2.1 等式性质与不等式性质讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦等式与不等式性质核心知识点，系统梳理作差法、作商法比较大小，不等式的对称性、传递性等性质，构建从概念到用不等式表示关系、比较大小、求范围、证明的完整学习支架。 资料通过商品利润、平流层高度等现实情境培养数学眼光，以作差法步骤等训练数学思维，用不等式表达实际问题提升数学语言能力。课中辅助教师分题型教学，课后检测题助力学生查漏补缺。

2.1 等式性质与不等式性质 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．不等关系与不等式 （1）两个实数比较大小的方法 ①作差法 横线上为______ ②作商法 （2）不等式的性质 ①对称性：________； ②传递性：，________； ③可加性：，，； ④可乘性：，；，； ⑤可乘方：________（，）； ⑥可开方：（，）． （3）不等式的倒数性质 ①，． ②． ③，． ④或． 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 用不等式表示不等关系 基础知识 核心知识 现实中的大小多少高低等数量关系可以转化为不等式符号 不等符号包含><≥≤ ≥表示大于或等于≤表示小于或等于 方法技巧 1.仔细读题抓取关键词如至少至多不小于不大于 2.合理设定变量 3.根据文字描述翻译成不等式 4.检验变量本身的实际取值限制 典型例题 【例题 1】（2026高三·全国·专题练习）某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 【答案】 【详解】提价后商品的售价为元，则提高了元，销售量减少了件， 则利润为元（）， 则，化简得. 销售量为非负，结合提价要求得， 故. 【例题2】（25-26高三上·辽宁锦州·期末）平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求解每个选项中的绝对值不等式对照题意判断即可. 【详解】对于A：由，得，解得，不满足题意，故A不正确； 对于B：由，得，解得，不满足题意，故B不正确； 对于C：由，得，解得，不满足题意，故C不正确； 对于D：由，得，解得，满足题意，故D正确. 故选：D. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·全国·课后作业）用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意建立不等式模型即可. 【详解】“利润率降低”意味着原来的利润率大于新的利润率，故. 故选：A. 【巩固练习2】（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意计算每段耗时，相加即可求解. 【详解】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时， 即． 故选：D． 【巩固练习3】（2025高一上·广东东莞·专题练习）中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据已知写出不等式即可. 【详解】由长、宽、高之和不超过，得， 由体积不超过，得． 故选：C 【题型2】 作差法与作商法比较代数式的大小 基础知识 核心知识 作差法：；； 作商法：时；； 方法技巧 1.作差法步骤：作差→变形（因式分解/配方）→判断符号→得出大小关系 2.作商法仅适用于两个代数式均为正数的情况 3.变形优先因式分解或者配方方便判断正负 4.含参数时需要分类讨论参数取值 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·课后作业）已知，试比较的大小. 【答案】 【详解】因为， 所以. 【例题2】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）（1）已知，，，，比较p与q的大小，并说明理由； （2）已知，，比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1），理由： 由， ， 作差得 . 因 ，，故 ，又 ， 所以 ，即 ，当且仅当 时取等号. （2），理由： 作差得 . 因 ，，故 ，，又 ， 所以 ， 即 ，当且仅当 时取等号. 【分析】利用差比较法判断两者的大小关系. 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知非零实数，，用作差法比较讨论：与的大小关系. 【答案】当时，；当时，；当时，. 【详解】， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 综上，当时，；当时，；当时，. 【巩固练习2】（25-26高一上·重庆·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）设，比较与的大小. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用作差法比较大小. （2）利用作商法比较大小. 【详解】（1）， 所以. （2）由，得，，， 因此， 所以. 【巩固练习3】（25-26高一下·四川成都·期中）已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 【答案】A 【详解】，故 【题型3】 由不等式的性质判断不等式是否正确 基础知识 核心知识 不等式基本性质 对称性： 传递性： 可加性： 可乘性：； 同向可加： 同向同正可乘： 方法技巧 1.熟记不等式性质特别注意乘负数不等号方向改变 2.判断命题错误可以举反例快速排除 3.注意正数负数的限制条件 4.区分同向不等式可加不能直接相减 典型例题 【例题1】（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测）（多选）对于实数，，，下列命题是真命题的为（    ） A．若且，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【详解】因为，所以，故A错误； 因为，，所以，故B错误； 因为，所以，，所以，故C正确； 因为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，所以，故D正确. 【例题2】（26-27高三上·四川·阶段检测）（多选）已知，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，且，则 【答案】AC 【详解】对于选项A： ∵ ，可知，即，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变. ∴ ，故A正确. 对于选项B： 取反例：，，，，满足，， 此时，，，不满足，故B错误. 对于选项C： 作差得. ∵ ，∴ ，. ∴ ，即，故C正确. 对于选项D： 取反例：，，，满足且， 此时，，，即，不满足. 故D错误. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·浙江·开学考试）（多选）若，，则下列不等式中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用不等式的基本性质推导即可. 【详解】由可得，故A对. 由可得，故B错. 由，可得，，所以 ，故C错. 由，可得，，所以， 即，所以，故D对. 【巩固练习2】（26-27高三上·山东日照·开学考试）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】ACD 【详解】对于A，若，则．若，则． 故，A正确； 对于B，若，，满足，则，B错误； 对于C，若，则，，C正确； 对于D，若，，则，， 故，即，D正确． 【巩固练习3】（26-27高三上·福建龙岩·阶段检测）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用作差法计算判断各个选项. 【详解】对于A，由题意，即，故A错误； 对于B，由题意，即，故B错误； 对于C，由题意，即，故C正确； 对于D，由题意，即，故D错误. 【题型4】 由不等式的性质求新的代数式范围 基础知识 核心知识 已知多个不等式求线性组合代数式取值范围 不能单独求出变量范围再直接代入计算容易扩大范围 方法技巧 1.设目标代数式为已知式子的线性组合 2.待定系数求出组合系数 3.利用同向不等式可加性求范围 4.避免分别求x y范围再运算造成区间放大 典型例题 【例题1】（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）已知，，则的取值范围为_____________________． 【答案】 【分析】先将变形为，再分别求出和的范围，利用同向不等式的可加性，即可得到的取值范围. 【详解】将原式变形： . 因为，所以 ①； 又，所以， 所以 ②； 将①和②相加可得， ，即， 故的取值范围为. 【例题2】（25-26高一下·广东·期末）已知，且，则的最大值是________． 【答案】5 【详解】当取最小值，取最大值3的时候，的最大值为5． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·上海·期末）已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用不等式的性质来确定的取值范围. 【详解】，，又因为， ，即． 【巩固练习2】（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】利用不等式待定系数配凑求解 【详解】设 展开得 对比系数列方程得，解得 所以 因为， 所以，即 ，两不等式相加得，即 【巩固练习3】（25-26高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用不等式的性质求解即可. 【详解】由于， 则，所以, 即, 则的取值范围为; 故答案为： 【题型5】 由不等式的性质证明不等式 基础知识 核心知识 利用不等式的基本性质作差法传递性完成推证 证明需要保证每一步变形依据不等式性质 方法技巧 1.方法优先选用作差法再结合不等式性质推导 2.严格写出每一步推理依据 3.注意符号对不等号方向的影响 4.同向不等式只能相加不能随意相减 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·课后作业）已知，求证:. 【答案】证明：方法一：因为，所以， 所以，所以， 所以， 即，所以， 又因为，所以. 方法二： 因为，所以， 所以，所以， 所以，因此. 【分析】利用不等式的性质及作差法比较，即可得到结论． 【例题2】（25-26高一上·天津河北·阶段检测）（1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 【答案】（1）； （2）因为，可得， 又因为，所以，所以， 因为，所以. 【分析】（1）根据题意，利用作差比较法，即可求解； （2）根据题意，利用不等式的基本性质，即可得证. 【详解】（1）解：由，， 则， 因为，可得，所以； 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·黑龙江辽宁·阶段检测）（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 【答案】 （1），且，所以且，即； （2）， 因为，所以，，即， 所以，即． 【分析】（1）对平方比较即可； （2）作差得，再根据，得到，即可证明． 【巩固练习2】（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. (1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； (2)已知，，是三角形的三边，求证：. 【答案】(1)，证明： 由，得， 所以. (2) 证明：由（1）及，，是三角形的三边，得，则， 同理， 所以. 【分析】（1）写出“糖水不等式”，再利用作差证明即得； （2）利用“糖水不等式”，结合不等式的性质推理得证. 【巩固练习3】（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1) 由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. (2) 由，而， 所以，即，得证. 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 课后过关检测 一、单选题 1．（26-27高一上·北京西城·阶段检测）设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由于，故，即，故A错误； 对于B、C，取，，，， 此时，，，， 所以，，故B、C错误； 对于D，因为，，故， 所以，故D正确． 2．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（     ） A．加固定金额的方式 B．加固定体积的方式 C．两种方案一样 D．要视具体价格而定 【答案】A 【分析】设两次加油的油价分别为，（，且），分别计算两种方案的平均油价，然后比较即得到答案. 【详解】设两次加油的油价分别为，（，且）， 乙方案每次加油的量为；甲方案每次加油的钱数为， 则乙方案的平均油价为， 甲方案的平均油价为， 因为，所以，即甲方案更经济． 3．（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 【答案】B 【详解】对于A，若，则等式变形不成立；A错误； 对于B，若，则，， 所以，B正确； 对于C，时，满足，但，C错误； 对于D，， 因为，所以，但的符号不确定， 当时，，当时，，当时，，D错误. 二、多选题 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列关于不等关系的说法正确的是（　　） A．某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h（米）满足 B．用不等式表示“a与b的差是非负数”为 C．不等式的含义是指x不小于2 D．若或之中有一个成立，则成立 【答案】ACD 【详解】A选项，“限高4.5米”，即车载货物高度h（米）满足，A正确； B选项，用不等式表示“a与b的差是非负数”为，B错误； C选项，不等式的含义是指x大于2或等于2，即x不小于2，C正确； D选项，若或之中有一个成立，则成立，D正确 5．（26-27高一上·福建泉州·开学考试）已知为实数，下列命题中一定成立的是（   ） A．若，则   B．若，则   C．若 且  ，则   D．若，则   【答案】ACD 【详解】已知，不等式两边同时加上同一个实数，不等式方向不变，所以，正确； 已知，当时，，错误； 已知且，不等式两边同时乘同一个负数，不等式方向改变，即，正确； 已知，对于正数，分母越大，分数越小，即，正确. 6．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】A选项，当时，，所以A选项错误； B选项，若，则，所以，所以B选项正确； C选项，若，则，所以C选项错误； D选项，若，则，则，所以D选项正确. 7．（2026高一·全国·专题练习）已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由，，得，则，故A正确； 对于B，由，，得，则，故B正确； 对于C，由，，得，则，故C错误； 对于D，由，，得，，则，故D正确. 8．（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知a，b，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】本题考查不等式的基本性质与幂函数单调性的应用，需结合性质或反例逐项判断命题正误。 【详解】选项A：举反例，取，，满足，但，因此A错误； 选项B：因为，且，所以，即，因此B正确； 选项C：函数在上单调递增，若，则必有，也可作差验证：，因此C正确； 选项D：由得，两边同乘负数时不等号方向改变，得，举反例：，，因此D错误. 9．（26-27高三上·山西临汾·阶段检测）下列命题为真命题的是（    ） A． B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【详解】A.∵，， 又∵，∴ 即，故A错误； B.∵，∴，又∵，∴，故B正确； C.∵，∴，又∵，∴，故C正确； D.∵，又，， ∴，∴，即，故D错误. 三、填空题 10．（26-27高一上·全国·课后作业）若，则与的大小关系为________.与1的大小关系为________　. 【答案】 ≤ <1 【详解】，当且仅当 时等号成立， 所以 ，所以 11．（26-27高一上·全国·课后作业）设，，则p与的大小为　________　． 【答案】p≥4q 【详解】因为， ， 则 , 故,当且仅当时取等号． 12．（26-27高一上·全国·课后作业）某矿山车队有4辆载重为的甲型卡车和7辆载重为的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，如果设每天派出甲型卡车辆，乙型卡车辆，则满足上述所有不等关系的不等式组为________. 【答案】 【详解】根据题意得，需要满足如下不等关系：①， ，化简为②， 又③，④,且；⑤ 由①、②、③、④、⑤组成不等式组，即. 四、解答题 13．（2026高一·全国·专题练习）如图，在一个面积小于的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L（单位m）大于宽W（单位：m）的4倍．矩形地基应满足哪些不等关系？请用不等式组表示． 【答案】 【详解】因为仓库的长L大于宽W的4倍，所以， 因为矩形地基面积小于，所以， 则所求不等式组为. 14．（26-27高一上·全国·课后作业）比较大小. 【答案】 【详解】由于，则. 15．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，求的取值范围. 【答案】 【分析】先得到，再根据不等式的性质求解即可. 【详解】设，则，解得， 故. 由，， 得，， 两式相加得，即的取值范围为. 16．（2026高一·全国·专题练习）已知，，求的取值范围． 【答案】 【详解】因为，所以； 由 ． 所以， 即． 所以的取值范围为. $2.1 等式性质与不等式性质 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．不等关系与不等式 （1）两个实数比较大小的方法 ①作差法 横线上为______ ②作商法 （2）不等式的性质 ①对称性：________； ②传递性：，________； ③可加性：，，； ④可乘性：，；，； ⑤可乘方：________（，）； ⑥可开方：（，）． （3）不等式的倒数性质 ①，． ②． ③，． ④或． 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 用不等式表示不等关系 基础知识 核心知识 现实中的大小多少高低等数量关系可以转化为不等式符号 不等符号包含><≥≤ ≥表示大于或等于≤表示小于或等于 方法技巧 1.仔细读题抓取关键词如至少至多不小于不大于 2.合理设定变量 3.根据文字描述翻译成不等式 4.检验变量本身的实际取值限制 典型例题 【例题 1】（2026高三·全国·专题练习）某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 【例题2】（25-26高三上·辽宁锦州·期末）平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·全国·课后作业）用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2025高一上·广东东莞·专题练习）中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【题型2】 作差法与作商法比较代数式的大小 基础知识 核心知识 作差法：；； 作商法：时；； 方法技巧 1.作差法步骤：作差→变形（因式分解/配方）→判断符号→得出大小关系 2.作商法仅适用于两个代数式均为正数的情况 3.变形优先因式分解或者配方方便判断正负 4.含参数时需要分类讨论参数取值 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·课后作业）已知，试比较的大小. 【例题2】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）（1）已知，，，，比较p与q的大小，并说明理由； （2）已知，，比较与的大小，并说明理由． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知非零实数，，用作差法比较讨论：与的大小关系. 【巩固练习2】（25-26高一上·重庆·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）设，比较与的大小. 【巩固练习3】（25-26高一下·四川成都·期中）已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 【题型3】 由不等式的性质判断不等式是否正确 基础知识 核心知识 不等式基本性质 对称性： 传递性： 可加性： 可乘性：； 同向可加： 同向同正可乘： 方法技巧 1.熟记不等式性质特别注意乘负数不等号方向改变 2.判断命题错误可以举反例快速排除 3.注意正数负数的限制条件 4.区分同向不等式可加不能直接相减 典型例题 【例题1】（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测）（多选）对于实数，，，下列命题是真命题的为（    ） A．若且，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【例题2】（26-27高三上·四川·阶段检测）（多选）已知，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，且，则 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·浙江·开学考试）（多选）若，，则下列不等式中正确的有（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（26-27高三上·山东日照·开学考试）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【巩固练习3】（26-27高三上·福建龙岩·阶段检测）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型4】 由不等式的性质求新的代数式范围 基础知识 核心知识 已知多个不等式求线性组合代数式取值范围 不能单独求出变量范围再直接代入计算容易扩大范围 方法技巧 1.设目标代数式为已知式子的线性组合 2.待定系数求出组合系数 3.利用同向不等式可加性求范围 4.避免分别求x y范围再运算造成区间放大 典型例题 【例题1】（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）已知，，则的取值范围为_____________________． 【例题2】（25-26高一下·广东·期末）已知，且，则的最大值是________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·上海·期末）已知，，则的取值范围是________． 【巩固练习2】（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，则的取值范围为______ 【巩固练习3】（25-26高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围为___________． 【题型5】 由不等式的性质证明不等式 基础知识 核心知识 利用不等式的基本性质作差法传递性完成推证 证明需要保证每一步变形依据不等式性质 方法技巧 1.方法优先选用作差法再结合不等式性质推导 2.严格写出每一步推理依据 3.注意符号对不等号方向的影响 4.同向不等式只能相加不能随意相减 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·课后作业）已知，求证:. 【例题2】（25-26高一上·天津河北·阶段检测）（1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·黑龙江辽宁·阶段检测）（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 【巩固练习2】（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. (1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； (2)已知，，是三角形的三边，求证：. 【巩固练习3】（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求证：； (2)求证：. 课后过关检测 一、单选题 1．（26-27高一上·北京西城·阶段检测）设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（     ） A．加固定金额的方式 B．加固定体积的方式 C．两种方案一样 D．要视具体价格而定 3．（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 二、多选题 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列关于不等关系的说法正确的是（　　） A．某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h（米）满足 B．用不等式表示“a与b的差是非负数”为 C．不等式的含义是指x不小于2 D．若或之中有一个成立，则成立 5．（26-27高一上·福建泉州·开学考试）已知为实数，下列命题中一定成立的是（   ） A．若，则   B．若，则   C．若 且  ，则   D．若，则   6．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（2026高一·全国·专题练习）已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知a，b，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（26-27高三上·山西临汾·阶段检测）下列命题为真命题的是（    ） A． B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 三、填空题 10．（26-27高一上·全国·课后作业）若，则与的大小关系为________.与1的大小关系为________　. 11．（26-27高一上·全国·课后作业）设，，则p与的大小为　________　． 12．（26-27高一上·全国·课后作业）某矿山车队有4辆载重为的甲型卡车和7辆载重为的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，如果设每天派出甲型卡车辆，乙型卡车辆，则满足上述所有不等关系的不等式组为________. 四、解答题 13．（2026高一·全国·专题练习）如图，在一个面积小于的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L（单位m）大于宽W（单位：m）的4倍．矩形地基应满足哪些不等关系？请用不等式组表示． 14．（26-27高一上·全国·课后作业）比较大小. 15．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，求的取值范围. 16．（2026高一·全国·专题练习）已知，，求的取值范围． $