广东广州市海珠区2027届高三上学期综合练习(一) 数学试卷

2027届高三综合练习（一） 数学 本练习共4页，19小题，满分150分。作答用时120分钟。 注意事项： 1.作答前，学生务必将自已的学校、姓名、学生号、救室号和座位号填写在答题卡上， 用2B铅笔将学生号和座位号填涂在答题卡相应位置上。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息 号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在本练习上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅 笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.学生必须保持答题卡的整洁。作答结束后，将练习和答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知P={1,2},={2,3},若M={x|x∈P,或x∈}，则M= A.(1) B.{2) C.{1,2) D.{L,2,3} 2.已知=1-i,则z= A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 3.已知cos(a+B)=m,cos(a-B)=-3m,则tan o tan B= A.-2m B.-2 C.2m D.2 4.在△ABC中，设D点满足：D在AB的延长线上，AD=3BD.记CA=m,CD=n,则CB= B +号 3m+ C. 2-1 2-,1- 3m-3 D. m+an 3 5.抛物线y=Lx的焦点坐标是 m A.0,学 B.0,-空 C. D.(0,-1) 4m 6.由样本数据(x,yi∈N)组成的一个样本，得到经验回归方程为y=-x+2,且y=4, 通过残差分析，发现两个数据(-1.6,2.8)，(-2.4,5.2)误差较大，去除这两个数据后得 到新样本经验回归方程为y=-1.5x+6.在新的经验回归方程下，样本(-5,9)的残差为 A.-1 B.-0.5 c.0.5 D.1 高三数学第1页（共4页) 7.已知数列{an}，其前n项和为Sn,3Sn=4an-1(n≥1)，给定正整数i，设函数 f(y=a sinx+asin2x++a,sin'x,f"(y表示f(的导函数，则f'"(后= 2-02+ 4. 2 8. 2-102+3 2 96-g, c. D. 9+2因 2 8.已知函数f(x)=ac+lnx-xer+l的最大值为0，则a的最小值为 A.1 C.e D.-e e e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知函数f(x)=x3-3x2,下列说法正确的是 A.x=0是f(x)的极大值点 B.f(x)在x=3处的切线为y=9x+27 C.当0<x<1时，f(x)<f(x3) D.f(x)的对称中心为(，-2) 10.在正方体ABCD-AB,C,D中，AB=2,E,F分别是AD,CC的中点，下列说法正确的 是 A.直线EF∥平面ABCD, B.直线EF与CD所成角的正弦值为 C.过B、E、F三点的平面截正方体所得裁面图形的周长为N5 D.过E、F、D、D,四点的球的表面积为 29 4 11.数学中将具有某一共同特征的所有直线的集合叫做直线系， 现有直线系M:(x-1)cos0+ysin0=1(0≤0<2π)，下列说法正确的是 A.M中所有直线均经过一个定点 B.存在定点P不在M中的任一条直线上 C.M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 D.对于任意整数n(n≥3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上 高三数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.设函数f()=V5os(@x+(@>0）.已知f(3)=V5，f()=0,且片-的最小值 为经，则0= 13,某校高二学生参加学农实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共6个项目，分别为 劈柴、施肥、蔬菜移栽、野炊、扎染、消防演习，规定每人参加其中3个项目.假设每 人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“施肥”项目的概率为； 已知乙同 学参加的3个项目中有“野炊”，则他还参加“扎染”项目的概率为 n(n-1) 14已加旋列a},设6=On-g,d…8=2学，2e 当an取得最 小值时，n=一 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤」 15.(13分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a,b,c成等差数列， 且5sinA=3sinC. (1)求c0sA; (2)若AB=5,过点C作CDII AB,且∠ADC=3, π，求CD. 4 16.(15分) 在五面体ABC-AB,C中，四边形AA,CC为等腰梯形，AC∥AC, AC=AC=2,ALBC,CC LAB. (1)求证：A4、BB、CC三线交于一点： (2)若AB LBC,M4=25,BB,=,求直线48与平面4CCA所成角的正孩值 3 C B 高三数学第3页（共4页） 17.(15分) 甲、乙两选手进行象棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为卫，乙获胜的概率为1一p. 2 (1)若比赛采用“2n+1局n+1胜”(n∈N)制，n=2,p=了，比赛结束乙获胜， 记比赛的总局数为X,求P(X=4): (2)若选择以下方案中的一种： 方案一：若采用“5局3胜”制，甲获胜的概率为P(A). 方案二：若甲乙赛满5局比赛，甲至少赢3局比赛的概率为P(B). 比较P(A)和P(B)的大小，并说明理由： (3)记“2n-1局n胜”(n∈N)制比赛中甲获得最终胜利的概率为p1·记“2n+1局 n+1胜”(n∈N)制比赛中，甲在第一局输的条件下，甲获得最终胜利的概率为 P2·证明：P1-P2=C2n-p"(1-p”。 18.(17分) ，y2 已知椭圆C:+2I@,b>0)的一-个焦点为F-2,0)，短轴长是22 (1)求椭圆C的标准方程： (2)直线l:x=-a2与x轴交于点2，过点P(-1,0)的直线与椭圆交于M,N两点. (1)记直线QM的斜率为k1,直线QN的斜率为k2,证明：k+k2=0: (i)过点P(-1,0)作直线MN的垂线交直线I于点E,求△EMN面积的最小值. 19.(17分) 已知函数()的定义域为A,当x<0时，f()=3”.对任意x:∈A,对定义域A的非空 子集B={x≤x≤x}(其中>0)，定义集合E(x)={e∈Rf(x)<f(x+e),x∈B}. (1)若f(x)的定义域A=(-oo,0),且f(-2)<f(-2+m),求实数m的取值范围： (2)若f(x)的定义域A=(-∞，0)，当x=-2,入=5时，求E(x)； (3)设(x)的定义域A=R,f(x)满足：①若f(x)≤f(x2),则E(x2)二E(x): ②当0<x<1时，f(x)<f(0). (1)证明：f(0)21; (ii)若0<x<1时，f(x)≤0，证明：f(x)在区间(0，+o)单调递增， 高三数学第4页（共4页）2027届高三数学适应性测试教学质量监测 参考答案 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 题号 2 3 6 6 7 答案 D D D B A C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.ACD 10.ABD 11.BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.1 1 2 14.3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15(13分) 解：(1)a,b,c成等差数列 .2b=a+c .5sin4=3sinC 由正弦定理得5a=3c (o+c-GO 所以cosA b2+c2-a2 2bc 4 2×-c×c (2)AB∥CD ∴.∠ACD=∠BAC in∠AcD=3 cos∠BAC= 5 .AB=5.AC=4 ∴.△ACD中sin∠CAD=sin(∠ACD+∠D)= 3-√2,4√2V2 2 5210 CD 由正弦定理得 AC sin∠CAD sin∠D CD_AC 4 .CD= √2√2 102 16解：(1)因为四边形AA,CC为等腰梯形，AC,∥AC,所以延长AA,CC交于一点 设AA∩CC1=P, P∈AA,AAC面AAB,B∴.P∈面AAB,B 同理可得P∈面BB,CC 又，面AABBO面BB,CC=BB,.P∈BB 1 .AA、BB、CC三线交于一点P (2)解法一： 由AA⊥BC,AB⊥BC,AA,OAB=A,且AA,ABC面4ABB .BC⊥AAB,B 又BB,C面AAB,B,.BC⊥PB 同理可得AB⊥PB,.AB,BC,BP两两垂直 又.AA,CC是等腰梯形.△PAC是等腰三角形，PA=PC∴.BA=BC AC=3AC-AC3 BA=BC-3 P4-AC=1P4-1 PA AC 3 AA 2 又：A4=2W2PA=PC=3W2PA=PC1=V2 .BP=AP2-AB=3 以B为原点，BC,BA,BP所在的直线分别为x轴，轴，z轴建立空间直角坐标系 P00,3)A0,30.C(3,00.B(0,0,3A(0,12) BA=(01,,AC=3,-3,0),AP=(0,-3,3) 设平面ACP的一个法向量为n=(x,y,z) (AC=0. [3x-3y=0 nAP=0 -3y+3z=0 取x=y=z=1 所以n=Q,1,1)是平面ACP的一个法向量 设直线AB,与平面A,C,CA的夹角为日 1+ sino=cos(,4)- n.BA B4 5 5 直线AB,与平面AC,CA所成角的正弦值为 15 5 2 解法二： 由AA⊥BC,AB⊥BC,44 0AB=A,且AA,ABC面AABB .BC⊥AABB 又BB,C面AAB,B,.BC⊥PB 同理可得AB⊥PB,.AB,BC,BP两两垂直 :AACC是等腰梯形∴.△PAC是等腰三角形，PA=PC.BA=BC AC-AC-:AC-3B4-C-3 P4-4C-4- PA AC 3 A4 2 又A4=22PA=PC=3W2,P4=PC=√2 .BP=VAP2-AB2=3 ∴.△PAB与△PBC等腰直角三角形 作AC的中点N,连接PN交AC1于M, 连接B,M,则M为A,C,的中点 PA=PC= PA-PB-BB-3 ∠APB=∠BPC= , 4 4RG-4明-2AP明导冫多59 4 22 ÷BML4C,在△2AC中可得Pw=3V6 又因为PM= 2 4w-4G9sM--4-号 PM2+B,M2=PB,2PM⊥B,M,且AC,∩PM=MPM,ACC平面PAC ∴.BM⊥平面PAC 3 .直线AB,与平面AC,CA所成角为∠B,AM √5 sn∠BAM= BM 2 5 所以 AB 5 5 直线AB,与平面A,CCA所成角的正弦值为 V15 解法三： 由AA,⊥BC,AB⊥BC,4404B=A,且AA,ABC面AAB,B .BC⊥AA1B,B 又BB,C面AAB,B,∴.BC⊥PB 同理可得AB⊥PB,.AB,BC,BP两两垂直 :AA,CC是等腰梯形∴△PAC是等腰三角形，PA=PC∴.BA=BC WAC=3AC-C=3 B-BC-3 4-4C=1P4- PAAC3…AA2 A4=22 .PA=PC=312,PA =PC= .BP=√AP2-AB2=3 ∴.△PAB与△PBC等腰直角三角形 又PA=PC=万，P8=PB-BA-}APB=∠BrC-牙 4 4员4吸2m吸m子}2多5要-9 ，9 2 2 有P8= 又k4o- 3*2x3x3x3=9 49=P4.PB.PC-1×1×1-1 Vp-4Bc PA PB PC 3 2 3 18 911 所以Vp-A89=2184 又因为SAPAC= 5=5 设B,到平面PAC的距离为d 4gc号s46,所以d 1 2 设直线A,B,与平面AC,CA的夹角为0 5 2 √15 sin = 5 2 直线4公与平面ACCA所成角的正弦值为 5 17(15分) 解：(1)由题意，n=2,p= 2 即采用5局3胜制 3 (2)由题意，若采用方案一“5局3胜制，甲只要取得3局比赛的胜利，比赛结束且甲获胜， 则P(A)=p3+Cp(1-pp+C4p(1-p=p(6p-15p+19: 若采用方案二甲乙比赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利， 设甲赢的局数为5，那么5服从二项分布，即5~B(5,P), 则P(B)=P(523)=Cp(1-p)+Cp(1-月+Cp=p6p-15p+10, 所以P(A)=P(B) (3)设甲乙进行21-1局比赛，甲赢的局数为Y,则Y~B(2n-1,p),2=P(Y≥n) “21+1局+1胜制游戏中，甲第一局输的条件下，甲要获得最终胜利可拆解为： 若第2局甲输，则后续最多21-1局比赛，甲至少胜n+1局， 若第2局甲胜，则后续最多21-1局比赛，甲至少胜n局， 由全概率公式得p,=(1-p)P(Y≥n+1)+p·P(Y≥n) =(1-p)(B-P(Y=n)+pP =乃，-(1-p)P(Y=n) 5 =p1-Cn-p(1-p)”, 故p,-p,=Cn1p(1-p)”. 18.(17分) 解：(1)由题意得c=2,b=√2，所以a=√b+c=√6 则椭圆的标准方程是+卫 62 =1 (2)解法一：(1)当直线MW与x轴不重合时 设直线N的方程为x=y-1,M(x1,),N(x,y) 石+2=1得6m+3)y2-2-5=0. x=y-1 △=(2m-4(m°+3)×(-5)=24m2+60>0恒成立 2m 5 +y2= m2+3'h= m2+3 所以斤+k,=为+少=5+6+与压+6) x+6x2+6(x+6)(x2+6) :y(x2+6)+y(x+6)=xy+y3+6(y+乃) =(y2-1)乃+(%1-1)y3+6(y+y2) =2%y3+5(y+y) -5,10 =2m×- =0 n2+3m2+3 .k+k2=0 当直线N与x轴重合时，显然k=k=0,所以k+,=0 综上所述k+k,=0 ihN=i+my为=i+mvG+）-4y=2y+mom+1回 m2+3 直线EP:y=-x-,则E(-6,5m) |EP=V52+(5m2=5V1+m 6 aw-E2-0X6155m 1m2+3 _5V31+m)V2m2+5 m2+3 令V2m+5=4(A≥⑤，则m-4-5 2 则5a-5544》-540+ A2+1 =1分有5，+树)河程5且0 ∴.SAaw在[V5,+w)单调递增， 六当A=5,即m=0时Sey有最小值5 3 (2)解法二：(i)当直线W的斜率存在时， 设直线N的方程为y=k(x+1),M(x,y),Wx,y) +2=得1+3k2)x2+6kx+3k2-6=0, 由 y=k(x+1) △=(6k2)2-41+3k2)×(3k2-6=60k2+24>0恒成立 - 所以斤+k,=当+少=3，+6)+压+6 x+6x,+6(x+6)x+6) .(x3+6)+y(x1+6)=xM+xy3+6(y1+3) =kx(x+1)+k(x2+1)+6k(x+1+x+1) =[2t75+H12]=k612+,42+ 1+3t1+312 1+3k2 =0 ∴.k+k2=0 当直线N与x轴垂直时，显然k,二k,所以k+k,=0 综上所述k+飞2=0 (ii)当直线N的斜率存在时， MIN=++x)-4x2 =v1+k -6k2 3k2-6 4 1+3k 、1+3k2 =23 1+k2)(52+2） (1+32)月 令1+3k2=t,则t≥1因此MW=2W3 5r+1+2_252++5 3 V2 令}A则4∈(0,1]于是=2Y52A+1M+5, 函数y=24+1A+5,Ae(0,显然单调道猫，所以2正<N≤26 3 当直设W的不东时，得51-5)pa-之 3 综上所述：当直线0N的斜率不存在时N有最小值2 3 又因为当直线MW的斜率不存在时E与Q重合|EP有最小值5 时euw分5x2555 33 所以Sav的最小值为5 3 19.(17分) 解：（1)，函数的定义域为(-0,0) 又32<32+m ∴.-2<-2+<0 ∴.0<m<2 ∴-{e0<m<2} 8 (2),函数的定义域为(-0,0) x∈B,5x≤x≤ ∴在E(s)={e∈Rf(x)<f(x+e,x∈B}中， E(x)-feeR3<3,VxEB=eERk<x+e<O,VxEB} -fel0<e<-x,VxeB={el0<e<(-x)m} :x∈B,-x≤-x≤-5x即(-)mn=-5 ∴.E(x)={el0<e<(-x)an}={el0<e<-x}=(0,-x)=(0,2) (3)(i)反证法： 假设f(0)<1,则存在t∈(-1,0)，使得f(t)≥f(0), 条件①：若f()sf(),则E(x)E(x), ∴f(o)≤f(),则E(t)cE(0), 取-号则f-)-f)》f,t时， eE)eE(0)→号eE(o), f0-为>f0卿/(>f0. 和条件相矛盾， .f(0)≥1 ()将本小问的结论分解为两个子命题，通过逐一论证最终实现证明 ①第1步证明：当x∈[1，+o)时，f(x)≤0， 反证法： 假设t∈[1，+o),使得f(t)>0, ∴x<0,使得f(x)≤f(t), f(x)sf[玉+(-x)] t-x∈E(x) 9 令g(-X此处是构流e的思 g+6G-0-=y-写 所以f(g)<f(x) ∴E(x)cE(g), ∴t-x∈E(x)cE(g) ÷fe儿任-e-<fgJ9.90, .当x∈[1，+o)时，f(x)≤0， ②第2步证明： 0<x<x,f(:)≤0<f(:-x)<f(0) .E(-x)二E(x)且x-5∈E(s-x)CE(x) ..f(x)<f+(xx)f(x)<f(xz) f(x)在(0，+∞)上单调递增 10