广东广州市天河区2026-2027学年高三上学期适应性训练（一）数学试卷

2027届普通高中毕业班适应性训练（一) 数学 本试卷满分150分。训练时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和 考号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.集合A={xx2-4x-5=0,B={-1,1},则AUB= A.{-1} B.{1} c.{-5,1} D.{5,-1,1} 2.复数2=1+ 在复平面内对应的点位于 A.实轴 B.虚轴 C.第一象限 D.第二象限 3.1-x)0的展开式的第6项的系数是 A.-C0 B.Cio C.-Cf D.Cf 4.在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高一年级1000名学生收看比赛的情况用 随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如下： 观看场数 0 1 2 3 4 5 6 7 观看人数占调查人数的百分比 8% 10% 20% 26% m% 12% 6% 2% 从表中可以得出正确的结论为 A.估计观看比赛场数的众数为4 B.估计观看比赛场数的极差为24% C.估计观看比赛场数的上四分位数为2 D.估计观看比赛场数的平均数为3.02 高中毕业班适应性训练（一)数学第1页（共4页) 5.已知圆x2+y2=5上的点P到直线x-y+√2=0的距离为1，则点P个数为 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，任意抽取2道题，取出的题不再放回，则在取 到至少有一题是几何题的条件下，另一题也是几何题的概率是 A. B月 c D. 7.己知△ABC的外接圆圆心为O,且2AO=AB+AC,OAAB,则向量BA在向量BC上的 投影向量为 A.BG B.3BC C.BC D.C 4 4 8.设函数f(x)=sinx.sin3x,若关于x的方程f(x)=a在[0，π上有奇数个不同的实数解，则 实数a= A.-1 B.0 C.1 D.1或-1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数f(x)=x(x-c)2,则 A.Hc∈R,函数f(x)为增函数 B.c∈R,函数f(x)为奇函数 C.若c=3,则f(4+x)+f(-x)=4 D.若x=2为极大值点，则c=6 10.某果园有若干棵树苗，按地势排成12行，将第i行树苗棵数记为4（位=1,2，，12），其中 41,42,…:ag是一个首项为1的等差数列，且4=4o=17,41=19,42=21；记 又-立4：将4，，，42分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成 个项数为6且公差为a(d>0)的等差数列{bn},则 A.4=9 B.S2=132 C.d=4 D.b=8或18 11.在空间中，A,B为两个定点，动点C到直线AB的距离为2，动点D到直线AB的距离为 √2.若二面角C-AB-D为45°，则 A.CD≥2 B.CD⊥AB C.当AB⊥CD时，CD⊥平面ABD D.当sim(,可)=时，c0l=32 高中毕业班适应性训练（一）数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.抛物线2y2+5x=0的准线方程为 13.若1g2=a,lg3=b,则1og215= （用a,b表示) 14.现有长为55cm的铁丝，要截成n小段，每小段的长度不小于1cm,如果其中任意三小段 都不能拼成三角形，那么n的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且a cosC+√3 a sinC=b. (1)求A; (2)若a=2,C=，求b. 4 16.（15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD,PA=AC=2,点 E是线段PC上的一个动点. (1)若E为线段PC中点，求证：PA∥平面BDE; (2)若PE=PC,求平面EBD与平面BDC夹角的正弦值， 17.(15分) 已知函数f(x)=e-ln(x+m),在x=0处的切线过点(2,2-n2). (1)求m; (2)证明：f(x)>0. 高中毕业班适应性训练（一）数学第3页（共4页) 18.（17分) 驱陶线CO>0b>0的左焦点为F,0,且离心率为 (1)求C的方程； (2)设O为坐标原点，过F且斜率大于2的动直线1与C交于P,Q两点，其中点2在 第三象限，直线PO与C的另一个交点为R, (i)若△PQR的面积是△PFO的面积的5倍，求直线1的方程； (i)求tan∠PQR的取值范围. 19.(17分) 对于数列{a.},给定正整数k,令4=maxa,-a,1≤i<j≤k+1},其中max{x,为，xj 表示x,2,,xn中的最大值；记数列{A,}为{a}的“极差”数列，设T,为{4}的前n项和. (1)若an=(-1)m+n,求T; (2)下面我们在正整数的范围内研究{an},对给定正整数m, 已知：{%，a2,am}={12,,m+1. (i)当m=5时，求T的最大值，并求出满足T,取得最大值时，数列{an}的个数； (ii)从{4,42，，am+1}所有排列中随机选取一个，求Tm≥m2-1(m≥3)的概率 高中毕业班适应性训练（一）数学第4页（共4页) 2027届普通高中毕业班适应性训练（一）数学参考箭案 1.(必修一P12练习2)D 2.(必修二P80练习3)B 3.(选择性必修第三册P31练习4)A 4.(必修二教参P288第4题)D 5.(选择性必修第一册P99第13题)D 6.(选择性必修三P46例1)B 7.(必修二P24第21题)C 8.(2025高三全国竞赛试题)A 9.(人教A版选择性必修第二册P104第9题)BCD 10.(8026年全国高考1卷第7题)AD 11.(2026年全国1卷高考题第10题)ACD 12.(八教A版远择性必修三P133第2题)x= 8 13.（人教A版必修一P127第5题) 1+b-a a 14.(强基试题)8 第15题（入教A版必修二P47例8）： 解：(I),'acosC+√3siC=b由正弦定理得：sin4cosC+√3sin4snC=sinB 又，B=π-(A+C),'sinB=sin(A+C ∴.sinAcosC+√3 sinAsinC=sinAcosC+-cosAsinC 又.Ce(0,π).sinC≠0 化简得√3sinA=cosA 即nA=5 ，4®小4=管 (2②)最优解：'C=元：B=π-A-C=7匹 4 过点B做BD⊥AC于点D,如图： 在RC8D中，BC=5,C=年BD=CD=l 则在R△8D中，AD=BD=5 tan A ..AC=CD+AD=1+3,=1+3 法二：（正弦定理) C=罩B=x-A-C= 12 .sin B7π 12 =si(+=+6 431 4 =asIr B v2.2+6 4一=1+V5 ⑧道A 1-2 法三：（杂弦定理) yC=空B=π-A-C=7n 4 12 cos B cos- =os+=5-6 12 43 4 14c=4触C=2 s浙漠 +c2-2accosB=4+23 b=4样25=V5+1 華16题八教A版选择性必修一P39例10： 1)设ACnBD=O,连接OE,因为底面ABCD是菱形， 所以O勇C的中点，又因为E为线段PC中点， 所以OB为△PAC的中位线，所以OERA 义Oi&道BDE,PAE面BDE, 所以Pj平面BDE 2)解按一 茵为残PC,所以点E为靠近点P的四等分点，过点E作EFPA,交AC于点F, 因为PA⊥平面ABCD,所以EF⊥平面ABCD, 文ACC面ABCD,BDC面ABCD, 所以EF⊥AC,EF⊥BD, 又因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD, 因为E欧c面EFO,OFc面EFO,EFOOF=F, 所以BD⊥平面EFO,由OEc平面EFO,所以BD⊥OE, 即∠EOF为平面EBD与平面BDC夹角 在o中F-P4=子2or-4c-2=月 4 4 2 oE-@r+(o-骨+- 2 所以sin∠EOF= EF 231o 0EV1010 2 即平面BD与平面BDC夹角的正弦值3 10 解法二： 因为PA⊥平面ABCD,AC LBD,以O为坐标原点，分别以OB,OC为x轴，y轴：过点O 平行于AP为z轴，建立下图所示空间直角坐标系，设BD=2a(a>O) 则A(0,-1,0),B(a,0,0),D(-a,0,0),C(0,1,0),P0,-1,2), 故元=Q2-2,故丽-元-（2引所以0引 故证-（引丽-(20. i·BD=0 设平面DB的法向量为元=(x,y,),则 元.BE=0 [-2ax=0 所以 13 x-2y+22=0' 2 令z=1,则元=(0,3,1)， 而平面BDC的法向量为m=(0,0,1), 设平面EBD与平面BDC夹角为O, 故cos0=cos(m,= m列。1而 闭：闭xV1010, POK 因为0为整角所以如9=看-o0--.0 -10 即平面BD与平面BDC夹角的正弦值为3@ 10 解法三： 茵为底面ABCD是菱形，所以AB=BC,在△MBC中，设∠ABC=日，由余弦定理得， AC=AB2+BC2-24B.BC Cos LABC=AB2+AB2-2AB.ABCOS0 爻AC￥2，解得AB2=, 2 1-c0s0 茬△ABD中，由余弦定理得， BD2=B2+AD2-2AB.AD COS /BAD=AB2+AB2+2AB.ABcos0 ￥2AB2.Q+cos0)= 4sin20 (1-cos8)2 菌为BDs0,所以BD=2si血0 因为PA⊥平面ABCD,AC⊥BD,以O为坐标原点， 1-c0s8 芬别以C范，OC为x轴，y轴，过点O平行于AP为z轴，建立下图所示空间直角坐标系， 第40-io,a08oa0oga0小c(14a-2. 放成-02-2，放西=元-(02引，所以0-2引， 放范女 BD=0 设平面勃B的法向量为元=(x,y,2),则 BE=0 [-2i0 x=0 所以 16s日1 -0.13 ,令z=1,则i=(0,3,), x- 1-cose 2y+2=0 2 而平面DC的法向量为m=(O,O,1),设平面EBD与平面BDC夹角为日， 傲a0-wa动列-周周票。 因为0为锐角，所以sim0=v-cos26=-0-3i0 10 10 即平面EBD与平面BDC夹角的正弦值为3Wid 10 第17题（选择性必修二P104第18题）： (1)·函数f=e-n(x+m,f)=e-1 x+m f0)=1-1，又因为f0=1-nm, x=0处的切线为：y--hm=1-x-0,即y=1-三x+1-nm m m 把点(22-h2)代入，得2-1n2=20-+1-血网，化简为：h%=1-2 m m 当m=2时，h=1-2 2 m 设属数g侧=h受+名-1g网-片后- mmm 当m≥2时，函数g(m)单调递增：当m≤2时，函数g(m)单调递减； 当且仅当m=2时，g(m)取最小值g(2)=0; 故方程山=1-2有唯一解，且m=2 2 m (2)由(1)知m=2,f)=e-ln(x+2),f)=e产-1 +2 十+2>0，所以∫=心-士单调递增， f"=e+,1 x+2 f%-0=81<0,f0=1-号=0， 22 所以6-4,0使得f)=-=0,即e=1 +2 x0+2 所以f(x)在区间x∈(-2，x)时，f'(x)<0,即函数f(x)单调递减， 在区间x∈(，∞)时，f"()>0,即函数f(x)单调递增， 所以f(x)min=f(x)=e-lh(+2) 由因为的=1 6+2与-6=h(%+2), 所以f)=1 +2+场，“e(←1,0 62*为， f)= +(x+2)-2>0 名+2 在 第18题(2026年全国1卷第18题)： 9=2 (1)由题意得： a ，解得a= c=1 2 ·6=c2-a2,解得6=2 .C的方程：2x2-2y2=1 (2)法-：过F且斜率大于2的动直线1的方程为：x=my-1,其中m∈ [x=my-1 联立 2x2-2y2=1得(2m2-2y2+4my+1=0 设P,),2(:2,y2),由题意知4>y2 2m 当+hm2一h2m2-20 )由效曲线的中心对称性可知SAPOR=2S0P2 又5aP2R=5 SAOPF∴2So%=3Sa0r02yl=341即3y+2y2=0② 联立0@得m㎡=药m=号斗即k=7 所以的方程为：y=7x+7 法二：过F且斜率大于2的动直线的方程为：y=k(x+) 2r2-2y2-1得(2k2-2x2+4h2x+2k2+1=0 y=k(x+1) 联立 设P(,H),2(32,2),由题意知%>，4>0,2<0 .斯+x2= -2k2 2了五 2k2+10 2k2-2 ()由双曲线的中心对称性可知SAPR=2 SSOPQ 又：SAPOR=5 SAOPF∴.24-y2l=5y1卿2k(名-)=5k(%+1j .3x1+2x2=-5② 联立①②得k2=49,因为k>2,所以k=7 所以的方程为：y=7x+7 ()过点Q做射线QM平行于x轴， :∠PR=∠P0M-LR2M:mP∠0R=*ZPOM--R0M0=+k-o k-kon -2k 其中如=+2=21 +龙2-2k2k 2-1 nro- 设函数r0因=6-是>2刃 =+后>0随威立 f(K)在(2，+o)单调递增 >a=月 面∠P0R-之>即m∠P0R的取值范园为侵+ 第19题(2024年全国1卷第19题政编)： (1):an=(-1)mn,即1，-2,3，-4,5，-6，…4取前k+1项极差 当n为奇数时，an=,a=-(n+1),故A,=n-【-(n+l=2n+1 当n为偶数时，an=-九，4+1=(n+),故4n=n+1-（-m)=2n+1 .n∈N,A=2n+l C=3+2n+D=+2n 2 (2)(i)当m=5时，{4,42，a6}={1,2,6}. 由4的定义可知：∀k,4≤6-1=5，所以T,的最大值为5×5=25 当且仅当1≤k≤5，A=5时，所以T的最大值为25 要使∀k,4=5,则{4,4}={1,6，{4,4,45,46}={2,3,4,5} 所以满足条件的数列{a}的个数为号·A=48个 i)情统1：任意1≤k≤m,4≤(m+1)-1=m,因此Tn≤m2 若Tn=洲2，则A4=4=…=An=m;所以4=a-4=m,故{4,42}={包，m+1} 庆而{4；2}={红，m+1)分A=m1≤k≤m)+Tn=m2 m{a,4}={1,m+1的排列有2种情况，剩余{4，a44m}={2,3,m任意排列，共有 m-1)1种，因此达到最大值的排列个数为2(m-1 情况2：著T=m2-1,根据前三项的取值，有如下 自{4；a2}={2,m+1},43=1,{a4,,am}={3,,m共有2(m-2 ②{95-}={红，m},4=m+1,{a4,a}=3,m-1号共有2(m-2 第{1p-2…0}={1,2m+1号共有(m+1明 综上：1≥m2-10m≥3)的概率为20m-44m-22 (m+10 m(m-1)