重庆市第八中学校2027届高三上学期数学周考（四）9.19

《重庆八中高2027级高三（上）数学周考（四）9.19》参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 c A B B D D c D ABD AD ACD 1.C 【详解】命题卫是一个存在性命题，说明存在使x2-4x+3>0的正数x, 则它的否定是：不存在使x2-4x+3>0的正数x, 即对任意的正数x2-4x+3>0都不能成立， 由以上的分析，可得P为：x>0,x2-4x+3≤0， 故选：C. 2.A 「0r=元 兀 【详解】设该扇形的圆心角为0，半径为”，则1 4 W=2π 2 r=4 故选：A. 3.B 【详解】tam240+sin300=tam1s0+60)+sin360-60)=tan60-sim60= 2 故选：B 4.B 【详解】1+1+4=a+b+4=a+b+4 -≥2 a+b 4 a b'atb ab a+b 4 a+b 4a+6=2, 当且仅当a=b=2时，取“=”成立， 故选：B. 5.D 【详解】A选项中y=x为奇函数，故y=x3+1有对称中心(0,1)，故A错误： B选项中y=+为奇函数，将其右移一个单位后得到y=x-1+1-2x+2,故有对称中心么，0)， x-1x-1 即B错误： c选项中c-1+ec-+c=0,即y=e-1为奇函数，有对称中心(0,0)，放C错误： e*+1'e"+1e+1e*+1 e+1 1 D选项中，由对勾函数及图象变换的性质知y=x+不存在对称中心，故D正确 故选D. 6.D 答案第1页（共13页） 则a君)m(u引au引2aa君1写 故选：D 7.C 【详解1由题意知了)？-瓜-2，问题等价于了)>0在区间（行4上有解， 即导子日}有解，面传得 山=次函数的性质知化[}小印a<4 故选：C 8.D 【详解】观察各选项可得m>1, log,(1-x外x<1 作出f(x)= 的图象，如图所示： -(x-2)2+m,x≥1 y=fx) f(1)=-1,f(2)=m, 令t=f(x),先解f(t)=0,知其有两根=0和1=2+√m, 则方程∫(x)=4=0提供2个根，故方程∫(x)=t2提供4个不等实根， V13+7 故m-1≤车<m,即m-1≤2+√<m,解得m∈ 2 故选：D 9.ABD 【详解】由分步乘法计数原理得基本事件(x,y)的总数为62=36个， 事件A包含的基本事件(xy)为，1)，1,3)，1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6，(3,1)，(3,3)，(3,5)， (4,2),(4,4),(4,6,(5,1),(5,3),(5,5),(62),(6,4),(6,6,共18个， 答案第2页（共13页） 所以d8 事件B包含的基本事件(x,y)为1,1)，1,3)，1,5)，(3，)，3,3)，3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共9个， 所以P(8)=9=1, 364,故A正确： 事件C包含的基本事件(x,y)为(3,1)，3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6， (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,可，(5,1)，(5,2)，(5,3)， (5,4),(5,5),(5,6,(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,)，共有24个， 所以P(C)=4=?,故B正确， 3631 而AB包含的基本事件为1,1)，13)，1，)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共有9个， 所议a=品-片面P=专片有放P4P④A®， 所以A与B不是相互独立事件，故C错误； 而BC包含的基本事件为(3,1)，3,3)，(3,5)，（⑤，1），(5,3)，(5,5)，共有6个， 所以P(BC)= 6专面PePg}号&故P(到PC=Ma0. 61 所以B与C是相互独立事件，故D正确 故选：ABD 10.AD 【详解】因为)+号=2，所以了()的图象关于点（石对称。 又对任意xER,都有)>（贺） 所以当x= 径时，取得量小值。 当0银敏小位时，时州即故大，仔石（：品7X心2 函数f(y)在x=- 时取得袋小位，所2n气11白m(名+-1，则 _5π +0-2+2ke2. 因为o<分所以o=背即1)-2sm2x+哥引1 令2x+=+机→x=正+匹(k∈Z),放A正确 32 122 当后引a后>m2升[地时回的童球：故B关 将v=2n2x君哥}1的图象向左平移爱个卓位长度得到=2m2x+君}1士)的图象，放C错灵： 当x[6引户2x+受小，比时/单调莲减，数D确 故选：AD 答案第3页（共13页） 11.ACD 【详解】函数fx)=e血x,求导得f'()=ex.(x+1), 对于A,f(田只有x=上这一个变号零点，函数f)在(0，马上单调递减，在(，+)上单调递增， e 则在处取得极小位伯)阳 当x→+m时，f()→+∞：当0<x<二时， e f(x)=e血x<e°=l,因此方程f()=e只有一个实根，A正确； 对于B,f)≥fw)台n≥xnx,整理得-马nx≥0， 当xe(0,1)时，nx<0,而x1-1在x∈(0,1)上不恒小于等于0， 因此不存在正整数n≥2满足题意，B错误： 对于C,h(x)=f(x)-a(x-1)-1≥0，而h)=0,则x=1必为极小值点， 由H(x)=emx.(nx+1)-a知，h'(I)=0,解得a=1, 当a=1时，对于l(x)=ex.(nx+1)-1,当x>1时，nx+1>1,ex>1,则h(x)>0, 当0<x<1时，nx+1<1,0<e血x<1,则H(x)<0,因此h(x)在x=1取最小值0，C正确； 对于D,由C选项知f(x)≥x,且y=x是y=f(x)在点(L,1)处的切线， 不妨设0<x<x2,m=f(x)≥x2,即有0<x<x2≤m,则|x-x2Km,D正确 故选：ACD 2 【详解】因为点A1,V5)在抛物线C:y2=2x上， 代入抛物线中得3=2，解得卫=子所以C:=3x 3 故抛物线的准线方程为x=- 4 所以A到C的准线的距离为1+ 37 44 故答案为：4 【详解】两边同乘以x后移项，得axe“≥(x+1)nx-aw,即ax(e“+1)≥nx(e+1) 令n(x)=x(e+1),则有n(ar)≥n(nx),n(x)=xe+e+1, 答案第4页（共13页） 由x∈(0，+∞)知1(x)>0,所以(x)在(0，+n)上单调递增. 因为n()≥n(血x),所以a≥nx,所以a≥血x 令p()=n(>0)→gx)=1-血x x2 显然当0<x<e时，p(x)>0,当x>e时，p(x)<0, 所以p(x)在(0，e)上递增，在(e,+o)上递减， 所以p()=p(e)=】，所以a≥ e 故答案为： 1d. 【详解】i爵数f回=asinox+bcsa=匠+5m(ox+叭，其中mp-名=0妈到 0,2 函数周期是2π w ,由①知+p=tm→p=5o+mmeZ, 3 2 23 3π4π 又因为f(x)在区间5,5 是单调函数， 所以 「3+m4 +o[+经e2., 2 3π 5+p≥- 智-- 4兀0 即 兀 +0≤2+m令 5 7π0≤(k-m元 15 n-s号2 「15 0<0≤5 T、4元3π 0<0≤5 2255 听O2o≤7或云≤ws30 义4 7 故答案为： 〔] 15.解：(1)由题意得：5×(0.01+0.02+a+0.06+0.07)=1,解得a=0.04;这100人中测试成绩在[80,85) 的人数为100×0.04×5=20（人）. (2)设中位数为m,且75≤m≤80，则0.05+0.35+(1-75)×0.06=0.5，解得m≈76.67，故第50%分数 位76.67分 (3)第三组频率为5×0.06=0.3，第四组频率为5×0.04=0.2，第五组频率为5×0.02=0.1， 故从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取6人作学习心得交流分享，三组人数为3人，2人和1 人，记第三组抽取的人为A,4,A,第四组抽取的人为B,B2,第五组抽取的人为C,则抽取2人的 所有情况如下：AA,AA3,AB,AB2,AC1,AA,AB,AB2,AG,AB,AB2,AC1,BB2, 答案第5页（共13页） BC1,BC1共15种，其中第四组至少有1名老师被抽到的抽法有AB,AB2,AB,AB2,AB,AB2, BB,BG,B,C共9种，故第四组至少有1名老师被抽到的概率为P=?-3 1551 16.解：(1)[方法一]：勾股运算法证明 由题设，知△DAE为等边三角形，设AE=1, 则20-号，0-B0-分，所以0-5m9 2 6 4 PC-Po+OC-6-P8-P4 4 又△A5C为等边三角形，则BA-2DA,所以B1=百 sin 60' 2 P4?+PB'=3-AB',则∠4PB=90,所以PA1PB, 4 同理PAL PC,又PC∩PB=P,所以PA⊥平面PBC; [方法二]：空间直角坐标系法 不妨设AB=2√3，则AB=AD=AB =4,由圆锥性质知DO⊥平面ABC, sin60° 所以D0=AD2-AO-F-2-2N5,所以P0=6 DO=√2 6 因为O是△ABC的外心，因此AE⊥BC. 在底面过O作BC的平行线与AB的交点为W,以O为原点，Om方向为x轴正方向，OE方向为y轴正方 向，OD方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系O-xy, 则A(0,-2,0),B(3,1,0),C(-3,1,0),E(0,2,0),P(0,0,√2). 所以AP=(0,2,√2)，BP=(-5,-1,√2)，CP=(3,-1,√2) 故AP.BP=0-2+2=0,AP.CP=0-2+2=0. 所以APLBP,AP⊥CP, 又BP∩CP=P,故AP⊥平面PBC. Z ●】 . 答案第6页（共13页） [方法三]：构造垂线 因为△ABC是底面圆O的内接正三角形，且AE为底面直径，所以AB⊥BC. 因为DO(即PO)垂直于底面，BC在底面内，所以PO⊥BC, 又因为POC平面PAE,AEC平面PAE,PO∩AE=O,所以BC⊥平面PAE. 又因为PAc平面PAE,所以PA⊥BC, 设AE∩BC=F,则F为BC的中点，连结PF, 设D0=a,且0=60， 6 2a,PAs 则Ar= a,Pr=1a」 2 2 因此PA?+PF2=AF2,从而PA⊥PF. 又因为PF∩BC=F,所以PA⊥平面PBC. 0. 、E R [方法四]：空间基底向量法 如图所示，圆锥底面圆O半径为R,连结DE,AE=AD=DE,易得OD=√3R, D B 图为P0EY6OD,所以PO22 6 以a1,OB,OD为基底，0DL平面ABC,则AP=A0+OP=-OA+5OD, 6 BP=B0+0P=-0B+6OD,且Q4.0B=-R,a4.OD=05.OD=0 6 所以APBP a1.05-a50D-0丽50D+20-0. 6 6 答案第7页（共13页） 故AP.BP=0.所以AP⊥BP,即AP⊥BP. 同理AP⊥CP.又BP∩CP=P,所以AP⊥平面PBC. (2)方法一]：空间直角坐标系法 过O作ON IBC交AB于点N,因为PO⊥平面ABC,以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图 所示的空间直角坐标系， 0. B 则(o0,PQn9(}5 元-79.西-99.m-(59 设平面PCB的一个法向量为n=(3,y1,), 须原度心 由 所以n=(N2,0,-1), 设平面PCE的一个法向量为m=(x2,2,32) m.PC=0 由 m.PE=0' 得 -52,=0,令=1，得5=-5，= -2x2-√222=0 3 所以m=a. 3,V② 故cos<mn> nm 2√225 Inl-Imil x o 5. 5 设二面角B-PC-8的大小为0，由图可知二面角为锐二面角，所以cos0=25 [方法二]几何法 设BC∩AE=F,易知F是BC的中点，过F作FG∥AP交PE于G,取PC的中点H, 联结GH,则HF∥PB. 由PA⊥平面PBC,得FG⊥平面PBC. 答案第8页（共13页） 由(1)可得，BC2=PB2+PC2,得PB⊥PC. 所以FH⊥PC,根据三垂线定理，得GH⊥PC. 所以∠GHF是二面角B-PC-E的平面角. 设圆0的半径为，则AP=4Bsin60°=多r,A8=2r,BR=号， EF1 2 21 所以FG=PA,FH=PB=1PA,FC-1. 2 2 FH 2 在RiAGFH中，tan∠GHF=PC=L FH 2 cos∠GHr=2V5 所以二面角B-PC-B的余弦值为25 D G B [方法三]：射影面积法 如图所示，在PB上取点H,使B=-PB,设BC∩AB=N,连结H. 4 1 由(1)知NE=二AE,所以NH∥PA.故NMH⊥平面PBC. 所以，点H在面PBC上的射影为N. 故由射影面积法可知二面角B-PC-B的余弦值为cos0=@ S PCH 在6c5,令PC=PB=5,则Cg=1,易知3a 5 4 3W5 所以S阳=S.PCE6 3 仅Sse故c0s9=S@82⑤ S.PCH 35 5 16 所以二面角B-P℃-B的余弦值为25 答案第9页（共13页） D 、H B 17.解：(1)在△ABC中，A=→siM= 6 2,c0sA3 b 1+cosB 则a+cosB)=b(N5-cos4, a3-CosA 由正弦定理得siA1+cosB)=sinB(5-cosA), 则有1+cosB=V3sinB,即√3sinB-cosB=1, ∴2simB-=1 sin B-=) 6 B62而Be(0,, 当B-工亚时，解得B=π（与题意不符，排除） 66 当B-亚=时，解得B=匹，符合题意， 66 3 所以B-骨 (2)法一：由(1)原式可变为sim4(1+cosB)=sinB(N5-cosA, .3sinB-cosAsinB=sin4+cosBsin4, .3sinB=sinA+sin(A+B)=sin4+sin(-C)=sinA+sinC, 配知及正弦定理得V3肠=a+c→a+c=3,而Ssc=,acsinB 由余弦定理知cosB=d+c2-6_a+c-3-20c-3-1, 2ac 2ac ac 其中ax≤a+c-9,当且仅当a=c时取等， 4 4 1 69 故S,hABc= cx-coB=Lgc Vac (ac), 6-9s56g-g-35 26x 4 4 答案第10页（共13页） 法二：由余弦定理得coB-+c2-8_(a+c-3-2c_3-1, 2ac 2ac ac 化简得 3 =ac,其中c≤a+c_9,当且仅当a=c时取等， 1+cosB 4=4 3 故c0sB≥)-1 3,Sc-aciB=X3 -x sinB=- 3sinB 3v1-cos2B 2 2 1+cosB 2(1+cosB)2(1+cosB) 令1-1+caB产号所以Sc 3 1-cosB3 2-13x 13W2 2V1+cosB2Vt≤2V2 1= 4 法三：由法一，得V3b=a+c→a+c=3>b=√3， 则点B可看作是以A,C为焦点，3为长轴长的椭圆上的点， 以AC中点为原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 则点B轨迹方程为：9十3 =1 42 33W2 21 18. 解：1)设双盘线的标准方程为若若-1a≥0b>0). 依题意有=4,2b=6,∴.b=3, 所以双曲线方程为三上=1 169 (2)(i)设直线MW方程为：x=y+6,设M(x1,),N(x,), x=y+6 之万程x2y1消去x得：(9m-16)+108my+180=0 △=1082m2-720(9m2-16)>0, m≠士4 -1081m 180 y+y=nm6ygn16 M(,)是双曲线C上的点， 至-=1.f-16-其6+4-16+416y 169 169 9’ 49(x-4)1 直线4M:y=片（x+4),同理直线4W:y=（x-4), x+4 x2-4 取立苏路4了产-从到结 16yy216yy2 16yy2 9(6④(G-49m+2)0my,+29myy+18my+y)+36-5， 答案第11页（共13页） 解得x=8 故点P在定直线x=8上 3 yA 仙由双曲线对称性可知，点Q也在直线x=8上， 3 设P得购，O管点P在直线4上，所以头4 -+4= 20y1 +433(+4) 点2在直线4N上，所以4=上8+4 20y2 x2+43厂3(x2+4) 所以顾0吸巴jgg+,1智+两 4y2 =100400 4y2 99(y+10)(nw2+10) =100400 1y2 99my+10m(y1+)+100 180 -100+400 9m2-16 =100_400×9=5 99 m2、1801080m 99809 +100 9m2-169m2-16 所以PRQR=5 9 Inx 1+ Ina_Ina+inx 9.解：①@86）4 Ina x+1m(x+1)-lnx-Ina 则f"(x)= (x+1)[n(x+1)了 令hx)=+n(K+l)-nx, 则Nx)=二血(+<0在(0，m）上恒成立， 所以h(x)在(0，+o)上单调递减， 当x→0时，h(x)→+0，当x→+n时，h(x)→0， 答案第12页（共13页） 则有： ①当lna<0,即a∈(0,1)时，h(x)-lna>0,即f'(x)>0在(0，+o)上恒成立， 即f(x)在(0，+o)上单调递增，无极大值，不合题意，故舍去； ②当lna>0,即a∈(1，+o)时，存在∈(0，+m),使得h()=ha, 此时，当x∈(0，x)时，h(x)-lna>0→f'(x)>0, 当x∈(x,+n)时，h(x)-na<0→f(x)<0, 则f(x)在(0，)上单调递增，在(x,+∞)上单调递减， 所以∫(x)存在极大值∫(x),符合题意： 综上，a∈(1，+o): (2)由(1)知，()=ha∈n35n2 2 -,h 4 ,且h(x)在(0，+)上单调递减， 由)-n罕=h5,所以 且a与一一对应， 因为8@-ha-f6)-A)-a-馬+n6+D+ n(x+1) -1+1-s+)ht+nx, 0 令-i+上，xa 则p()=血+1)-1 当2-l时，e)0.当e(e-l2.(e)>0. 所以()在行-1〕上单调道减，在e-12上单调递增， 又o(e-)-h(e-1),p以2)-14-3n3+n2-34-n2_3+n2 27 2 2 2 2 分)12-引3- 4 由3-n223 43- 27 4>3-血8>0 422 2 2 所以)ehne-.小3-h即g回-haen(--3-h 答案第13页（共13页）重庆八中高2027级高三（上)数学周考（四)9.19 一、单选题（共40分) 1.(本题5分)若命题P:x>0,x2-4x+3>0,则命题V为() A.x>0,x2-4x+3≥0 B.3x≤0，x2-4x+3≤0 C.x>0,x2-4x+3≤0 D.∀x≤0，x2-4x+3≤0 2.(本题5分)若扇形的弧长为兀，面积为2π，则其圆心角（正角）为() A牙 B. C.v2n 3 D. 3.(本题5分)tan240°+sin300°=() A.-5 B.3 C.-35 D.35 2 2 2 2 46体超5公)只a06>0.且=4，期行言a6的反小值为() A.1 B.2 C.4 D.8 5.(本题5分)下列函数的图象不存在对称中心的是() A.y=x3+1 B.y=-2x+2c.y=e- x-1 e+1 D.y 6.(本题5分)已知cos-6F3,则m2a+ =() 6 A.5 c.i 1 9 D.-9 7.(本题5分)已知函数/（✉）=2血x-如2-2x在x∈}+上存在单调递增区间，则实数 a的取值范围为() B.(. C.(-∞，4) D.(-0,4] 1og2(1-x),x<1 8.(本题5分)已知f(x) 若方程f(f(x)=0有6个不等实数根， -(x-2)2+m,x≥1 则实数m的取值范围为() A.(1,2) B 23+1 2 D. 二、多选题（共18分） 9.(本题6分)将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件A:两次的点数之和为偶数， B:两次的点数之积为奇数，C:第一次的点数大于2，则() 试卷第1页，共4页 A.P(B)=} 4 B.C) C.A与B相互独立 D.B与C相互独立 10.(本题6分)尼知函数f)-2sm(@r+p)(。>0m←满足f)+f号=2。 且对任意x∈R, 5π 当⊙取最小值时，则下列正确的是() Af)图象的对称轴方程为x及+气乙 上的值域为「V5+1,3 C.将函数y=2sin2x- 6 +1的图象向左平移”个单位长度得到函数f(x)的图象 6 兀兀 D.f)在石3上单调递减 11.(本题6分)已知f(x)=e血xx∈(0，+o),则下列说法正确的是() A.方程f(x)=e有且只有一个实根 B.存在正整数n≥2，使得对任意的x∈(0，+o),都有f(x")≥f(x)成立 C.若对任意的x∈(0，+m),都有f(x)≥a(x-1)+1成立，则a=1 D.若方程f()=m有两个不等实根x,x2,则x-x3Km 三、填空题（共15分） 12.(本题5分)已知点A,V5)在抛物线C:y2=2m上，则A到C的准线的距离为 13.(本腰5分)若ac≥1+nx-a对x∈(0，+o)恒成立，则实数a的取值范围为 14.(本题5分)己知函数f(x)=asinox+bcos(a>0)满足下列条件：①”为y=f)的 极值点：②f(x)在区间 3m4π 55 上是单调函数，则ω的取值范围是 四、解答题（共77分） 15.(本题13分)2021年秋季学期，某省在高一推进新教材，为此该省某市教育部门组织 该市全体高中教师在暑假期间进行相关学科培训，培训后举行测试（满分100分），从该市 参加测试的数学老师中抽取了100名老师并统计他们的测试分数，将成绩分成五组，第一组 [65,70),第二组[70,75)，第三组[75,80)，第四组[80,85)，第五组[85,90]，得到如图所示的 频率分布直方图. 试卷第2页，共4页 (1)求a的值以及这100人中测试成绩在[80,85)的人数： 频率 组距 (2)估计全市老师测试成绩的第50%分数位（保留两位0.07 0.06 小数) (3)若要从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽 0.02… 0.01 取6人作学习心得交流分享，并在这6人中再抽取2人担067075808590成绩分数 当分享交流活动的主持人，求第四组至少有1名老师被抽到的概率. 16.(本题15分)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径， AB=AD.△ABC是底面的内接正三角形，P为D0上一点，PO=6O. 6 D （1)证明：PA⊥平面PBC; (2)求二面角B-PC-E的余弦值. 17.(本题15分)在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，有 b1+cosB a3-cosA 1)若A=君求 (2)若b=√5，求△ABC的面积最大值， 试卷第3页，共4页 18.(本题17分)已知双曲线C的中心为坐标原点，左、右顶点分别为A(-4,0),A,(4,0), 虚轴长为6. (1)求双曲线C的方程； (2)过点R(6,O)的直线l与C的右支交于M,N两点，若直线AM与AN交于点P. (i)证明：点P在定直线上： (i)若直线AN与AM交于点2，求PRQR的值. L9.(本题7.分》已知函数心四)ga>0a)存在极大值g(@)一 (1)求a的取值范围； (2)若a∈ 3V527 24 求g(a)-lna的值域。 试卷第4页，共4页