(其中R=r十环的宽度) 6.半圆周长=圆的周长的一半+半径×2 公式为：C=r+2r 半圆面积=圆的面积÷2 公式为：S=2÷2 7.在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小 以上倍数的平方倍。 8.当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。 9.当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米； 当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 知识点四扇形 在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆 周长的几分之几。 模块三 重难点讲练能力提升 第5页共19页 【重难点考点一】分数与整数的除法 【典型例题】(26-27六年级上·辽宁·单元测试)猜灯谜是元宵节不可缺少的特色活动。现在要将一张彩 纸条的裁成4个长度相同的纸条用于书写灯谜，则裁成每个纸条的长度是这张彩纸条的几分之几？下面是 小梦分一分，涂一涂的过程，请补充完整。 乡÷4=( )×( )=( 【举一反三练习】(26-27六年级上·山东·周测)某品牌平板电脑的自动化生产线在电脑基板上插入一个 零件的时间仅为，已秒，2分钟可以插入多少个零件，下面列式正确的是( 100 A.0×60 B.×60×2 100 c.2×60÷0 【重难点考点二】分数与分数的除法 【典型例题】(2526六年级上·山东德州·阶段检测)吨的大豆可以榨油。吨，1吨大豆可以榨油( 吨，榨油1吨需要( )吨大豆。 【举一反三练习】(25-26六年级上·湖北孝感·期中)爱读书的洋洋选择步行到家附近的图书馆阅读打卡， 周日上午他从家出发，去图书馆步行子小时行了。km,他步行的速度是( ）千米/时；他每行1kam, 需要的时间是( )小时。 【重难点考点三】被除数与商的大小关系（分数除法） 【典型例题】(25-26六年级上·甘肃张掖·阶段检测)己知0<a<1,×a、×a、Q÷多a这4 个算式中，结果比a大的算式有( )个。 A.1 B.2 C.3 D.4 【举一反三练习】(26-27六年级上·辽宁·单元测试)在( )里填上“>”“<”或“=”。 音5( 层×写 12÷( )12 )9 日8( )16÷月 【重难点考点四】已知一个数的几分之几是多少，求这个数 【典型例题】(2026六年级上·辽宁·专题练习)“祥云”AS700是中国航空工业集团首个按适航规范自 主研制且拥有完全自主知识产权的载人飞艇。某旅游公司预订了一批“祥云”AS700,己经交付了30架， 第6页共19页 占这批订单总数的，这批订单有多少架？ 【举一反三练习】(26-27六年级上·辽宁·周测)松鼠的尾巴长度约占身体长度的好一只松鼠的尾巴的 长度是1.8分米，它的身体长度是( )分米：地球上海洋面积是3600万平方千米，占地球总面积的号 地球总面积是( )万平方千米。 【重难点考点五】圆的周长 【典型例题】(2026六年级上·辽宁·专题练习)图中的四个正方形的边长均相等，其中阴影部分周长最 大的图形是( )。 A. B. C. D. 【举一反三练习】(26-27六年级上·山东·周测)计算图形的周长。 4cm 3 cm 2 cm 【重难点考点六】半圆的周长 【典型例题】(25-26六年级上·浙江湖州·阶段检测)求下方图形的周长（π取3.14）。 6dm 第7页共19页 【举一反三练习】.(26-27六年级上·全国·课后作业)甲、乙两只蚂蚁以相同的速度从M点爬到N点（如 下图)，蚂蚁甲选择了路线①，蚂蚁乙选择了路线②，两只蚂蚁谁先到达N点？() ① ② MK..Y 2 cm 4 cm 6cm A.蚂蚁甲 B.蚂蚁乙 C.同时到达 【重难点考点七】圆的周长的应用 【典型例题】(26-27六年级上·辽宁·周测)某小区内有一个圆形健身广场，新新和亮亮从起点开始同时 反向而行，沿着广场散步，新新每分钟走90米，亮亮每分钟走110米，3分钟后他们俩相遇。这个圆形广 场的半径是多少米？（π取3） 【举一反三练习】(25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末)如图，学校运动场的直道的长度是85.96米， 第一条半圆形跑道的直径为72.6米，每条跑道宽1.25米。400米跑时，每条起跑线相差米。（π取 3.14) 目 1.25m -85.96m 第8页共19页 【重难点考点八】含圆的组合图形的周长 【典型例题】(25-26六年级下·贵州黔西南·期末)求下图的周长。（π取值3.14） 6cm 7cm 【举一反三练习】(25-26六年级上·广东佛山·阶段检测)2025年初，国家卫生健康委员会发布了《2025 年全民健康体重管理行动计划》，明确提出将体重管理作为年度重点健康工作之一。有一个运动场（如图）， 两端是半圆形，中间是长方形。 k100m -32m 终点线B (1)笑笑和淘气进行跑步比赛，他们分别从A、B两点出发，沿各自跑道的内边缘逆时针跑一圈，最后都 到达终点线。为了比赛公平，笑笑和淘气的起跑线应相差多少米？ (2)现给这个运动场跑道内（空白部分）铺上草皮，如每平方米造价6元，一共需要多少元？ 【重难点考点九】圆的面积 【典型例题】(26-27六年级上·山东·单元测试)一个圆的半径扩大到原来的3倍，周长和面积分别扩大 到原来的( )。 A.3倍；3倍 B.3倍；6倍 C.3倍；9倍 第9页共19页 【举一反三练习】(2025六年级上·北京·专题练习)将一张边长为2dm的正方形纸，按如图的方法对折 四次，剪一刀，展开后得到近似的圆，这个圆的面积约为( ）dm。 A.π B.4 C.2π D.4 【重难点考点十】圆的面积的应用 【典型例题】(2026六年级上·山东·专题练习)钟面上，分针长8厘米，从9：30至10：00，分针的尖 端走过的路程是( )厘米，分针扫过的面积是( )平方厘米；如果在一张长10厘米、宽6厘 米的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的面积是( )平方厘米。 【举一反三练习】(24-25六年级上·广东佛山·期中)农场有一块靠墙长12米，宽8米的长方形空地。 张叔叔想在这块空地靠墙处设计出一个最大的半圆形空地改造成玉米地，剩下的空地改造成白菜地。 8米 12米 (1)玉米地的半径是( (2)白菜地的面积是多少平方米？ (3)现在张叔叔想扩建这块地，其中宽不变，长比原来增加。此时正好可以沿着玉米地外沿修一条宽1 米的小路（靠墙处不修），扩建后剩下的空地种白菜，求扩建后的白菜地面积是原来的百分之几？（百分 号前保留一位小数) 第10页共19页 【重难点考点十一】圆环的面积 【典型例题】(26-27六年级上·辽宁·周测)读书使人明智，分享使人进步。梦梦是个读书爱好者，她打 算去参加“读书分享会”，与其他人分享阅读心得。如图，是分享会的一张半径是8分米的圆桌，上面铺 了一块直径是20分米的圆形桌布，桌布下垂部分的面积是多少平方分米？（先选择，再解答） ○O B (1)求桌布下垂部分的面积，相当于求上面( )图形中阴影部分的面积。 (2)请你认真算一算，桌布下垂部分的面积是多少平方分米？ 【举一反三练习】聪聪和明明在研究两个平方数的差时发现了规律： 42-22=(4+2)×(4-2)=12 72-32=(7+3)×(7-3)=40 92-42=(9+4)×(9-4)=65 (1)请你根据聪聪和明明发现的规律把下面的算式填写完整。 152-52=( 。。十。。。)X( (2)求下图中阴影部分的面积。聪聪说可以用“a-b”来计算，明明说也可以用“(a十b)×(a一b)” 来计算。你知道明明是怎么想的吗？ (3)运用上面发现的规律计算下图中扇环的面积。（单位：厘米） 第11页共19页 14.5 【重难点考点十二】求最大面积 【典型例题】(25-26六年级上·陕西咸阳·阶段检测)剪纸是中国民间艺术的瑰宝。每逢喜庆的日子，人 们就张贴美丽鲜艳的剪纸来烘托节日的气氛。学校用剪纸装饰书画展，其中“福”字剪纸是从一个长40cm, 宽30cm的长方形红纸上剪下的最大的圆，这个圆的周长是()cm,面积是( )cm2。 【举一反三练习】如图，院子的两堵墙分别为5米和8米，墙外是一片草地，墙上拴着一只小羊，绳长4 米如果将小羊A和小羊B分别拴在图1，图2中的位置，哪只小羊吃到草的面积更大一些？相差多少？请用 算式或其他方法说明。（结果可用含有T的式子表示） 5m 5m 8m 8m 2m 小羊A 小羊B 图1 图2 第12页共19页 【重难点考点十三】含圆的组合图形的面积 【典型例题】(25-26六年级上·山东济南·期末)如图，己知长方形的面积等于圆的面积。圆的周长为 62.8厘米，求阴影部分的面积。 【举一反三练习】(24-25六年级下·福建厦门·期中)如图，阴影部分的面积相当于甲圆面积的：相当 于乙圆面积的号，那么甲乙两个圆的周长比是( )。 甲 A.16:9 B.9:16 C.4:3 D.3:4 【重难点考点十四】方中圆和圆中方的面积问题 【典型例题】(25-26六年级上·湖南永州·阶段检测)求下面图形阴影部分的面积。（单位：厘米） d=4 【举一反三练习】(24-25六年级上·广西南宁·期末)在学校的科技小制作活动中，有两个机器人在进行 移动操作。一个机器人的形状是直径为10厘米的圆形，另一个是边长为10厘米的正方形。它们在一条长 轨道上，初始时两者相距28厘米。正方形机器人每秒移动4厘米，圆形机器人比正方形机器人快40%。 0 28cm 第13页共19页 (1)当圆形机器人和正方形机器人刚好完全接触（重叠面积最大时），没有重合部分的面积是多少？ (2)正方形和圆形同时开始运动，经过多少秒后恰好完全分开？ 【重难点考点十五】用转化法求园的组合图形的周长与面积 【典型例题】(24-25五年级下·江苏盐城·期末)阳光小学五年级的学生开展实践活动，要在如图所示的 涂色部分区域种植菊花和月季花。学校准备在种植区域的周围围上竹篱笆，这圈竹篱笆长( )米， 两种花的种植面积一共是( )平方米。 多 月 季 花 月 8m 【举一反三练习】(25-26六年级上·湖北武汉·期末)在大圆中画若干个大小不等的半圆（如图）。已知 AC=CD=DB=4dm,0是圆心，那么涂色部分的面积是( ）dm'。 模块四 优选真题实战演练 一、 选择题 1. (26-27六年级上·辽宁·单元测试)小芳获得30枚“智慧星”， 一一，小强获得了多少枚“智慧 星”？如果用算式30÷来解决这个问题，应选择的信息是( A.小强获得的是小芳的时 B.比小强多获得4枚 C.小芳获得的是小强的时 第14页共19页 2.(26-27六年级上·辽宁·周测)操场上，足球社团正在进行活动。同学们手拉手围成一个周长为28.26 米的圆圈，老师站在中心点上讲解和示范足球动作要领，大家听得非常认真。同学们围成的圆圈面积大约 是( )平方米。 A.9n B.20.25π C.81π 3.(26-27六年级上·辽宁·单元测试)学校趣味遥控车比赛活动中有两辆赛车模型进行比赛（轨道如图）， A车跑内圈2个半圆，B车跑外圈一个大半圆。如果赛车的速度相同，那么( )。 B 起4m+4m 点 A.A车先到终点 B.B车先到终点 C.两车同时到达终点 D.不确定哪辆车先到达终点 4.(2026六年级上·河北·专题练习)接双十一，奥德乐联合商家搞促销活动。有的商家参加了促销活 动，其中服装类有48家，占参与促销活动商家的。，奥德乐一共有( )个商家。 A.240 B.270 C.280 D.320 5.如图，小文在圆内画了一个最大的正方形。若正方形的面积是10平方厘米，则圆的面积是( 平方厘米。 A.7.85 B.12.56 C.15.7 D.18.84 二、填空题 6.(26-27六年级上·辽宁·周测)把一个圆平均分成24份，再拼成一个近似的长方形（如图），如果这 个近似长方形的周长比原来圆的周长增加了10cm,那么，这个圆的半径是( )cm,面积是( )cm2。 7.(26-27六年级上·辽宁·周测)郭沫若先生说：“时间就是生命，时间就是速度，时间就是力量。” 闹钟是帮助孩子珍惜时间的小帮手，一个钟面时针长0.6dm,一昼夜时针扫过的面积是( )dm。 第15页共19页 8.(26-27六年级上·河北·周测)中国天文科技发展日新月异，“中国天眼”是全球最大且最灵敏的射 电望远镜，超越了美国著名的天文望远镜阿雷西博。“中国天眼”的口径长是500米，是阿雷西博的9，则 阿雷西博的口径长( )米。 9.(25-26六年级上·河南周口·期末)众创空间是为创业者提供良好工作空间、网络空间、社交空间和 资源共享空间的新型创业服务平台。在某众创空间中，科技类公司原来占君后来又进驻了4家科技类公司， 这时科技类公司的数量占该众创空间公司总数量的。该众创空间原来有( )家科技类公司。 三、判断题 10.(25-26六年级上·陕西咸阳·阶段检测)在一块正方形纸板上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是 28.26cm,剩余纸板的面积是7.74cm°。（) 11.(25-26六年级上·湖北武汉·阶段检测)如果a×立=b×c÷(a、b、c不为0)，那么a>b>c。 ( 四、计算题 12.(2026六年级上·辽宁·专题练习)脱式计算。（能简算的要简算） x*9 8÷(后x) 17×品+品 (6-)×24 13.(25-26六年级上·内蒙古乌海·期中)解方程。 号x÷号=42 x-x=号 品x=治* 第16页共19页 14.(26-27六年级上·辽宁·单元测试)求涂色部分的周长和面积。（单位：cm) 6 、6 1) (2) 2 P (3) (4) 15.(2025六年级上·全国·专题练习)求图中阴影部分的周长。（单位：厘米） 3 五、解答题 16.(2026六年级上·辽宁·专题练习)深度求索(DeepSeel)凭借低成本、高性能的大模型技术在全球 AI竞争中异军突起，标志着国产AI基础设施已具备国际竞争力。一位工程师单独测试DeepSeek的新功能， 3天完成了全部的，照这样的速度，测试完全部的新功能需要多长时间？ 第17页共19页 17.(26-27六年级上·辽宁·单元测试)篆刻艺术是我国传统视觉文化的瑰宝之一。工作室接到一批加急 的印章订单。赵师傅单独做3天可完成全部订单的行，照这样的速度，赵师傅完成全部印章订单需要多长时 间？ 18.(26-27六年级上·辽宁·周测)锅盔店的牛肉馅圆形锅盔有大小两种尺寸，大的直径为16厘米，小 的直径为8厘米，两种锅盔的厚度相同。大锅盔每个卖8元，小锅盔每个卖4元。如果你有16元，买哪种 锅盔合算？请说明理由。 19.(26-27六年级上·辽宁·周测)读书使人明智，分享使人进步。梦梦是个读书爱好者，她打算去参加 “读书分享会”，与其他人分享阅读心得。如图，是分享会的一张半径是8分米的圆桌，上面铺了一块直 径是20分米的圆形桌布，桌布下垂部分的面积是多少平方分米？（先选择，再解答） B (1)求桌布下垂部分的面积，相当于求上面( )图形中阴影部分的面积。 (2)请你认真算一算，桌布下垂部分的面积是多少平方分米？ 第18页共19页 20.(26-27六年级上·山东·单元测试)如图1，是一个边长为4cm的正方形。 4cm 图1 图2 (1)在正方形中用圆规画一个最大的圆。 (2)这个圆的周长是( )厘米。 (3)如果把圆剪下来后对折，再对折，沿着虚线剪掉阴影部分后（如图2），将剩下的部分打开是一个 )。 ①圆 ②圆环 ③半圆环 (4)列式计算打开后图形的面积。 第19页共19页 2026-2027学年北师大版数学六年级上册第一次月考知识点培优讲义「新教材」 第一、二单元 分数除法、圆 （思维导图+知识清单+15个重难点考点讲练+实战演练 共50题●原卷版） 重难点考点讲练目录 【重难点考点一】分数与整数的除法 6 【重难点考点二】分数与分数的除法 6 【重难点考点三】被除数与商的大小关系（分数除法） 6 【重难点考点四】已知一个数的几分之几是多少，求这个数 6 【重难点考点五】圆的周长 7 【重难点考点六】半圆的周长 7 【重难点考点七】圆的周长的应用 8 【重难点考点八】含圆的组合图形的周长 9 【重难点考点九】圆的面积 9 【重难点考点十】圆的面积的应用 10 【重难点考点十一】圆环的面积 11 【重难点考点十二】求最大面积 12 【重难点考点十三】含圆的组合图形的面积 13 【重难点考点十四】方中圆和圆中方的面积问题 13 【重难点考点十五】用转化法求园的组合图形的周长与面积 14 模块一 知识梳理 导图指引 模块二 知识清单 温故知新 【第一单元 分数除法】 知识点一 分数除法的计算 1. 分数除法的意义 （1）分数除以整数的意义：一个分数除以整数表示把这个分数平均分成整数份，求每份是多少。 （2）一个数除以的意义：一个数除以分数表示一个数里面有几个另一个数。 2. 分数除以整数（0除外）的计算方法 （1）用分子和整数相除的商做分子，分母不变。 （2）分数除以整数，等于分数乘这个整数的倒数。 3. 一个数除以分数的计算方法：一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数。 4. 商与被除数的大小关系 ①一个数(0除外)除以小于1的数，商比原来的数大。 ②一个数(0除外)除以大于1的数，商比原来的数小。 ③一个数(0除外)除以等于1的数，商与原来的数相等。 5. 分数连除的计算方法：分数连除，可以分步转化为乘法计算，也可以一次都转化为乘法再计算，能约分的要约分。 6. 不含括号的分数混合运算的运算顺序：在一个分数混合运算的算式里，如果只含有同一级运算，按照从左到右的顺序计算；如果含有两级运算，先算第二级运算，再算第一级运算。 7. 含有括号的分数混合运算的运算顺序：在一个分数混合运算的算式里，如果既有小括号又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。 8. 整数的运算定律在分数混合运算中的运用 在进行分数的混合运算中，可以利用加法、减法、乘法、除法的运算定律或运算性质，使计算简便。 知识点二 分数除法解决问题 1. 已知一个数的几分之几是多少，求这个数。 （1）方程法。 ①找准单位“1”的量，设为x； ②找出题目中的等量关系； ③列出方程求解； ④检验作答。 （2）算术法。 单位“1”未知，用除法，分量÷分率=单位“1”。 ①找出单位“1”； ②找出已知量和已知量占单位“1”的几分之几（分率）； ③列出除法算式，即已知量÷已知量占单位“1”的几分之几＝单位“1”的量。 2. 已知两个数，求一个数比另一个数多或少几分之几。 求一个数比另一个数多或少几分之几，口诀是“作差除比后”。 3. 已知比一个数多或少几分之几的数是多少，求这个数 （1）已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数，用分量÷（1+分率）=单位“1”。 （2）已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数，用分量÷（1－分率）=单位“1”。 4. 稍复杂的“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”。（量率对应问题） （1）稍复杂的“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的应用题的结构特征：单位“1”是未知的，已知的比较量与所给的几分之几不对应。 （2）解题方法： ①用方程解：找到题中数量间的等量关系，设未知量为x，列出方程。 ②算术法解：找到题中单位“1”，计算出已知量占单位“1”的几分之几，利用已知量÷已知量占单位“1”的几分之几=单位“1”的量（标准量）列式解答。 （3）解题关键：找准单位“1”，弄清谁是谁的几分之几，谁比谁多几分之几，计算出已知量是单位“1”的几分之几。 【第二单元 圆】 知识点一 圆的认识 1． 圆的定义:一条线段绕一个端点旋转360度，另一个端点形成的图形叫圆。 2．圆心 将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。 圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。 3．半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。 半径一般用字母r表示，如图中的线段OA。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5.直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。如图中的线段BC。 6.轴对称图形 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 7.圆的对称轴:直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。 知识点二 圆的周长 1．圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2．圆周率:圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数，我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母π表示，圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，π一般取3.14，世界上第一个把圆周率算到小数点后第七位的人是我国的数学家祖冲之。 3．圆的周长公式。 或 圆周长=π×直径，圆周长=π×半径×2 知识点三 圆的面积 1. 圆的面积:圆所占面积的大小叫圆的面积。 2．圆的面积公式:或者或者 3.在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 4.在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 5.一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是 或。（其中R＝r＋环的宽度） 6．半圆周长＝圆的周长的一半＋半径×2 公式为： 半圆面积＝圆的面积÷2 公式为： 7．在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。 8．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。 9．当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米； 当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 知识点四 扇形 在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆周长的几分之几。 模块三 重难点讲练 能力提升 【重难点考点一】分数与整数的除法 【典型例题】（26-27六年级上·辽宁·单元测试）猜灯谜是元宵节不可缺少的特色活动。现在要将一张彩纸条的裁成4个长度相同的纸条用于书写灯谜，则裁成每个纸条的长度是这张彩纸条的几分之几？下面是小梦分一分，涂一涂的过程，请补充完整。 ( )×( )＝( ) 【举一反三练习】（26-27六年级上·山东·周测）某品牌平板电脑的自动化生产线在电脑基板上插入一个零件的时间仅为秒，2分钟可以插入多少个零件，下面列式正确的是（    ）。 A． B． C． 【重难点考点二】分数与分数的除法 【典型例题】（25-26六年级上·山东德州·阶段检测）吨的大豆可以榨油吨，1吨大豆可以榨油( )吨，榨油1吨需要( )吨大豆。 【举一反三练习】（25-26六年级上·湖北孝感·期中）爱读书的洋洋选择步行到家附近的图书馆阅读打卡，周日上午他从家出发，去图书馆步行小时行了，他步行的速度是( )千米/时；他每行，需要的时间是( )小时。 【重难点考点三】被除数与商的大小关系（分数除法） 【典型例题】（25-26六年级上·甘肃张掖·阶段检测）已知，、、、这4个算式中，结果比a大的算式有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三练习】（26-27六年级上·辽宁·单元测试）在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )    ( )12    ( ) ( )    ( )    ( ) 【重难点考点四】已知一个数的几分之几是多少，求这个数 【典型例题】（2026六年级上·辽宁·专题练习）“祥云”AS700是中国航空工业集团首个按适航规范自主研制且拥有完全自主知识产权的载人飞艇。某旅游公司预订了一批“祥云”AS700，已经交付了30架，占这批订单总数的，这批订单有多少架？ 【举一反三练习】（26-27六年级上·辽宁·周测）松鼠的尾巴长度约占身体长度的，一只松鼠的尾巴的长度是1.8分米，它的身体长度是( )分米；地球上海洋面积是3600万平方千米，占地球总面积的，地球总面积是( )万平方千米。 【重难点考点五】圆的周长 【典型例题】（2026六年级上·辽宁·专题练习）图中的四个正方形的边长均相等，其中阴影部分周长最大的图形是（    ）。 A． B． C． D． 【举一反三练习】（26-27六年级上·山东·周测）计算图形的周长。 【重难点考点六】半圆的周长 【典型例题】（25-26六年级上·浙江湖州·阶段检测）求下方图形的周长（π取3.14）。 【举一反三练习】．（26-27六年级上·全国·课后作业）甲、乙两只蚂蚁以相同的速度从M点爬到N点（如下图），蚂蚁甲选择了路线①，蚂蚁乙选择了路线②，两只蚂蚁谁先到达N点？（    ） A．蚂蚁甲 B．蚂蚁乙 C．同时到达 【重难点考点七】圆的周长的应用 【典型例题】（26-27六年级上·辽宁·周测）某小区内有一个圆形健身广场，新新和亮亮从起点开始同时反向而行，沿着广场散步，新新每分钟走90米，亮亮每分钟走110米，3分钟后他们俩相遇。这个圆形广场的半径是多少米？（取3） 【举一反三练习】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，学校运动场的直道的长度是85.96米，第一条半圆形跑道的直径为72.6米，每条跑道宽1.25米。400米跑时，每条起跑线相差______米。（π取3.14） 【重难点考点八】含圆的组合图形的周长 【典型例题】（25-26六年级下·贵州黔西南·期末）求下图的周长。（π取值3.14） 【举一反三练习】（25-26六年级上·广东佛山·阶段检测）2025年初，国家卫生健康委员会发布了《2025年全民健康体重管理行动计划》，明确提出将体重管理作为年度重点健康工作之一。有一个运动场（如图），两端是半圆形，中间是长方形。 （1）笑笑和淘气进行跑步比赛，他们分别从A、B两点出发，沿各自跑道的内边缘逆时针跑一圈，最后都到达终点线。为了比赛公平，笑笑和淘气的起跑线应相差多少米？ （2）现给这个运动场跑道内（空白部分）铺上草皮，如每平方米造价6元，一共需要多少元？ 【重难点考点九】圆的面积 【典型例题】（26-27六年级上·山东·单元测试）一个圆的半径扩大到原来的3倍，周长和面积分别扩大到原来的（    ）。 A．3倍；3倍 B．3倍；6倍 C．3倍；9倍 【举一反三练习】（2025六年级上·北京·专题练习）将一张边长为2dm的正方形纸，按如图的方法对折四次，剪一刀，展开后得到近似的圆，这个圆的面积约为（    ）dm2。 A．π B．4 C．2π D．4π 【重难点考点十】圆的面积的应用 【典型例题】（2026六年级上·山东·专题练习）钟面上，分针长8厘米，从9：30至10：00，分针的尖端走过的路程是( )厘米，分针扫过的面积是( )平方厘米；如果在一张长10厘米、宽6厘米的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的面积是( )平方厘米。 【举一反三练习】（24-25六年级上·广东佛山·期中）农场有一块靠墙长12米，宽8米的长方形空地。张叔叔想在这块空地靠墙处设计出一个最大的半圆形空地改造成玉米地，剩下的空地改造成白菜地。 （1）玉米地的半径是（    ）。 （2）白菜地的面积是多少平方米？ （3）现在张叔叔想扩建这块地，其中宽不变，长比原来增加。此时正好可以沿着玉米地外沿修一条宽1米的小路（靠墙处不修），扩建后剩下的空地种白菜，求扩建后的白菜地面积是原来的百分之几？（百分号前保留一位小数） 【重难点考点十一】圆环的面积 【典型例题】（26-27六年级上·辽宁·周测）读书使人明智，分享使人进步。梦梦是个读书爱好者，她打算去参加“读书分享会”，与其他人分享阅读心得。如图，是分享会的一张半径是8分米的圆桌，上面铺了一块直径是20分米的圆形桌布，桌布下垂部分的面积是多少平方分米？（先选择，再解答） (1)求桌布下垂部分的面积，相当于求上面( )图形中阴影部分的面积。 (2)请你认真算一算，桌布下垂部分的面积是多少平方分米？ 【举一反三练习】聪聪和明明在研究两个平方数的差时发现了规律： （1）请你根据聪聪和明明发现的规律把下面的算式填写完整。 （__________＋__________）×（___________－_________） （2）求下图中阴影部分的面积。聪聪说可以用“a2－b2”来计算，明明说也可以用“（a＋b）×（a－b）”来计算。你知道明明是怎么想的吗？ （3）运用上面发现的规律计算下图中扇环的面积。（单位：厘米） 【重难点考点十二】求最大面积 【典型例题】（25-26六年级上·陕西咸阳·阶段检测）剪纸是中国民间艺术的瑰宝。每逢喜庆的日子，人们就张贴美丽鲜艳的剪纸来烘托节日的气氛。学校用剪纸装饰书画展，其中“福”字剪纸是从一个长40cm，宽30cm的长方形红纸上剪下的最大的圆，这个圆的周长是( )cm，面积是( )cm2。 【举一反三练习】如图，院子的两堵墙分别为5米和8米，墙外是一片草地，墙上拴着一只小羊，绳长4米如果将小羊A和小羊B分别拴在图1，图2中的位置，哪只小羊吃到草的面积更大一些？相差多少？请用算式或其他方法说明。（结果可用含有π的式子表示） 【重难点考点十三】含圆的组合图形的面积 【典型例题】（25-26六年级上·山东济南·期末）如图，已知长方形的面积等于圆的面积。圆的周长为62.8厘米，求阴影部分的面积。 【举一反三练习】（24-25六年级下·福建厦门·期中）如图，阴影部分的面积相当于甲圆面积的，相当于乙圆面积的，那么甲乙两个圆的周长比是（    ）。 A． B． C． D． 【重难点考点十四】方中圆和圆中方的面积问题 【典型例题】（25-26六年级上·湖南永州·阶段检测）求下面图形阴影部分的面积。（单位：厘米） 【举一反三练习】（24-25六年级上·广西南宁·期末）在学校的科技小制作活动中，有两个机器人在进行移动操作。一个机器人的形状是直径为10厘米的圆形，另一个是边长为10厘米的正方形。它们在一条长轨道上，初始时两者相距28厘米。正方形机器人每秒移动4厘米，圆形机器人比正方形机器人快40%。 （1）当圆形机器人和正方形机器人刚好完全接触（重叠面积最大时），没有重合部分的面积是多少？ （2）正方形和圆形同时开始运动，经过多少秒后恰好完全分开？ 【重难点考点十五】用转化法求园的组合图形的周长与面积 【典型例题】（24-25五年级下·江苏盐城·期末）阳光小学五年级的学生开展实践活动，要在如图所示的涂色部分区域种植菊花和月季花。学校准备在种植区域的周围围上竹篱笆，这圈竹篱笆长( )米，两种花的种植面积一共是( )平方米。 【举一反三练习】（25-26六年级上·湖北武汉·期末）在大圆中画若干个大小不等的半圆（如图）。已知AC＝CD＝DB＝4dm，O是圆心，那么涂色部分的面积是( )dm2。 模块四 优选真题 实战演练 一、选择题 1．（26-27六年级上·辽宁·单元测试）小芳获得30枚“智慧星”，_______，小强获得了多少枚“智慧星”？如果用算式来解决这个问题，应选择的信息是（    ）。 A．小强获得的是小芳的 B．比小强多获得4枚 C．小芳获得的是小强的 2．（26-27六年级上·辽宁·周测）操场上，足球社团正在进行活动。同学们手拉手围成一个周长为28.26米的圆圈，老师站在中心点上讲解和示范足球动作要领，大家听得非常认真。同学们围成的圆圈面积大约是（    ）平方米。 A． B． C． 3．（26-27六年级上·辽宁·单元测试）学校趣味遥控车比赛活动中有两辆赛车模型进行比赛（轨道如图），A车跑内圈2个半圆，B车跑外圈一个大半圆。如果赛车的速度相同，那么（    ）。 A．A车先到终点 B．B车先到终点 C．两车同时到达终点 D．不确定哪辆车先到达终点 4．（2026六年级上·河北·专题练习）接双十一，奥德乐联合商家搞促销活动。有的商家参加了促销活动，其中服装类有48家，占参与促销活动商家的，奥德乐一共有（    ）个商家。 A．240 B．270 C．280 D．320 5.如图，小文在圆内画了一个最大的正方形。若正方形的面积是平方厘米，则圆的面积是（    ）平方厘米。 A．7.85 B．12.56 C．15.7 D．18.84 二、填空题 6．（26-27六年级上·辽宁·周测）把一个圆平均分成24份，再拼成一个近似的长方形（如图），如果这个近似长方形的周长比原来圆的周长增加了10cm，那么，这个圆的半径是( )cm，面积是( )cm2。 7．（26-27六年级上·辽宁·周测）郭沫若先生说：“时间就是生命，时间就是速度，时间就是力量。”闹钟是帮助孩子珍惜时间的小帮手，一个钟面时针长0.6dm，一昼夜时针扫过的面积是( )dm2。 8．（26-27六年级上·河北·周测）中国天文科技发展日新月异，“中国天眼”是全球最大且最灵敏的射电望远镜，超越了美国著名的天文望远镜阿雷西博。“中国天眼”的口径长是500米，是阿雷西博的，则阿雷西博的口径长( )米。 9．（25-26六年级上·河南周口·期末）众创空间是为创业者提供良好工作空间、网络空间、社交空间和资源共享空间的新型创业服务平台。在某众创空间中，科技类公司原来占，后来又进驻了4家科技类公司，这时科技类公司的数量占该众创空间公司总数量的。该众创空间原来有( )家科技类公司。 三、判断题 10．（25-26六年级上·陕西咸阳·阶段检测）在一块正方形纸板上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是28.26cm2，剩余纸板的面积是7.74cm2。( ) 11．（25-26六年级上·湖北武汉·阶段检测）如果（、、不为0），那么。( ) 四、计算题 12．（2026六年级上·辽宁·专题练习）脱式计算。（能简算的要简算）              13．（25-26六年级上·内蒙古乌海·期中）解方程。                   14．（26-27六年级上·辽宁·单元测试）求涂色部分的周长和面积。（单位：cm） （1）        （2） （3）        （4） 15．（2025六年级上·全国·专题练习）求图中阴影部分的周长。（单位：厘米）    五、解答题 16．（2026六年级上·辽宁·专题练习）深度求索（DeepSeek）凭借低成本、高性能的大模型技术在全球AI竞争中异军突起，标志着国产AI基础设施已具备国际竞争力。一位工程师单独测试DeepSeek的新功能，3天完成了全部的，照这样的速度，测试完全部的新功能需要多长时间？ 17．（26-27六年级上·辽宁·单元测试）篆刻艺术是我国传统视觉文化的瑰宝之一。工作室接到一批加急的印章订单。赵师傅单独做3天可完成全部订单的，照这样的速度，赵师傅完成全部印章订单需要多长时间？ 18．（26-27六年级上·辽宁·周测）锅盔店的牛肉馅圆形锅盔有大小两种尺寸，大的直径为16厘米，小的直径为8厘米，两种锅盔的厚度相同。大锅盔每个卖8元，小锅盔每个卖4元。如果你有16元，买哪种锅盔合算？请说明理由。 19．（26-27六年级上·辽宁·周测）读书使人明智，分享使人进步。梦梦是个读书爱好者，她打算去参加“读书分享会”，与其他人分享阅读心得。如图，是分享会的一张半径是8分米的圆桌，上面铺了一块直径是20分米的圆形桌布，桌布下垂部分的面积是多少平方分米？（先选择，再解答） (1)求桌布下垂部分的面积，相当于求上面( )图形中阴影部分的面积。 (2)请你认真算一算，桌布下垂部分的面积是多少平方分米？ 20．（26-27六年级上·山东·单元测试）如图1，是一个边长为的正方形。 (1)在正方形中用圆规画一个最大的圆。 (2)这个圆的周长是( )厘米。 (3)如果把圆剪下来后对折，再对折，沿着虚线剪掉阴影部分后（如图2），将剩下的部分打开是一个( )。 ①圆  ②圆环  ③半圆环 (4)列式计算打开后图形的面积。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null 2026-2027学年北师大版数学六年级上册第一次月考知识点培优讲义「新教材」 第一、二单元 分数除法、圆 （思维导图+知识清单+15个重难点考点讲练+实战演练 共50题●解析版） 重难点考点讲练目录 【重难点考点一】分数与整数的除法 6 【重难点考点二】分数与分数的除法 6 【重难点考点三】被除数与商的大小关系（分数除法） 7 【重难点考点四】已知一个数的几分之几是多少，求这个数 8 【重难点考点五】圆的周长 9 【重难点考点六】半圆的周长 11 【重难点考点七】圆的周长的应用 12 【重难点考点八】含圆的组合图形的周长 14 【重难点考点九】圆的面积 16 【重难点考点十】圆的面积的应用 17 【重难点考点十一】圆环的面积 19 【重难点考点十二】求最大面积 22 【重难点考点十三】含圆的组合图形的面积 23 【重难点考点十四】方中圆和圆中方的面积问题 25 【重难点考点十五】用转化法求园的组合图形的周长与面积 27 模块一 知识梳理 导图指引 模块二 知识清单 温故知新 【第一单元 分数除法】 知识点一 分数除法的计算 1. 分数除法的意义 （1）分数除以整数的意义：一个分数除以整数表示把这个分数平均分成整数份，求每份是多少。 （2）一个数除以的意义：一个数除以分数表示一个数里面有几个另一个数。 2. 分数除以整数（0除外）的计算方法 （1）用分子和整数相除的商做分子，分母不变。 （2）分数除以整数，等于分数乘这个整数的倒数。 3. 一个数除以分数的计算方法：一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数。 4. 商与被除数的大小关系 ①一个数(0除外)除以小于1的数，商比原来的数大。 ②一个数(0除外)除以大于1的数，商比原来的数小。 ③一个数(0除外)除以等于1的数，商与原来的数相等。 5. 分数连除的计算方法：分数连除，可以分步转化为乘法计算，也可以一次都转化为乘法再计算，能约分的要约分。 6. 不含括号的分数混合运算的运算顺序：在一个分数混合运算的算式里，如果只含有同一级运算，按照从左到右的顺序计算；如果含有两级运算，先算第二级运算，再算第一级运算。 7. 含有括号的分数混合运算的运算顺序：在一个分数混合运算的算式里，如果既有小括号又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。 8. 整数的运算定律在分数混合运算中的运用 在进行分数的混合运算中，可以利用加法、减法、乘法、除法的运算定律或运算性质，使计算简便。 知识点二 分数除法解决问题 1. 已知一个数的几分之几是多少，求这个数。 （1）方程法。 ①找准单位“1”的量，设为x； ②找出题目中的等量关系； ③列出方程求解； ④检验作答。 （2）算术法。 单位“1”未知，用除法，分量÷分率=单位“1”。 ①找出单位“1”； ②找出已知量和已知量占单位“1”的几分之几（分率）； ③列出除法算式，即已知量÷已知量占单位“1”的几分之几＝单位“1”的量。 2. 已知两个数，求一个数比另一个数多或少几分之几。 求一个数比另一个数多或少几分之几，口诀是“作差除比后”。 3. 已知比一个数多或少几分之几的数是多少，求这个数 （1）已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数，用分量÷（1+分率）=单位“1”。 （2）已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数，用分量÷（1－分率）=单位“1”。 4. 稍复杂的“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”。（量率对应问题） （1）稍复杂的“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的应用题的结构特征：单位“1”是未知的，已知的比较量与所给的几分之几不对应。 （2）解题方法： ①用方程解：找到题中数量间的等量关系，设未知量为x，列出方程。 ②算术法解：找到题中单位“1”，计算出已知量占单位“1”的几分之几，利用已知量÷已知量占单位“1”的几分之几=单位“1”的量（标准量）列式解答。 （3）解题关键：找准单位“1”，弄清谁是谁的几分之几，谁比谁多几分之几，计算出已知量是单位“1”的几分之几。 【第二单元 圆】 知识点一 圆的认识 1． 圆的定义:一条线段绕一个端点旋转360度，另一个端点形成的图形叫圆。 2．圆心 将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。 圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。 3．半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。 半径一般用字母r表示，如图中的线段OA。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5.直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。如图中的线段BC。 6.轴对称图形 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 7.圆的对称轴:直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。 知识点二 圆的周长 1．圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2．圆周率:圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数，我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母π表示，圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，π一般取3.14，世界上第一个把圆周率算到小数点后第七位的人是我国的数学家祖冲之。 3．圆的周长公式。 或 圆周长=π×直径，圆周长=π×半径×2 知识点三 圆的面积 1. 圆的面积:圆所占面积的大小叫圆的面积。 2．圆的面积公式:或者或者 3.在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 4.在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 5.一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是 或。（其中R＝r＋环的宽度） 6．半圆周长＝圆的周长的一半＋半径×2 公式为： 半圆面积＝圆的面积÷2 公式为： 7．在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。 8．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。 9．当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米； 当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 知识点四 扇形 在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆周长的几分之几。 模块三 重难点讲练 能力提升 【重难点考点一】分数与整数的除法 【典型例题】（26-27六年级上·辽宁·单元测试）猜灯谜是元宵节不可缺少的特色活动。现在要将一张彩纸条的裁成4个长度相同的纸条用于书写灯谜，则裁成每个纸条的长度是这张彩纸条的几分之几？下面是小梦分一分，涂一涂的过程，请补充完整。 ( )×( )＝( ) 【答案】 【思路引导】如图，把这张纸看作单位“1”，平均分成7份，涂出其中的6份。再把涂色的部分平均分成4份，求每个纸条的长度是这张彩纸条的几分之几，就是求的是多少。那么除以4，就等于乘，再用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。算出结果。 【规范解答】 ×＝ 所以，裁成每个纸条的长度是这张彩纸条的。 【举一反三练习】（26-27六年级上·山东·周测）某品牌平板电脑的自动化生产线在电脑基板上插入一个零件的时间仅为秒，2分钟可以插入多少个零件，下面列式正确的是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【思路引导】先将2分钟换算为秒作单位的数，总时间里包含多少个插入1个零件的时间，就能插入多少个零件，用除法计算。 【规范解答】1分钟＝60秒，2分钟对应的秒数为。 插入零件的总个数列式为： 【重难点考点二】分数与分数的除法 【典型例题】（25-26六年级上·山东德州·阶段检测）吨的大豆可以榨油吨，1吨大豆可以榨油( )吨，榨油1吨需要( )吨大豆。 【答案】 /0.625 /1.6 【思路引导】用油的重量除以大豆的重量可得到1吨大豆可以榨油多少吨；用大豆的重量除以油的重量可得到榨油1吨需要多少吨大豆。 【规范解答】＝＝（吨） 1吨大豆可以榨油吨； ＝＝（吨） 榨油1吨需要吨大豆。 【举一反三练习】（25-26六年级上·湖北孝感·期中）爱读书的洋洋选择步行到家附近的图书馆阅读打卡，周日上午他从家出发，去图书馆步行小时行了，他步行的速度是( )千米/时；他每行，需要的时间是( )小时。 【答案】 【思路引导】已知去图书馆步行小时行了 ，根据速度＝路程÷时间，即可求出他步行的速度； 用行走时间除以这段时间行走的路程，即可求出他每行，需要的时间是多少小时。 【规范解答】÷＝×4＝（千米/时） ÷＝×＝（小时） 即他步行的速度是千米/时；他每行，需要的时间是小时。 【重难点考点三】被除数与商的大小关系（分数除法） 【典型例题】（25-26六年级上·甘肃张掖·阶段检测）已知，、、、这4个算式中，结果比a大的算式有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】根据分数乘除法的大小比较规律判断：一个大于0的数乘小于1的数，积小于原数；乘大于1的数，积大于原数。除以小于1的正数，商大于被除数。 【规范解答】：，因此，不符合要求。 ：，因此，符合要求。 ：，因此结果小于，不符合要求。 ：，则，可得，，符合要求。 符合要求的算式共2个。 【举一反三练习】（26-27六年级上·辽宁·单元测试）在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )    ( )12    ( ) ( )    ( )    ( ) 【答案】 ＝ ＞ ＜ ＜ ＝ ＞ 【思路引导】对于除法和乘法比较的式子，首先依据分数除法的计算法则：除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，把除法转化为乘法，再比较两边的大小。 对于一个数除以分数和这个数本身比较的式子，先判断除数和1的大小关系，如果除数大于1，那么商小于被除数；如果除数小于1且不为0，那么商大于被除数，据此直接比较大小。 对于两边都需要计算结果的式子，分别根据分数乘除法的计算方法算出两边的结果，再比较结果的大小。 一个数乘一个比1小的分数，积小于这个数。 【规范解答】＝； ，＞12； ，＜； ＝，16÷＝64，，＜； ＝； ＞，，＞。 【重难点考点四】已知一个数的几分之几是多少，求这个数 【典型例题】（2026六年级上·辽宁·专题练习）“祥云”AS700是中国航空工业集团首个按适航规范自主研制且拥有完全自主知识产权的载人飞艇。某旅游公司预订了一批“祥云”AS700，已经交付了30架，占这批订单总数的，这批订单有多少架？ 【答案】42架 【思路引导】将订单总数看作单位“1”， 已经交付了30架，对应分率是，用30架除以对应分率可求出单位“1”。 【规范解答】（架） 答：这批订单有42架。 【举一反三练习】（26-27六年级上·辽宁·周测）松鼠的尾巴长度约占身体长度的，一只松鼠的尾巴的长度是1.8分米，它的身体长度是( )分米；地球上海洋面积是3600万平方千米，占地球总面积的，地球总面积是( )万平方千米。 【答案】 2.4 5100 【思路引导】根据题意可知身体长度被看作单位“”。“尾巴长度约占身体长度的”。已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法。据此算出身体长度； 根据题意可知地球总面积被看作单位“”。“海洋面积占地球总面积的”。已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法。据此算出地球总面积。 【规范解答】 （分米） （万平方千米） 【重难点考点五】圆的周长 【典型例题】（2026六年级上·辽宁·专题练习）图中的四个正方形的边长均相等，其中阴影部分周长最大的图形是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据组合图形周长计算的方法，结合图示，设正方形的边长是1厘米，分别求出每个图形的阴影部分周长，比较解答即可。 【规范解答】设正方形的边长为1厘米。 A ．阴影部分周长等于直径是1厘米的圆的周长加1条正方形的边长。 （厘米） B．阴影部分周长等于半径是1厘米的圆周长的。 ＝3.14（厘米） C．阴影部分周长等于直径是1厘米的圆的周长加两条正方形的边长。 （厘米） D．阴影部分周长等于直径是1厘米的圆的周长。 （厘米） 因为 所以C图形阴影部分周长最长。 【举一反三练习】（26-27六年级上·山东·周测）计算图形的周长。 【答案】厘米 【思路引导】首先拆分图形的周长组成，该图形的周长由4段半圆弧的长度组成：下方是直径为（厘米）的大半圆的弧长，上方从左到右分别是直径4厘米、3厘米、2厘米的三个小半圆的弧长。利用半圆的弧长公式为，可将各段弧长合并计算，利用乘法分配律逆运算和乘法交换律，简化运算过程。 【规范解答】（厘米） （厘米） 【重难点考点六】半圆的周长 【典型例题】（25-26六年级上·浙江湖州·阶段检测）求下方图形的周长（π取3.14）。 【答案】27.42dm 【思路引导】观察图形，可知图形的周长可以看作由一条一半圆弧和3条直径组成，所以图形的周长＝πd÷2＋3d。 【规范解答】3.14×6÷2＋3×6 ＝9.42＋18 ＝27.42（dm） 【举一反三练习】．（26-27六年级上·全国·课后作业）甲、乙两只蚂蚁以相同的速度从M点爬到N点（如下图），蚂蚁甲选择了路线①，蚂蚁乙选择了路线②，两只蚂蚁谁先到达N点？（    ） A．蚂蚁甲 B．蚂蚁乙 C．同时到达 【答案】C 【思路引导】圆的半圆弧长公式：。分别利用半圆弧长公式求出两条路线的长度再进行比较；已知蚂蚁速度相同，根据，路程相等则所用时间相等。 【规范解答】路线①：求大半圆的弧长 先求大半圆的总直径：（cm） 再用半圆弧长公式：（cm）   路线②：分别求出3个小半圆的弧长，再相加求和 直径2cm半圆弧长：（cm） 直径4cm半圆弧长：（cm） 直径6cm半圆弧长：（cm） 总路程：（cm） 两条路线路程相等，蚂蚁速度相同，所以用时相同，同时到达。 【重难点考点七】圆的周长的应用 【典型例题】（26-27六年级上·辽宁·周测）某小区内有一个圆形健身广场，新新和亮亮从起点开始同时反向而行，沿着广场散步，新新每分钟走90米，亮亮每分钟走110米，3分钟后他们俩相遇。这个圆形广场的半径是多少米？（取3） 【答案】米 【思路引导】因为两人同时反向而行，相遇时两人走过的路程和等于圆形广场的周长，所以先根据：路程和＝速度和×相遇时间，计算广场的周长。如果已经得到圆的周长，那么根据圆的周长公式：，变形得，将已知的取值代入，即可求解半径。 【规范解答】 （米） （米） 答：这个圆形广场的半径是100米。 【举一反三练习】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，学校运动场的直道的长度是85.96米，第一条半圆形跑道的直径为72.6米，每条跑道宽1.25米。400米跑时，每条起跑线相差______米。（π取3.14） 【答案】7.85 【思路引导】仔细观察跑道的组成部分，田径场的跑道是由两个直的跑道和两个半圆形的跑道组成，两个半圆形的跑道可以围成一个圆。 因为跑道有一定的宽度，所以弧形跑道的直径不一样，也就是周长不一样，但比赛时的终点相同，为了比赛公平，起跑线就不能在一条直线上。外面跑道的起跑线要在里面跑道的前面，体育比赛中把这个叫做前伸数。 圆的周长： 结合上图分析：内侧第一条跑道的长度是：3.14×72.6＋85.96×2， 内侧第二条跑道的直径比第一条跑道多了1.25×2＝2.5（米），内侧第二条跑道的长度是：3.14×（72.6＋2.5）＋85.96×2。 比较第一条跑道和第二条跑道的长度，我们可以发现直道的长度（85.96×2）是不变的，第二道比第一道多的长度就是：3.14×（72.6＋2.5）－3.14×72.6，对算式进行化简可知多的长度也就是：3.14×2.5； 继续计算第三条跑道的长度，我们很容易发现，第三条跑道比第二条跑道多的长度是：（3.14×2.5）米。后面每一条跑道的长度都比它里面一条多（3.14×2.5）米，也就是跑道的直径增加量乘π，据此分析即可。 【规范解答】第一条半圆形跑道的直径为72.6米； 第二条跑道半圆形的直径比第一条跑道直径多了1.25×2＝2.5（米）， 第二条半圆形跑道的直径为（72.6＋2.5）米； 同理：第三条半圆形跑道的直径为（72.6＋2.5＋2.5）米； …… 第二条跑道比第一条跑道的长度多： 3.14×（72.6＋2.5）＋85.96×2－[3.14×72.6＋85.96×2] ＝3.14×72.6＋3.14×2.5＋85.96×2－3.14×72.6－85.96×2 ＝3.14×72.6－3.14×72.6＋85.96×2－85.96×2＋3.14×2.5 ＝（3.14×72.6－3.14×72.6）＋（85.96×2－85.96×2）＋3.14×2.5 ＝0＋0＋3.14×2.5 ＝0＋0＋7.85 ＝0＋7.85 ＝7.85（米） 第三条跑道的长度比第二条跑道的长度多： 3.14×（72.6＋2.5＋2.5）＋85.96×2－[3.14×（72.6＋2.5）＋85.96×2] ＝3.14×72.6＋3.14×2.5＋3.14×2.5＋85.96×2－[3.14×72.6＋3.14×2.5＋85.96×2] ＝3.14×72.6＋3.14×2.5＋3.14×2.5＋85.96×2－3.14×72.6－3.14×2.5－85.96×2 ＝3.14×72.6－3.14×72.6＋3.14×2.5－3.14×2.5＋3.14×2.5＋85.96×2－85.96×2 ＝（3.14×72.6－3.14×72.6）＋（3.14×2.5－3.14×2.5）＋3.14×2.5＋（85.96×2－85.96×2） ＝0＋0＋3.14×2.5＋0 ＝0＋0＋7.85＋0 ＝0＋7.85＋0 ＝7.85＋0 ＝7.85（米） 同理可以分析出：后面每一道的长度都比它里面一道多7.85米，也就是跑道的宽度乘2.5乘3.14。 2.5×3.14＝7.85（米） 所以学校运动场的直道的长度是85.96米，第一条半圆形跑道的直径为72.6米，每条跑道宽1.25米。400米跑时，每条起跑线相差7.85米。 【考点剖析】因为终点是一致的，所以起跑线相差的长度也就是这个每条跑道周长的差值。 【重难点考点八】含圆的组合图形的周长 【典型例题】（25-26六年级下·贵州黔西南·期末）求下图的周长。（π取值3.14） 【答案】 29.42cm 【思路引导】由图可知，组合图形由一个长为7cm，宽为6cm的长方形的2条长，1条宽以及一个半径为（6÷2）cm的半圆组成。 【规范解答】6÷2＝3（cm） 7×2＋6＋2×3.14×3÷2 ＝14＋6＋9.42 ＝20＋9.42 ＝29.42（cm） 【举一反三练习】（25-26六年级上·广东佛山·阶段检测）2025年初，国家卫生健康委员会发布了《2025年全民健康体重管理行动计划》，明确提出将体重管理作为年度重点健康工作之一。有一个运动场（如图），两端是半圆形，中间是长方形。 （1）笑笑和淘气进行跑步比赛，他们分别从A、B两点出发，沿各自跑道的内边缘逆时针跑一圈，最后都到达终点线。为了比赛公平，笑笑和淘气的起跑线应相差多少米？ （2）现给这个运动场跑道内（空白部分）铺上草皮，如每平方米造价6元，一共需要多少元？ 【答案】（1）6.28米 （2）57692.16元 【思路引导】（1）先求出笑笑和淘气两个人所在跑道的周长，分别是两个半圆的周长合一起即一个圆的周长（圆的周长公式：C＝2πr），圆的半径分别是32米和33米，再加上中间的两个100米，据此求出两个跑道的周长再求出差值，从而得到笑笑和淘气的起跑线应相差多少米。 （2）先求出空白部分面积，即两个半圆的面积合起来是一个圆的面积（圆的面积公式：S＝πr2），再加上中间长方形的面积。再根据每平方米造价6元，从而求得一共需要多少元。 【规范解答】（1）由图可知，跑道的左右两个半圆可以合成一个圆。所以解答如下： 笑笑：2×3.14×32 ＝6.28×32 ＝200.96（米） 淘气：32＋1＝33（米） 2×3.14×33 ＝6.28×33 ＝207.24（米） 207.24－200.96＝6.28（米） 答：笑笑和淘气的起跑线应相差6.28米。 （2）3.14×322 ＝3.14×1024 ＝3215.36（平方米） 32×2×100 ＝64×100 ＝6400（平方米） 3215.36＋6400＝9615.36（平方米） 9615.36×6＝57692.16（元） 答：一共需要57692.16元。 【考点剖析】（1）熟练掌握圆的周长的计算方法； （2）熟练掌握圆的面积的计算方法。 【重难点考点九】圆的面积 【典型例题】（26-27六年级上·山东·单元测试）一个圆的半径扩大到原来的3倍，周长和面积分别扩大到原来的（    ）。 A．3倍；3倍 B．3倍；6倍 C．3倍；9倍 【答案】C 【思路引导】结合圆的周长、面积计算公式，根据积的变化规律求解即可。 【规范解答】圆的周长公式： 半径扩大到原来的3倍后新周长：，周长扩大到原来的3倍。 圆的面积公式： 半径扩大到原来的3倍后新面积：，面积扩大到原来的9倍。 【举一反三练习】（2025六年级上·北京·专题练习）将一张边长为2dm的正方形纸，按如图的方法对折四次，剪一刀，展开后得到近似的圆，这个圆的面积约为（    ）dm2。 A．π B．4 C．2π D．4π 【答案】A 【思路引导】正方形边长为2dm，对折四次后剪一刀得到的近似圆，其半径约等于正方形边长的一半，即2÷2＝1dm，然后根据圆的面积公式计算即可。 【规范解答】2÷2＝1（dm） π×12 ＝π×1 ＝π（dm2） 所以这个圆的面积是πdm2。 故答案为：A 【考点剖析】本题关键在于确定圆的半径，对折四次后剪一刀得到的近似圆，其半径约等于正方形边长的一半；再根据圆的面积公式求出圆的面积。 【重难点考点十】圆的面积的应用 【典型例题】（2026六年级上·山东·专题练习）钟面上，分针长8厘米，从9：30至10：00，分针的尖端走过的路程是( )厘米，分针扫过的面积是( )平方厘米；如果在一张长10厘米、宽6厘米的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的面积是( )平方厘米。 【答案】 25.12 100.48 28.26 【思路引导】从9：30至10：00，分针经过了30分钟。分针60分钟转一圈，30分钟转半圈，即分针的尖端走过的路程是半径为8厘米的圆周长的，分针扫过的面积是半径为8厘米的圆面积的；根据圆的周长公式C＝2πr，圆的面积公式S＝πr2，分别求出分针的尖端走过的路程和扫过的面积。 如果在一张长10厘米、宽6厘米的长方形纸上画一个最大的圆，那么这个最大圆的直径等于长方形的宽，根据圆的面积公式S＝πr2，求出这个圆的面积。 【规范解答】10时－9时30分＝30（分钟） 30÷60＝ 分针的尖端走过的路程： 2×3.14×8×＝25.12（厘米） 分针扫过的面积： 3.14×82× ＝3.14×64× ＝100.48（平方厘米） 长方形内最大圆的面积： 3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 【举一反三练习】（24-25六年级上·广东佛山·期中）农场有一块靠墙长12米，宽8米的长方形空地。张叔叔想在这块空地靠墙处设计出一个最大的半圆形空地改造成玉米地，剩下的空地改造成白菜地。 （1）玉米地的半径是（    ）。 （2）白菜地的面积是多少平方米？ （3）现在张叔叔想扩建这块地，其中宽不变，长比原来增加。此时正好可以沿着玉米地外沿修一条宽1米的小路（靠墙处不修），扩建后剩下的空地种白菜，求扩建后的白菜地面积是原来的百分之几？（百分号前保留一位小数） 【答案】（1）6米；（2）39.48平方米；（3）88.8%。 【思路引导】（1）在这块空地靠墙处设计出一个最大的半圆形空地改造成玉米地，则以墙长为直径，因为墙长12m，所以半径是6米，6米＜8米，合理； （2）因为白菜地面积是空地面积－玉米地面积，即长方形面积－半圆面积即可求解； （3）长比原来增加，即现在的长为12×（1＋）＝14（米），沿着玉米地外沿修一条宽1米的小路（靠墙处不修），即现在玉米地的半径比原来的半径多1米，求出扩建后的长方形面积与半圆面积再相减，然后求出的扩建后的白菜地面积÷原来白菜地面积，再把结果算到至少第四位小数，保留三位小数并转化成百分数即可求解。 【规范解答】（1）12÷2＝6（米） 6米＜8米，合理， 所以玉米地的半径为6米。 （2）12×8＝96（平方米） 3.14×6×6× ＝3.14×36× ＝3.14×18 ＝56.52（平方米） 96－56.52＝39.48（平方米） 答：白菜地的面积是39.48平方米。 （3）12×（1＋）＝14（米） 14×8＝112（平方米） 6＋1＝7（米） 3.14×7×7× ＝153.86× ＝76.93（平方米） 112－76.93＝35.07（平方米） 35.07÷39.48≈0.888＝88.8% 答：扩建后的白菜地面积是原来的88.8%。 【考点剖析】半圆面积是圆的面积一半，记得×；重点理解题目中的条件“沿着玉米地外沿修一条宽1米的小路（靠墙处不修）”意思是原来半圆的半径增加1米。 【重难点考点十一】圆环的面积 【典型例题】（26-27六年级上·辽宁·周测）读书使人明智，分享使人进步。梦梦是个读书爱好者，她打算去参加“读书分享会”，与其他人分享阅读心得。如图，是分享会的一张半径是8分米的圆桌，上面铺了一块直径是20分米的圆形桌布，桌布下垂部分的面积是多少平方分米？（先选择，再解答） (1)求桌布下垂部分的面积，相当于求上面( )图形中阴影部分的面积。 (2)请你认真算一算，桌布下垂部分的面积是多少平方分米？ 【答案】(1)B (2)113.04平方分米 【思路引导】（1）观察图形可知，桌布下垂部分的面积＝桌布的面积－圆桌的面积，桌布是直径20分米的大圆，圆桌是半径为8分米的小圆，所以桌布下垂部分的面积等于大圆的面积减去小圆的面积，对比图形A、B、C，只有图形B的阴影部分的面积是两个圆的面积之差，据此解答。 （2）已知圆桌的半径是8分米即小圆半径r＝8分米，圆形桌布的直径20分米，即大圆半径R＝10分米；求桌布下垂部分的面积，也就是求两个圆的面积之差，即圆环的面积，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算，求出桌布下垂部分的面积。 【规范解答】（1）桌布下垂部分的面积＝桌布的面积－圆桌的面积＝大圆的面积－小圆的面积 图形A的阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积 图形B的阴影部分的面积＝大圆的面积－小圆的面积 图形C的阴影部分的面积＝圆的面积－正方形的面积 所以求桌布下垂部分的面积，相当于求上面B图形中阴影部分的面积。 （2）20÷2＝10（分米） 3.14×（102－82） ＝3.14×（100－64） ＝3.14×36 ＝113.04（平方分米） 答：桌布下垂部分的面积是113.04平方分米。 【举一反三练习】聪聪和明明在研究两个平方数的差时发现了规律： （1）请你根据聪聪和明明发现的规律把下面的算式填写完整。 （__________＋__________）×（___________－_________） （2）求下图中阴影部分的面积。聪聪说可以用“a2－b2”来计算，明明说也可以用“（a＋b）×（a－b）”来计算。你知道明明是怎么想的吗？ （3）运用上面发现的规律计算下图中扇环的面积。（单位：厘米） 【答案】（1）15；5；15；5 （2）见详解 （3）141.3平方厘米 【思路引导】（1）根据给出的两个平方数的差的算式，发现规律：两个数的平方差，等于这两个数的和乘这两个数的差。据此解答。 （2）因为正方形的面积＝边长×边长，两个正方形的边长分别为a、b，阴影部分的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积，所以聪聪得出用“a2－b2”来计算；而明明把阴影部分的图形进行了剪拼，重新组合成一个长为（a＋b）、宽为（a－b）的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，所以明明得出阴影面积也可以用“（a＋b）×（a－b）”来计算。 （3）从图中可以看出，扇环的面积＝大扇形的面积－小扇形的面积，扇形是的圆，扇形的面积＝πr2，再结合第（1）题的规律，求出扇环的面积。 【规范解答】（1） （2）明明把左图沿虚线剪开，把剪掉的小长方形拼到剩下的大长方形的右侧，如右图；这样阴影部分转化成一个长为（a＋b）、宽为（a－b）的长方形，根据长方形的面积公式，所以阴影部分的面积为：（a＋b）×（a－b）。 （3）×3.14×14.52－×3.14×5.52 ＝×3.14×（14.52－5.52） ＝×3.14×（14.5＋5.5）×（14.5－5.5） ＝×3.14×20×9 ＝3.14×45 ＝141.3（平方厘米） 【考点剖析】找出算式的规律、数与形的规律以及运用规律解决实际问题是解题的关键。 【重难点考点十二】求最大面积 【典型例题】（25-26六年级上·陕西咸阳·阶段检测）剪纸是中国民间艺术的瑰宝。每逢喜庆的日子，人们就张贴美丽鲜艳的剪纸来烘托节日的气氛。学校用剪纸装饰书画展，其中“福”字剪纸是从一个长40cm，宽30cm的长方形红纸上剪下的最大的圆，这个圆的周长是( )cm，面积是( )cm2。 【答案】 94.2 706.5 【思路引导】根据题意可知，在这张长方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽，根据圆的周长＝πd，圆的面积＝πr2，把数据代入公式解答。 【规范解答】①3.14×30＝94.2（cm） 即这个圆的周长是94.2cm； ②30÷2＝15（cm） 3.14×152＝3.14×225＝706.5（cm2） 即这个圆的面积是706.5cm2。 【举一反三练习】如图，院子的两堵墙分别为5米和8米，墙外是一片草地，墙上拴着一只小羊，绳长4米如果将小羊A和小羊B分别拴在图1，图2中的位置，哪只小羊吃到草的面积更大一些？相差多少？请用算式或其他方法说明。（结果可用含有π的式子表示） 【答案】小羊A吃到草的面积大一些，相差3π平方米。 【思路引导】观察图形可知，小羊A能吃到草的面积等于半径是4米的圆的面积的，小羊B能吃到草的面积等于半径是4米的圆的面积的一半加上半径是（4－2）米的圆的面积的，根据圆的面积公式：S＝πr2，分别求出小羊A和小羊B的面积，据此进行计算即可。 【规范解答】 ＝ ＝12π（平方米） ＝ ＝ ＝9π（平方米） 12π平方米＞9π平方米 12π—9π＝3π（平方米） 答：小羊A吃到菜的面积大一些，相差3π平方米。 【考点剖析】本题考查圆的面积，明确小羊A和小羊B吃草的范围是解题的关键。 【重难点考点十三】含圆的组合图形的面积 【典型例题】（25-26六年级上·山东济南·期末）如图，已知长方形的面积等于圆的面积。圆的周长为62.8厘米，求阴影部分的面积。 【答案】235.5平方厘米 【思路引导】看图可知，长方形的宽＝圆的半径，圆的半径＝周长÷圆周率÷2，圆的面积＝圆周率×半径的平方，计算出圆的面积即长方形面积，阴影部分的面积＝长方形面积－圆的面积。 【规范解答】62.8÷3.14÷2＝10（厘米） 3.14×－3.14×× ＝3.14×100－3.14×100× ＝314－314× ＝314－78.5 ＝235.5（平方厘米） 答：阴影部分的面积是235.5平方厘米。 【举一反三练习】（24-25六年级下·福建厦门·期中）如图，阴影部分的面积相当于甲圆面积的，相当于乙圆面积的，那么甲乙两个圆的周长比是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】阴影部分的面积是甲、乙两圆的公共部分，所以可以先通过它求出两圆的面积比，再根据“周长比等于半径比，而面积比是半径比的平方”求出周长比。 【规范解答】设阴影部分的面积为S。 因为，所以 又因为，所以 ∶＝∶＝16∶9 因为， 所以，周长比为4∶3 【考点剖析】关键是先利用公共部分求出两圆的面积比，再根据“周长比等于半径比，而面积比是半径比的平方”求出周长比。 【重难点考点十四】方中圆和圆中方的面积问题 【典型例题】（25-26六年级上·湖南永州·阶段检测）求下面图形阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】 4.56平方厘米 【思路引导】正方形的对角线等于圆的直径厘米，根据求出圆的半径，再用圆的面积公式：计算圆的面积。可以把这个正方形沿着图中的对角线拆分成2个完全相同的等腰直角三角形：每个三角形的斜边就是正方形的对角线（长4厘米），斜边上的高为另一条对角线的一半，等于圆的半径，高＝（厘米），通过三角形的面积公式：求出一个三角形的面积，再乘2，即可算出空白正方形的面积。最后用圆的面积减去空白正方形的面积，得到阴影部分的面积。 【规范解答】（平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 【举一反三练习】（24-25六年级上·广西南宁·期末）在学校的科技小制作活动中，有两个机器人在进行移动操作。一个机器人的形状是直径为10厘米的圆形，另一个是边长为10厘米的正方形。它们在一条长轨道上，初始时两者相距28厘米。正方形机器人每秒移动4厘米，圆形机器人比正方形机器人快40%。 （1）当圆形机器人和正方形机器人刚好完全接触（重叠面积最大时），没有重合部分的面积是多少？ （2）正方形和圆形同时开始运动，经过多少秒后恰好完全分开？ 【答案】（1）21.5平方厘米 （2）5秒 【思路引导】（1）重叠时，圆在正方形内，相当于正方形内画一个最大的圆，求没有重合部分的面积，就是用正方形面积－圆的面积；根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 （2）把正方形机器人的速度看作单位“1”，圆形机器人的速度是正方形机器人速度的（1＋40%），用正方形机器人的速度×（1＋40%），求出圆形机器人的速度。求经过多少秒后恰好完全分开，先求出正方形机器人走过的路程与圆形机器人走过的路程和，正方形机器人与圆形机器人相距的距离＋正方形机器人的边长的长度＋圆形机器人的直径的长度，就是两个机器人完全分开后的路程，再根据时间＝路程÷速度，用正方形机器人走过的路程与圆形机器人走过的路程和÷正方形机器人的速度与圆形机器人的速度和，即可解答。 【规范解答】（1）10×10－3.14×（10÷2）2 ＝10×10－3.14×52 ＝100－3.14×25 ＝100－78.5 ＝21.5（平方厘米） 答：没有重合部分的面积是21.5平方厘米。 （2）4×（1＋40%） ＝4×140% ＝5.6（厘米） （28＋10＋10）÷（4＋5.6） ＝（38＋10）÷9.6 ＝48÷9.6 ＝5（秒） 答：经过5秒后恰好完全分开。 【考点剖析】解答本题的关键是求出正方形机器人与圆形机器人走过的路程。 【重难点考点十五】用转化法求园的组合图形的周长与面积 【典型例题】（24-25五年级下·江苏盐城·期末）阳光小学五年级的学生开展实践活动，要在如图所示的涂色部分区域种植菊花和月季花。学校准备在种植区域的周围围上竹篱笆，这圈竹篱笆长( )米，两种花的种植面积一共是( )平方米。 【答案】 50.24 64 【思路引导】（1）分析题目，竹篱笆的长度等于2个直径是8米的圆的周长，根据圆的周长＝πd代入数据列式计算即可； （2）分析题目，通过割补法可知：花的种植面积等于边长等于8米的正方形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长列式计算即可。 【规范解答】3.14×8×2 ＝25.12×2 ＝50.24（米） 8×8＝64（平方米） 因此，这圈竹篱笆长50.24米，两种花的种植面积一共是64平方米。 【举一反三练习】（25-26六年级上·湖北武汉·期末）在大圆中画若干个大小不等的半圆（如图）。已知AC＝CD＝DB＝4dm，O是圆心，那么涂色部分的面积是( )dm2。 【答案】50.24 【思路引导】如图，利用割补的方法整合涂色部分，涂色部分的面积等于半径为（4＋4＋4）÷2＝6（dm）的大半圆面积减去1个半径为4÷2＝2（dm）的小半圆面积。根据圆的面积公式：S＝πr2，代入数值分别求出大半圆和小半圆的面积，二者相减即可求解。 【规范解答】大半圆半径：（4＋4＋4）÷2 ＝（8＋4）÷2 ＝12÷2 ＝6（dm） 小半圆半径：4÷2＝2（dm） 涂色部分的面积：3.14×62÷2－3.14×22÷2 ＝3.14×36÷2－3.14×4÷2 ＝3.14×（36÷2－4÷2） ＝3.14×（18－2） ＝3.14×16 ＝50.24（dm2） 涂色部分的面积是50.24dm2。 【考点剖析】利用割补转化思想，将不规则的涂色部分整合，转化为大半圆面积减去1个小半圆面积的规则图形的面积差，再根据圆的面积公式：S＝πr2计算半圆面积，相减即可求解，化繁为简是解题关键。 模块四 优选真题 实战演练 一、选择题 1．（26-27六年级上·辽宁·单元测试）小芳获得30枚“智慧星”，_______，小强获得了多少枚“智慧星”？如果用算式来解决这个问题，应选择的信息是（    ）。 A．小强获得的是小芳的 B．比小强多获得4枚 C．小芳获得的是小强的 【答案】C 【思路引导】已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法，对应量除以对应分率得到单位“1”的量，所以是将小强获得的数量看作单位“1”。 【规范解答】A．小强获得的是小芳的，是把小芳的数量看作单位“1，求小强数量列式为，不符合题意； B．小芳比小强多获得4枚，求小强数量列式为30－4，不符合题意； C．小芳获得的是小强的，把小强获得的数量看作单位“1”，求单位“1”的量列式为，符合要求。 2．（26-27六年级上·辽宁·周测）操场上，足球社团正在进行活动。同学们手拉手围成一个周长为28.26米的圆圈，老师站在中心点上讲解和示范足球动作要领，大家听得非常认真。同学们围成的圆圈面积大约是（    ）平方米。 A． B． C． 【答案】B 【思路引导】根据周长求出半径：半径＝周长÷2π，再代入公式：圆的面积＝πr2计算即可。 【规范解答】半径：28.26÷2÷3.14＝4.5（米） 面积：π×4.52＝20.25π（平方米） 3．（26-27六年级上·辽宁·单元测试）学校趣味遥控车比赛活动中有两辆赛车模型进行比赛（轨道如图），A车跑内圈2个半圆，B车跑外圈一个大半圆。如果赛车的速度相同，那么（    ）。 A．A车先到终点 B．B车先到终点 C．两车同时到达终点 D．不确定哪辆车先到达终点 【答案】C 【思路引导】A车跑的路程为一个小圆的周长，B车跑的路程为大圆周长的一半，赛车的速度相同，比较两车跑的路程，路程短的赛车会赢。 【规范解答】A车：3.14×4＝12.56（米） B车：2×3.14×4÷2＝12.56（米） 因为A车路程＝B车路程，A车速度＝B车速度，所以两车同时到达终点。 4．（2026六年级上·河北·专题练习）接双十一，奥德乐联合商家搞促销活动。有的商家参加了促销活动，其中服装类有48家，占参与促销活动商家的，奥德乐一共有（    ）个商家。 A．240 B．270 C．280 D．320 【答案】B 【思路引导】先将参与促销活动的商家数量看作单位“1”，用服装类商家48家除以其占促销商家的分率，可算出促销商家总数；再将奥德乐总商家数看作单位“1”，用促销商家数除以其占总商家的分率，即可求出总商家数。 【规范解答】 （家） 5．（人教版数学六年级上册6.5图形的认识与测量（2）练习卷）如图，小文在圆内画了一个最大的正方形。若正方形的面积是平方厘米，则圆的面积是（    ）平方厘米。 A．7.85 B．12.56 C．15.7 D．18.84 【答案】C 【思路引导】圆内最大的正方形面积等于圆的半径乘直径，据此计算出半径的平方，再根据求出圆的面积。 【规范解答】（平方厘米） （平方厘米） （平方厘米 二、填空题 6．（26-27六年级上·辽宁·周测）把一个圆平均分成24份，再拼成一个近似的长方形（如图），如果这个近似长方形的周长比原来圆的周长增加了10cm，那么，这个圆的半径是( )cm，面积是( )cm2。 【答案】 5 78.5 【思路引导】根据圆面积公式的推导过程可知，把一个圆剪拼成一个近似长方形，拼成的长方形的长等于圆周长的一半，长方形的宽等于圆的半径，拼成的长方形的周长比圆的周长增加了两条半径的长度，如果这个近似长方形的周长比原来圆的周长增加了10厘米，据此可以用10除以2求出半径，面积不变，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 【规范解答】10÷2＝5（cm） 5×5×3.14 ＝25×3.14 ＝78.5（cm2） 所以，这个圆的半径是5cm，面积是78.5cm2。 7．（26-27六年级上·辽宁·周测）郭沫若先生说：“时间就是生命，时间就是速度，时间就是力量。”闹钟是帮助孩子珍惜时间的小帮手，一个钟面时针长0.6dm，一昼夜时针扫过的面积是( )dm2。 【答案】2.2608 【思路引导】时针长0.6dm就是圆的半径；一昼夜是24小时，时针转2圈。先根据圆的面积公式：S＝πr2，π取3.14，先求出1圈面积，再乘2，即可解答。 【规范解答】3.14×0.62×2 ＝3.14×0.36×2 ＝1.1304×2 ＝2.2608（dm2） 8．（26-27六年级上·河北·周测）中国天文科技发展日新月异，“中国天眼”是全球最大且最灵敏的射电望远镜，超越了美国著名的天文望远镜阿雷西博。“中国天眼”的口径长是500米，是阿雷西博的，则阿雷西博的口径长( )米。 【答案】350 【思路引导】已知“中国天眼”的口径长是500米，是阿雷西博的，把阿雷西博的口径看作单位“1”，单位“1”未知，用“中国天眼”的口径除以，求出阿雷西博的口径。 【规范解答】500÷ ＝500× ＝350（米） 9．（25-26六年级上·河南周口·期末）众创空间是为创业者提供良好工作空间、网络空间、社交空间和资源共享空间的新型创业服务平台。在某众创空间中，科技类公司原来占，后来又进驻了4家科技类公司，这时科技类公司的数量占该众创空间公司总数量的。该众创空间原来有( )家科技类公司。 【答案】 12 【思路引导】因为非科技类公司的数量始终未变，所以可将其设为单位“1”，把原来和现在科技类公司数量转化为占非科技类公司的占比。因为进驻4家科技类公司后，科技类公司占非科技类公司的占比发生了变化，所以用4除以该占比的差值，可求出非科技类公司的数量。 【规范解答】3÷（8－3）＝ 4÷（9－4）＝ 4÷（ ）＝20（家） 20＝12（家） 三、判断题 10．（25-26六年级上·陕西咸阳·阶段检测）在一块正方形纸板上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是28.26cm2，剩余纸板的面积是7.74cm2。( ) 【答案】 【思路引导】（）首先明确正方形内最大圆的特征，因为圆是正方形内剪下的最大的圆，所以圆的直径等于正方形的边长。 （）已知圆的面积，根据圆的面积公式，可以求出圆的半径，进而得到圆的直径，也就是正方形的边长。 （）根据正方形面积公式 ：，计算正方形的面积，再用正方形面积减去圆的面积，将得到的结果和题目给出的剩余面积比较，判断对错。 【规范解答】 因为，所以圆的半径是，直径为（），即正方形边长为。 正方形面积：（） 剩余纸板面积：（），和题干数值一致。 故答案为： 11．（25-26六年级上·湖北武汉·阶段检测）如果（、、不为0），那么。( ) 【答案】 √ 【思路引导】先将除法转化为乘法，再比较三个乘法算式中已知因数的大小，乘积一定时，已知因数越小，对应的未知因数越大。 【规范解答】 原等式转化为： 比较已知因数大小： 因此。 故答案为：√ 四、计算题 12．（2026六年级上·辽宁·专题练习）脱式计算。（能简算的要简算）              【答案】；；17；3 【思路引导】根据除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，先把除法变成乘法，再按照自左往右的顺序依次进行计算。 先算括号里的分数乘分数，再用除以括号里得出的积，计算时把除法变成乘法进行计算； 先把改写成×1，两项乘法中有公因数，再运用乘法分配律把提出来进行简便运算； 运用乘法的分配律，把括号里的两项分别与24相乘，再把所得的积相减即可。 【规范解答】×÷ ＝×× ＝× ＝ ＝÷ ＝×3 ＝ ＝×1 ＝×（17＋1） ＝×18 ＝17 （－）×24 ＝×24－×24 ＝18－15 ＝3 13．（25-26六年级上·内蒙古乌海·期中）解方程。                   【答案】；； 【思路引导】（1）方程两边先同时乘，再同时除以，求出方程的解； （2）先把方程化简成，然后方程两边同时除以，求出方程的解； （3）先把方程化简成，然后方程两边同时除以，求出方程的解。 【规范解答】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 14．（26-27六年级上·辽宁·单元测试）求涂色部分的周长和面积。（单位：cm） （1）        （2） （3）        （4） 【答案】（1）周长：62.8cm；面积：62.8cm2 （2）周长：33.42cm；面积：15.87cm2 （3）周长：49.12cm；面积：38.88cm2 （4）周长：75.36cm；面积：226.08cm2 【思路引导】（1）涂色是圆环，周长＝外圆周长＋内圆周长，圆环面积＝大圆面积−小圆面积。 （2）涂色周长＝梯形2条腰＋梯形下底＋半圆弧长，涂色面积＝梯形面积−半圆面积。 （3）周长＝大圆的弧＋小圆的弧＋正方形3条边长，面积＝正方形面积－（大圆面积－小圆面积）。 （4）周长＝大圆周长的一半＋一个完整小圆的周长，把上方突出的小半圆，补到下方空白小半圆里，正好拼成一个大半圆，面积＝大半圆的面积。 圆的周长公式：C＝πd＝2πr，圆的面积公式：S＝πr2，半圆面积公式：S＝πr2÷2，正方形面积公式：S＝a2，梯形面积公式：S＝（a＋b）h÷2，圆环面积公式：S＝π（R2－r2），π取3.14。 【规范解答】（1）周长：2×3.14×6＋2×3.14×4 ＝37.68＋25.12 ＝62.8（cm） 面积：3.14×（62－42） ＝3.14×（36－16） ＝3.14×20 ＝62.8（cm2） （2）周长：5＋5＋14＋3.14×（6÷2） ＝24＋3.14×3 ＝24＋9.42 ＝33.42（cm） 面积：（6＋14）×（6÷2）÷2－3.14×（6÷2）2÷2 ＝20×3÷2－3.14×32÷2 ＝30－3.14×9÷2 ＝30－14.13 ＝15.87（cm2） （3）周长：2×3.14×8÷4＋3.14×8÷2＋8×3 ＝12.56＋12.56＋24 ＝49.12（cm） 半径：8÷2＝4（cm） 面积：8×8－（3.14×82÷4－3.14×42÷2） ＝64－（3.14×64÷4－3.14×16÷2） ＝64－（50.24－25.12） ＝64－25.12 ＝38.88（cm2） （4）周长：2×3.14×12÷2＋3.14×12 ＝37.68＋37.68 ＝75.36（cm） 面积：3.14×122÷2 ＝3.14×144÷2 ＝226.08（cm2） 15．（2025六年级上·全国·专题练习）求图中阴影部分的周长。（单位：厘米）    【答案】35.12厘米 【思路引导】由题图可知阴影部分的周长为大圆周长的一半＋小圆周长的一半＋大圆的直径－小圆的半径＋小圆的半径，根据圆的周长公式分别求出大圆、小圆的周长的一半，代入计算即可。 【规范解答】2×3.14×5÷2＋2×3.14×3÷2＋5×2－3＋3 ＝15.7＋9.42＋10 ＝35.12（厘米） 阴影部分的周长是35.12厘米。 五、解答题 16．（2026六年级上·辽宁·专题练习）深度求索（DeepSeek）凭借低成本、高性能的大模型技术在全球AI竞争中异军突起，标志着国产AI基础设施已具备国际竞争力。一位工程师单独测试DeepSeek的新功能，3天完成了全部的，照这样的速度，测试完全部的新功能需要多长时间？ 【答案】 7天 【思路引导】这是一道工程问题，解决这类问题需要依据工作总量＝工作效率×工作时间。本题把全部测试任务工作总量看作单位“1”，先根据已知的工作时间和完成的工作量，算出每天完成的任务占总任务的分率，即先求工作效率；再用工作总量“1”除以工作效率，即可得到总工作时间。 【规范解答】÷3 ＝× ＝ 1÷ ＝1×7 ＝7（天） 答：测试完全部的新功能需要7天。 17．（26-27六年级上·辽宁·单元测试）篆刻艺术是我国传统视觉文化的瑰宝之一。工作室接到一批加急的印章订单。赵师傅单独做3天可完成全部订单的，照这样的速度，赵师傅完成全部印章订单需要多长时间？ 【答案】13.5天 【思路引导】将全部订单的工作量看作单位“1”，先求出每天的工作效率，再用总工作量除以工作效率得到总工作时间。 【规范解答】 ＝ ＝ 1÷ ＝1× ＝13.5（天） 答：赵师傅完成全部印章订单需要13.5天。 18．（26-27六年级上·辽宁·周测）锅盔店的牛肉馅圆形锅盔有大小两种尺寸，大的直径为16厘米，小的直径为8厘米，两种锅盔的厚度相同。大锅盔每个卖8元，小锅盔每个卖4元。如果你有16元，买哪种锅盔合算？请说明理由。 【答案】买大锅盔合算。 16÷8＝2（个），3.14×（16÷2）2×2＝401.92（平方厘米） 16÷4＝4（个），3.14×（8÷2）2×4＝200.96（平方厘米） 401.92＞200.96，同样16元，买大锅盔得到的总面积更大，所以买大锅盔合算。 【思路引导】锅盔厚度一样，比较合不合算要看总面积。先用直径除以2分别求出大、小锅盔的半径，根据圆面积公式S＝πr2求出单个锅盔面积；用总钱数÷每个锅盔的单价，求出能够购买的数量；再用单个面积×购买数量，得到买到的总面积，最后比较总面积，面积大的更合算。 【规范解答】大锅盔半径：16÷2＝8（厘米） 单个大锅盔面积：3.14×82 ＝3.14×64 ＝200.96（平方厘米） 可买大锅盔数量：16÷8＝2（个） 买大锅盔的总面积：200.96×2＝401.92（平方厘米） 小锅盔半径：8÷2＝4（厘米） 单个小锅盔面积：3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 可买小锅盔数量：16÷4＝4（个） 买小锅盔的总面积：50.24×4＝200.96（平方厘米） 401.92＞200.96 答：买大锅盔合算，同样花16元，买到大锅盔的总面积更大。 19．（26-27六年级上·辽宁·周测）读书使人明智，分享使人进步。梦梦是个读书爱好者，她打算去参加“读书分享会”，与其他人分享阅读心得。如图，是分享会的一张半径是8分米的圆桌，上面铺了一块直径是20分米的圆形桌布，桌布下垂部分的面积是多少平方分米？（先选择，再解答） (1)求桌布下垂部分的面积，相当于求上面( )图形中阴影部分的面积。 (2)请你认真算一算，桌布下垂部分的面积是多少平方分米？ 【答案】(1)B (2)113.04平方分米 【思路引导】（1）观察图形可知，桌布下垂部分的面积＝桌布的面积－圆桌的面积，桌布是直径20分米的大圆，圆桌是半径为8分米的小圆，所以桌布下垂部分的面积等于大圆的面积减去小圆的面积，对比图形A、B、C，只有图形B的阴影部分的面积是两个圆的面积之差，据此解答。 （2）已知圆桌的半径是8分米即小圆半径r＝8分米，圆形桌布的直径20分米，即大圆半径R＝10分米；求桌布下垂部分的面积，也就是求两个圆的面积之差，即圆环的面积，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算，求出桌布下垂部分的面积。 【规范解答】（1）桌布下垂部分的面积＝桌布的面积－圆桌的面积＝大圆的面积－小圆的面积 图形A的阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积 图形B的阴影部分的面积＝大圆的面积－小圆的面积 图形C的阴影部分的面积＝圆的面积－正方形的面积 所以求桌布下垂部分的面积，相当于求上面B图形中阴影部分的面积。 （2）20÷2＝10（分米） 3.14×（102－82） ＝3.14×（100－64） ＝3.14×36 ＝113.04（平方分米） 答：桌布下垂部分的面积是113.04平方分米。 20．（26-27六年级上·山东·单元测试）如图1，是一个边长为的正方形。 (1)在正方形中用圆规画一个最大的圆。 (2)这个圆的周长是( )厘米。 (3)如果把圆剪下来后对折，再对折，沿着虚线剪掉阴影部分后（如图2），将剩下的部分打开是一个( )。 ①圆  ②圆环  ③半圆环 (4)列式计算打开后图形的面积。 【答案】(1) (2)12.56 (3)② (4)9.42平方厘米 【思路引导】（1）画出正方形的两条对角线，以两线的交点为圆心，再以这个正方形边长的一半为半径，画圆，即正方形内最大的圆。 （2）正方形内圆的直径等于正方形边长，求出圆的直径；再根据圆的周长＝π×直径，求出圆的周长。 （3）把圆剪下来对折，再对折，此时圆被平均分成了4份，沿着虚线剪掉阴影部分后，将剩下的部分打开，会发现是一个圆环，因为剪掉的部分是一个小的四分之一的圆，剩下的部分是圆环。 （4）根据圆环的面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），据此解答。 【规范解答】（1）图略 （2）3.14×4＝12.56（厘米） （3）根据分析可知，如果把圆剪下来后对折，再对折，沿着虚线剪掉阴影部分后，将剩下的部分打开是一个圆环。 （4）4÷2＝2（厘米） 3.14×（22－12） ＝3.14×（4－1） ＝3.14×3 ＝9.42（平方厘米） 答：打开后的图形面积是9.42平方厘米。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $