周练 错题巩固与压轴训练 13.1～13.2～13.3 三角形的概念 与三角形有关的线段 三角形的内角与外角 2026-2027学年人教版八年级数学上册人教版八年级上

**基本信息** 八年级上册数学三角形周测同步练，以【A】【B】【C】分层设计，覆盖三角形概念、性质及综合应用，基础巩固与能力提升并重。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |【A】|三角形概念、三边关系、直角三角形判定|占比75%，如三角形个数计数、三边不等式应用，夯实基础，培养几何直观| |【B】|面积转化、角平分线性质|占比15%，如中点面积关系、动态角计算，发展推理能力| |【C】|新定义探究、综合几何应用|占比10%，如“三分线”“和谐三角形”问题，提升创新意识与数学表达|

初中数学同步周练　|　人教版（2024）　|　一周错题巩固+压轴训练 八年级上册数学周练 第13章 三角形（13.1～13.2～13.3） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________　　　　时间：60分钟　　满分：100分 一．选择题（共6小题） 1．（2026春•扶绥县校级月考）·【A】如图，以AB为边的三角形共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（2025秋•道外区期末）·【A】如图，以AB为边的三角形共有（　　）个． A．5 B．4 C．3 D．2 3．（2025秋•拱墅区期末）·【A】如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的第三边可能是（　　） A．2 B．4 C．8 D．10 4．（2025秋•宜昌期末）·【A】在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（2025秋•鸡西期末）·【B】如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AD，BE的中点，△CEF（阴影部分）的面积是4，则△ABC的面积为（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 6．（2025秋•饶平县期末）·【B】如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂AB与操作台BC的夹角∠ABC＝120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线．物体被吊起后，机械臂AB的位置不变，支撑臂绕点B旋转一定的角度并缩短，此时∠CBD＝2∠ABD，∠BDC增大了10°，则∠DCE的变化情况为（　　） A．增大10° B．减小10° C．增大30° D．减小30° 二．填空题（共6小题） 7．（2026春•同步）·【A】如图，图中三角形的个数为 　 　 个，在△ABE中，AE所对的角是 　 　 ，∠ABE所对的边是 　 　 ，AD在△ADE中，是 　 　 的对边，在△ADC中，AC是 　 　 的对边． 8．（2024秋•历城区期末）·【A】如图，直线l经过A，B，C，D，E五点，点P是直线l外一点，连接PA，PB，PC，PD，PE，则共有　 　 个三角形． 9．（2025秋•金湾区期末）·【A】三角形的三边长分别为2，7，a，则a的取值范围是　 　 ． 10．（2025秋•赵县期末）·【A】已知：a、b、c是△ABC三边长，且M＝（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b﹣c），那么M　 　 0（填“＞”，“＜”或“＝”）． 11．（2025秋•东海县期末）·【A】如图，在△ABC中，三个内角的角平分线交于点D，其中∠CAB＝n°，∠CBA＝m°，延长DB至点G，∠FCB与∠CBG的平分线交于点E，若BE∥AC，则 　 　 ． 12．（2025秋•兰州期末）·【C】如图，在三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，直线EF过点C，且90°﹣∠FCB＝∠BAD，点G为线段AB上一点，连接CG，∠BCG与∠BCE的角平分线CM、CN分别交AD于点M、N，若∠BGC＝70°，则∠MCN＝　 　 °． 三．解答题（共8小题） 13．（2026春•同步）·【A】如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成多少个三角形？分别写出这些三角形． 14．（2026春•同步）·【A】如图，在△ABC中，∠BAC是直角，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段BD上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 15．（2026秋•同步）·【A】已知a，b，c是一个三角形三条边的长． （1）小明认为“代数式|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|a﹣c+b|的值总是正数”，小明的看法对吗？请说明理由． （2）取一组你喜欢的a，b，c的整数值，并求出（1）中代数式的值． 16． （2026春•同步）·【A】长为100cm，70cm，50cm，30cm的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？ 17．（2026春•盂县期末）·【A】我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，∠MON＝60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）． （1）∠ABO的度数为 　 　 ，△AOB　 　 （填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （2）若∠ACB＝84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”； 【应用拓展】 如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数． 18．（2025秋•山丹县校级期末）·【B】如图，在△ABC中，∠A＝40°，求∠B+∠C+∠ADE+∠AED的度数． 19．（2026春•晋源区期中）·【C】综合与探究 问题情境：数学课上同学们研究含30°锐角的直角三角尺夹在一组平行线中抽象出的数学问题．如图1，m∥n，点A，点B分别是直线m，n上的定点．连接AB，以AB为斜边作直角△ABC，∠CAB＝30°． 初步探究：（1）如果∠EBC＝2∠DAC． ①直接写出∠DAC的度数：　 　 °． ②如图2，若AB⊥FB，∠F＝45°，试说明AF平分∠DAC． 深入思考：（2）BQ平分∠CBE交直线m于Q，角平分线BQ上一点H在直线m上方，G是射线AQ上一点（点G与点Q不重合），请直接写出∠CBQ，∠HGQ和∠GHQ之间的关系． 20．（2026春•长治期末）·【C】【概念认识】 如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻BA三分线”，BE是“邻BC三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC＝45°，若∠ABC的邻BA三分线BD交AC于点D，则∠BDC的度数为 　 　 ； （2）如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻CB三分线，且∠BPC＝135°，求∠A的度数； 【延伸推广】 （3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的邻BC三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°，∠B＝60°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示） 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C B C C C 一．选择题（共6小题） 1．（2026春•扶绥县校级月考）·【A】如图，以AB为边的三角形共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解答】解：观察图形可知以AB为边的三角形有：△ABD、△ABE、△ABC，共3个， 故选：B． 2．（2025秋•道外区期末）·【A】如图，以AB为边的三角形共有（　　）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解答】解：以AB为边的三角形共有3个，它们是△ABC，△ABE，△ABD． 故选：C． 3．（2025秋•拱墅区期末）·【A】如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的第三边可能是（　　） A．2 B．4 C．8 D．10 【答案】B 【解答】解：设第三边为a， 根据三角形的三边关系：5﹣3＜a＜3+5， 解得：2＜a＜8． 第三边可能是4， 故选：B． 4．（2025秋•宜昌期末）·【A】在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解答】解：①因为∠A+∠B＝∠C，则2∠C＝180°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形； ②因为∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设∠A＝x，则x+2x+3x＝180，x＝30°，∠C＝30°×3＝90°，所以△ABC是直角三角形； ③因为∠A＝90°﹣∠B，所以∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC是直角三角形； ④因为∠A＝∠B∠C，所以∠A+∠B+∠C∠C∠C+∠C＝180°，则∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形； ⑤因为3∠C＝2∠B＝∠A，∠A+∠B+∠C∠A∠A+∠A＝180°，∠A，所以△ABC为钝角三角形． 所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③④共4个， 故选：C． 5．（2025秋•鸡西期末）·【B】如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AD，BE的中点，△CEF（阴影部分）的面积是4，则△ABC的面积为（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【解答】解：∵F是BE中点， ∴S△BCE＝2S△CEF＝2×4＝8， ∵E是AD中点， ∴S△ABD＝2S△BED，S△ACD＝2S△CED， ∴S△ABD+S△ACD＝2（S△BED+S△CED） ＝2S△BEC ＝2×8 ＝16， ∴S△ABC＝16， 即△ABC的面积为16， 故选：C． 6．（2025秋•饶平县期末）·【B】如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂AB与操作台BC的夹角∠ABC＝120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线．物体被吊起后，机械臂AB的位置不变，支撑臂绕点B旋转一定的角度并缩短，此时∠CBD＝2∠ABD，∠BDC增大了10°，则∠DCE的变化情况为（　　） A．增大10° B．减小10° C．增大30° D．减小30° 【答案】C 【解答】解：起吊物体前，设∠BDC＝x， ∵∠ABC＝120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线， ∴， ∴∠DCE＝∠CBD+∠BDC＝60°+x； 物体被吊起后， ∵机械臂AB的位置不变，∠CBD＝2∠ABD，∠CBD+∠ABD＝120°， ∴∠CBD＝2∠ABD＝80°， ∵∠BDC增大了10°， ∴∠BDC＝x+10°， ∴∠DCE＝∠CBD+∠BDC＝80°+x+10°＝90°+x， ∴（90°+x）﹣（60°+x）＝30°， ∴∠DCE的变化情况为增大30°． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 7．（2026春•同步）·【A】如图，图中三角形的个数为 　6　 个，在△ABE中，AE所对的角是 　∠B ，∠ABE所对的边是 AE ，AD在△ADE中，是 　∠AED 的对边，在△ADC中，AC是 　∠ADC 的对边． 【答案】6；∠B；AE；∠AED；∠ADC 【解答】解：如图，图中的三角形由△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△ADC、△AEC共6个． 在△ABE中，AE所对的角是∠B，∠ABC所对的边是 AE，AD在△ADE中，是∠AED的对边，在△ADC中，AC是∠ADC的对边． 故填：6；∠B；AE；∠AED；∠ADC． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． 8．（2024秋•历城区期末）·【A】如图，直线l经过A，B，C，D，E五点，点P是直线l外一点，连接PA，PB，PC，PD，PE，则共有　10　 个三角形． 【答案】10． 【解答】解：△PAE，△PBE，△PCE，△PDE，△PAB，△PAC，△PAD，△PBC，△PBD，△PCD共10个， 故答案为：10． 9．（2025秋•金湾区期末）·【A】三角形的三边长分别为2，7，a，则a的取值范围是　5＜a＜9　 ． 【答案】5＜a＜9 【解答】解：∵三角形的三边长分别为2、7、a， ∴a的取值范围是：7﹣2＜a＜7+2，即5＜a＜9． 故答案为：5＜a＜9． 10．（2025秋•赵县期末）·【A】已知：a、b、c是△ABC三边长，且M＝（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b﹣c），那么M　＜　 0（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【答案】＜． 【解答】解：∵a、b、c是△ABC三边长， ∴a+b+c＞0，a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0， ∴M＝（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）＜0， 故答案为：＜． 11．（2025秋•东海县期末）·【A】如图，在△ABC中，三个内角的角平分线交于点D，其中∠CAB＝n°，∠CBA＝m°，延长DB至点G，∠FCB与∠CBG的平分线交于点E，若BE∥AC，则 　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵BD平分∠CBA，且∠CBA＝m°， ∴∠CBD∠CBAm°， ∵延长DB至点G， ∴∠CBD+∠CBG＝180°， ∴∠CBG＝180°﹣∠CBD＝180°m°， ∵BE平分∠CBG， ∴∠CBE∠CBG（180°m°）＝90°m°． ∵∠FCB是△ABC的外角，且∠CAB＝n°，∠CBA＝m°， ∴∠FCB＝∠CBA+∠CAB＝m°+n°． 又∵BE∥AC， ∴∠FCB+∠CBE＝180°， ∴m°+n°+90°m°＝180°， ∴m+n＝90， ∴nm（nm）90． 故答案为：． 12．（2025秋•兰州期末）·【C】如图，在三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，直线EF过点C，且90°﹣∠FCB＝∠BAD，点G为线段AB上一点，连接CG，∠BCG与∠BCE的角平分线CM、CN分别交AD于点M、N，若∠BGC＝70°，则∠MCN＝　35　 °． 【答案】35 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴Rt△ABD中，90°﹣∠B＝∠BAD， 又∵90°﹣∠FCB＝∠BAD， ∴∠FCB＝∠B， ∴EF∥AB， ∴∠ECG＝∠BGC＝70°， ∵∠BCG与∠BCE的角平分线CM、CN分别交AD于点M、N， ∴∠BCN∠BCE，∠BCM∠BCG， ∴∠MCN＝∠BCN﹣∠BCM（∠BCE﹣∠BCG）∠ECG70°＝35°， 故答案为：35． 三．解答题（共8小题） 13．（2026春•同步）·【A】如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成多少个三角形？分别写出这些三角形． 【答案】9个三角形，分别为△ACD，△ACE，△ADE，△BCD，△BCE，△BDE，△ABC，△ABD，△ABE． 【解答】解：∵不在同一直线上的三点可以组成一个三角形， ∴可以组成的三角形有△ACD，△ACE，△ADE，△BCD，△BCE，△BDE，△ABC，△ABD，△ABE，共9个三角形． 14．（2026春•同步）·【A】如图，在△ABC中，∠BAC是直角，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段BD上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 【答案】△AEC是锐角三角形；△ABC，△ACD，△ADE，△ADB是直角三角形；△ABE是钝角三角形． 【解答】解：∵∠BAC是直角， ∴∠B，∠C，∠EAC是锐角， ∵AD⊥BC，点E在线段BD上， ∴∠AEC是锐角，∠AEB是钝角， ∴△AEC是锐角三角形；△ABC，△ACD，△ADE，△ADB是直角三角形；△ABE是钝角三角形． 15．（2026秋•同步）·【A】已知a，b，c是一个三角形三条边的长． （1）小明认为“代数式|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|a﹣c+b|的值总是正数”，小明的看法对吗？请说明理由． （2）取一组你喜欢的a，b，c的整数值，并求出（1）中代数式的值． 【答案】（1）小明的看法对，理由如下： 由三角形三边关系定理得到：a+b＞c，a+c＞b， ∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0， ∴|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|a﹣c+b| ＝a+b﹣c+[﹣（b﹣a﹣c）]﹣（a﹣c+b） ＝a+b﹣c﹣b+a+c﹣a+c﹣b ＝a+c﹣b＞0； （2）3． （2）取a＝2，b＝5，c＝6，求出a+c﹣b＝3． 【解答】解：（1）小明的看法对，理由如下： 由三角形三边关系定理得到：a+b＞c，a+c＞b， ∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0， ∴|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|a﹣c+b| ＝a+b﹣c+[﹣（b﹣a﹣c）]﹣（a﹣c+b） ＝a+b﹣c﹣b+a+c﹣a+c﹣b ＝a+c﹣b＞0； （2）当a＝2，b＝5，c＝6时， a+c﹣b ＝2+6﹣5 ＝3． 16．（2026春•同步）·【A】长为100cm，70cm，50cm，30cm的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？ 【答案】有两种选法，理由如下： 根据题意分为四种情况：100cm，70cm，50cm；100cm，70cm，30cm；100cm，30cm，50cm；30cm，70cm，50cm． 在第一种情况中：50+70＝120＞100，能构成三角形； 在第二种情况中：30+70＝100，不能构成三角形； 在第三种情况中：30+50＝80＜100，不能构成三角形； 在第四种情况中：30+50＝80＞70，能构成三角形； 综上，从长为100cm，70cm，50cm，30cm的四根木条，选其中三根组成三角形，有两种选法． 【解答】解：有两种选法，理由如下： 根据题意分为四种情况：100cm，70cm，50cm；100cm，70cm，30cm；100cm，30cm，50cm；30cm，70cm，50cm． 在第一种情况中：50+70＝120＞100，能构成三角形； 在第二种情况中：30+70＝100，不能构成三角形； 在第三种情况中：30+50＝80＜100，不能构成三角形； 在第四种情况中：30+50＝80＞70，能构成三角形； 综上，从长为100cm，70cm，50cm，30cm的四根木条，选其中三根组成三角形，有两种选法． 17．（2026春•盂县期末）·【A】我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，∠MON＝60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）． （1）∠ABO的度数为 　30°　 ，△AOB　不是　 （填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （2）若∠ACB＝84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”； 【应用拓展】 如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数． 【答案】见试题解答内容 （2）因为∠ACB是△AOC的一个外角，得到∠ACB＝∠O+∠OAC，求出∠OAC＝24°，∠ACO＝96°，所以∠ACO＝4∠OAC，所以得到△AOC是“和谐三角形”； （3）由∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，得到∠EFC＝∠ADC，可以证明AD∥EF，得到∠DEF＝∠ADE，而∠DEF＝∠B，得到∠B＝∠ADE，由DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据△BCD是“和谐三角形”，即可求解． 【解答】解：（1）∵AB⊥OM， ∴∠OAB＝90°， ∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°， ∴∠OAB＝3∠ABO， ∴△AOB不是“和谐三角形”； 故答案为：30°，不是； （2）∵∠ACB是△AOC的一个外角， ∴∠ACB＝∠O+∠OAC， 又∠O＝60°，∠ACB＝84° ∴∠OAC＝24°， ∠ACO＝180°﹣84°＝96°， ∴∠ACO＝4∠OAC， ∴△AOC是“和谐三角形”； （3）∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°， ∴∠EFC＝∠ADC， ∴AD∥EF， ∴∠DEF＝∠ADE， 而∠DEF＝∠B， ∴∠B＝∠ADE， ∵DE∥BC， ∴∠CDE＝∠BCD， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠B＝∠BCD， ∵△BCD是“和谐三角形”， ∴∠BDC＝4∠B或者∠B＝4∠BDC ∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180° ∴∠B＝30°或者∠B＝80°． 18．（2025秋•山丹县校级期末）·【B】如图，在△ABC中，∠A＝40°，求∠B+∠C+∠ADE+∠AED的度数． 【答案】280°． 【解答】解：∵∠B+∠C+∠A＝180°，∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∠A＝40°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣40°＝140°，∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A＝180°﹣40°＝140°， ∴∠B+∠C+∠ADE+∠AED＝140°+140°＝280°， 即∠B+∠C+∠ADE+∠AED的度数为280°． 19．（2026春•晋源区期中）·【C】综合与探究 问题情境：数学课上同学们研究含30°锐角的直角三角尺夹在一组平行线中抽象出的数学问题．如图1，m∥n，点A，点B分别是直线m，n上的定点．连接AB，以AB为斜边作直角△ABC，∠CAB＝30°． 初步探究：（1）如果∠EBC＝2∠DAC． ①直接写出∠DAC的度数：　30　 °． ②如图2，若AB⊥FB，∠F＝45°，试说明AF平分∠DAC． 深入思考：（2）BQ平分∠CBE交直线m于Q，角平分线BQ上一点H在直线m上方，G是射线AQ上一点（点G与点Q不重合），请直接写出∠CBQ，∠HGQ和∠GHQ之间的关系． 【答案】（1）①30； ②如图2所示： 在Rt△ABC中，AB是斜边，∠CAB＝30°， ∴∠ABC＝180°﹣（∠ACB+∠CAB）＝180°﹣（90°+30°）＝60°， ∵AB⊥FB， ∴∠ABF＝90°， ∴∠CBF＝∠ABF﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°， 由①可知：∠DAC＝30°， ∴∠EBC＝2∠DAC＝60°， ∴∠EBF＝∠EBC﹣∠CBF＝60°﹣30°＝30°， 由①可知：∠F＝∠DAF+∠EBF， ∵∠F＝45°， ∴∠DAF＝∠F﹣∠EBF＝45°﹣30°＝15°， ∴∠CAF＝∠DAC﹣∠DAF＝30°﹣15°＝15°， ∴∠DAF＝∠CAF＝15°， ∴AF平分∠DAC； （2）∠CBQ＝∠HGQ+∠GHQ或∠HQD+∠HGQ+∠GHQ＝180°． ②先求出∠ABC＝60°，根据AB⊥FB得∠CBF＝30°，由①可知∠DAC＝30°，∠EBC＝60°，由此得∠EBF＝30°，再由①可知∠F＝∠DAF+∠EBF，据此得∠DAF＝15°，继而得∠DAF＝∠CAF＝15°，据此得AF平分∠DAC； （2）依题意有以下两种情况：①当点G在点点Q左侧时，根据角平分线定义及平行线性质得∠CBQ＝∠EBQ＝∠HQD，由三角形外角性质得∠CBQ＝∠HGQ+∠GHQ；②当点G在点Q的右侧时，同理得∠CBQ＝∠EBQ＝∠HQD，由三角形内角和定理得∠CBQ+∠HGQ+∠GHQ＝180°，综上所述即可得出∠CBQ，∠HGQ和∠GHQ之间的关系． 【解答】（1）①解：过点C作CP∥直线m，点P在点C的左侧，如图1所示： ∴直线m∥直线n， ∴直线m∥CP∥直线n， ∴∠ACP＝∠DAC，∠BCP＝∠EBC， ∴∠ACP+∠BCP＝∠DAC+∠EBC， ∴∠ACB＝∠DAC+∠EBC， ∵∠EBC＝2∠DAC， ∴∠ACB＝3∠DAC， 在Rt△ABC中，AB是斜边， ∴∠ACB＝90°， ∴3∠DAC＝90°， ∴∠DAC＝30°， 故答案为：30； ②证明：如图2所示： 在Rt△ABC中，AB是斜边，∠CAB＝30°， ∴∠ABC＝180°﹣（∠ACB+∠CAB）＝180°﹣（90°+30°）＝60°， ∵AB⊥FB， ∴∠ABF＝90°， ∴∠CBF＝∠ABF﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°， 由①可知：∠DAC＝30°， ∴∠EBC＝2∠DAC＝60°， ∴∠EBF＝∠EBC﹣∠CBF＝60°﹣30°＝30°， 由①可知：∠F＝∠DAF+∠EBF， ∵∠F＝45°， ∴∠DAF＝∠F﹣∠EBF＝45°﹣30°＝15°， ∴∠CAF＝∠DAC﹣∠DAF＝30°﹣15°＝15°， ∴∠DAF＝∠CAF＝15°， ∴AF平分∠DAC； （2）解：∵G是射线AQ上一点（点G与点Q不重合）， ∴有以下两种情况： ①当点G在点点Q左侧时，如图3①所示： ∵BQ平分∠CBE交直线m于Q， ∴∠CBQ＝∠EBQ， ∵直线m∥直线n， ∴∠EBQ＝∠HQD， ∴∠CBQ＝∠HQD， ∵∠HQD是△HGQ的外角， ∴∠HQD＝∠HGQ+∠GHQ， ∴∠CBQ＝∠HGQ+∠GHQ； ②当点G在点Q的右侧时，如图3②所示： 同理得：∠CBQ＝∠HQD， 由三角形内角和定理得：∠HQD+∠HGQ+∠GHQ＝180°， ∴∠CBQ+∠HGQ+∠GHQ＝180°， 综上所述：∠CBQ，∠HGQ和∠GHQ之间的关系是：∠CBQ＝∠HGQ+∠GHQ或∠HQD+∠HGQ+∠GHQ＝180°． 20．（2026春•长治期末）·【C】【概念认识】 如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻BA三分线”，BE是“邻BC三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC＝45°，若∠ABC的邻BA三分线BD交AC于点D，则∠BDC的度数为 　85°　 ； （2）如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻CB三分线，且∠BPC＝135°，求∠A的度数； 【延伸推广】 （3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的邻BC三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°，∠B＝60°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示） 【答案】见试题解答内容 （2）结合（1）根据BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝135°，即可求∠A的度数； （3）分2种情况进行画图计算：情况一：如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，可得∠BPC∠A，可求解；情况二：如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，可得∠BPC∠A∠ABC可求解． 【解答】解：（1）∵∠ABC的邻BA三分线BD交AC于点D，∠ABC＝45°， ∴∠ABD＝15°， ∵∠A＝70°， ∴∠BDC＝70°+15°＝85°， 故答案为：85°； （2）∵BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线， ∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB， ∵∠BPC＝135°， ∴∠ABC∠ACB＝180°﹣135°＝45°， ∴∠ABC+∠ACB＝135°， 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180° ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝45°； （3）如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时， ∵∠CBP∠ABC，∠PCD∠ACD，∠PCD＝∠P+∠CBP， ∴∠ACD＝∠P∠ABC， 即∠ACD＝3∠P+∠ABC， ∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A＝m°， ∴∠BPC∠Am°； 如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时， ∵∠CBP∠ABC，∠PCD∠ACD，∠PCD＝∠P+∠CBP， ∴∠ACD＝∠P∠ABC， 即2∠ACD＝3∠P+∠ABC， ∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A＝m°， ∴∠BPC∠A∠ABCm°+20°． 综上所述：∠BPC的度数为：m°或m°+20°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $