广东广州市海珠区2027届高三上学期综合练习(一) 数学试卷

2027届高三数学适应性测试教学质量监测 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 题号 2 3 4 5 6 8 答案 D D A B 二、选择题： 本题共3小题， 每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.ACD 10.ABD 11.BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 1 12.1 13.2 2-5 14.3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 解：(1)a,b,c成等差数列 ..2b=a+c .5sinA=3sinC 由正弦定理得5a=3c 3 4 CosA b2+c2-a2 5 2be 4 2× 所以 (2).AB//CD ∴.∠ACD=∠BAC sin∠AcD=● cos∠BAC=4 AB=5∴.AC=4 sin/CAD=sin(∠ACD+∠D)=&× 3.-2,42√2 十 .△ACD中 525210 CD AC 由正弦定理得sin∠CAD sin∠D CD AC 102 .CD=4 16.解：(1)因为四边形14CC为等腰梯形，AC IAC,所以延长A4,CC交于一点 设A4∩CC=P :P∈A4,A4C面A4BB ·.P∈面AAB,B 同理可得P∈面BB,C,C 又：面A4BB0面BB,CC=BB P∈BB :A4、BB、CC三线交于一点P （2)解法一： 由A4LBC,AB⊥BC,A4∩AB=A,且A4,ABc面A4BB ∴.BC⊥AAB,B 又BBC面A4BB,.BC⊥PB 同理可得AB⊥PB,AB,BC,BP两两垂直 又“AACC是等腰梯形 ∴.△PAC是等腰三角形，PA=PC ∴.BA=BC :4G-4c=万 AC=3√2 ∴.BA=BC=3 P4-49= PA AC 3 PA=1 AA 2 又”A4=22,PA=PC=32,PA=PC=V2 :BP=AP2-AB2 =3 以B为原点，BC,BA,BP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 Po03),4030.cg0,a0.40L2y 84=0月.C=6,-30,P=033) 设平面4CP的一个法向量为元=(x,八，2) nAC=0 iAP=0 3x-3y=0 -3y+3z=0 取术=y=z=1 所以万=(L,1)是平面ACP的一个法向量 设直线AB与平面A,CCA的夹角为B 1x1 sin=cos(,B4)= i…B4 5 酬8,4 5 15 直线4B与平面ACCA所成角的正弦值为5 解法二： 由AA1BC,AB⊥BC,A4∩AB=A,且M4,ABc面AABB .BC⊥AAB,B 又BBC面AABB,.BC⊥PB 同理可得AB⊥PB,AB,BC,BP两两垂直 :AA,CC是等腰梯形 ∴△PAC是等腰三角形，PA=PC ∴.BA=BC 4G-4c=5 :AC=32 ∴.BA=BC=3 P4-4= PA AC 3 PA=1 A42 又：A4=22,:PA=PC=3N2.PA=PC,=V2 .BP=V√AP2-AB2=3 .△PAB与△PBC等腰直角三角形 作AC的中点N,连接PN交AC于M, 连接B,M,则M为AC的中点 :P4=PC=2,8=B-8照 ∠APB=∠BPC=T 4 C=+Pi-2P4-PBcos2 9-2x2x2x55 3 4 2 2 ·.B,M⊥AC,在△PAC中可得 N=3V6 2,又因 PM-IPN=16 3 2, 4w-分4G-9.w=a四-4w-目2当 513 PM2+BM2=PB2 .PM LBM,且AC∩PM=M PM,ACC平面PAC .B,M⊥平面PAC B ∴直线AB与平面ACCA所成角为∠B4M 3 sin∠B4M=BM_ 25 AB 55 所以 5 直线AB,与平面ACCA所成角的正弦值为5 解法三： 由AA1BC,AB⊥BC,A4∩AB=A,且AA,ABc面A4BB ∴.BC⊥AABB 又BBC面AAB,B,BC⊥PB 同理可得AB⊥PB,AB,BC,BP两两垂直 :AA,CC是等腰梯形 ∴△PAC是等腰三角形，PA=PC ∴.BA=BC 4G-时0=6 .AC=32 ∴.BA=BC=3 怨 P4=1 A4,2 44=212,..PA=PC=32,PA=PC= BP=√AP2-AB2=3 :.△PAB与△PBC等腰直角三角形 又“PA=PC=V2.PB=PB-BR=3 ∠APB=∠BPC= 4 4期Pf+pg-24-8mr子2+}-2×x2x-5 4 2 2 2 Vr-Ac-Soune:PBxx3x3x3 3 32 2 Vn-A0G-PA.PB.PC=xx11 Vp-ABC PA PB PC 3 2 3 18 911 '-AaG=2184 所以 B B =V3 4G4×2V3 又因为 2 设B到平面PAC的距离为d d=3 ，所以2 设直线4B,与平面ACCA的夹角为9 √5 sing=d 2 V15 AB5 5 √5 直线AB与平面ACCA所成角的正弦值为5 17.(15分) 2 解：(1)由题意，n=2,P= 3,即采用5局3胜制 Px=4)-c--到品 (2)由题意，若采用方案一“5局3胜”制，甲只要取得3局比赛的胜利，比赛结束且甲获胜， 则P(A)=p'+Cp(1-p)p+Cp0-p2p=p(6p2-15p+10). 若采用方案二甲乙比赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利， 设甲赢的局数为5，那么5服从二项分布，即5~B(5,P)】 则P(B)=P(5≥3)=CpI-pP+Cp-p)）+Cp=p(6p2-15p+10) 所以P(4)=P(B) (3)设甲乙进行2n-1局比赛，甲赢的局数为Y,则Y~B(2n-l,P).P=P(Y之n) “2n+1局n+1胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲要获得最终胜利可拆解为： 若第2局甲输，则后续最多2n-l局比赛，甲至少胜n+1局， 若第2局甲胜，则后续最多2n-l局比赛，甲至少胜n局， 由全概率公式得P,=(1-p小P(Y≥n+)+p:P(Y≥m) =(1-p)(B-P(Y=n)+p·p =p,-(1-p)P(Y=n) =p-Cn-1p(I-p)°， 故P,-P2=C2n1p(1-p)”. 18.(17分) 解：(1)由题意得c=2,b=V2,所以a=VB+c=6 则椭圆的标准方程是62 (2)解法一：(i)当直线MN与x轴不重合时 设直线MN的方程为x=my-1,M(x,片).N(x,2) x+y =1 62 由x=my-1得(r+3列y2-2mw-5=0. △=(2m)2-4m2+3)×(-5)=24m2+60>0恒成立 2m -5 y+y2= m2+3.= m2+3 +k,=片+少=上(s+6)+⅓(+6) 所以 2x+6x2+6(G+6)(x2+6) :y(x2+6)+y2(x+6)=x2y+xy2+6(y+y2) =(my2-1)y+(my-1)y2+6(y+2）) =2myy2+5(y+y2) -2mx .10m m+3m2+30 k+k2=0 当直线MN与x轴重合时，显然k=k,=0,所以k+k,=0 综上所述无+k=0 MN=1+m2=1+m2+)2-4yy 2V1+m2)(6m2+15) (i) m2+3 直线EP:y=-mx-m,则E(-6,5m) EP=V52+(5m)2=51+m 5.o)(cw :13) 5+m 5V3(1+m2)V2m2+5 m2+3 m2+3 。m5=42个，到m-f 2 -s4-si-司 y=1- 4 在[5，+单酒选指H少>0 Saam在[V5,+o）单调造蜡。 5W15 :.当A=V5,即m=0时SaBw有最小值3 (2)解法二：(i)当直线MN的斜率存在时， 设直线MW的方程为y=k(x+),M(G,y).N(s,)》 62 由y=k(x+)得（1+32)r2+6k2x+32-6=0 △=(62)2-41+3k)×(3k2-6=60k2+24>0恒成立 -6k2 3k2-6 x+6=1+3次，=1+3 +k=片+为=上(s+6)+2(出+6) 所以 x+6x2+6(x+6)(x2+6) :y(x2+6)+2(x+6)=x2y+xy2+6(y+y2) =,(x+1)+x(:2+1)+6k(:+1+x2+1) =[2x+7G+)+12]-k6-2+-422 (1+32++3+12 6k2-12-42k2+12+36k2 =0 1+3k2 k+k2=0 当直线MN与x轴垂直时，显然：=-6，所以k+k?=0 综上所述k+6=0 (i)当直线MN的斜率存在时， MN=1+k2x-x=V1+k2V:+x2}-4xx,=V1+k2 -6k2)2 3k2-6 4 1+3k2 1+3k2 =2W3 (1+k2)(52+2) 1+3k22 令1+3k2=t,则t≥1因此 N=2++2-252+45 9t2 g44州-295f1as 2w15 函数y=24+11A+5A∈O,显然单调递增，所以3MWs2V6 当直线MN的斜率不存在时，可得 ))n 25 215 综上所述：当直线MN的斜率不存在时MN有最小值 又因为当直线MW的斜率不存在时E与P重合EP有最小值5 SAmN =x5x2115515 1 此时 2 3 515 所以S△EMw的最小值为3 19.(17分) 解：1)“函数的定义域为(0,0) 又32<32*m ∴.-2<-2+m<0 .0<m<2 ∴.{el0<m<2} (2)函数的定义域为（-0,0) x∈B,5x≤x≤x )-feeR(x)<f(x+e).x E(x)=eERl3*<3*",VxEB=eeRl x<x+e<O,VxEB) =el0<e<-x,VxEB)=felo<e<(-x)min} xeB,-x≤-x≤-5x即（-x)mm=-X .E(x)={e0<e<(-x)mn}={el0<e<-x}=(0,-x)=(0,2) (3)(i)反证法： 假设f(0)<1,则存在1∈(，0），使得f()≥f(0), 条件①：若f(G)sf(),则E(,)=E(x)】 :f(o)sf(0,则E0)∈E(O) =号.66-)0e0 方eE0EEo→eE0) f0-o引o 和条件相矛盾， .f(0)≥1 (ⅱ)将本小问的结论分解为两个子命题，通过逐一论证最终实现证明 ①第1步证明：当x∈+∞)时，f(,)≤0， 反证法： 假设e几，+切），使得f(>0 :3<0,使得f()sf@) f(x)sf[x+(x)] :t-x∈E(x) (此处是构造8的思路)》 +小=+日小x 1 g=1 所以f(g)<f() ∴.E(x)E(g) .t-x∈E(x)eE(g) e)侣-小0-小e分s .当x∈L,+o)时，f(x)≤0， ②第2步证明： :0<x<x2,f(x)s0<f(x-x)<f(0) ∴.E(x-)eE()且-x∈E(x-x)sE(x) .f(x)<f[x+(-x)刀即f(:)<f(x） “f(x)在(0，+∞)上单调递增。 2027届高三综合练习（一） 数学 本练习共19小题，满分150分．作答用时120分钟． 注意事项： 1．作答前，学生务必将自己的学校、姓名、学生号、教室号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将学生号和座位号填涂在答题卡相应位置上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在本练习上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．学生必须保持答题卡的整洁．作答结束后，将练习和答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，，若，或，则 A． B． C． D． 2．已知，则 A． B． C． D． 3．已知，，则 A． B． C． D． 4．在中，设点满足：在的延长线上，．记，，则 A． B． C． D． 5．抛物线的焦点坐标是 A． B． C． D． 6．由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，通过残差分析，发现两个数据，误差较大，去除这两个数据后得到新样本经验回归方程为．在新的经验回归方程下，样本的残差为 A． B． C． D． 7．已知数列，其前项和为，，给定正整数，设函数，表示的导函数，则 A． B． C． D． 8．已知函数的最大值为，则的最小值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，下列说法正确的是 A．是的极大值点 B．在处的切线为 C．当时， D．的对称中心为 10．在正方体中，，，分别是，的中点，下列说法正确的是 A．直线平面 B．直线与所成角的正弦值为 C．过、、三点的平面截正方体所得截面图形的周长为 D．过、、、四点的球的表面积为 11．数学中将具有某一共同特征的所有直线的集合叫做直线系．现有直线系，下列说法正确的是 A．中所有直线均经过一个定点 B．存在定点不在中的任一条直线上 C．中的直线所能围成的正三角形面积都相等 D．对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设函数．已知，，且的最小值为，则_________． 13．某校高二学生参加学农实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共6个项目，分别为劈柴、施肥、蔬菜移栽、野炊、扎染、消防演习，规定每人参加其中3个项目．假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“施肥”项目的概率为；已知乙同学参加的3个项目中有“野炊”，则他还参加“扎染”项目的概率为_________． 14．已知数列，设，，．当取得最小值时，_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 在中，角，，的对边分别是，，．已知，，成等差数列，且． （1）求； （2）若，过点作，且，求． 16．（15分） 在五面体中，四边形为等腰梯形，，，，． （1）求证：、、三线交于一点； （2）若，，，求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分） 甲、乙两选手进行象棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为． （1）若比赛采用“局胜”制，，，比赛结束乙获胜，记比赛的总局数为，求； （2）若选择以下方案中的一种： 方案一：若采用“5局3胜”制，甲获胜的概率为． 方案二：若甲乙赛满5局比赛，甲至少赢3局比赛的概率为． 比较和的大小，并说明理由； （3）记“局胜”制比赛中甲获得最终胜利的概率为．记“局胜”制比赛中，甲在第一局输的条件下，甲获得最终胜利的概率为．证明：． 18．（17分） 已知椭圆的一个焦点为，短轴长是． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与轴交于点，过点的直线与椭圆交于，两点． （i）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：； （ii）过点作直线的垂线交直线于点，求面积的最小值． 19．（17分） 已知函数的定义域为，当时，．对任意，对定义域的非空子集（其中），定义集合． （1）若的定义域，且，求实数的取值范围； （2）若的定义域，当，时，求； （3）设的定义域，满足：①若，则； ②当时，． （i）证明：； （ii）若时，，证明：在区间单调递增． 学科网（北京）股份有限公司 $