1.4.1 课时1 空间中点、直线和平面的向量表示 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量与立体几何，核心内容为空间中点、直线和平面的向量表示，包括位置向量、方向向量及平面法向量。课堂导入通过“几何中点、线、面与向量中对应表示”的问题链，搭建从几何直观到向量抽象的学习支架。 其特色在于以探究活动引导知识生成，结合例题与巩固训练强化逻辑推理和数学运算，如总结平面法向量求法步骤。通过数学抽象与直观想象，助力学生构建空间观念，教师可依托清晰流程提升教学效率。

第一章 空间向量与立体几何 1.4 空间向量的应用 课时1 空间中点、直线和平面的向量表示 1 学习目标 1.能用向量语言描述点、直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量. （数学抽象、直观想象） 2.掌握直线的方向向量和平面的法向量的求法.（逻辑推理、数学运算） 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 2 几何中 点 线 面 向量中 ？ ？ ？ 探究新知 我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面． 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 新知生成 点的向量表示：在空间中，取一定点 <m></m> 作为基点，那么空间中任意一点 <m></m> 就可以用向量 <m></m> 来表示.我们把向量 <m></m> 称为点 <m></m> 的位置向量. 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 例1 在空间直角坐标系中，已知，，点在 轴上，且满足 . （1）求点 的坐标； （2）求点 的位置向量； （3）求点 到原点的距离. 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 5 [解析] （1）依题意设，则有 ， 解得，所以点的坐标为 . （2）因为坐标原点是空间一定点，所以点的位置向量是 . （3）因为，所以点到原点的距离是 . 方法总结 确定空间一点的位置向量的关键是寻找定点，在空间直角坐标系中，一般把坐标 原点当作定点. 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 6 巩固训练 在空间直角坐标系中的位置如图所示，则 边上中点的位置向量 是( ) . B A. B. C. D. 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 7 [解析] 设的中点为D，由题意可知，， ，所以 边的中点D的坐标为，所以边的中点 的位置向量为 . 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 8 P 几何中 向量中 点 方向向量 a A B 点P在直线l上 充要条件 一个点 一个方向 + 如何用向量表示空间中的直线？ 思考2 l 如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取 = a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知： 存在实数t，使得 ，即 线→点+方向向量 探究2 空间中直线的向量表示 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 新知生成 空间直线的向量表示:如图,点A是直线l上的一个点,a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,取定空间中的任意一点O,则点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使=+ta或=+t,这就是空间直线的向量表达式. 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 例2 已知直线的一个方向向量为，且直线过和 两点， 其中,,则 ( ) . D A.0 B.1 C. D.3 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 11 [解析] ， ， . 直线的一个方向向量为，故设 ， ，即， ， . 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 12 巩固训练 （多选题）已知在空间直角坐标系中，点, , ，则下列结论正确的是( ) . AC A.直线的一个方向向量的坐标为 B.直线与平面的交点坐标为 C.点关于平面的对称点为 D. 为钝角 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 13 [解析] 对于A，由，得，故直线 的一个方向向量 为 ，所以A正确； 对于B，，设直线与平面的交点为 ，则 ， 所以，解得即交点为 ，所以B错误； 对于C，点B关于平面的对称点为 ，所以C正确； 对于D，，故 为锐角，所以D错误. 故选 . 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 14 （1）不共线的三点确定一个平面 （2）直线和直线外一点确定一个平面 （3）两条相交直线确定一个平面 （4）两条平行直线确定一个平面 （5）一个定点和两个定方向确定一个平面？ 如何用向量表示空间中的平面？ 思考3 O P a b 这样点O与向量a,b不仅可以确定平面α,还可以具体表示出α内的任意一点.这种表示在解决几何问题时有重要作用. 探究3 空间中平面的向量表示 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 a b B C P A O 探究新知 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式．由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 l 如何用向量表示空间中的平面？ 思考 （5）一个定点和两个定方向确定一个平面？ （6）一个定点和一个定方向确定一个平面？ A P 平面过点A，且是唯一的 a 如图，直线l，取直线l的方向向量a，称向量a为平面的法向量. 如果另有一条直线m⊥，在直线m上任取向量b , b与a有什么关系？ 平面的法向量 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 零向量能作为直线的方向向量和平面的法向量. ( ) × （2） 平面 的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量. ( ) × （3） 直线的方向向量是不唯一的. ( ) √ （4） 在空间直角坐标系中，是坐标平面 的一个法向量. ( ) √ 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 18 y x z D A B C D1 A1 B1 C1 M 典例分析 例3 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1 =2，M为AB中点.以D为原点，DA, DC, DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系. （1）求平面BCC1B1的一个法向量； （2）求平面MCA1的一个法向量． 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 例4 如图，在正方体中，，分别为，的中点， 与 平面交于点.求平面和平面 的法向量. 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 20 [解析] 以为坐标原点，,,所在直线分别为轴、 轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 不妨设正方体的棱长为2，则 , ,, ， 所以,, . 设平面的法向量为 ， 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 21 则 令,可得平面的一个法向量为 . 设平面的法向量为 ， 则 令,可得平面的一个法向量为 . 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 22 方法总结 求平面法向量的步骤 （1）设向量：设平面的法向量 . （2）选向量：在平面内选取两个不共线向量， . （3）列方程组：由 列出方程组. （4）解方程组 （5）赋非零值：取，，的其中一个为非零值（常取 ）. （6）得结论：得到平面的一个法向量. 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 23 巩固训练 在棱长为1的正方体中，为棱的中点，在棱 上是 否存在点，使是平面 的一个法向量？ 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 24 [解析] 如图，建立空间直角坐标系，则， ， ，，1， . 假设存在点 满足条件， 则， . 设平面的法向量 ， 则得 令，则，，即 . 由题意知，由，，，得 ，解得 . 又，所以棱上不存在点，使是平面 的一个法向量. 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 1.若，在直线上，则直线 的一个方向向量是( ) . A A. B. C. D. 2.设平面 的法向量，且平面 过点，则平面 的方程为( ) . A A. B. C. D. 3.若，，是平面 的一个法向量，且，，， 与平面 都平行，则向量 ( ) . D A.，， B.，， C.，， D.，， 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 26 4.平面 经过，，三点，求平面 的一个法向量 . [解析] 由题意得，，设平面 的法向量 ， 则令，则， ， 为平面 的一个法向量. 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 27 2.若点，在直线上，则直线 的一个方向向量是( ) . A A. B. C. D. 3.（多选题）在如图所示的空间直角坐标系中，正方体 的棱长为1，则下列结论正确的是( ) . BC A.直线的一个方向向量为 B.直线的一个方向向量为 C.平面的一个法向量为 D.平面的一个法向量为 4.如图，在正方体中，是的中点，以 为 起点，指出直线 的一个方向向量. 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 28 $