2.2 反比例函数的图象与性质 讲义 2026-2027学年苏科版 九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦反比例函数的图象与性质，系统梳理双曲线形状、象限分布、增减性、对称性等基础性质，衔接比例系数k的几何意义（矩形与三角形面积）及与一次函数的交点、不等式应用，搭建从单一知识点到综合运用的学习支架。 资料以考点突破-题型探究-分层通关为主线，题型涵盖图象象限、增减性比较、k的几何意义等，例题配变式强化理解。通过几何直观分析图形面积（数学眼光），推理运算比较函数值（数学思维），培养模型意识，分层练习适配不同学生，课中助力教学，课后便于查漏补缺。

2.2 反比例函数的图象与性质 目录 Part1考点突破 考点1：反比例函数的图象与性质 考点2：比例系数k的几何意义 考点3：反比例函数与一次函数 Part2 题型探究 题型1：反比例函数图象与象限 题型2：反比例函数的增减性与比较大小 题型3：比例系数k的几何意义与面积 题型4：求反比例函数解析式 题型5：反比例函数与一次函数 题型6：反比例函数与几何综合 Part3 分层通关 【考点1：反比例函数的图象与性质】 1、图象形状 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，分别位于两个象限内。图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。 2、图象所在象限 当时，图象的两个分支分别位于第一、三象限；当时，图象的两个分支分别位于第二、四象限。 3、增减性 当时，在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，在每个象限内，y随x的增大而增大。注意：增减性必须强调"在每个象限内"，不能笼统地说"y随x的增大而增大（减小）"。 4、对称性 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形。对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为坐标原点。 【考点2：比例系数k的几何意义】 1、矩形面积 过反比例函数（）图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两条垂线与两坐标轴围成的矩形的面积等于。 2、三角形面积 连接图象上任意一点与原点，并从该点向x轴（或y轴）作垂线，可得直角三角形，这个直角三角形的面积等于。 3、应用 利用k的几何意义，可以由图形面积求出k的值，进而确定函数表达式；也可以由k的值求出相关图形的面积。解题时注意k的符号与图象所在象限的关系。 【考点3：反比例函数与一次函数】 1、交点问题 反比例函数与正比例函数图象的交点：当k同号时，两函数图象有两个关于原点对称的交点；当k异号时，两函数图象无交点。反比例函数与一次函数图象的交点：联立两函数表达式，转化为一元二次方程，根据判别式判断交点个数。 2、结合图象解不等式 观察反比例函数与一次函数的图象解不等式的步骤：（1）联立两函数表达式，解一元二次方程求得交点横坐标；（2）观察图象，图象在上面的函数值大，图象在下面的函数值小，对应x的取值范围即为相应不等式的解集。注意要分区间讨论，不要遗漏x=0处的间断。 【题型1：反比例函数图象与象限】 【例1】反比例函数的图像可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的图像性质，当时，图像位于第一、三象限；当时，图像位于第二、四象限解答即可． 【详解】解：∵ 反比例函数中，， ∴ 该函数的图像位于第一、三象限，即选项A符合题意． 【变式1】反比例函数的图象分别位于（     ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【答案】D 【详解】解：中，， ∴反比例函数的图象位于第二、第四象限． 【变式2】已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】由反比例函数图象经过第二、四象限，所以，求出m范围即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 解得：． 【变式3】点在反比例函数 的图象上，则该函数图象所在象限为（     ） A．一、三象限 B．二、四象限 C．一、二象限 D．三、四象限 【答案】B 【详解】解：将点代入反比例函数，得， ∵， ∴反比例函数的图象在第二、四象限． 【题型2：反比例函数的增减性与比较大小】 【例2】已知点在反比例函数的图像上，那么在每个象限内，该函数的值y随x的值增大而________．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【分析】根据点在反比例函数图象上确定的符号，再结合反比例函数的性质判断随的变化规律． 【详解】解：点在反比例函数的图像上， ， ， ， ， 根据反比例函数的性质，当时，在每个象限内，随的增大而增大． 【变式1】若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵中，， ∴图象在一、三象限，在各象限，随的增大而减小， ∵，， ∴，， ∴． 【变式2】已知，且点均在反比例函数的图象上，则与的大小关系是：___________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】先根据反比例函数的比例系数判断函数的增减性，再比较两个点横坐标的大小，结合增减性即可得到纵坐标的大小关系. 【详解】解：反比例函数中，比例系数， 反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小. ， 且点，点都在第一象限的反比例函数图象上. ． 【变式3】若点均在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的， ∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， 若点在同一支图象上，且， ∴， 解得， 若点均在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 综上分析，a的取值范围是：． 故答案为：． 【题型3：比例系数k的几何意义与面积】 【例3】如图，点A在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，平行x轴，连接，若，则的面积可以是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】，，将的面积表示出来，建立面积与的函数关系，结合的取值范围即可求解． 【详解】∵ 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴设， ∵平行轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，只有符合题意． 【变式1】如图，矩形的顶点在轴上，在轴上，双曲线与交于点，与交于点，轴于点，轴于点，交于点．若矩形和矩形的面积分别是和，则的值为（    ） A． B．+1 C． D． 【答案】B 【分析】设，用表示点的坐标和线段长，从而利用面积建立方程即可求解．解题关键是利用参数表示线段长． 【详解】解：设，则， ∵矩形的面积为1，轴于点， ∴， ∴点的纵坐标为， 当时，=，解得， ∴， ∵矩形的面积为， ∴， 整理得， 解得： ∵， ∴． 【变式2】如图，已知反比例函数（，）的图像与线段有公共点，其中点B在y轴上，轴，点A是x轴上一点，连接、，若的面积为3，则k的值可能为（     ） A．8 B．7 C．6.5 D．5 【答案】D 【详解】解：设（，）， ∵轴， 则点， 则线段长度为， 在中，，整理得：， 设反比例函数与线段交于点， 则，， ∵x最大是a，所以k最大是，也就是， ∴四个选项里只有D选项5满足， ∴k的值可能为5． 【变式3】如图，在轴的正半轴上依次截取，过分别作轴的垂线，与双曲线相交于，得，设它们的面积从左到右依次为，按此规律，则______． 【答案】 【分析】主要考查了反比例函数中的几何意义，规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键．过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得三角形面积为，结合图形找到规律进行解答即可． 【详解】解：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，， ，， ， ， ， ∴， 同理可得 以此类推，． ， 故答案为：． 【题型4：求反比例函数解析式】 【例4】如图，某反比例函数的图像过点，则此反比例函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设反比例函数的一般形式，再将已知点的坐标代入求出系数，从而确定函数表达式． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 反比例函数图像过点， ， 反比例函数的表达式为． 【变式1】如果反比例函数的图象经过点，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得． 【变式2】若反比例函数的图象经过点，则这个反比例函数的表达式为__________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的解析式求解，用待定系数法求未知参数是解题关键． 将点的坐标代入反比例函数解析式，求出参数的值，从而得到函数表达式． 【详解】解：将点代入， 可得：， 解得，则， 故反比例函数的表达式为．故答案为：． 【变式3】如图，该图像对应的函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图像．根据函数图像的形状和所处的位置判断即可． 【详解】解：函数的图像为双曲线，所以为反比例函数的图像， ∵图像位于第二、四象限， ∴对应的函数的解析式可能是． 故选：A． 【题型5：反比例函数与一次函数】 【例5】如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为__________． 【答案】3 【分析】根据反比例函数的图象关于原点中心对称和直线过原点，可得点A、B的横纵坐标互为相反数，从而求出a、b的值，最后代入即可求解． 【详解】解：过原点的直线与反比例函数的图象交于，， ，两点关于原点对称， ，， ，， ，， 则，解得． 【变式1】如图，双曲线与直线相交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：双曲线与直线相交于，两点， 点、关于原点对称， 点的坐标为， 点的坐标为． 故选：A． 【变式2】已知：点在直线上，也在双曲线上，则的值为______． 【答案】 【分析】把点P的坐标分别代入两个函数的表达式中可推出，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵点在直线上，也在双曲线上， ∴，， ∴， ∴． 【变式3】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点． (1)求一次函数的表达式； (2)根据函数图象，请直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：∵和两点在反比例函数的图象上， ∴，， ∴，， 点，点． ∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点， ∴将点代入中， 得：， ∴， 则一次函数的表达式为：； （2）解：根据函数图象，不等式的解集为：或． 【题型6：反比例函数与几何综合】 【例6】如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作轴， 点， ,即， ， ， ， ， ， 将点代入函数得，， 解得：． 故选：． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，为坐标原点，顶点在反比例函数（为常数，且，）的图象上，边交轴于点，且，若的面积为，则的值为________． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ∵的面积为12， ∴的面积为6， ， ， ∴， 即， ， ∵反比例函数经过第二象限， ， ． 【变式2】如图，已知正六边形的边长为，一边在轴上，点在轴上，反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据正六边形的性质可得，，再根据所对的直角边为斜边的一半，可得，再根据勾股定理可得，进而可得，利用待定系数法即可求解． 【详解】解：连接， ∵正六边形的边长为， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入中，即， 解得：． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点、，过点作轴，垂足为，为的中点，连接．若的面积为，则的值为________． 【答案】 【详解】解：设， 由题意得， ∵为的中点， ， ， ， ． 【基础通关练】 1．关于反比例函数，下列说法中错误的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．图象位于第一、三象限 C．点在函数图象上 D．当时， 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，选项B正确； 且在每个象限内，随的增大而减小， ∵对应第三象限， ∴当时，随的增大而减小，选项A正确； 将代入解析式，得 ，与点的纵坐标一致， ∴点 在函数图象上，选项C正确； 当时，， ∵时，随的增大而减小， ∴当时，， 因此D错误选项． 2．反比例函数的图象特征是(    ) A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．只在第一象限 D．只在第四象限 【答案】B 【详解】解：∵对于反比例函数， ∴该反比例函数的图象分布在第二、四象限． 3．如图是反比例函数的图象．整数的值是________． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数的性质得，由图得，即可求解；理解反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 图象在第一象限， ， 是整数， ， 故答案为：． 4．反比例函数，当时，y随x的增大而_______．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【详解】解：∵反比例函数，， ∴双曲线过二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大； 故当时，y随x的增大而增大. 5．已知点在反比例函数的图象上，若，写出一个满足条件的的值____． 【答案】2（答案不唯一） 【详解】解：由反比例函数，可得， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， 将代入，得， 当时，点在第三象限，此时，满足， 当时，点在第一象限，由结合反比例函数增减性可得， ∴满足或即可， ∴取符合条件的值． 6．若点，都在反比例函数的图像上，则，的大小关系是______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题关键是根据反比例函数的系数判断其增减性，再结合点的纵坐标大小比较横坐标的大小． 先判断反比例函数的增减性（，各象限内随增大而减小），再根据点纵坐标的正负确定所在象限，进而比较的大小． 【详解】反比例函数中， 函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小． 点的纵坐标，所以点A在第一象限，因此，点的纵坐标，所以点B在第三象限，因此， ． 【提升通关练】 1．反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图象结合性质判断反比例函数中的k和一次函数中的k的值是否一致即可判断． 【详解】A．反比例函数图象在第一、三象限，则，一次函数图象应经过二、三、四象限，故此选项错误； B．反比例函数图象在第一、三象限，则，一次函数图象与y轴正半轴相交，且经过一、二、四象限，故此选项错误； C．反比例函数图象在第二、四象限，则，一次函数图象应经过一、二、四象限，故此选项错误； D．反比例函数图象在第一、三象限，则，一次函数图象经过一、二、四象限，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解题时注意：系数k的符号决定直线的方向以及双曲线的位置． 2．已知点在反比例函数的图象上，，则下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的增减性，能够熟练利用增减性比较函数值大小是解题的关键． 根据每个选项的条件，利用反比例函数的增减性逐个判断即可． 【详解】解：∵反比例函数， ∴函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ， A.若，则，根据增减性得，，故不符合题意； B.若，则，根据增减性得，，即，故符合题意； C.若，则或，根据增减性得，故不符合题意； D.若，则或，根据增减性得或，故不符合题意． 3．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．6 【答案】D 【详解】解：由题意可得：k的取值应该满足：，即， 所以k的值可能是6； 故选：D. 4．在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的增减性，正确理解反比例函数的增减性是关键．根据反比例函数的性质，当比例系数小于零时，函数在每一象限内随的增大而增大，由此列出不等式求解即可． 【详解】解：在反比例函数图象的每一支曲线上，都随的增大而增大， 比例系数， 解得：． 故答案为：． 5．如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点且平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，点在轴正半轴上，以为边作平行四边形，则四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】连接、，利用反比例函数的几何意义求出的面积，再结合平行四边形与三角形的面积关系求解． 【详解】解：连接、，设交轴于点，如图， ∵轴， ∴轴． ∵点在反比例函数的图象上， ∴； 点在反比例函数的图象上，同理可得； ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形的面积． 6．如图，点，在反比例函数的图象上，轴，垂足为，，垂足为．若四边形的面积为8，，则的值为________． 【答案】 【详解】解：设点， 轴， ，， ， ， ， ，轴， 轴， 点， ， ∵四边形的面积为8， ， 解得：． 7．已知反比例函数 的图象的一支如图所示，它经过点． (1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支； (2)求当，且时自变量的取值范围． 【答案】(1)，图见解析； (2)或． 【详解】（1）把点代入，即， 解得：， 反比例函数的表达式为， 补充其函数图象如下： 列表格： （2）由图象得： 当时，， ∴， 当时，， 解得， 则时，， 当，且时，或． 8．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于A，B两点，点A，B的横坐标分别为2，，直线交y轴于点C． (1)求k，a的值； (2)过点A作轴于点D，连接，求的面积． 【答案】(1)， (2)9 【详解】（1）解：把点A和点B的横坐标代入，， 得 解得 即，． （2）解：当时，，即． ∴ ． 9．如图，一次函数与反比例函数的图像交于两点，点的横坐标为2，过点作轴的平行线，交轴于点，连接与交于点． (1)求的值； (2)求面积的最大值，并求出此时的值． 【答案】(1)8 (2)1， 【分析】（1）先求出点坐标，待定系数法求出的值即可； （2）联立直线和反比例函数的解析式，求出点坐标，进而求出点坐标，求出的解析式，进而求出点坐标，根据三角形的面积公式，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， 联立，解得或， ∴， ∵轴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， ∴当时，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大，最大值为1． 【培优通关练】 1．如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点B． (1)根据所给条件，请直接写出不等式的解集______； (2)求反比例函数的表达式； (3)轴于点C，点P为反比例函数图象上的一点，且位于点A的右侧，连接、、，当时，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察函数图象特点，即可得出解集； （2）运用待定系数法，将点代入直线表达式，求出n，再将点A坐标，代入反比例函数，即可求出反比例函数表达式； （3）过点P作，垂足为点D，根据条件，得出点P的纵坐标，代入反比例函数表达式，得到横坐标；根据直线方程特点，求出B点坐标，最后根据，即可得到所求． 【详解】（1）解：观察函数图象，点A左侧，反比例函数的图象在直线上方，再结合题目给出的条件，所以不等式成立的解集为：； （2）解：过点， 代入直线解析式，得：，即点， 反比例函数也过点A， 代入得：， 所以反比例函数的表达式为：． （3）解：如图所示，过点P作，垂足为点D， 轴于点C，点A的坐标为， ， ， ， 点P的纵坐标为2， 把代入，解得． ， ． 在中，当，解得， ， ， ， ． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于、两点，一次函数的图像与轴交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)分别联结、，点是轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点、， ，． 解得，． ，， 由、两点在一次函数的图像上， 得， 解得 ∴一次函数的解析式为． （2）解：如图， 由，令，得，则， ∴． 设，可得．解得． 或． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A、点B的横坐标分别是和3． (1)当时，自变量x的取值范围为______； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向上平移后，与反比例函数图象交于C，D两点，与两坐标轴分别相交于E，F两点．若，求直线的函数表达式． 【答案】(1)或 (2)一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为 (3)直线CD的表达式为 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A、点B的横坐标分别是和3． ∴由图象可得：当时，自变量x的取值范围为或； （2）解：∵点、点的横坐标分别是和3， ∴点、， 将点、代入一次函数得： ，解得：， ∴一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为； （3）解：∵直线， ， 设直线与y轴交于点G， 令，则， ∴， 又， ， 即， 解得， ∴， ∴ 把代入，得， 直线CD的表达式为． 4．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，一次函数 与反比例函数 的图象交于两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)y轴上有一点 P，当以点O、P、A、B为顶点的四边形的面积为5时，求点 P 的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 【详解】（1）解：把代入得， ， 反比例函数的解析式为， 把代入得， ， 把，代入得：， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）解：设， 由得，当时，，当时，， ， 当时， ， ， ， 点的坐标为， 如下图， 当时， ， ， 点的坐标为， 综上所述：点的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 反比例函数的图象与性质 目录 Part1考点突破 考点1：反比例函数的图象与性质 考点2：比例系数k的几何意义 考点3：反比例函数与一次函数 Part2 题型探究 题型1：反比例函数图象与象限 题型2：反比例函数的增减性与比较大小 题型3：比例系数k的几何意义与面积 题型4：求反比例函数解析式 题型5：反比例函数与一次函数 题型6：反比例函数与几何综合 Part3 分层通关 【考点1：反比例函数的图象与性质】 1、图象形状 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，分别位于两个象限内。图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。 2、图象所在象限 当时，图象的两个分支分别位于第一、三象限；当时，图象的两个分支分别位于第二、四象限。 3、增减性 当时，在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，在每个象限内，y随x的增大而增大。注意：增减性必须强调"在每个象限内"，不能笼统地说"y随x的增大而增大（减小）"。 4、对称性 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形。对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为坐标原点。 【考点2：比例系数k的几何意义】 1、矩形面积 过反比例函数（）图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两条垂线与两坐标轴围成的矩形的面积等于。 2、三角形面积 连接图象上任意一点与原点，并从该点向x轴（或y轴）作垂线，可得直角三角形，这个直角三角形的面积等于。 3、应用 利用k的几何意义，可以由图形面积求出k的值，进而确定函数表达式；也可以由k的值求出相关图形的面积。解题时注意k的符号与图象所在象限的关系。 【考点3：反比例函数与一次函数】 1、交点问题 反比例函数与正比例函数图象的交点：当k同号时，两函数图象有两个关于原点对称的交点；当k异号时，两函数图象无交点。反比例函数与一次函数图象的交点：联立两函数表达式，转化为一元二次方程，根据判别式判断交点个数。 2、结合图象解不等式 观察反比例函数与一次函数的图象解不等式的步骤：（1）联立两函数表达式，解一元二次方程求得交点横坐标；（2）观察图象，图象在上面的函数值大，图象在下面的函数值小，对应x的取值范围即为相应不等式的解集。注意要分区间讨论，不要遗漏x=0处的间断。 【题型1：反比例函数图象与象限】 【例1】反比例函数的图像可能是（   ） A．B．C．D． 【变式1】反比例函数的图象分别位于（     ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【变式2】已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______． 【变式3】点在反比例函数 的图象上，则该函数图象所在象限为（     ） A．一、三象限 B．二、四象限 C．一、二象限 D．三、四象限 【题型2：反比例函数的增减性与比较大小】 【例2】已知点在反比例函数的图像上，那么在每个象限内，该函数的值y随x的值增大而________．（填“增大”或“减小”） 【变式1】若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，且点均在反比例函数的图象上，则与的大小关系是：___________．（填“>”“<”或“=”） 【变式3】若点均在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是_______． 【题型3：比例系数k的几何意义与面积】 【例3】如图，点A在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，平行x轴，连接，若，则的面积可以是（   ） A．1 B． C． D． 【变式1】如图，矩形的顶点在轴上，在轴上，双曲线与交于点，与交于点，轴于点，轴于点，交于点．若矩形和矩形的面积分别是和，则的值为（    ） A． B．+1 C． D． 【变式2】如图，已知反比例函数（，）的图像与线段有公共点，其中点B在y轴上，轴，点A是x轴上一点，连接、，若的面积为3，则k的值可能为（     ） A．8 B．7 C．6.5 D．5 【变式3】如图，在轴的正半轴上依次截取，过分别作轴的垂线，与双曲线相交于，得，设它们的面积从左到右依次为，按此规律，则______． 【题型4：求反比例函数解析式】 【例4】如图，某反比例函数的图像过点，则此反比例函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如果反比例函数的图象经过点，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式2】若反比例函数的图象经过点，则这个反比例函数的表达式为__________． 【变式3】如图，该图像对应的函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 【题型5：反比例函数与一次函数】 【例5】如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为__________． 【变式1】如图，双曲线与直线相交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知：点在直线上，也在双曲线上，则的值为______． 【变式3】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点． (1)求一次函数的表达式； (2)根据函数图象，请直接写出不等式的解集． 【题型6：反比例函数与几何综合】 【例6】如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，为坐标原点，顶点在反比例函数（为常数，且，）的图象上，边交轴于点，且，若的面积为，则的值为________． 【变式2】如图，已知正六边形的边长为，一边在轴上，点在轴上，反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点、，过点作轴，垂足为，为的中点，连接．若的面积为，则的值为________． 【基础通关练】 1．关于反比例函数，下列说法中错误的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．图象位于第一、三象限 C．点在函数图象上 D．当时， 2．反比例函数的图象特征是(    ) A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．只在第一象限 D．只在第四象限 3．如图是反比例函数的图象．整数的值是________． 4．反比例函数，当时，y随x的增大而_______．（填“增大”或“减小”） 5．已知点在反比例函数的图象上，若，写出一个满足条件的的值____． 6．若点，都在反比例函数的图像上，则，的大小关系是______． 【提升通关练】 1．反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．已知点在反比例函数的图象上，，则下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．6 4．在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是______． 5．如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点且平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，点在轴正半轴上，以为边作平行四边形，则四边形的面积为_________． 6．如图，点，在反比例函数的图象上，轴，垂足为，，垂足为．若四边形的面积为8，，则的值为________． 7．已知反比例函数 的图象的一支如图所示，它经过点． (1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支； (2)求当，且时自变量的取值范围． 8．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于A，B两点，点A，B的横坐标分别为2，，直线交y轴于点C． (1)求k，a的值； (2)过点A作轴于点D，连接，求的面积． 9．如图，一次函数与反比例函数的图像交于两点，点的横坐标为2，过点作轴的平行线，交轴于点，连接与交于点． (1)求的值； (2)求面积的最大值，并求出此时的值． 【培优通关练】 1．如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点B． (1)根据所给条件，请直接写出不等式的解集______； (2)求反比例函数的表达式； (3)轴于点C，点P为反比例函数图象上的一点，且位于点A的右侧，连接、、，当时，求的面积． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于、两点，一次函数的图像与轴交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)分别联结、，点是轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A、点B的横坐标分别是和3． (1)当时，自变量x的取值范围为______； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向上平移后，与反比例函数图象交于C，D两点，与两坐标轴分别相交于E，F两点．若，求直线的函数表达式． 4．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，一次函数 与反比例函数 的图象交于两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)y轴上有一点 P，当以点O、P、A、B为顶点的四边形的面积为5时，求点 P 的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $