1.2 空间向量基本定理 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量基本定理，通过平面向量基本定理类比导入，以“空间需几个向量表示”等问题驱动，从特殊的两两垂直向量到一般不共面向量，构建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于采用类比迁移与问题链设计，结合自学检测、基底判断及向量运算例题，培养数学抽象与逻辑推理素养。学生能提升空间观念和运算能力，教师可获得系统教学资源，优化教学流程。

第一章 空间向量与立体几何 1.2 空间向量基本定理 1 学习目标 1.掌握空间向量基本定理.（数学抽象） 2.了解空间向量正交分解的含义.（数学抽象） 3.会用空间向量基本定理解决有关问题.（数学运算、逻辑推理） 2 平面向量基本定理 如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 ，，使 ＝ ＋ ． 若 ， 不共线，我们把{， }叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 为了表示空间中的向量，至少需要几个向量来表示？两个还够吗？ 思考：任意一个空间向量可以用任意三个向量来表示吗？ 情况一：共面 情况二：不共面 ？ 对于任意三个不共面的向量能否表示空间中任意向量，我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论. 三个两两垂直的向量 i j k P Q α O 表示为 吗？ i j k yj zk xi P xi i j k P yj zk 三个两两垂直的向量 我们称，， 分别为向量在 上的分向量. 分析：不妨设则两边同时除以得.平面向量定理向量知共面，这与已知条件矛盾。所以有序实数组是唯一的。 思考：如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗 ？ α O P B C A Q x O Q y B C A 思考：如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗 ？ 平面向量基本定理 如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 ，，使 ＝ ＋ ． 若 ， 不共线，我们把{， }叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 你能类比平面向量基本定理，写出空间向量基本定理吗？ 空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得 . 若三个向量不共面，我们把叫做空间向量的一个基底，都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 空间的基底有无数个 特别地，我们常研究基向量两两垂直的情况 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示. 由空间向量基本定理知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，， ，使 . 像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 空间向量基本定理 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 只有两两垂直的三个向量才能构成空间的一个基底. ( ) × （2） 若，，为空间的一个基底，则，， 也可构成空间的一个基底. ( ) √ （3） 若空间中的，，，四点不共面，则,, 可以作为空间的一个基底. ( ) √ （4） 若，，不能构成空间的一个基底，则，， 共面. ( ) √ 13 例1 设，，，且{，， }是空间的一个基底，给出下列 向量组：①，，，②，，，③，，，④{，， }.其中可以 构成空间的一个基底的向量组有( ) . C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 14 方法总结 基底判断的基本思路及方法：①若向量中存在零向量，则不能构成基底；②假设 存在一个向量可以用另外的向量线性表示，即 ，运用空间向量 基本定理，建立含有 ， 的方程组，若有解，则共面，不能构成基底，若无解，则 不共面，能构成基底. 15 巩固训练 已知{，，}是空间的一个基底，且 ， ，，试判断，， 能否构成空间的一个基底. 16 巩固训练 已知{，，}是空间的一个基底，且 ， ，，试判断，， 能否构成空间的一个基底. [解析] 假设，，共面，由向量共面的充要条件知，存在实数， ,使 成立， ， 即 ， 此方程组无解, 即不存在实数，,使，，，不共面， ，， 能构成空间的一个基底. 17 向量法解决长度、平行、垂直及夹角问题的步骤 （1）设出基向量； （2）用基向量表示出直线的方向向量； （3）用求长度，用 求夹角； （4），（， 为非零向量），由此证明两 直线平行、垂直. 18 例2 如图，在四棱锥中，底面 是边长为1的正方 形，侧棱的长为2，且与，的夹角都等于 ， 是 的中点，设，， . （1）试用，，表示向量 ； （2）求 的长. 19 [解析] （1）是的中点， . ，，， 结合， ，，得 . （2），，， . ， ，， . 由（1）知 ， ，，即的长为 . 20 方法总结 （1）用基底表示向量时要注意：①若基底确定，则要充分利用向量加法、减法 的三角形法则、平行四边形法则以及向量的数乘运算进行表示；②若没给定基底，首 先要选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，然后就是看 基向量的模及其夹角是否已知或易求.（2）运用空间向量基本定理，可以求空间向量 的模、夹角以及证明垂直等. 21 巩固训练 已知平行六面体 的底面是正 方形，， ， ， ，设，， . （1）用，，表示， ； （2）求 的长度. 22 [解析](1) ， . （2）因为，， ， ，，， ， 所以 ， 所以，即的长度为 . 23 空间向量的正交分解及其坐标表示 （1）单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量__________，且长度都为 ___，那么这个基底叫作单位正交基底，常用__________表示. （2）正交分解：把一个空间向量分解为______________的向量，叫作把空间向量进 行正交分解. 两两垂直 1 ，， 三个两两垂直 探究3 空间向量的正交分解 24 例3 如图，在棱长为1的正方体中，， 分别 为，的中点，点在棱上，且 . （1）求证： . （2）求与 所成角的余弦值. 25 [解析] （1）设，，，则｛，， ｝构成空间的一个单位正交 基底. 因为，，所以 ， 即，故 . （2）由（1）知， ， 又，所以 ， 则， . 因为与所成角的范围为，，所以其夹角的余弦值为 . 26 巩固训练 （改编）在正方体中，,分别是棱,的中点， 是棱上靠近点的五等分点，过,,三点的平面 交棱所在的直线于点 ， 设，则 __. 27 巩固训练 （改编）在正方体中，,分别是棱,的中点， 是棱上靠近点的五等分点，过,,三点的平面 交棱所在的直线于点 ， 设，则 __. [解析] 选择，， 为基向量， 则， ， . 由题意可知，，，共面，设 ， 即 ， 所以解得 . 28 1.已知，，是空间的一个正交基底，并且，则向量在基底 ， ， 下的有序实数组为( ) . A A. B. C. D.不确定 A. B. C. D. 2.已知{，，}是空间的一个基底，则下列向量中与向量， 一起能构成空 间的另外一个基底的是( ) . B 29 3.如图，在空间四边形中，，，，点在 边上，且 ，为的中点，则_______________（用，， 表示）. 30 4.如图所示，已知平行六面体中，，， 两两的夹角为 ，，是的中点，是的中点.设, , ,用基底，， 表示以下向量并计算其模： （1） ； （2） . 31 [解析] 连接， （图略）， （1）因为 ， 所以 ， 所以 . （2） ， 所以 ， 所以 . 32 2.在长方体 中，可以构成空间的一个基底的是( ) . C A.，， B.，， C.，， D.，， 3.设，，是单位正交基底，已知向量在基底，，下的有序数组为 ， 其中，，，则向量在基底，， 下的有序数组是( ) . A A. B. C. D. 4.在空间四边形中，和为对角线，为的重心，是线段 上一 点，，以，，}为空间的一个基底，则 _______________________. 33 $