精品解析：陕西商洛市2027届高三上学期开学学情调研数学试题

2027届高三学情调研试题（卷） 数学 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据6，8，4，5，12的分位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的定义进行求解即可. 【详解】因为一共有5个数据， 所以有， 这5个数据从小到大排列为， 所以这组数据的分位数为8. 2. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 集合，， 所以，. 3. 已知平面向量，不共线，且，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以， 因为，不共线，所以，解得，． 4. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】选项A：定义域是，对称轴是，不满足偶函数定义，排除A. 选项B：定义域是，，满足偶函数定义，在上任取两个数. 假设，作差得， 其中，即，又，所以，即， 因此，即，故在上单调递增,符合题意. 选项C：是偶函数，但在是周期函数，不满足单调递增的要求，不符合题意，排除C. 选项D：函数定义域为，不满足偶函数的定义域要求，排除D. 5. 已知圆经过双曲线的焦点，且双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】依题意解得，， 所以双曲线的渐近线方程为． 6. 在中，“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】在中，若，则或，当时，， 不能构成三角形，故，则成立； 若，因为余弦函数在上单调递减，故，则成立； 综上，“”是“”成立的充分必要条件． 7. 已知函数在区间上单调递增，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数求导得， 在区间上单调递增，故对任意，都有， 即，解得，对任意恒成立， 当时，，故时恒成立， 故正数的取值范围为． 8. 已知等差数列与等比数列的首项均为，公差与公比均为.将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列：，，，，，，，，，，，，，…，其中与之间插入项中的项，该新数列记作，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意计算对应的位置，再确定对应的中的项的下标，结合等比数列的通项公式即可求解. 【详解】等差数列首项为1、公差为2，故， 等比数列首项为1、公比为2，故 ， 因为与之间插入项， 所以数列前个间隔插入数列的总项数为， 令，有，即，，即 ​， 因此第184到210项全部为中的项， 又因为，， 所以对应的下标为， 因此. 二、多选题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分. 9. 已知函数，将的图象沿轴的正方向平移个单位长度，得到的图象，且与的图象关于轴对称，则下列结论正确的有（ ） A. 函数在区间单调递增 B. 函数的最小正周期为 C. 函数与有相同的对称轴 D. 的可能取值为， 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据三角函数图象平移规则，写出平移后的解析式，利用两个函数图象关于轴对称的性质，结合诱导公式建立关于的方程，再结合求解的可能值，判断D，求出的单调区间，即可判断A，根据的解析式，利用正弦型函数周期公式计算最小正周期即可判断B，分别求出和的对称轴方程，判断二者是否一致即可判断C. 【详解】将沿轴正方向平移个单位后， 得到； 又因为与的图象关于轴对称， 因此满足，即​， 根据正弦函数的周期性，可得，结合， 解得或，此时，故D正确； 正弦函数的单调递增区间为， 令​，代入得的递增区间为， 正弦函数的单调递减区间为， 令​，代入得的递减区间为， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因此在区间上不单调递增，A错误； 函数的最小正周期，B正确； 函数的对称轴满足， 即对称轴为； 函数的对称轴满足， 化简后同样得到对称轴为，二者对称轴完全相同，C正确. 10. 数列为等差数列，为其前项和.已知，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 为递减数列 C. D. 当时，最小 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式计算即可. 【详解】因为数列为等差数列，为其前项和.已知，， 设该数列的首项为，公差为，则， 化简得，解得. 所以，所以A正确； 由于，所以数列为递增数列，B错误； ，C正确； 由于， 所以当时，最小，为，D正确. 11. 已知抛物线的焦点为，且，两点在抛物线上，为原点，下列结论正确的有（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 存在点，使得为等腰直角三角形 C. 若、、共线，则面积的最小值为 D. 若，则直线恒过点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线方程判断A，根据三角形为等腰直角三角形分类讨论求出判断B，设直线方程，利用韦达定理求三角形面积最值判断C，利用垂直关系求出判断D. 【详解】由抛物线知，，，所以抛物线准线方程为，故A正确； 若为等腰直角三角形，则或， 若，则，显然不在抛物线上，矛盾， 若，则，显然不在抛物线上，矛盾，故B错误； 设，易知直线斜率不为，设直线， 由，可得，， 则 若、、共线，则三点所在直线，则， 所以面积， 当时等号成立，故C正确； 若，则，， 代入，解得或（舍去）， 所以直线，直线恒过，故D正确. 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分. 12. 复数的共轭复数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数运算法则及共轭复数的概念即可求解． 【详解】， 所以复数的共轭复数为． 13. 一个圆柱的体积和底面周长均为，若该圆柱能够被整体放入一个球内，则该球的最小体积为___________. 【答案】 【解析】 【详解】底面周长， ， 当圆柱与球外接时，球体积最小， 圆柱外接球球心在圆柱上下底面圆心连线中点， 轴截面是矩形长，宽， 矩形对角线就是球的直径， ，， 球体积. 14. 将这个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小.若将填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为______. 6 1 【答案】12 【解析】 【分析】本题为单调方格组合计数问题，解题思路是根据 “每行从左到右递减、每列从上到下递减”的规则，确定各个位置数字的取值范围，先锁定取值受强约束的格子，分步选取数字，结合分步乘法计数原理计算填法总数.选定一组数字后，单调性会唯一确定剩余格子内数字的大小顺序. 【详解】设方格表为 6 1 由题意每行从左到右、每列从上到下数字递减，可知，，因此填入，且必须为三者最大值，剩余安排在，共种.剩余填入，需满足，，，从这个数中任选个放入，有种选法，余下两数由单调性唯一确定.由分步乘法计数原理，总填法数为. 【点睛】单调网格填数计数问题，要重点关注交叉位置带来的多层大小限制，优先确定取值唯一的方格；选出一组数字后，单调顺序会唯一确定格子内数字排布，只需要计算组合选法，审题时要仔细甄别各个位置的大小约束，避免条件误读造成计数偏大. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正切求解即得. （2）由（1）的结论，利用三角形面积求出，再利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 又，所以， 所以，即， 又，所以. 【小问2详解】 因为的面积为， 所以，解得， 又因为， 即，所以， 故的周长为. 16. 如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，，分别为，的中点，. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：由侧面与侧面均为等边三角形，可知， 又为的中点， 所以，， 又，且平面， 故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）通过证线线垂直，即证得线面垂直； （2）先证是平面与平面所成的角，再计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， 所以，. 易知，所以为等腰直角三角形， 所以. 所以，则. 又，，平面， 所以平面. 又平面，所以. 所以是平面与平面所成的角， 易知为等腰直角三角形， 又为的中点， 所以，故， 故平面与平面夹角的余弦值为. 17. 2026年3月1日开始，我国（可入肺颗粒物）执行过渡阶段浓度限值，即日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~60微克/立方米之间（包括35，60）空气质量为二级． 某地区8月份中两个星期的日均监测数据（单位：微克/立方米）如下： 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 28 92 95 63 75 74 53 33 34 37 68 31 45 44 （1）从这两个星期的日均监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有两天空气质量达到一级的概率； （2）从这两个星期的数据中任取三天数据，记表示抽到空气质量达到一级的天数，求的分布列和数学期望； （3）记这两个星期样本的方差为，将这两个星期样本数据去掉一个最大值和一个最小值，记去掉最值后天数据的样本方差为，判断，的大小．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）分布列如下所示： ． （3） 【解析】 【分析】（1）根据监测数据表，及古典概型计算公式即可求解； （2）利用超几何分布概率模型进行求解即可； （3）根据方差的定义，结合数据的离散程度，即可判断两种数据方差的大小关系． 【小问1详解】 依题意得个数据中，日均值小于35的有个，大于等于的有个， 故恰有两天空气质量达到一级的概率为． 【小问2详解】 依题意得随机变量的可能取值为，，，， 则，， ，， 所以的分布列如下所示： 故． 【小问3详解】 理由如下：方差反映数据的波动大小，原样本包含最大值和最小值，数据波动较大； 去掉最大值和最小值后，剩余数据的波动减小，离散程度降低，因此方差减小． 18. 过圆上的动点向轴作垂线，垂足为，动点满足． （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点且斜率不为0的动直线与相交于，两点，的中点为， （i）证明：直线与的斜率之积为定值； （ii）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（i）由题可设，，． 联立，消去整理得， ，即， 所以，， 所以，则， 又为的中点，故， 所以直线的斜率， 显然，所以直线的斜率为， 故直线与的斜率之积为（定值）． （ii） 【解析】 【分析】（1）先设，，得到的坐标，再根据向量的线性运算即可得到动点的轨迹的方程； （2）（i）先设出，，，再联立的方程，从而得到关于的一元二次方程，再根据得到的取值范围，再根据韦达定理得到点的坐标，从而得到直线的斜率和直线的斜率为，进而求积即可证明；（ii）结合（i）及求出，再根据点到直线的距离公式即可得到点到直线的距离，从而根据三角形的面积公式及基本不等式即可求出面积的最大值． 【小问1详解】 设，，则， 所以，， 又，所以， 即，解得， 又点在圆上，所以， 故动点的轨迹的方程为． 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）可知， 又点到直线的距离， 所以， 令，则， ，当且仅当，即时，等号成立， 当时，，符合题意． 故面积的最大值为． 19. 已知函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求实数，的值； （2）求证：存在两个极值，且两极值均小于0； （3）若函数与图象有三个不同的交点，求证：. （参考数据及结论：；当时，） 【答案】（1）， （2）证明：由（1）知，， 令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 又，，，，， 所以存在，，使得. 故存在两个极值. 因为，， 所以，， 又，， 所以，. （3）证明：函数与图象有三个不同的交点，等价于方程有三个不同的实数根， 显然不是此方程的根； 当时，可化为， 令，则， 令，则， 当或时，，单调递减； 当时，，单调递增， 又，，，， 所以存在，使得， 故在，单调递增，在单调递减， 又当时，；当时，；当时，； 当时，，所以， 所以当方程有三个不同的实数根时，， 又，结合（2）的结论易知，所以， 故. 【解析】 【分析】（1）切线问题抓两点：切点纵坐标、切点处导数即切线斜率，列方程组直接求出参数； （2）极值个数看导函数零点：对再次求导，研究导函数单调性，用零点存在定理证明有两个零点，即两个极值点； 利用极值点满足，代入原函数化简极值，结合极值点范围证极值都小于 0； （3）交点个数转化方程，分离参数构造； 求导分析单调性：递增，递增，递减； 结合极限趋势与，要使有 3 个根，必须，证得. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，， 又曲线在点处的切线方程为， 所以，解得，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三学情调研试题（卷） 数学 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据6，8，4，5，12的分位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，不共线，且，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆经过双曲线的焦点，且双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数在区间上单调递增，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知等差数列与等比数列的首项均为，公差与公比均为.将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列：，，，，，，，，，，，，，…，其中与之间插入项中的项，该新数列记作，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分. 9. 已知函数，将的图象沿轴的正方向平移个单位长度，得到的图象，且与的图象关于轴对称，则下列结论正确的有（ ） A. 函数在区间单调递增 B. 函数的最小正周期为 C. 函数与有相同的对称轴 D. 的可能取值为， 10. 数列为等差数列，为其前项和.已知，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 为递减数列 C. D. 当时，最小 11. 已知抛物线的焦点为，且，两点在抛物线上，为原点，下列结论正确的有（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 存在点，使得为等腰直角三角形 C. 若、、共线，则面积的最小值为 D. 若，则直线恒过点 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分. 12. 复数的共轭复数为___________． 13. 一个圆柱的体积和底面周长均为，若该圆柱能够被整体放入一个球内，则该球的最小体积为___________. 14. 将这个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小.若将填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为______. 6 1 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 16. 如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，，分别为，的中点，. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 2026年3月1日开始，我国（可入肺颗粒物）执行过渡阶段浓度限值，即日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~60微克/立方米之间（包括35，60）空气质量为二级． 某地区8月份中两个星期的日均监测数据（单位：微克/立方米）如下： 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 28 92 95 63 75 74 53 33 34 37 68 31 45 44 （1）从这两个星期的日均监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有两天空气质量达到一级的概率； （2）从这两个星期的数据中任取三天数据，记表示抽到空气质量达到一级的天数，求的分布列和数学期望； （3）记这两个星期样本的方差为，将这两个星期样本数据去掉一个最大值和一个最小值，记去掉最值后天数据的样本方差为，判断，的大小．（结论不要求证明） 18. 过圆上的动点向轴作垂线，垂足为，动点满足． （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点且斜率不为0的动直线与相交于，两点，的中点为， （i）证明：直线与的斜率之积为定值； （ii）求面积的最大值． 19. 已知函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求实数，的值； （2）求证：存在两个极值，且两极值均小于0； （3）若函数与图象有三个不同的交点，求证：. （参考数据及结论：；当时，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $