周周测10 3.1椭圆定义及其性质应用（数学人教A版选择性必修第一册）

**基本信息** 聚焦椭圆定义及性质应用，通过基础辨析（如定义判断轨迹）、综合应用（如弦中点方程）和创新探究（如定直线证明）的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与运算能力，适配高二周测巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|椭圆定义、焦距条件、离心率|基础概念辨析，如定义判断轨迹类型| |多选|3/18|焦点三角形周长、面积|多维度性质考查，如存在性判断| |填空|3/15|方程参数范围、焦点三角形中点|隐含条件转化，如中点在轴上求距离| |解答|5/77|方程求解、弦长、面积最值、定值证明|综合应用与创新，如17题定直线证明、18题斜率之和定值，贴合高考椭圆综合题命题趋势|

2026-2027学年高二上学期数学周周测10 3.1椭圆定义及其性质应用 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．“”是“椭圆的焦距为8”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 2．曲线与曲线的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 3．若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．直线与椭圆只有一个交点，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则实数等于（    ） A． B． C． D． 6．已知是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上.当最大时，求（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，P为椭圆上一动点，，则下列结论正确的有（    ） A．的周长为8 B．的最大面积为 C．存在点P使得 D．的最大值为5 8．已知椭圆M：的左右焦点分别为，左右顶点分别为，P是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．周长为 B．面积最大值为 C．存在点P满足： D．若面积为，则点P横坐标为 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则______，______. 10．已知椭圆的焦点为、，若在长轴上任取一点，过点作垂直于的直线交椭圆于点，若使得的点的概率为，则的值为________． 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，过作不平行于坐标轴的直线交于A，B两点，且的周长为. (1)求的方程； (2)若轴于点M，轴于点N，直线AN与BM交于点C. ①求证：点C在一条定直线上，并求此定直线； ②求面积的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测10 3.1椭圆定义及其性质应用 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．“”是“椭圆的焦距为8”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】对椭圆的焦点所在轴进行分类，当时，焦点在轴上，根据椭圆的性质，可得m=3，当时，焦点在轴上，根据椭圆的性质，可得，再根据充分必要条件原理即可判断结果． 【详解】由当时，焦点在轴上，焦距，则， 由，则， 当时，焦点在轴上，由焦距，则， 由，则 ， 故或，所以“”是“椭圆的焦距为8”的充分不必要条件. 【点睛】充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件的判断的一般方法： ①充分不必要条件：如果，且，则说p是q的充分不必要条件； ②必要不充分条件：如果，且，则说p是q的必要不充分条件； ③既不充分也不必要条件：如果，且，则说p是q的既不充分也不必要条件. 2．曲线与曲线的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【解析】两个椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，进而可得出结论. 【详解】对于椭圆，，，，离心率为， 对于椭圆，，，，离心率为. 因此，两椭圆的焦距相等. 故选：D. 3．若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点差法求解得，再根据点斜式求解即可得答案. 【详解】设，则 所以，整理得， 因为为弦的中点， 所以， 所以， 所以弦所在直线的方程为，即. 故选：A. 4．直线与椭圆只有一个交点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立直线与椭圆的方程，消去，根据即可求解. 【详解】由，消去并整理得， 因为直线与椭圆只有一个交点， 所以，得． 故选:C. 5．若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件可得出关于的等式，即可求得实数的值. 【详解】由题意可得，，，所以，，解得. 故选：B. 6．已知是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上.当最大时，求（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理可得时最大，利用三角形的面积公式即得. 【详解】由椭圆的方程可得，，，则， 所以 ， 当且仅当则时等号成立，即为椭圆短轴端点时最大， 此时，. 故选：C. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，P为椭圆上一动点，，则下列结论正确的有（    ） A．的周长为8 B．的最大面积为 C．存在点P使得 D．的最大值为5 【答案】AB 【分析】利用椭圆的定义及几何性质逐项判断即可. 【详解】解：对A，由椭圆，可得的周长为：，故A正确； 对B，当P为椭圆短轴顶点时，的面积最大，且最大面积为：，故B正确； 对C，当P为椭圆短轴顶点时，为最大，此时，即为锐角，所以不存在点P使得，故C错误； 对D，由椭圆，所以，又，所以，所以，故D错误. 故选：AB. 8．已知椭圆M：的左右焦点分别为，左右顶点分别为，P是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．周长为 B．面积最大值为 C．存在点P满足： D．若面积为，则点P横坐标为 【答案】BD 【分析】根据椭圆的定义判断A，利用椭圆的性质可得面积最大值判断B，求出当是短轴端点时的后可判断C，由三角形面积求得点坐标后可判断D． 【详解】由题意，，，短轴一个端点， 由题知，故周长为，故A错误； 利用椭圆的性质可知面积最大值为，故B正确； 因为，所以，从而，而是椭圆上任一点时，当是短轴端点时最大，因此不存在点满足，故C错误； 因为，， 则，，故D正确． 故选：BD． 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则______，______. 【答案】 【解析】由条件可得轴，然后可得，然后利用定义算出即可. 【详解】因为线段的中点在轴上，所以可得轴，即 所以，所以 所以 故答案为：； 10．已知椭圆的焦点为、，若在长轴上任取一点，过点作垂直于的直线交椭圆于点，若使得的点的概率为，则的值为________． 【答案】 【分析】设，则点，由求得的取值范围，利用几何概型的概率公式可取得的值. 【详解】设，则点，， 在椭圆中，，，， ，， 则， 可得， 由题意可得，，解得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：常见的几何概型类型如下： （1）长度型； （2）面积型； （3）体积型. 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，过作不平行于坐标轴的直线交于A，B两点，且的周长为. (1)求的方程； (2)若轴于点M，轴于点N，直线AN与BM交于点C. ①求证：点C在一条定直线上，并求此定直线； ②求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)①证明见解析，；②. 【分析】（1）由题意可得，求出，再由离心率为求出，由可求出，从而可求出椭圆方程， （2）由题可设直线方程为，代入椭圆方程中整理后利用根与系数的关系，表示出直线和的方程，联立可求出点的横坐标，即得；然后结合条件可表示出ABC面积，换元化简后利用基本不等式可求得答案. 【详解】（1）由椭圆定义可知的周长为，即， 因为离心率，所以， 又因为，所以， 故的方程为. （2）①依题意，设直线AB方程为. 联立，得， 易知 设，，则，. 因为轴，轴， 所以，. 所以直线AN：， 直线BM：， 联立解得. 从而点C在定直线上. ②因为， 又，则， 设，则， 当且仅当，即时，等号成立， 故面积的最大值为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测10 3.1椭圆定义及其性质应用 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知点，动点P满足，则点P的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义即可求解. 【详解】解： ， 故， 又， 根据椭圆的定义可知：P的轨迹为椭圆. 故选：A. 2．“”是“椭圆的焦距为8”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】对椭圆的焦点所在轴进行分类，当时，焦点在轴上，根据椭圆的性质，可得m=3，当时，焦点在轴上，根据椭圆的性质，可得，再根据充分必要条件原理即可判断结果． 【详解】由当时，焦点在轴上，焦距，则， 由，则， 当时，焦点在轴上，由焦距，则， 由，则 ， 故或，所以“”是“椭圆的焦距为8”的充分不必要条件. 【点睛】充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件的判断的一般方法： ①充分不必要条件：如果，且，则说p是q的充分不必要条件； ②必要不充分条件：如果，且，则说p是q的必要不充分条件； ③既不充分也不必要条件：如果，且，则说p是q的既不充分也不必要条件. 3．曲线与曲线的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【解析】两个椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，进而可得出结论. 【详解】对于椭圆，，，，离心率为， 对于椭圆，，，，离心率为. 因此，两椭圆的焦距相等. 故选：D. 4．若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点差法求解得，再根据点斜式求解即可得答案. 【详解】设，则 所以，整理得， 因为为弦的中点， 所以， 所以， 所以弦所在直线的方程为，即. 故选：A. 5．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】先将方程化椭圆的标准方程，再由焦点在轴上得到，从而得解. 【详解】方程可化为， 因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以，故，. 故选：D. 6．直线与椭圆只有一个交点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立直线与椭圆的方程，消去，根据即可求解. 【详解】由，消去并整理得， 因为直线与椭圆只有一个交点， 所以，得． 故选:C. 7．若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件可得出关于的等式，即可求得实数的值. 【详解】由题意可得，，，所以，，解得. 故选：B. 8．已知是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上.当最大时，求（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理可得时最大，利用三角形的面积公式即得. 【详解】由椭圆的方程可得，，，则， 所以 ， 当且仅当则时等号成立，即为椭圆短轴端点时最大， 此时，. 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．若椭圆的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（    ） A． B．的长轴长为 C．的短轴长为 D．的离心率为 【答案】AB 【分析】由题意可得椭圆的焦点在轴上，且，可得，求出椭圆的方程，然后逐一判断各选项即可. 【详解】由题意可得椭圆的焦点在轴上，且， 所以，且，， 解得，故A正确； 所以椭圆， 所以，， 所以的长轴长为，故B正确； 所以的短轴长为，故C错误； 所以，故D错误. 故选：AB. 10．已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，P为椭圆上一动点，，则下列结论正确的有（    ） A．的周长为8 B．的最大面积为 C．存在点P使得 D．的最大值为5 【答案】AB 【分析】利用椭圆的定义及几何性质逐项判断即可. 【详解】解：对A，由椭圆，可得的周长为：，故A正确； 对B，当P为椭圆短轴顶点时，的面积最大，且最大面积为：，故B正确； 对C，当P为椭圆短轴顶点时，为最大，此时，即为锐角，所以不存在点P使得，故C错误； 对D，由椭圆，所以，又，所以，所以，故D错误. 故选：AB. 11．已知椭圆M：的左右焦点分别为，左右顶点分别为，P是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．周长为 B．面积最大值为 C．存在点P满足： D．若面积为，则点P横坐标为 【答案】BD 【分析】根据椭圆的定义判断A，利用椭圆的性质可得面积最大值判断B，求出当是短轴端点时的后可判断C，由三角形面积求得点坐标后可判断D． 【详解】由题意，，，短轴一个端点， 由题知，故周长为，故A错误； 利用椭圆的性质可知面积最大值为，故B正确； 因为，所以，从而，而是椭圆上任一点时，当是短轴端点时最大，因此不存在点满足，故C错误； 因为，， 则，，故D正确． 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若方程表示椭圆，则实数的取值范围是______________． 【答案】 【分析】根据方程表示椭圆，列出相应的不等式组，解得答案. 【详解】由方程表示椭圆， 可得 ，解得 且 ， 故实数的取值范围是： ， 故答案为： 13．已知椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则______，______. 【答案】 【解析】由条件可得轴，然后可得，然后利用定义算出即可. 【详解】因为线段的中点在轴上，所以可得轴，即 所以，所以 所以 故答案为：； 14．已知椭圆的焦点为、，若在长轴上任取一点，过点作垂直于的直线交椭圆于点，若使得的点的概率为，则的值为________． 【答案】 【分析】设，则点，由求得的取值范围，利用几何概型的概率公式可取得的值. 【详解】设，则点，， 在椭圆中，，，， ，， 则， 可得， 由题意可得，，解得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：常见的几何概型类型如下： （1）长度型； （2）面积型； （3）体积型. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知椭圆，直线被椭圆截得的弦长为，且，过椭圆的右焦点且斜率为的直线被椭圆截的弦长，求 (1)椭圆的方程； (2)弦的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线过与，得到的关系式，再结合离心率求解即可； （2）联立直线与椭圆方程，由韦达定理得到两交点坐标的关系式，再用弦长公式求解即可. 【详解】（1） 由被椭圆截得的弦长为，得，① 又，即，所以.② 联立①②得，所以所求的椭圆的方程为； （2）椭圆的右焦点的方程为：， 代入椭圆的方程，化简得，， 由韦达定理知，， 从而. 由弦长公式，得， 即弦的长度为. 16．已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，点和点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)求证：； (3)若，求直线的方程． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或. 【分析】（1）由离心率可得，将代入即可求解； （2）由距离公式结合点在椭圆上化简即可得出； （3）根据题意可求得点坐标，即可得出直线方程. 【详解】（1）由题可得，又，则可得， 将代入椭圆可得，则可解得， 所以椭圆的方程为； （2）由（1）可得，因为点在椭圆上，所以， 则， 因为，所以； （3）同（2）可得，解得，则可得， 当时，，则，所以直线的方程为，即； 当时，，则，所以直线的方程为，即； 综上可得直线的方程为或. 17．已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，过作不平行于坐标轴的直线交于A，B两点，且的周长为. (1)求的方程； (2)若轴于点M，轴于点N，直线AN与BM交于点C. ①求证：点C在一条定直线上，并求此定直线； ②求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)①证明见解析，；②. 【分析】（1）由题意可得，求出，再由离心率为求出，由可求出，从而可求出椭圆方程， （2）由题可设直线方程为，代入椭圆方程中整理后利用根与系数的关系，表示出直线和的方程，联立可求出点的横坐标，即得；然后结合条件可表示出ABC面积，换元化简后利用基本不等式可求得答案. 【详解】（1）由椭圆定义可知的周长为，即， 因为离心率，所以， 又因为，所以， 故的方程为. （2）①依题意，设直线AB方程为. 联立，得， 易知 设，，则，. 因为轴，轴， 所以，. 所以直线AN：， 直线BM：， 联立解得. 从而点C在定直线上. ②因为， 又，则， 设，则， 当且仅当，即时，等号成立， 故面积的最大值为 18．已知椭圆经过点，且离心率为. (1)求椭圆E的方程； (2)若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值. 【答案】(1) (2) 证明：由题意可知直线有斜率， 由于与点的连线的斜率为，且的横纵坐标恰好与相反， 因此直线有斜率满足且， 直线的方程为：， 联立直线与椭圆方程：， 设， 则， ， 将代入可得， 故直线AP与AQ的斜率之和为1，即为定值，得证. 【分析】（1）根据离心率以及的几何性质即可求解； （2）联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，根据两点斜率公式，代入化简即可求解. 【详解】（1）由题意可知：， 又，解得， 所以椭圆方程为. （2）略 19．已知椭圆的短轴长为2，椭圆上的点到一个焦点的距离的最大值为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，轴上存在点使得直线与直线的斜率之和为0． （i）求点的坐标； （ii）求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】(1)由短轴长和椭圆上点到焦点的最大距离，结合椭圆基本关系求出，从而得到椭圆方程. (2)（i）设直线方程并联立椭圆，用韦达定理结合斜率和为的条件，求出轴上点的坐标. （ii）用点到直线距离和弦长公式写出面积表达式，换元后用基本不等式求最大值. 【详解】（1）短轴长，椭圆上点到一焦点最大距离， 又， 解得， 椭圆方程为 （2）（i）设过的直线方程为，设、，    代入椭圆方程得， 由可得，即; 依据韦达定理可得，； 设，由可得， 将和代入，化简后得， 将和代入，解得，故． （ii）到直线的距离为， 弦长，其中； 则， 令，则，， 代入面积公式， 由基本不等式，得， 当且仅当(即符合题意)时取等号，所以三角形面积的最大值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测10 3.1椭圆定义及其性质应用 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知点，动点P满足，则点P的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 2．“”是“椭圆的焦距为8”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 3．曲线与曲线的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 4．若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则（    ） A．， B．， C．， D．， 6．直线与椭圆只有一个交点，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则实数等于（    ） A． B． C． D． 8．已知是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上.当最大时，求（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．若椭圆的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（    ） A． B．的长轴长为 C．的短轴长为 D．的离心率为 10．已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，P为椭圆上一动点，，则下列结论正确的有（    ） A．的周长为8 B．的最大面积为 C．存在点P使得 D．的最大值为5 11．已知椭圆M：的左右焦点分别为，左右顶点分别为，P是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．周长为 B．面积最大值为 C．存在点P满足： D．若面积为，则点P横坐标为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若方程表示椭圆，则实数的取值范围是______________． 13．已知椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则______，______. 14．已知椭圆的焦点为、，若在长轴上任取一点，过点作垂直于的直线交椭圆于点，若使得的点的概率为，则的值为________． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知椭圆，直线被椭圆截得的弦长为，且，过椭圆的右焦点且斜率为的直线被椭圆截的弦长，求 (1)椭圆的方程； (2)弦的长度. 16．已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，点和点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)求证：； (3)若，求直线的方程． 17．已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，过作不平行于坐标轴的直线交于A，B两点，且的周长为. (1)求的方程； (2)若轴于点M，轴于点N，直线AN与BM交于点C. ①求证：点C在一条定直线上，并求此定直线； ②求面积的最大值. 18．已知椭圆经过点，且离心率为. (1)求椭圆E的方程； (2)若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值. 19．已知椭圆的短轴长为2，椭圆上的点到一个焦点的距离的最大值为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，轴上存在点使得直线与直线的斜率之和为0． （i）求点的坐标； （ii）求的面积的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $