5.2.3 勾股定理的逆定理 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的逆定理，通过古埃及人结绳造直角的实例及“能否用边确定直角三角形”的问题导入，衔接之前用角判断直角三角形的知识，搭建从角到边的认知支架，引导学生逐步探索逆定理的构建过程。 其亮点在于以问题驱动探究，通过构造直角三角形证明全等的推理过程培养数学思维，结合例2求DC长、正方形中证明直角三角形等实例发展模型意识，同时梳理勾股数强化应用。学生能提升推理能力与应用意识，教师可借助清晰流程与丰富实例优化教学效果。

新湘教版八年级上册数学 第5章 直角三角形 5.2.3 勾股定理的逆定理 学习目标 1. 能利用勾股定理逆定理的数学模型解决现实世界的实际问题； 2. 运用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形. 任务导入 以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？ 同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗? 打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段 的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中最大的角便是直角. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 探索展示 我们已经知道勾股定理：“如果直角三角形的两条直角边分别为a， b，斜边为c，那么a2+b2=c2.”它的逆命题是怎样的？ 逆命题为：如果三角形的三边a，b，c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是 直角三角形. 探索展示 如图，在△ABC中，已知AB=c，BC= a，AC=b，且a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形吗？ A B C c a b 到目前为止，我们只知道可以利用一个角是直角或两个 角互余来判断一个三角形是直角三角形. 于是，要证明一个三 角形为直角三角形，只需证明其有一个角为直角. 联想到证明 角相等的方法，如果能构造一个直角三角形，然后证明△ABC 与所构造的直角三角形全等，即可得△ABC中有一个角为直 角，则可判断△ABC是直角三角形.下面我们按此思路来探索. 探索展示 如图，在△ABC中，已知AB=c，BC= a，AC=b，且a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形吗？ A B C c a b 证：作Rt△A′B′C′，∠C′=90°，B′C′=a，A′C′=b A' B' C' c' a b 在Rt△A′B′C′中， 根据勾股定理得，A′B′ 2= a2+ b2 ∵ a2+ b2 = c2 ∴ A′B′ 2= c2 在△ABC 和△A′B′C′中 从而 A′B′ = c AC =A′C′ BC =B′C′ AB =A′B′ ∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS) 从而∠C= ∠C′=90° 即△ABC是直角三角形. 先构造满足某些条件的图形，然后根据需求证的图形与所构造的图形之间的关系完成证明，这也是解决问题的常用策略之一. 探索展示 A B C c a b 于是，我们可以发现，勾股定理的逆命题是真命题. 由此得到勾股定理的逆定理： 如果三角形的三条边a，b，c满足a2+b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形. 勾股定理 勾股定理的逆定理 判定定理 性质定理 例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形. (1)a=6，b=8，c=10； (2)a=12，b=15，c=20。 (1) ∵ 62 + 82= 100， 102= 100， ∴ 62+ 82 = 102 从而这个三角形是直角三角形. 解： (2)∵ 122 + 152 = 369， 202 = 400， ∴ 122 + 152≠202 从而这个三角形不是直角三角形. 只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边的平方. 应用提升 有趣的知识 常见勾股数： 3，4，5 5，12，13 6，8，10 7，24，25 应用提升 课堂练习 1. 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形. (1) a = 1，b = ，c = ； (2) a = 8，b = 15，c = 17； (3) a = 10，b = 24， c = 25； (4) a = 9，b = 40， c = 41 是直角三角形 是直角三角形 不是直角三角形 是直角三角形 应用提升 例2 如图，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求DC的长. A B C D 解: 在△ABD中，AB = 10，BD = 6，AD = 8 ∵ 62 + 82 = 102 即AD2 + BD2 = AB2 ∴ △ADB为直角三角形. 从而 ∠ADB = 90° ∴ ∠ADC = 180°-∠ADB = 90° 在Rt△ADC中，DC 2 = AC 2 - AD 2 ∴ 2. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，F为CD的中点， E是BC上一点， 且EC= BC. 求证： △AEF是直角三角形. 应用提升 课堂练习 A B C E F D 证: ∵ F为CD的中点 ∴DF=CF=2 ∴ BE=3 在Rt△ADF中，由勾股定理得 AF 2 = DF 2 +AD2 =22+42=20 同理可得 AE 2 =25， EF 2 =5 ∴AE 2 = AF 2 + EF 2 从而△AEF是直角三角形 当堂检测 1. 2. 下列四组数中，是勾股数的是( ) C A. 1，2，3 B. 4，5，6 C. 9，12，15 D. 1，， B A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 无法确定 3.若三角形的三边长分别为 a，b，c，且满足 (a+b)²−c²=2ab，则此三角形中最大的角是____。 （第4题） 4.如图，在△ABC 中，AC=5，BC=12，AB=13，P 为直线 AB 上一动点，连接 PC，则线段 PC 的最小值是__________。 5.如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD=6，∠A=60°，BC=10，CD=8，则∠ADC 的度数为__________。 课堂小结 实际应用 勾股数 实际问题构建成数学模型，利用逆定理去求解. 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数. 作业 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 下 课 $