1.1.1 空间向量及其线性运算 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量的概念、线性运算及共线共面向量，通过类比平面向量，从概念、表示到运算律逐步迁移，搭建从平面到空间的学习支架，帮助学生建立知识联系。 其亮点在于以数学抽象和数学运算为核心，用表格对比平面与空间向量概念，结合长方体实例进行线性运算训练，如例2用向量表示体对角线。自学检测强化直观想象，助力学生深化理解，教师可借助结构化内容提升教学效率。

第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 课时1 空间向量及其线性运算 1 学习目标 1.通过类比平面向量，了解空间向量的有关概念.（数学抽象） 2.通过类比平面向量，学习并掌握空间向量的线性运算：加法、减法以及数乘；掌握 线性运算的运算律：结合律、交换律和分配律.（数学运算） 3.能根据一些条件，在简单的几何体中解决一些向量的运算问题，即掌握空间向量的 应用.（数学运算、直观想象） 2 平面向量的概念 空间向量的概念 平面内，既有大小又有方向的量，称为平面向量，平面向量的大小叫做向量的长度或模， 记作 或|a|. 空间中，既有大小又有方向的量，称为空间向量，空间向量的大小叫做向量的长度或模， 记作 或|a|. 1、空间向量的概念 2.空间向量的表示 平面向量的表示法 空间向量的表示法 (1)有向线段 (1)有向线段 A (起点) B (终点) a (2)字母 a，b，c，… (2)字母 a，b，c，… a c b 印刷体： a 手写体： 3.几类常见的空间向量 名称 定义 表示 零向量 长度为___的向量 单位向量 模为___的向量 ___或 ___ 相反向量 与向量 长度______而方向______的向量 ____ 共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线 __________或______，那么这些向量叫作共线向 量或______向量 规定：零向量与任意向量______ 相等向量 方向______且模______的向量 或 0 1 1 1 相等 相反 互相平行 重合 平行 平行 相同 相等 5 平面向量的相关概念 空间向量的相关概念 共线向量：方向相同或相反的两个非零向量，叫做共线向量或平行向量，记作 a∥b； 规定，零向量和任意向量共线. 共线向量：若表示空间向量的有向线段所在直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作 a∥b； 规定，零向量和任意向量共线. 共线向量： 思考：向量共线具有传递性吗？为什么？ 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 在空间中，任意一个向量都可以进行平移. ( ) √ （2） 在空间中，互为相反向量的两个向量必共线. ( ) √ （3） 空间向量线性运算的结果不一定是向量. ( ) × （4） 任意两个空间向量都不能比较大小. ( ) √ 2.下列说法正确的是( ) . D A.空间向量就是空间中的一条有向线段 B.由于的方向不确定，故 不能与任意向量平行 C.若，则与 共线 D.空间向量的模可以比较大小 7 例1 （1）给出下列说法： ①在正方体中， ； ②若，，则 ； ③若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ④若，是相反向量，则 . 其中说法正确的是______. ①④ （2）如图，在平行六面体 中，由顶点连接而成的向量中，与向量 相等的向量有________________. ，， 8 方法总结 在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向 量中相对应的概念完全相同.由于向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向量有关 概念的问题时，通常抓住这两点来解决.零向量是一个特殊的向量，其方向是任意的， 且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性. 9 巩固训练1 下列说法正确的是( ) . D A.若，则 B.两个有公共终点的向量，一定是共线向量 C.空间内两平行向量相等 D.向量与 的模相同 巩固训练2 如图所示，在由平行六面体 顶点连接而成的所有向量中， 与向量相等的向量有_______________；与向量 相反的向量有_______________ ______.（要求写出所有符合条件的向量） ，，， ，， 10 a b a b O A B 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算，都可以转化为平面向量的运算. 2. 空间向量的线性运算 1.空间向量的加法、减法以及数乘运算 由图（1），知 ① ； ② . 由图（2），知 当 时， ______; 当 时， ______; 当 时， ____. <m></m> <m></m> <m></m> (三角形法则，首尾相接) (平行四边形法则，同起点) (三角形法则，同起点/指向被减向量) 12 2.空间向量的线性运算满足的运算律 交换律： ________. 结合律： _____________， ________. 分配律： __________， . <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> b c a a + b + c a + b b a a + b + c b + c c 13 3.一般地，对于三个不共面的向量 ， ， ，以任意点 为起点， ， ， 为邻边作平行六面体，则 ， ， 的和等于以____为起点的平行六面体的___________所表示的向量. <m></m> 体对角线 O B C D 14 例2 如图所示，在长方体中，设，，， ， ，分别是，，的中点，试用，， 表示以下各向量： （1）；（2）；（3） . 15 [解析] （1）是 的中点， . （2）是 的中点， . （3），分别是， 的中点， . 16 巩固训练 如图，在长方体 中，下列各式的运算 结果为向量 的是( ) . A ； ； ； . A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 17 [解析] ① ； ② ； ③ ； ④ . 故选A. 18 1.空间两个向量共线（平行）的充要条件 对任意两个空间向量，，的充要条件是存在实数 ，使________. 2.直线的方向向量 如图，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点 ，由数乘 向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数 ，使得____.我们把与向量 平行的非零向量称为直线 的__________. 方向向量 3.共线向量、直线的方向向量与共面向量 19 3.与直线、平面平行的向量 如图，如果表示向量的有向线段所在的直线与直线 ______或______，那么称 向量平行于直线.如果直线_____________或____________，那么称向量 平行于 平面 . 平行 重合 平行于平面 在平面 内 4.共面向量 平行于____________的向量，叫作共面向量. 同一个平面 注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量既可能共面， 也可能不共面. 20 b 5.三个向量共面的充要条件 如果两个向量，________，那么向量与向量， 共面的充要条件是存在唯一的 有序实数对，使 _________. 不共线 共面向量定理的推论： O A C B P ①空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y)，使 ②P、A、B、C四点共面的充要条件是对空间任意一点O， 一、三点共线 例3 对于空间的任意一点，以下条件可以判定点,, 共线的是____（填序号）. ； ； ③ . ① 巩固训练 已知向量，且,, ，则一定共线 的三点为( ) . A A.，， B.，， C.，， D.，， 23 [解析] 对于①， ， ， ， ，， 三点共线，故①正确； 对于②，，，, 共线， ,,三点共线，点,, 不一定共线，故②错误； 对于③，,, , 若与平行，则点，， 不共线，故③错误. 24 方法总结 对于空间三点，， ，可通过证明下列结论来证明三点共线. ①存在实数 ，使 成立； ②对空间任意一点，有 ； ③对空间任意一点，有 . 25 二、四点共面 例4 （改编）（多选题）给出下列命题，其中为假命题的是( ) . BD A.空间三点,,不共线，若点满足，则,,, 四点共面 B.若向量,所在的直线是异面直线，则, 不共面 C.若对空间中任意一点，有,则,,, 四点共面 D.若,,,四点共面，则 26 [解析] 因为，所以，所以,, 共面， 所以,,, 四点共面，A正确； 可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间中任意两个向量都 是共面的，B错误； 若对空间中任意一点，有，由于，则 ,A,B,C 四点共面，C正确； 若,,A,B四点共面，其中，A，B三点共线，点与点 ，A，B不共线，则不存在 实数，,使 成立，D错误. 27 方法总结 对于空间三点，， ，可通过证明下列结论来证明三点共线. ①存在实数 ，使 成立； ②对空间任意一点，有 ； ③对空间任意一点，有 . 对于空间四点,,, ,可通过证明下列结论来证明四点共面： （1）存在实数，,使得 成立； （2）对于空间任意一点，有 . 28 巩固训练 （多选题）已知下列四种条件，空间中四点，，， 不共面的是 ( ) . ABD A. B. C. D. 29 [解析] 空间中A，B，C，D四点共面的充要条件是 ，且 ，因为， ，所以空间中四点A，B， C，D不共面，A满足题意； 因为， ，所以空间中四点A，B，C， D不共面，B满足题意； 因为，所以，所以向量，， 共面，即空间 中四点A，B，C，D共面，C不满足题意； 因为，所以 ，又 ，所以空间中四点A，B，C，D不共面，D满足题意. 30 1.在平行六面体中，以顶点为向量的起点或终点，且与向量 的模 相等的向量有( ) . A A.7个 B.3个 C.5个 D.6个 2.在正方体中，下列各组向量与 共面的是( ) . C A.， B.， C.， D.， 31 3.如图，在四面体中，是的中点， ，则 ( ) . B A. B. C. D. 4.如图，在空间四边形中，为的重心，，分别为边， 的中点， 试化简 ，并在图中标出化简结果的向量. 32 [解析] 是的重心，是 边上的中线， . 又 ， （如图所示）. 33 $