精品解析：天津市滨海新区塘沽第一中学2026-2027学年高三上学期9月月考数学试题

2026~2027塘沽一中高三月考 数学 2026年9月16日 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用集合的补集和交集运算即可求解. 【详解】因为，所以或， 所以. 故选：D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，结合指数函数的单调性求解判断． 【详解】若，则，从而，故充分性成立， 若，则，但不一定成立，如取，故必要性不成立， 所以，“”是“”的充分而不必要条件． 故选：A． 3. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量服从正态分布，且，则 B. 对具有线性相关关系的变量，，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是-4 C. 若决定系数越大，则两个变量的相关性越强 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据的独立性检验，有的把握认为与有关 【答案】D 【解析】 【详解】，正态曲线关于对称，， ，故A正确； 回归直线过样本中心，则，解得，故B正确； 决定系数，越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好，变量相关性越强，故C正确； 临界值，已知计算得到，，没有的把握认为与有关，故D错误． 4. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于A，由，得，所以函数的定义域为， 又，所以函数为奇函数， 又时，，，所以，符合题意，故A正确； 对于B，由A知函数的定义域为， 又，所以函数为偶函数，不符合题意，故B错误； 对于C，由A知函数的定义域为， 又，所以函数为奇函数， 又时，，，所以，不符合题意，故C错误； 对于D，由，得，所以函数的定义域为， 又，所以函数为偶函数，不符合题意，故D错误. 5. 在正方体中，分别是棱的中点，下列结论正确的是（ ）. A. B. C. 平面 D. 平面平面 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，连接，如下图所示： 因为分别是棱的中点，所以， 由正方体性质可得，因此可得，而相交， 所以错误，即A错误； 对于B，取的中点，连接，如下图所示： 易知，，所以即为异面直线与所成的角（或其补角）； 不妨设正方体的棱长为2，则，， 显然，可知不是直角，所以与不垂直，即B错误； 对于C，连接，如下图所示： 由正方体性质可得平面，而平面，所以； 因为是正方形，所以， 又，平面，所以平面, 又因为分别是棱的中点，所以 可得平面，即C正确； 对于D，如下图所示： 易知平面，且，而平面，所以平面； 因此可得平面与平面有公共点，可知两平面必有一条过的共公交线； 因此平面平面是错误的，即D错误. 故选：C 6. 已知函数，设，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，则，判断的奇偶性和单调性，结合对数运算和对数函数的性质，进而可得大小关系. 【详解】由，令，则， 由，故为偶函数， 当时，在上单调递增， ， ， 因为，， 所以， 所以, 所以 即. 7. 数列中，，，若，则（ ） A. 3 B. 5 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】令，得到，可得数列是等比数列，求出，利用等比数列求和公式得到方程，求出. 【详解】由题意，数列中，， 令，可得，又， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以． 又由， 解得． 故选：D 8. 的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简分式并换元，确定换元后变量的取值范围，结合对勾函数的单调性即可求得最小值. 【详解】令， 当且仅当取等号，故， 原式变为， 因为函数，在上单调递增， 所以当时，y取最小值， 故的最小值为. 9. 已知、是双曲线的左右焦点，点是其渐近线在第一象限内的一点，直线与轴相交于点，是正三角形，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】设双曲线的左右焦点为，满足，第一象限渐近线方程为， 因为在轴上，则， 又是正三角形，，而三点共线， 故，是的中点， 在中，，由余弦定理， 故， 设，则，解得，即， 故， 则，故，． 二、填空题. 10. 已知复数（为虚数单位），则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数的四则运算法则计算即可. 【详解】. 故答案为：. 11. 在的展开式中，含项的系数是________． 【答案】40 【解析】 【分析】先写出的展开式的通项，令的幂指数等于2，求出对应的值，再将值代入通项的系数部分，即可得解. 【详解】因为的展开式的通项为， 令，解得，所以含项的系数为. 12. 某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立.则一个问题能被DeepSeek回答正确的概率为___________；现DeepSeek从给定的问题中随机抽取9个作答.设DeepSeek答对的题数为，则的均值为___________. 【答案】 ①. 0.9 ②. 8.1 【解析】 【分析】设事件A表示“输入的问题没有语法错误”，事件B表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”，利用全概率公式计算可得；而X服从二项分布，根据二项分布的期望公式计算可得. 【详解】设事件A表示“输入的问题没有语法错误”，事件B表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”， 由题意知， 则， ． 已知DeepSeek答对的题数为X，则X服从二项分布， 则． 13. 设，函数， ①若，则______； ②若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为______. 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】①分及计算即可得；②由，故可分及进行讨论，结合函数零点与方程的根的关系，利用二次函数的对称性计算即可得解. 【详解】①当时，，则或（舍去）， 当时，，不符合要求， 综上，； ②当时，令，则，解得， 故当时，函数有零点， 则当时，须有唯一解，即有唯一解， 令，此时，对称轴为， 故在时必有一解， 则方程在时无解，即，即， 又，即， 当时，则方程有两个不同的解， 由上知方程在时必有一解， 令，，同理可得，该方程在时必有一解， 即时，函数有且仅有两个零点. 综上所述，可得. 故答案为：2；. 14. 已知向量，，满足，，，，则的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知，求出，，由，得，再由，得，即可求得的最大值. 【详解】由已知，，，， 则， 又， 所以， 因为，则， 又，所以， 解得， 所以的最大值为. 15. 对于函数，下列说法正确的序号是___________. ①在上单调递减，在上单调递增 ② ③设有3个不同的零点，则 ④若方程有四个不同的实数根，则 ⑤不等式在时恒成立 【答案】②④⑤ 【解析】 【分析】先确定函数​的定义域，注意为间断点；再求导，根据导数正负判断不同区间的单调性，得到极小值点和极小值，分析在、的取值范围，为后续判断做基础. 对于②，利用在的单调性，结合和的等量关系，比较与的大小. 对于③，将有3个零点转化为有个不同实根，结合的图像，根据的取值范围求解的范围. 对于④，先对二次方程因式分解，得到或，结合的图像，判断两个方程的实根个数之和为时的取值范围. 对于⑤，将不等式在时变形为，构造新函数，通过研究单调性判断不等式是否恒成立. 【详解】先确定函数​的定义域为，求导得， 令，解得. 对于①，当时，单调递减；当时，单调递减； 当时，，单调递增. 且包含和两个不连续的单调递减区间，表述错误，故①错误. 对于②，，因为在单调递增，且， 因此，即，故②正确. 对于③，有个不同的零点,等价于方程有个不同实根. 在处取得极小值，在上， 因此在上的取值范围为，在上的最小值为. 要使方程有个不同实根，需，解得.故③错误. 对于④，对因式分解得， 即或. 结合图像可知有个不同实根，要使原方程共有个不同的实数根， 需也有个不同实根，因此且. 故④正确. 对于⑤，当时，，不等式等价于. 令，求导得. 令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 因此恒成立，在上单调递增， ，即恒成立.故⑤正确. 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出； （2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出； （3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出． 【小问1详解】 因为，即，而，代入得，解得：． 【小问2详解】 由（1）可求出，而，所以，又，所以． 【小问3详解】 因为，所以，故，又， 所以，，而，所以， 故． 17. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的单调增区间； （3）函数在区间上的值域为，求实数m的取值范围； 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题可得，再利用正弦型函数周期公式即得； （2）利用正弦函数的性质即可求出增区间； （3）利用正弦函数的性质，可得，即得． 【小问1详解】 ∵， ∴的最小正周期为； 【小问2详解】 ∵， 由，得， 所以的单调增区间是； 【小问3详解】 ∵，， ∴， ∴， 故实数m的取值范围为. 18. 在如图所示的几何体中，平面，，F是的中点， ，，. （1）求证: 平面; （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点 A 到平面的距离. 【答案】（1）证明： 取的中点，连接，由是的中点，得，而，则． 又，于是四边形是平行四边形，， 在中，，，有，由平面， 平面，得，而平面，因此平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定及性质，等腰三角形性质及线面垂直的性质判定推理即得. （2）以C为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出面面夹角余弦值. （3）根据点到平面的向量距离公式计算即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知平面，而，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    于是，，，，，，， 设是平面的一个法向量，则，令，得， 显然平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值是. 【小问3详解】 由（2）知道平面的一个法向量为，且， 则点 A 到平面EBD的距离. 19. 已知． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若对任意的，恒成立，求的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1） （2） （3） 由（2）可知，当时，对任意的恒成立， 即，变形可得. 分别令，可得：. 将上述不等式累加可得： . 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求出函数在切点处的导数值和函数值，进而求得切线方程. （2）先对求导，然后令，对求导，讨论当时，函数的单调性，进而求得结果. （3）根据（2）的不等式，将不等式变形为分别令，进而证明结论. 【小问1详解】 当时，，求导得. 所以. 所以在处的切线方程为. 【小问2详解】 求导得，令，则. 当时，因为，所以，所以恒成立； 当时，因为，所以， 所以，在上单调递增， 所以，在上单调递增，，满足条件. 当时，因为，所以， 所以，所以在上单调递增，所以. 即，因为，所以设使得. 当时，，单调递减，，不满足题意. 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 略 20. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若恰有两个零点，（其中）， （ⅰ）求实数的取值范围，并证明； （ⅱ）求证：． 【答案】（1）当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）（i）实数的取值范围是． 证明：取，则， 则， 令， 则，， 设， 则， 则在上单调递增， 则，即； （ii）证明：由（ⅰ）知，，， 要证， 只需证， 即证明， 令， 则， 则在上单调递增， ，即， ； 又因为，且， 故． 要证， 只需证， 令， 则且， 只需证明． 令， 则， 在上单调递减， ， 即，从而得证． 综上所述，． 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，因式分解导数，再分类讨论分析函数的单调性． （2）（ⅰ）由第（1）问，时最多有一个零点，排除这种情况，计算时的极小值，接着构造函数得到的取值范围；把代入，换元化简，利用的单调性，证得． （ii）先借助极小值点，构造关于的函数证明，结合，可证出；再用（ⅰ）的找点结果做桥梁，换元转化变量，构造函数求导判断单调性，证明，即可得证． 【小问1详解】 由， 得， 当时，，则在上单调递减； 当时，若，，则在上单调递减， 若，，则在上单调递增． 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知，若函数有两个零点，则， 且当时，取得极小值，也即为最小值， 又∵当时，，当时，，所以， 即，即， 由于，则函数在上是增函数，且， ∴不等式的解为， ∴实数的取值范围是； （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027塘沽一中高三月考 数学 2026年9月16日 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量服从正态分布，且，则 B. 对具有线性相关关系的变量，，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是-4 C. 若决定系数越大，则两个变量的相关性越强 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据的独立性检验，有的把握认为与有关 4. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 在正方体中，分别是棱的中点，下列结论正确的是（ ）. A. B. C. 平面 D. 平面平面 6. 已知函数，设，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 数列中，，，若，则（ ） A. 3 B. 5 C. 4 D. 6 8. 的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 9. 已知、是双曲线的左右焦点，点是其渐近线在第一象限内的一点，直线与轴相交于点，是正三角形，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题. 10. 已知复数（为虚数单位），则____________． 11. 在的展开式中，含项的系数是________． 12. 某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立.则一个问题能被DeepSeek回答正确的概率为___________；现DeepSeek从给定的问题中随机抽取9个作答.设DeepSeek答对的题数为，则的均值为___________. 13. 设，函数， ①若，则______； ②若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为______. 14. 已知向量，，满足，，，，则的最大值为___________. 15. 对于函数，下列说法正确的序号是___________. ①在上单调递减，在上单调递增 ② ③设有3个不同的零点，则 ④若方程有四个不同的实数根，则 ⑤不等式在时恒成立 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 17. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的单调增区间； （3）函数在区间上的值域为，求实数m的取值范围； 18. 在如图所示的几何体中，平面，，F是的中点， ，，. （1）求证: 平面; （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点 A 到平面的距离. 19. 已知． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若对任意的，恒成立，求的取值范围； （3）证明：． 20. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若恰有两个零点，（其中）， （ⅰ）求实数的取值范围，并证明； （ⅱ）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $