26.2 二次函数的图象和性质之（第1、2课时） 同步练习 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 26.2.3二次函数图象和性质（2课时）同步练，分层清晰，从概念梳理到素养提升，构建“概念-运算-应用”巩固路径，适配新授课教学，发展抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|配方、顶点坐标等核心概念|填空式梳理强化抽象能力| |必做习题|配方、平移等单一知识点|基础题型对应考点，培养运算能力| |选做习题|图象与性质综合应用|含中考真题，发展推理意识| |素养提升|跨情境问题解决|复杂情境题，提升模型意识|

26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（第1、2课时）课练卷-2026-2027学年人教版九年级数学上册 第1课时　二次函数 的图象和性质 （一）知识梳理 二次函数 通过配方可化为 的形式，它的对称轴为直线 　　　　，顶点坐标为 　　　　。若 ：当 时， 随 的增大而 　　　　；当 时， 随 的增大而 　　　　；若 ：当 时， 随 的增大而 　　　　，当 时， 随 的增大而 　　　　。 （二）必做习题 知识点1　 与 的关系 1.（1）用配方法将二次函数 化为 的形式为 　　　　。 （2）把二次函数 化为 的形式为 　　　　。 知识点2　二次函数 的顶点坐标公式 2. 求二次函数 的图象的对称轴和顶点坐标。 解：将 的二次项系数化为 1，得 ， 配方，得 ， ，即 。 抛物线的对称轴是直线 　　　　，顶点坐标是 　　　　。 知识点3　二次函数 的图象和性质 3. 二次函数 的图象的对称轴是 　　　　，顶点坐标是 　　　　。 4. 若二次函数 的图象过原点且开口向上，则 的值是 　　　　。 5. 二次函数 的图象大致是（　　） 6. 关于二次函数 ，下列说法正确的是（　　） A. 图象与 轴的交点坐标为（0，1） B. 图象的对称轴在 轴的右侧 C. 当 时， 随 的增大而减小 D. 的最小值为 7. 已知二次函数 。 （1）求函数图象的顶点坐标，并画出这个函数的图象。 （2）①已知函数图象上两点 和 ，若 ，则 与 的大小关系为 　　　。 ②当 时，求 的取值范围。 知识点4　二次函数 图象的平移 8.（1）把抛物线 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，得到的抛物线的解析式为 　　　　。 （2）将抛物线 先向右平移 　　　　 个单位长度，再向下平移 　　　　 个单位长度，可得抛物线 。 （三）选做习题 9. 二次函数 的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（　　） A. 图象与 轴的负半轴交于点（，0） B. 函数的最大值为 C. D. 10.（2021·襄阳）一次函数 的图象如图所示，则二次函数 的图象可能是（　　） 11. 如图，已知二次函数 的图象经过点 。 （1）求 的值和图象的顶点坐标。 （2）点 在该二次函数图象上。 ①当 时，求 的值。 ②若点 到 轴的距离小于 2，请根据图象直接写出 的取值范围。 （四）素养提升 12.（2021·北京）在平面直角坐标系 中，点 和点 在抛物线 上。 （1）若 ，，求该抛物线的对称轴。 （2）已知点 ，， 在该抛物线上。若 ，比较 ，， 的大小，并说明理由。 第2课时　用待定系数法求二次函数的解析式 （一）知识梳理 1. 已知抛物线上三个点的坐标，可设二次函数的解析式为 　　　　。 2. 如果已知抛物线的顶点坐标 及抛物线上另一点的坐标，可设二次函数的解析式为 　　　　。 3. 已知抛物线与 轴的两个交点坐标 ， 及抛物线上任意一点的坐标，可设二次函数的解析式为 　　　　。 （二）必做习题 1. 已知二次函数 的图象经过点 ，则该二次函数的解析式为 　　　　。 2. 已知二次函数 ，当 时，；当 时，，则该二次函数的解析式为 　　　　。 3. 已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 4.（2020·温州）已知抛物线 经过点 ，。 （1）求 ， 的值。 （2）若 ， 是抛物线上不同的两点，且 ，求 的值。 5. 二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（　　） A. 　　B. C. 　　D. 6. 已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为 ，那么这个二次函数的解析式可以是 　　　　（只需写一个）。 7. 已知某二次函数的图象经过点 ，当 时，函数的最大值为 ，求此二次函数的解析式。 8. 经过 ，， 三点的抛物线的解析式是 　　　　。 【变式】已知抛物线经过点 和 ，且与 轴交于点 。若 ，则这条抛物线的解析式是 　　　　。 （三）选做习题 9. 二次函数的图象如图所示，则其解析式为 　　　　。 10. 已知点 在抛物线 的对称轴上，且与该抛物线的顶点的距离是 4，则该抛物线的解析式为 　　　　。 11. 如图，抛物线的顶点 在 轴上，抛物线与直线 相交于 ， 两点，且点 在 轴上，点 的横坐标为 2，那么抛物线的函数关系式为 　　　　。 12. 如图，已知抛物线经过点 ，，与 轴交于点 ，顶点 的纵坐标为 4。 （1）求抛物线的函数解析式。 （2）连接 ，，，请判断 的形状，并说明理由。 （四）素养提升 13. 如图，抛物线 经过点 ，与 轴的负半轴交于点 ，与 轴交于点 ，且 ，抛物线的顶点为 。 （1）求该抛物线的解析式。 （2）连接 ，，，，求四边形 的面积。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案与解析 26.2.3　第1课时　二次函数 的图象和性质 （一）知识梳理 二次函数 通过配方可化为 的形式，它的对称轴为直线 ，顶点坐标为 。若 ：当 时， 随 的增大而 减小；当 时， 随 的增大而 增大；若 ：当 时， 随 的增大而 增大，当 时， 随 的增大而 减小。 （二）必做习题 知识点1　 与 的关系 1.（1）用配方法将二次函数 化为 的形式为 。 解析：，故 ，。 （2）把二次函数 化为 的形式为 。 解析：。 知识点2　二次函数 的顶点坐标公式 2. 求二次函数 的图象的对称轴和顶点坐标。 解：将 的二次项系数化为 1，得 ， 配方，得 ， ，即 。 抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 。 知识点3　二次函数 的图象和性质 3. 二次函数 的图象的对称轴是 直线 ，顶点坐标是 。 解析：对称轴为直线 ；把 代入得 ，所以顶点坐标为 。 4. 若二次函数 的图象过原点且开口向上，则 的值是 。 解析：图象过原点，把 代入得 ，解得 ；又因为抛物线开口向上，所以 ，故 。 5. 二次函数 的图象大致是（A） 解析：，图象开口向下；对称轴 ，在 轴左侧，顶点纵坐标 ，顶点在第二象限；令 得 ，与 轴交于正半轴；，与 轴有两个交点，且两根之积为 ，故两根一正一负。故选 A。 6. 关于二次函数 ，下列说法正确的是（D） A. 图象与 轴的交点坐标为（0，1） B. 图象的对称轴在 轴的右侧 C. 当 时， 随 的增大而减小 D. 的最小值为 解析：令 得 ，图象与 轴交于点 ，A 错误；对称轴为直线 ，在 轴左侧，B 错误；因为 ，当 时 随 的增大而增大，C 错误；当 时 取最小值 ，D 正确。故选 D。 7. 已知二次函数 。 （1）求函数图象的顶点坐标，并画出这个函数的图象。顶点坐标为 解：，所以顶点坐标为 。 图象开口向下，对称轴为直线 ；令 得 ，即 ，解得 ，，与 轴交于 、；令 得 ，与 轴交于 。图象如下： （2）①已知函数图象上两点 和 ，若 ，则 与 的大小关系为 。 解析：抛物线开口向下，对称轴为直线 ，在对称轴左侧（） 随 的增大而增大。因为 ，所以 。 ②当 时，求 的取值范围。 解：由（1）知对称轴为直线 ，且 在 内，所以当 时 取最大值 。当 时 ，当 时 ；因为 取不到 ，所以 取不到 ，故 的取值范围是 。 知识点4　二次函数 图象的平移 8.（1）把抛物线 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，得到的抛物线的解析式为 。 解析：向左平移 1 个单位长度得 ，再向下平移 3 个单位长度得 。 （2）将抛物线 先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，可得抛物线 。 解析：，顶点为 ；抛物线 的顶点为 。顶点由 移到 ，需向右平移 1 个单位长度、向下平移 2 个单位长度。 （三）选做习题 9. 二次函数 的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（D） A. 图象与 轴的负半轴交于点（，0） B. 函数的最大值为 C. D. 解析：由图象开口向下得 ；对称轴为直线 ，即 ，得 ，所以 ，D 不正确。由对称轴为 且与 轴的一个交点在负半轴，可知另一交点在正半轴，结合图象可得两交点为 、，A 正确；当 时函数取最大值 ，B 正确；图象与 轴交于正半轴，，C 正确。故选 D。 10.（2021·襄阳）一次函数 的图象如图所示，则二次函数 的图象可能是（D） 解析：由一次函数 的图象经过第一、二、四象限，可知 ，。所以二次函数 的图象开口向下；对称轴为直线 ，因为 ，，所以 ，对称轴在 轴右侧；又图象经过原点，所以顶点在第一象限。故选 D。 11. 如图，已知二次函数 的图象经过点 。 （1）求 的值和图象的顶点坐标。，顶点坐标为 解：把 代入 得 ，解得 。所以 ，图象的顶点坐标为 。 （2）点 在该二次函数图象上。 ①当 时，求 的值。 解：把 代入 得 。 ②若点 到 轴的距离小于 2，请根据图象直接写出 的取值范围。 解：点 到 轴的距离小于 2，即 ，所以 。由图象知，当 时 取最小值 2；当 无限接近 2 时 无限接近 11 但取不到，故 。 （四）素养提升 12.（2021·北京）在平面直角坐标系 中，点 和点 在抛物线 上。 （1）若 ，，求该抛物线的对称轴。对称轴为直线 解：把 、 代入 得 ，解得 ，。所以对称轴为直线 。 （2）已知点 ，， 在该抛物线上。若 ，比较 ，， 的大小，并说明理由。 解：因为 ，，由 得 ，即 ，所以 。设 ，则 ，因为 ，所以 ，解得 。 设抛物线的对称轴为直线 ，则 。因为 ，抛物线开口向上，点离对称轴越远函数值越大。而 ，，，所以 ，故 。 第2课时　用待定系数法求二次函数的解析式 （一）知识梳理 1. 已知抛物线上三个点的坐标，可设二次函数的解析式为 。 2. 如果已知抛物线的顶点坐标 及抛物线上另一点的坐标，可设二次函数的解析式为 。 3. 已知抛物线与 轴的两个交点坐标 ， 及抛物线上任意一点的坐标，可设二次函数的解析式为 。 （二）必做习题 1. 已知二次函数 的图象经过点 ，则该二次函数的解析式为 。 解析：把 代入得 ，解得 ，所以 。 2. 已知二次函数 ，当 时，；当 时，，则该二次函数的解析式为 。 解析：由题意得 ，即 ，解得 ，，所以 。 3. 已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（B） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解析：由图象可知抛物线与 轴交于 、，与 轴交于 。设 ，把 代入得 ，，所以 。故选 B。 4.（2020·温州）已知抛物线 经过点 ，。 （1）求 ， 的值。， 解：把 、 代入得 ，即 ，解得 ，。 （2）若 ， 是抛物线上不同的两点，且 ，求 的值。 解：由（1）得 。当 时 ，所以 。把 代入得 ，即 ，解得 或 。因为 与 是抛物线上不同的两点，所以 ，故 。 5. 二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（C） A. 　　B. C. 　　D. 解析：由图象可知抛物线的顶点为 ，开口向下，设 。把 代入得 ，解得 ，所以 。故选 C。 6. 已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为 ，那么这个二次函数的解析式可以是 （只需写一个）。 解析：设 ，因为图象开口向上，所以 ，取 得 （答案不唯一）。 7. 已知某二次函数的图象经过点 ，当 时，函数的最大值为 ，求此二次函数的解析式。 解：因为当 时函数有最大值 ，所以抛物线的顶点为 ，设 。把 代入得 ，解得 。所以 ，即 。 8. 经过 ，， 三点的抛物线的解析式是 。 解析：设 ，把 代入得 ，解得 。所以 。 【变式】已知抛物线经过点 和 ，且与 轴交于点 。若 ，则这条抛物线的解析式是 或 。 解析：由 得 或 。设 。当 时，，，；当 时，，，。 （三）选做习题 9. 二次函数的图象如图所示，则其解析式为 。 解析：由图象可知抛物线与 轴交于 、，与 轴交于 ，对称轴为直线 。设 ，把 代入得 ，。所以 （也可写成 ）。 10. 已知点 在抛物线 的对称轴上，且与该抛物线的顶点的距离是 4，则该抛物线的解析式为 或 。 解析：抛物线 的对称轴为直线 。因为 在对称轴上，所以 ，。此时 ，顶点为 。由 得 或 ，解得 或 。所以解析式为 或 。 11. 如图，抛物线的顶点 在 轴上，抛物线与直线 相交于 ， 两点，且点 在 轴上，点 的横坐标为 2，那么抛物线的函数关系式为 。 解析：因为抛物线的顶点 在 轴上，所以设 。直线 与 轴交于点 ，令 得 ，所以 ；把 代入 得 ，所以 。把 、 代入 得 ，解得 ，。所以 。 12. 如图，已知抛物线经过点 ，，与 轴交于点 ，顶点 的纵坐标为 4。 （1）求抛物线的函数解析式。 解：因为抛物线经过 、，所以对称轴为直线 。又顶点 的纵坐标为 4，所以 。设 ，把 代入得 ，解得 。所以 ，即 。 （2）连接 ，，，请判断 的形状，并说明理由。 是直角三角形 解：由（1）得 ，所以 ；又 ，。 ，，。 因为 ，所以 是直角三角形，且 （ 为斜边）。 （四）素养提升 13. 如图，抛物线 经过点 ，与 轴的负半轴交于点 ，与 轴交于点 ，且 ，抛物线的顶点为 。 （1）求该抛物线的解析式。 解：因为抛物线与 轴交于点 ，令 得 ，所以 ，。由 得 ；又点 在 轴负半轴，所以 。 把 、 代入 得 ，即 ，解得 ，。所以 。 （2）连接 ，，，，求四边形 的面积。 解：由（1）得 ，所以顶点 。 过 作 轴的垂线，垂足为 ；过 作 轴的垂线，垂足为 。 ，， ，。 所以 ，即四边形 的面积为 18。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $