1.3勾股定理的应用同步练习 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 围绕勾股定理应用，通过基础巩固、中档应用、提升拓展三层设计，实现从单一计算到综合探究的知识进阶，培养运算能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|勾股定理基本计算、简单实际应用|如第1题直接求第三边，第3题“折竹抵地”方程建立，巩固定理直接应用| |中档|几何模型转化、情境问题分析|如第7题圆柱蚂蚁爬行最短路径，第15题含高的三角形边长计算，培养空间观念| |提升|综合证明、动态问题探究|如第22题赵爽弦图面积法证明，第23题动点形成直角三角形，发展推理能力与创新意识|

1.3勾股定理的应用 一、单选题（本大题共12小题） 1．若一个直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（ ） A. 13 B. 13或 C. 13或15 D. 15 2．如图，以直角三角形的三边为边，分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3的图形有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题,今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是,一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（ ） A．x2＋62＝102 B．（10－x）2＋62＝x2 C．x2＋（10－x）2＝62 D．x2＋62＝（10－x）2 4．如图，一旗杆离地面6m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，则旗杆折断前的高度为（    ） A．10m B．12m C．14m D．16m 5．如果正整数，，满足，那么正整数，，叫作勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（ ） （第2题图） A. 47 B. 62 C. 79 D. 98 6．一艘船由港沿北偏东 方向航行至港，然后再沿北偏西 方向航行至港，则，两港之间的距离为（ ） A. B. C. D. 7．如图所示，一圆柱高，底面半径为，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是（π取3）（　　） A． B． C． D． 8．如图，在直角三角形中，，分别以，，为边向外侧作正方形，面积分别记作，，，若，且满足，则（    ） A． B．2 C． D．3 9．如图，一支长为的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的长、宽、高依次为，，，那么这根铅笔露在笔筒外的部分的长度的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．为了体验人工智能生活，小善想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：、、、、，则其中有（    ）款扫地机可以购买． A．1 B．2 C．3 D．4 11．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为“赵爽弦图”.弦图由四个全等的直角三角形按如图所示方式围成正方形，然后分别过较长直角边的中点作垂线，围成面积为的小正方形.已知为 较长的直角边，若，则正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 12．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成．如图，直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．若，，则每个直角三角形的面积为（   ） A．64 B．60 C．120 D．128 二、填空题（本大题共5小题） 13．如图，等边△ABC的边长为12cm，点E，D分别是边AB，AC的中点．FB⊥BC交CE的延长线于点F，连接FD，则线段FD的长为 cm． 14．如图，长方形中：，．点E为射线上的一动点，将沿折叠，得到（点A的对应点为）并连接、，当为等腰三角形，的长是 ． 15．已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，则BC的长为 ． 16．如图，中，，，，若点从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）．当点运动到边时，t为 秒时，为等腰三角形．    17．如图，在矩形中，，，是边上的中点，是边上的一动点，将沿折叠，点的对应点为点，连接，当为直角三角形时，的长为____________. （第15题图） 三、解答题（本大题共6小题） 18．如图，已知，两直角边，，点为上一点，现将沿折叠，使点落在斜边上的点处，试求的长． 19．综合探究： “在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”． 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． （1）直接写出图1中的面积是________； （2）若的三边的长分别为、、，请你利用构图法在图2中，画出符合题意的，并写出它的面积________． （3）已知，均为正实数，且，求的最小值． 小明同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长，通过分析，小明想到了构图法解决此问题，于是构造出图3，将问题转化为求线段的长，如图，，，，，，，则、的长分别表示为，．由于，当、、共线时，取等号，所以只要求出的长，就可以解决问题．请在图3中，求出的长，并说明理由．所以的最小值是________． （4）拓展应用：求代数式：（）的最小值． 20．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标是，连接．若动点从点出发沿着线段以5个单位每秒的速度向终点运动，设运动时间为秒． (1)求线段的长． (2)连接，当为等腰三角形时，过点作线段的垂线与直线交于点，求点的坐标； (3)已知点为的中点，连接，点关于直线的对称点记为（如图2），在整个运动过程中，若点恰好落在内部（不含边界），请直接写出的取值范围． 21．学校花园有一个不规则的池塘，A，B两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端A，B间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点C，使；第二步：在的一侧选点D，使点D能直接到达A，B，C三点，测得，，． 问题解决： （1）试判断的形状，并说明理由； （2）求池塘两端A，B之间的距离． 22．【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E． （1）求证：，； （2）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （3）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 23．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止． (1)P，Q出发4秒后，求PQ的长； (2)当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D D D C A B B B D D B 13．2 14．或或 15．或 16．5秒或4.75秒或5.3 17．7或 18．解：设 根据翻折的性质可得， 在中， ∴ 解得： ∴的长为． 19．（1）解：如图， ， 则的面积是； （2）解：如图，即为所求， ， 则的面积是； （3）解：， 当、、共线时，取得最小值，即的长为5， 的最小值是5； （4）解：如图，，，，，，，则、的长分别表示为，， 则（）的最小值即为的最小值，即的长， 如图，过点C作交的延长线于点， 同（3）可得，，， 在中，， 则（）的最小值为5． 20．（1）∵点的坐标为，点的坐标是， ∴， ∴； 所以，线段的长为10． （2）为等腰三角形，分三种情况： 当时，过点作轴于点，轴于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴＝5， 设， 在中，， 在中，， ∴，即， 解得：， ∴； 当时，过点轴于点，轴于点，过点于点， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，， ∴, 解得：， 即， 在中，， 在中，， ∴， 即, 解得：， ∴； 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或或； （3）（3）如图，当上时，过点轴于点，过点作，过点作轴于点， ∵点为的中点， 由（2）可知，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点关于直线的对称点记为， ∴， ∴， 即， ∴， 在中，， ∴， 解得（舍去）或， 当点运动到点重合，此时，解得， ∴当时，点恰好落在内部（不含边界）． 21．（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（1）知：是直角三角形，且， ∴， ∵，， ∴； 答：池塘两端A，B之间的距离为． 22．（1）证明∶ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ， ∴． ∴； （2）方法一：；方法二：； 证明： 由题意得，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； （3） 23．（1）解：由题意可得BQ=2×4=8（cm），BP=ABAP=161×4=12（cm）， ∵∠B=90°， ∴PQ=（cm）， 即PQ的长为cm； （2）解：当BQ⊥AC时，∠BQC=90°， ∵∠B=90°，AB=16cm，BC=12cm， ∴AC=（cm）， ∵， ∴， 解得cm， ∴CQ=（cm）， ∴当△CQB是直角三角形时，经过的时间为（12+）÷2=9.6（秒）； 当∠CBQ=90°时，点Q运动到点A，此时运动的时间为（12+20）÷2=16（秒）. 由上可得，当点Q在边CA上运动时，出发9.6秒或16秒后，△CQB能形成直角三角形． 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $