17.1《用提公因式法分解因式》分层作业（基础过关+进阶思维+中考链接）2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本同步练以“基础巩固-思维提升-中考衔接”分层设计，通过梯度化题型构建从概念理解到综合应用的知识巩固路径，培养抽象能力、运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|因式分解定义、公因式确定、简单提公因式等7类基础知识点|以概念辨析（如因式分解判断）和基础运算（如提公因式）为主，强化对公因式“系数-字母-指数”三要素的掌握| |进阶思维题|逆向分解（如已知分解结果求参数）、综合变形（如多项式公因式、相反数因式）、简便计算|通过选择填空结合解答题，训练推理意识，如利用提公因式法解决代数式求值问题| |中考链接题|近年中考高频考点（如a²-a型分解、多项式公因式提取）|精选10道中考真题，对接测评要求，培养应用意识，实现日常练习与中考备考的衔接|

人教版八年级上册 第17章 因式分解 1.用提公因式法分解因式 本节知识点总结 1.因式分解的定义：把一个多项式化成几个因素的积的形式，叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。 2.因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是互逆的变形。即：整式乘法是从左到右展开，因式分解是从右到左合并。 3.公因式的定义：多项式各项都有的因式，叫作这个多项式各项的公因式。 4.提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与多项式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法。 5.找公因式的方法： （1）系数：取各项系数的最小公倍数； （2）字母：取各项都含有的字母； （3）指数：取相同字母的最低次幂。 6.提公因式法的常见类型： （1）简单提公因式：如 mx² + my² = m(x² + y²) （2）提取后某项为1：如 3x² - 4xy² + x = x(3x - 4y² + 1) （3）多项式公因式：如 2a(b+c) - 3(b+c) = (b+c)(2a - 3) （4）互为相反数的因式变形：如 4(a-b)³ + 8(b-a)² = 4(a-b)²(a-b+2) 7.利用因式分解进行简便计算： 利用提公因式法可以简化数的运算，如：ab + ac = a(b+c)，当b、c为具体数值时可简化计算。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型1：因式分解的概念与判断 【考查要点】理解因式分解的定义，能判断一个变形是否为因式分解。 【解题方法】因式分解的结果必须是“几个整式的乘积”的形式，且左边是多项式，右边是积的形式。 1.下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. x(a-b) = ax - bx B. x² - 1 + y² = (x-1)(x+1) + y² C. x² - 1 = (x+1)(x-1) D. ax + bx + c = x(a+b) + c 2.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. 8a²b = 2a·4ab B. 4a(a+2b) = 4a² + 8ab C. x² - 3x + 2 = (x-1)(x-2) D. x² - 4x + 3 = x(x-4) + 3 3.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的有（ ） ① 12x²y = 3x·4xy； ② x² - 1 = (x+1)(x-1)； ③ x² + 2x + 1 = (x+1)²； ④ x² - 3x + 1 = x(x-3) + 1。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 题型2：公因式的确定 【考查要点】掌握找公因式的方法：系数取最大公因数，字母取共有字母，指数取最低次幂。 【解题方法】三步法：①找系数的最大公因数；②找各项都含有的字母；③找相同字母的最低次数。 4.多项式 6a³b² - 3a²b² - 12a²b³ 各项的公因式是（ ） A. 3a²b B. 3ab² C. 3a²b² D. 3a³b³ 5.多项式 15x³y⁴ + 5x²y² - 20x²y³ 的公因式是________。 6.下列各组多项式中，没有公因式的是（ ） A. ax - by 和 3by - 6ax B. 3mn 和 -2mn + 5m²n C. a² - 4 和 a + 2 D. xy - y 和 xz - x 题型3：简单的提公因式法分解因式 【考查要点】掌握最基本的提公因式法，正确找出公因式并提取。 【解题方法】一找公因式，二提公因式，三查剩余。注意提取后括号内各项不能再含有公因式。 7.分解因式：ma + mb = ________。 8.分解因式：8m²n + 2mn = ________。 9.分解因式：12a²b - 18ab² - 24a³b³ = ________。 题型4：提取后某项为1的情况 【考查要点】当某一项恰好等于公因式时，提取后该项剩下的是1，而不是0。 【解题方法】注意：某项全部被提出后，括号内该项位置要写“1”，不能漏掉。 10.分解因式：3x² - 4xy² + x = ________。 11.分解因式：4a²b + 10ab - ab² = ________。 12.分解因式：-7ab - 14abx + 49aby = ________。 题型5：多项式作为公因式的提取 【考查要点】把一个多项式看作整体作为公因式进行提取。 【解题方法】观察各项中是否含有相同的多项式因式，将其作为整体提取出来。 13.分解因式：2a(b+c) - 3(b+c) = ________。 14.分解因式：p(a²+b²) - q(a²+b²) = ________。 15.分解因式：x(x+y)(x-y) - x(x+y)² = ________。 题型6：互为相反数的因式变形 【考查要点】利用(a-b)²=(b-a)²、(a-b)³=-(b-a)³等关系，统一因式后提取公因式。 【解题方法】偶数次方：a-b和b-a可以互换（平方相等）；奇数次方：a-b=-(b-a)。 16.分解因式：4(a-b)³ + 8(b-a)² = ________。 17.分解因式： = ________。 18.分解因式：5x(x-2y)³ - 20y(2y-x)³ = ________。 题型7：利用提公因式法进行简便计算 【考查要点】利用提公因式法简化有理数的混合运算。 【解题方法】观察各项是否有公因数，提取公因数后简化计算。 19.利用因式分解计算：1.99² + 1.99×0.01 = ________。 20.利用因式分解计算：49×20.22 + 52×20.22 - 20.22 = ________。 21.利用因式分解计算：5×3⁴ + 4×3⁴ + 9×3² = ________。 二、进阶思维题 （一）选择题（共6题） 1.把多项式 -x² + mx + 35 分解因式为 -(x-5)(x+7)，则 m 的值是（ ） A. 2 B. -2 C. 12 D. -12 2.用提公因式法分解因式 10a(b-c) + 5(c-b)，结果正确的是（ ） A. 5(b-c) B. 5(b-c)(2a-1) C. 5(b-c)(2a+1) D. 5(b-c)(2a+b-c) 3.多项式 x² - 4x + m 分解因式为 (x+3)(x-7)，则 m 的值为（ ） A. -3 B. -21 C. 21 D. -10 4.若 n 为任意整数，则 (n+11)² - n² 的值总可以被 k 整除，则 k 等于（ ） A. 11 B. 22 C. 11的倍数 D. 11或22 5.已知 x + y = 6，xy = -3，则 x²y + xy² 的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 18 D. -18 6.已知 a - b = 3，ab = 2，则 a²b - ab² 的值为（ ） A. 6 B. -6 C. 5 D. -5 （二）填空题（共5题） 7.分解因式：a² + 13a = ________。 8.分解因式：am + a = ________。 9.分解因式：mx - 2my = ________。 10.分解因式：-3x² + 6xy - 3x = ________。 11.若多项式 2x² + bx + c 分解因式为 2(x-3)(x+1)，则 b = ________，c = ________。 （三）解答题（共4题） 12.分解因式： （1）8a³b² + 12ab³c； （2）4a²b + 10ab - ab²； （3）p(a²+b²) - q(a²+b²)； （4）2a(y-z)³ - 4b(z-y)³。 13.先分解因式，再求值：4a²(x+7) - 3(x+7)，其中 a = -5，x = 3。 14.利用因式分解计算： （1）2025² - 2025×25； （2）123×98 - 123×2 + 123×4。 15.已知 a + b = 5，ab = 3，求下列各式的值： （1）a²b + ab²； （2）a²b + ab² - 2ab。 三、中考链接题 第1题（2025·江西·中考真题） 因式分解：a² - a = ________。 第2题（2025·湖南·中考真题） 因式分解：a² + 13a = ________。 第3题（2025·湖南长沙·中考真题） 分解因式：mx - 2my = ________。 第4题（2025·四川自贡·中考真题） 分解因式：3a² - 6a = ________。 第5题（2025·宜宾·中考真题） 分解因式：a² - a = ________。 第6题（2025·南通·中考真题） 分解因式：am + a = ________。 第7题（2025·北京·中考真题） 分解因式：m(x - 2y) - n(x - 2y) = ________。 第8题（2025·山西·中考真题） 分解因式：3a² - 12a = ________。 第9题（2025·黑龙江绥化·中考真题） 分解因式：2mx² - 4mxy + 2my² = ________。 第10题（2025·福建福州期末） 下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. (x+2)(x-2) = x² - 4 B. x² - 4 = (x+2)(x-2) C. x² - 4 + 3x = (x+2)(x-2) + 3x D. x² + 4x - 2 = x(x+4) - 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版八年级上册 第17章 因式分解 1.用提公因式法分解因式 本节知识点总结 1.因式分解的定义：把一个多项式化成几个因素的积的形式，叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。 2.因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是互逆的变形。即：整式乘法是从左到右展开，因式分解是从右到左合并。 3.公因式的定义：多项式各项都有的因式，叫作这个多项式各项的公因式。 4.提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与多项式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法。 5.找公因式的方法： （1）系数：取各项系数的最小公倍数； （2）字母：取各项都含有的字母； （3）指数：取相同字母的最低次幂。 6.提公因式法的常见类型： （1）简单提公因式：如 mx² + my² = m(x² + y²) （2）提取后某项为1：如 3x² - 4xy² + x = x(3x - 4y² + 1) （3）多项式公因式：如 2a(b+c) - 3(b+c) = (b+c)(2a - 3) （4）互为相反数的因式变形：如 4(a-b)³ + 8(b-a)² = 4(a-b)²(a-b+2) 7.利用因式分解进行简便计算： 利用提公因式法可以简化数的运算，如：ab + ac = a(b+c)，当b、c为具体数值时可简化计算。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型1：因式分解的概念与判断 【考查要点】理解因式分解的定义，能判断一个变形是否为因式分解。 【解题方法】因式分解的结果必须是“几个整式的乘积”的形式，且左边是多项式，右边是积的形式。 1.下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. x(a-b) = ax - bx B. x² - 1 + y² = (x-1)(x+1) + y² C. x² - 1 = (x+1)(x-1) D. ax + bx + c = x(a+b) + c 【答案】C 【解析】本题考查因式分解的定义。因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积的形式。A是整式乘法，方向相反；B右边不是乘积形式，还有加法；D右边也不是乘积形式。只有C符合定义。 【解答】根据因式分解的定义，判断等式右边是否为几个整式的乘积。A选项是整式乘法，B、D选项右边都不是乘积形式，只有C选项把多项式x²-1化成了(x+1)(x-1)的乘积形式， 故选：C. 2.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. 8a²b = 2a·4ab B. 4a(a+2b) = 4a² + 8ab C. x² - 3x + 2 = (x-1)(x-2) D. x² - 4x + 3 = x(x-4) + 3 【答案】C 【解析】本题考查因式分解的定义。因式分解的左边必须是一个多项式，右边必须是几个整式的乘积。A左边是单项式不是多项式；B是整式乘法；D右边不是乘积形式。 【解答】A选项左边是单项式，不符合“把多项式化成乘积”的前提；B选项从左到右是整式乘法展开，不是因式分解；D选项右边x(x-4)+3不是乘积形式，还有加法运算；只有C选项把多项式x²-3x+2化成了(x-1)(x-2)的乘积形式， 故选：C. 3.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的有（ ） ① 12x²y = 3x·4xy； ② x² - 1 = (x+1)(x-1)； ③ x² + 2x + 1 = (x+1)²； ④ x² - 3x + 1 = x(x-3) + 1。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】本题考查因式分解的定义。①左边是单项式分解，不是多项式的因式分解；④右边不是乘积形式。②和③符合因式分解的定义。 【解答】①左边12x²y是单项式，不是多项式，不符合因式分解的定义；②x²-1=(x+1)(x-1)，把多项式化成了整式的乘积，是因式分解；③x²+2x+1=(x+1)²，把多项式化成了整式的乘积，是因式分解；④x²-3x+1=x(x-3)+1，右边不是乘积形式，不是因式分解。因此有2个， 故选：B. 题型2：公因式的确定 【考查要点】掌握找公因式的方法：系数取最大公因数，字母取共有字母，指数取最低次幂。 【解题方法】三步法：①找系数的最大公因数；②找各项都含有的字母；③找相同字母的最低次数。 4.多项式 6a³b² - 3a²b² - 12a²b³ 各项的公因式是（ ） A. 3a²b B. 3ab² C. 3a²b² D. 3a³b³ 【答案】C 【解析】本题考查公因式的确定。系数6、3、12的最大公因数是3；字母a的最低次数是2，字母b的最低次数是2，所以公因式是3a²b²。 【解答】第一步找系数：6、3、12的最大公因数是3；第二步找字母：三项都含有a和b；第三步找指数：a的最低次数是2（第二项中a²），b的最低次数是2（第一项中b²）。因此公因式为3a²b²， 故选：C. 5.多项式 15x³y⁴ + 5x²y² - 20x²y³ 的公因式是__5x²y²______。 【答案】5x²y² 【解析】本题考查公因式的确定。系数15、5、20的最大公因数是5；字母x的最低次数是2，y的最低次数是2，所以公因式是5x²y²。 【解答】系数15、5、20的最大公因数是5；三项都含有的字母是x和y；x的最低次数为2，y的最低次数为2。因此公因式为5x²y²。 6.下列各组多项式中，没有公因式的是（ ） A. ax - by 和 3by - 6ax B. 3mn 和 -2mn + 5m²n C. a² - 4 和 a + 2 D. xy - y 和 xz - x 【答案】D 【解析】本题考查公因式的判断。D选项中xy-y=y(x-1)，xz-x=x(z-1)，没有公共因式。A有公因式，B有公因式mn，C有公因式a+2。 【解答】A选项：ax-by与3by-6ax，可变形为(ax-by)和-3(2ax-by)，有公因式；B选项：3mn与-2mn+5m²n=mn(-2+5m)，公因式为mn；C选项：a²-4=(a+2)(a-2)，与a+2有公因式a+2；D选项：xy-y=y(x-1)，xz-x=x(z-1)，没有公共因式。 故选：D. 题型3：简单的提公因式法分解因式 【考查要点】掌握最基本的提公因式法，正确找出公因式并提取。 【解题方法】一找公因式，二提公因式，三查剩余。注意提取后括号内各项不能再含有公因式。 7.分解因式：ma + mb = ___m(a + b)_____。 【答案】m(a + b) 【解析】本题考查提公因式法。公因式是m，提取后括号内为a+b。 【解答】ma + mb = m·a + m·b = m(a + b)。 8.分解因式：8m²n + 2mn = ____2mn(4m + 1)____。 【答案】2mn(4m + 1) 【解析】本题考查提公因式法。系数8和2的最大公因数是2，字母m的最低次数是1，n的最低次数是1，公因式为2mn。 【解答】8m²n + 2mn = 2mn·4m + 2mn·1 = 2mn(4m + 1)。 9.分解因式：12a²b - 18ab² - 24a³b³ = ____6ab(2a - 3b - 4a²b²)____。 【答案】6ab(2a - 3b - 4a²b²) 【解析】本题考查提公因式法。系数12、18、24的最大公因数是6，字母a的最低次数是1，b的最低次数是1，公因式为6ab。 【解答】12a²b - 18ab² - 24a³b³ = 6ab·2a - 6ab·3b - 6ab·4a²b² = 6ab(2a - 3b - 4a²b²)。 题型4：提取后某项为1的情况 【考查要点】当某一项恰好等于公因式时，提取后该项剩下的是1，而不是0。 【解题方法】注意：某项全部被提出后，括号内该项位置要写“1”，不能漏掉。 10.分解因式：3x² - 4xy² + x = ____x(3x - 4y² + 1)____。 【答案】x(3x - 4y² + 1) 【解析】本题考查提公因式法中“提取后某项为1”的情况。公因式是x，第三项x提取后剩下的是1，不能漏写。 【解答】3x² - 4xy² + x = x·3x - x·4y² + x·1 = x(3x - 4y² + 1)。注意第三项x提取公因式x后，括号内应写1，不能省略。 11.分解因式：4a²b + 10ab - ab² = ___ab(4a + 10 - b)_____。 【答案】ab(4a + 10 - b) 【解析】本题考查提公因式法。公因式是ab，注意第二项10ab提取后剩下10，第三项-ab²提取后剩下-b。 【解答】4a²b + 10ab - ab² = ab·4a + ab·10 - ab·b = ab(4a + 10 - b)。 12.分解因式：-7ab - 14abx + 49aby = ___-7ab(1 + 2x - 7y)_____。 【答案】-7ab(1 + 2x - 7y) 【解析】本题考查提公因式法，首项为负时通常提取负号。公因式是-7ab，注意各项符号变化。 【解答】-7ab - 14abx + 49aby = -7ab·1 + (-7ab)·2x + (-7ab)·(-7y) = -7ab(1 + 2x - 7y)。提取负号后括号内各项要变号。 题型5：多项式作为公因式的提取 【考查要点】把一个多项式看作整体作为公因式进行提取。 【解题方法】观察各项中是否含有相同的多项式因式，将其作为整体提取出来。 13.分解因式：2a(b+c) - 3(b+c) = ___(b+c)(2a - 3)_____。 【答案】(b+c)(2a - 3) 【解析】本题考查多项式公因式的提取。把(b+c)看作一个整体作为公因式。 【解答】2a(b+c) - 3(b+c) = (b+c)·2a - (b+c)·3 = (b+c)(2a - 3)。将(b+c)视为整体公因式。 14.分解因式：p(a²+b²) - q(a²+b²) = ___(a²+b²)(p - q)_____。 【答案】(a²+b²)(p - q) 【解析】本题考查多项式公因式的提取。把(a²+b²)看作整体公因式。 【解答】p(a²+b²) - q(a²+b²) = (a²+b²)·p - (a²+b²)·q = (a²+b²)(p - q)。 15.分解因式：x(x+y)(x-y) - x(x+y)² = ____-2xy(x+y)____。 【答案】-2xy(x+y) 【解析】本题考查多项式公因式的提取。公因式是x(x+y)，注意提取后注意符号。 【解答】x(x+y)(x-y) - x(x+y)² = x(x+y)[(x-y) - (x+y)] = x(x+y)(x-y-x-y) = x(x+y)(-2y) = -2xy(x+y)。 题型6：互为相反数的因式变形 【考查要点】利用(a-b)²=(b-a)²、(a-b)³=-(b-a)³等关系，统一因式后提取公因式。 【解题方法】偶数次方：a-b和b-a可以互换（平方相等）；奇数次方：a-b=-(b-a)。 16.分解因式：4(a-b)³ + 8(b-a)² = ___4(a-b)²(a-b+2)_____。 【答案】4(a-b)²(a-b+2) 【解析】本题考查互为相反数的因式变形。因为(b-a)²=(a-b)²，所以公因式是4(a-b)²。 【解答】4(a-b)³ + 8(b-a)² = 4(a-b)³ + 8(a-b)² = 4(a-b)²·(a-b) + 4(a-b)²·2 = 4(a-b)²(a-b+2)。 17.分解因式： = ___2(y-z)³(a + 2b)_____。 【答案】 【解析】本题考查互为相反数的因式变形。，注意符号变化。 【解答】 18.分解因式：5x(x-2y)³ - 20y(2y-x)³ = ________。 【答案】 【解析】本题考查互为相反数的因式变形。(2y-x)³=-(x-2y)³。 【解答】5x(x-2y)³ - 20y(2y-x)³ = 5x(x-2y)³ - 20y·[-(x-2y)³] = 5x(x-2y)³ + 20y(x-2y)³ = 5(x-2y)³(x + 4y)。 题型7：利用提公因式法进行简便计算 【考查要点】利用提公因式法简化有理数的混合运算。 【解题方法】观察各项是否有公因数，提取公因数后简化计算。 19.利用因式分解计算：1.99² + 1.99×0.01 = __3.98______。 【答案】3.98 【解析】本题考查利用提公因式法进行简便计算。提取公因式1.99后简化计算。 【解答】1.99² + 1.99×0.01 = 1.99×(1.99 + 0.01) = 1.99×2 = 3.98。 20.利用因式分解计算：49×20.22 + 52×20.22 - 20.22 = ___2022_____。 【答案】2022 【解析】本题考查利用提公因式法进行简便计算。提取公因式20.22。 【解答】49×20.22 + 52×20.22 - 20.22 = 20.22×(49 + 52 - 1) = 20.22×100 = 2022。 21.利用因式分解计算：5×3⁴ + 4×3⁴ + 9×3² = ___810_____。 【答案】810 【解析】本题考查利用提公因式法进行简便计算。先提取公因式3²，再计算。 【解答】5×3⁴ + 4×3⁴ + 9×3² = (5+4)×3⁴ + 9×3² = 9×3⁴ + 9×3² = 9×3²×(3² + 1) = 81×10 = 810。 或：5×3⁴ + 4×3⁴ + 9×3² = 3²(5×9 + 4×9 + 9) = 9×(45+36+9) = 9×90 = 810。 二、进阶思维题 （一）选择题（共6题） 1.把多项式 -x² + mx + 35 分解因式为 -(x-5)(x+7)，则 m 的值是（ ） A. 2 B. -2 C. 12 D. -12 【答案】B 【解析】本题考查因式分解与整式乘法的关系。先将-(x-5)(x+7)展开，与原式比较系数即可。 【解答】-(x-5)(x+7) = -(x² + 7x - 5x - 35) = -(x² + 2x - 35) = -x² - 2x + 35。 与原式 -x² + mx + 35 比较，得 m = -2。 故选B。 2.用提公因式法分解因式 10a(b-c) + 5(c-b)，结果正确的是（ ） A. 5(b-c) B. 5(b-c)(2a-1) C. 5(b-c)(2a+1) D. 5(b-c)(2a+b-c) 【答案】B 【解析】本题考查互为相反数的因式变形和提公因式法。注意(c-b)=-(b-c)。 【解答】因为(c-b)=-(b-c)，所以原式变形为： 10a(b-c) + 5(c-b) = 10a(b-c) - 5(b-c) = 5(b-c)(2a - 1)。 故选B。 3.多项式 x² - 4x + m 分解因式为 (x+3)(x-7)，则 m 的值为（ ） A. -3 B. -21 C. 21 D. -10 【答案】B 【解析】本题考查因式分解与整式乘法的关系。将(x+3)(x-7)展开后比较常数项。 【解答】(x+3)(x-7) = x² - 7x + 3x - 21 = x² - 4x - 21。 与原式 x² - 4x + m 比较，得 m = -21。 故选B。 4.若 n 为任意整数，则 (n+11)² - n² 的值总可以被 k 整除，则 k 等于（ ） A. 11 B. 22 C. 11的倍数 D. 11或22 【答案】A 【解析】本题考查利用因式分解判断整除性。先分解因式，再观察结果。 【解答】(n+11)² - n² = [(n+11)+n][(n+11)-n] = (2n+11)×11 = 11(2n+11)。 因为n为整数，所以2n+11是整数，原式总能被11整除。但注意题目问“总可以被k整除”，11(2n+11)也能被它的因数整除，但最大的固定因数是11。 故选A。 5.已知 x + y = 6，xy = -3，则 x²y + xy² 的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 18 D. -18 【答案】D 【解析】本题考查提公因式法在代数式求值中的应用。先提取公因式xy，再代入计算。 【解答】x²y + xy² = xy(x + y)。 已知 x + y = 6，xy = -3，代入得：xy(x+y) = -3×6 = -18。 故选D。 6.已知 a - b = 3，ab = 2，则 a²b - ab² 的值为（ ） A. 6 B. -6 C. 5 D. -5 【答案】A 【解析】本题考查提公因式法在代数式求值中的应用。先提取公因式ab，再代入计算。 【解答】a²b - ab² = ab(a - b)。 已知 a - b = 3，ab = 2，代入得：ab(a-b) = 2×3 = 6。 故选A。 （二）填空题（共5题） 7.分解因式：a² + 13a = ___ a(a + 13)_____。 【答案】a(a + 13) 【解析】本题考查提公因式法。公因式是a。 【解答】a² + 13a = a·a + a·13 = a(a + 13)。 8.分解因式：am + a = ___a(m + 1)_____。 【答案】a(m + 1) 【解析】本题考查提公因式法。公因式是a，注意第二项a提取后剩下1。 【解答】am + a = a·m + a·1 = a(m + 1)。 9.分解因式：mx - 2my = ___m(x - 2y)_____。 【答案】m(x - 2y) 【解析】本题考查提公因式法。公因式是m。 【解答】mx - 2my = m·x - m·2y = m(x - 2y)。 10.分解因式：-3x² + 6xy - 3x = ___-3x(x - 2y + 1)_____。 【答案】-3x(x - 2y + 1) 【解析】本题考查提公因式法，首项为负时提取负号。公因式是-3x。 【解答】-3x² + 6xy - 3x = -3x·x + (-3x)·(-2y) + (-3x)·1 = -3x(x - 2y + 1)。 11.若多项式 2x² + bx + c 分解因式为 2(x-3)(x+1)，则 b = ___-4_____，c = ____-6____。 【答案】b = -4，c = -6 【解析】本题考查因式分解与整式乘法的关系。将2(x-3)(x+1)展开后比较系数。 【解答】2(x-3)(x+1) = 2(x² + x - 3x - 3) = 2(x² - 2x - 3) = 2x² - 4x - 6。 与原式 2x² + bx + c 比较，得 b = -4，c = -6。 （三）解答题（共4题） 12.分解因式： （1）8a³b² + 12ab³c； （2）4a²b + 10ab - ab²； （3）p(a²+b²) - q(a²+b²)； （4）2a(y-z)³ - 4b(z-y)³。 【答案】（1）4ab²(2a² + 3bc)；（2）ab(4a + 10 - b)；（3）(a²+b²)(p - q)；（4）2(y-z)³(a + 2b) 【解析】本题综合考查提公因式法的各种类型，包括系数最大公因数、字母最低次幂、多项式公因式和互为相反数的变形。 【解答】（1）8a³b² + 12ab³c = 4ab²·2a² + 4ab²·3bc = 4ab²(2a² + 3bc)。 （2）4a²b + 10ab - ab² = ab·4a + ab·10 - ab·b = ab(4a + 10 - b)。 （3）p(a²+b²) - q(a²+b²) = (a²+b²)(p - q)。 （4）2a(y-z)³ - 4b(z-y)³ = 2a(y-z)³ - 4b·[-(y-z)³] = 2a(y-z)³ + 4b(y-z)³ = 2(y-z)³(a + 2b)。 13.先分解因式，再求值：4a²(x+7) - 3(x+7)，其中 a = -5，x = 3。 【答案】原式 = (x+7)(4a² - 3)，值为 970 【解析】本题考查提公因式法与代数式求值。先提取公因式(x+7)，再代入数值计算。 【解答】4a²(x+7) - 3(x+7) = (x+7)(4a² - 3)。 代入 a = -5，x = 3： = (3+7)×[4×(-5)² - 3] = 10×(4×25 - 3) = 10×(100 - 3) = 10×97 = 970。 14.利用因式分解计算： （1）2025² - 2025×25； （2）123×98 - 123×2 + 123×4。 【答案】（1）4050000；（2）12300 【解析】本题考查利用提公因式法进行简便计算。观察各项提取公因数。 【解答】（1）2025² - 2025×25 = 2025×(2025 - 25) = 2025×2000 = 4050000。 （2）123×98 - 123×2 + 123×4 = 123×(98 - 2 + 4) = 123×100 = 12300。 15.已知 a + b = 5，ab = 3，求下列各式的值： （1）a²b + ab²； （2）a²b + ab² - 2ab。 【答案】（1）15；（2）9 【解析】本题考查提公因式法在代数式求值中的应用。先提取公因式，再整体代入。 【解答】（1）a²b + ab² = ab(a + b) = 3×5 = 15。 （2）a²b + ab² - 2ab = ab(a + b) - 2ab = ab(a + b - 2) = 3×(5 - 2) = 3×3 = 9。 三、中考链接题 第1题（2025·江西·中考真题） 因式分解：a² - a = ___a(a - 1)_____。 【答案】a(a - 1) 【解析】本题考查提公因式法分解因式。直接提取公因式a即可。 【解答】a² - a = a·a - a·1 = a(a - 1)。 第2题（2025·湖南·中考真题） 因式分解：a² + 13a = ___a(a + 13)_____。 【答案】a(a + 13) 【解析】本题考查提公因式法分解因式。直接提取公因式a。 【解答】a² + 13a = a·a + a·13 = a(a + 13)。 第3题（2025·湖南长沙·中考真题） 分解因式：mx - 2my = ____ m(x - 2y____。 【答案】m(x - 2y) 【解析】本题考查提公因式法分解因式。提取公因式m。 【解答】mx - 2my = m·x - m·2y = m(x - 2y)。 第4题（2025·四川自贡·中考真题） 分解因式：3a² - 6a = ____3a(a - 2)____。 【答案】3a(a - 2) 【解析】本题考查提公因式法分解因式。系数3和6的最大公因数是3，字母a的最低次数是1，公因式为3a。 【解答】3a² - 6a = 3a·a - 3a·2 = 3a(a - 2)。 第5题（2025·宜宾·中考真题） 分解因式：a² - a = ___a(a - 1)_____。 【答案】a(a - 1) 【解析】本题考查提公因式法分解因式。直接提取公因式a。 【解答】a² - a = a(a - 1)。 第6题（2025·南通·中考真题） 分解因式：am + a = ___a(m + 1)_____。 【答案】a(m + 1) 【解析】本题考查提公因式法分解因式。提取公因式a，注意第二项a提取后剩下1。 【解答】am + a = a·m + a·1 = a(m + 1)。 第7题（2025·北京·中考真题） 分解因式：m(x - 2y) - n(x - 2y) = ___(x - 2y)(m - n)_____。 【答案】(x - 2y)(m - n) 【解析】本题考查多项式公因式的提取。把(x-2y)看作整体作为公因式。 【解答】m(x - 2y) - n(x - 2y) = (x - 2y)(m - n)。 第8题（2025·山西·中考真题） 分解因式：3a² - 12a = ___3a(a - 4)_____。 【答案】3a(a - 4) 【解析】本题考查提公因式法分解因式。公因式为3a。 【解答】3a² - 12a = 3a·a - 3a·4 = 3a(a - 4)。 第9题（2025·黑龙江绥化·中考真题） 分解因式：2mx² - 4mxy + 2my² = ____2m(x - y)2____。 【答案】2m(x - y)2 【解析】本题考查提公因式法。系数2、-4、2的最大公因数是2，字母m的最低次数是1，公因式为2m。 【解答】2mx² - 4mxy + 2my² = 2m·x² - 2m·2xy + 2m·y² = 2m(x² - 2xy + y²)=2m(x - y)2。 第10题（2025·福建福州期末） 下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. (x+2)(x-2) = x² - 4 B. x² - 4 = (x+2)(x-2) C. x² - 4 + 3x = (x+2)(x-2) + 3x D. x² + 4x - 2 = x(x+4) - 2 【答案】B 【解析】本题考查因式分解的定义。因式分解是把多项式化成几个整式乘积的形式。 【解答】A选项是整式乘法，从左到右是展开； B选项把多项式x²-4化成了(x+2)(x-2)的乘积形式，是因式分解； C选项右边不是乘积形式，还有+3x； D选项右边不是乘积形式。 故选B。 学科网（北京）股份有限公司 $