1.4.1.2空间中直线、平面的平行 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，通过提问“能否用方向向量和法向量刻画平行关系”导入，引导学生联系已学的方向向量、法向量知识，搭建从几何到向量方法的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于采用一题多解（如坐标法与基底法证明线线平行）和表格归纳规律，以数学思维进行逻辑推理（如通过法向量垂直或共线证明平行），用数学语言精确表达（向量符号、坐标）。实例丰富如正方体中证线面平行，帮助学生发展空间观念与推理能力，为教师提供结构化教学资源。

1.4.1　空间中直线、平面的平行 (第二课时) 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.(重点) 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系. (难点) 我们知道，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量. 那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系呢，请阅读课本P29-P31，回答上述问题。 3 例1 直线与直线的平行 如图，设 ， 分别是直线 l1，l2 的方向向量. 由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行. 所以 由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系？ 1.已知直线l1的方向向量为=(1,2,3)，直线l2的方向向量为=(λ,4,6)，若l1//l2，则λ=（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知平面α的一个法向量是(2,-1,1)，α//β，下列向量可作为平面β的一个法向量的是（ ） A.(4,2,-2) B.(2,0,4) C.(2,-1,-5) D.(4,-2,2) 解：⸪l1//l2，=2 解：⸪α//β，⸫平面β的一个法向量 ⸫∈R 当=2时， 3.〔一题多解〕如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形， PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝ DB，DA＝ DP＝1，CD＝2.求证：MN∥AP. 数学·选择性必修第一册 目录 证明：法一　由题意知，直线DA，DC，DP两两垂直， 如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分 别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0， 0），A（1，0，0），P（0，0，1），N（0， ， ）， M（ ， ，0），所以 ＝（－1，0，1）， ＝（－ ，0， ）， 所以 ＝ ，又M∉AP，故MN∥AP. 法二　由题意可得 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ × （ ＋ ）＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ （ ＋ ）＝ ，又 M∉AP，所以MN∥AP. 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 证明两直线平行的两种思路 数学·选择性必修第一册 目录 直线与平面的平行 如图，设 是直线l 的方向向量， 是平面α 的法向量， ，若l 与α 平行，则 课本P31 4. 如图，在正方体ABCD –A1B1C1D1中，E, F分别是面AB1，面A1C1的中心. 求证: EF//平面ACD1. A D C B A1 D1 C1 B1 F • E • ∴ EF//平面ACD1. 解： 5.〔一题多解〕在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱 PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点. 证明：PA∥平面EDB. 证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点， 设PD＝DC＝a.连接AC，交BD于点G，连接EG， 依题意得D（0，0，0），A（a，0，0），P（0，0， a），E（0， ， ），B（a，a，0）. 数学·选择性必修第一册 目录 法一　设平面BDE的法向量为n＝（x，y，z）， 又 ＝（0， ， ）， ＝（a， ，－ ）， 则有 即即 令z＝1，则 所以n＝（1，－1，1）， 又 ＝（a，0，－a），所以n· ＝（1，－1，1）·（a，0，－ a）＝a－a＝0.所以n⊥ . 又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB. 数学·选择性必修第一册 目录 法二　因为四边形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心， 故点G的坐标为（ ， ，0）， 所以 ＝（ ，0，－ ）. 又 ＝（a，0，－a）， 所以 ＝2 ，这表明PA∥EG. 而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB. 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 利用空间向量证明线面平行的三种方法 （1）证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； （2）证明直线的方向向量与平面内某一向量共线； （3）证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面. 数学·选择性必修第一册 目录 平面与平面的平行 如图，设 ， 分别是平面α ，β的法向量，若α 与β 平行，则 6. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD， B1C的中点.证明：平面MNP∥平面CC1D1D. 数学·选择性必修第一册 目录 证明：以D为坐标原点， ， ， 的方向分别为x，y，z轴的正方 向，建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2，则D（0，0，0），A（2，0，0）， M（1，0，1），N（1，1，0），P（1，2，1）. 易知 ＝（2，0，0）为平面CC1D1D的一个法向量， 由于 ＝（0，2，0）， ＝（0，1，－1）， 且 即 ＝（2，0，0）也是平面MNP的一个法向量，所 以平面MNP∥平面CC1D1D. 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 证明面面平行的方法 （1）转化为相应的线线平行或线面平行； （2）分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行. 数学·选择性必修第一册 目录 线线平行 设直线l1，l2的方向向量分别是 ， ，则要证明l1∥l2，只需证明 ，即 . 线面平行 设直线l 的方向向量是 ，平面α的法向量是 ，则要证明l∥α，只需证明 ，即 . 面面平行 求出平面α，β的法向量 ， ，证明 ，即可说明α∥β 用向量方法证明空间中的平行关系 课本P31 7. 如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，直线AD上是否存在点F，使得AE//CF? A C D B E F 解： 基底法 A C D B C1 D1 B1 A1 P 8.如图示，在长方体ABCD –A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2. 线段B1C上是否存在点P，使得A1P//平面ACD1? 解： 归纳总结 直线、平面的平行问题 常用方法：(1)几何法； (2)向量法:①坐标法（两两垂直） ；②基底法（不易建立空间直角坐标系） 1.线线平行： 2.证线面平行： 3.证面面平行： 两直线的方向向量共线(找λ) 法向量坐标法：直线的方向向量与平面的法向量垂直 直线的方向向量与平面内两个不共线的向量共面. 法向量坐标法：两平面的法向量共线 $