精品解析：内蒙古锡林郭勒盟2026-2027学年高三上学期教学诊断检测数学试题

锡林郭勒盟2027届高三上学期教学诊断检测 数学 2026.9 本试卷共4页，19小题，考试时间120分钟，总分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算即可求解. 【详解】由， 可得：， 故选：B 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据并集运算直接求解即可. 【详解】因为，， 所以. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用三角函数诱导公式化简已知等式求出的值，再代入二倍角余弦公式计算即可得到结果. 【详解】首先根据诱导公式， 对化简可得：，解得， 再根据二倍角的余弦公式， 将代入得：. 4. 已知抛物线：的焦点为，是上一点，则点到焦点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线方程求出点坐标和准线方程，根据抛物线焦半径公式即可求得结果. 【详解】由题知，令，代入，得， 则，又抛物线的准线为， 所以点到焦点的距离为. 5. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面．下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【详解】对选项A：若，，则或，故A错误； 对选项B：若，，则与可能平行，也可能相交（如墙角处两两垂直的三个平面），故B错误； 对选项C：由，，根据线面垂直的性质可得； 又，由线面平行的性质可知，平面内存在直线满足，故， 结合，根据面面垂直的判定定理可得，故C正确； 对选项D：若，，，则与的位置关系可能为平行、相交或异面，不一定垂直，故D错误. 6. 已知非零向量，的夹角为，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知向量，夹角，，， ， 数量积：， 代入得： 化简得：， 因式分解：， 是非零向量，，所以. 7. 已知函数的最小正周期为，且在内有两个零点，则实数的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦型函数的周期公式可得出，即可得出，令，则，问题转化为直线与函数在上的图象有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围，即可得解. 【详解】因为函数的最小正周期为，则， 所以， 由可得， 当时，则，令，则， 由题意可知直线与函数在上的图象有两个交点，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点. 故实数的最小值为. 8. 有8张分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8的卡片，现从这8张卡片中随机抽出3张，则事件“抽出的3张卡片上的数字之和不小于其余5张卡片上的数字之和”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】数字1，2，3，4，5，6，7，8总和： ， 设抽出3张和为，剩余5张和为， 题目条件：， 从8张抽3张，有， 找出3个数之和不小于18的组合， ，，，， ，，，一共7组， 所以所求的概率为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线：，其左、右焦点分别为，，过作轴的垂线，交于，两点，则（ ） A. 的渐近线方程为 B. 的离心率为 C. 的面积为 D. 的周长为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据双曲线方程分别求出渐近线方程和离心率，即可判断，由条件可得出两点的坐标，即可求出选项. 【详解】 由双曲线方程：可知，，，则渐近线方程，选项A正确； 双曲线离心率公式，选项B错误； 将代入双曲线方程：可得，，即，则，，的面积为，选项C正确； ，故的周长为，选项D错误. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 有且仅有一个零点 B. 在区间单调递减，在区间单调递增 C. 关于的方程有两个不同的实数解 D. 曲线有两条经过点的切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】先确定函数定义域为，求导得到，以此分析单调性、极值最值，再结合零点定义、切线方程逐一判断选项. 【详解】对于A，令，因为，所以，解得，是唯一零点，故A正确； 对于B，，令得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增，故B正确； 对于C，由B知最小值为，故无实根，故C错误； 对于D，设切点为，切线斜率为， 切线方程为，代入化简得. 设，， 在单调递减，在单调递增， 最小值，且，故有两个零点，即存在两条切线，故D正确. 11. 将一副直角三角板按图1所示的方式拼接，从中抽象出图2所示的平面四边形，其中，，，．现将沿着折起，连接，得到图3所示的三棱锥，，的中点分别为，．记二面角的平面角为，下列结论正确的是（ ） A. B. 存在使得直线与所成的角为 C. 当时，三棱锥的外接球表面积为 D. 当时，三棱锥的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过线面垂直的性质、点在面上的投影、外接球的性质以及解三角形来对选项进行求解. 【详解】因为为的中点，，所以，又有是的中点，所以， 由，可得，又，平面， 所以平面，因为平面，所以，故A正确； 由题可知，是直线与所成的角或其补角， 由平面，可得平面平面， 则点在平面上的投影在直线上，且， 当点在平面上的投影为点时，取得，故B正确； 当时，即，又，，平面， 所以平面，建立空间直角坐标系：以为原点，为轴，为轴，为轴， 则各点坐标为：， 因为是中点，，所以， 设外接球球心为，由得， 所以球心，恰好是点，外接球半径，外接球表面积 ，故C不正确； 三棱锥 的体积 , 以 为底面，点到平面 （即平面 的距离为高 )， 高 ​​， 在 中，分别是 的中点，所以 ，相似比为 ， 所以 ， 体积 .D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知定义域为的偶函数，当时，，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为定义域为的偶函数，当时，， 所以. 13. 过原点且圆心在轴上的圆与圆外切，则圆的标准方程为__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为圆的圆心在轴上， 所以设圆C的圆心C坐标为，半径设为r, 因为圆过原点，所以有，即. 因为圆与圆外切，所以有， 所以有， 两边同时平方得：， 即， 当时，，即，不成立，舍去. 当时，，即， 则， 所以圆的标准方程为. 14. 在中，，，为的中点，且，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形的中线向量公式：，平方即可解出的值，进而求出的值，利用三角形面积公式即可求面积. 【详解】因为是的中线，所以有， 两边平方得：，即, 所以，即，所以， 因为角为的内角，所以，所以， 所以的面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某中学落实“五育并举”理念，为研究高二年级学生每周课外体育锻炼时长与性别是否存在关联，学校从高二年级随机抽取120名学生开展调研，按性别分组后，统计每名学生的周锻炼时长（单位：），得到锻炼时长的频率分布直方图，分组区间为：，，，，． （1）求实数的值，并根据频率分布直方图估计该校高二年级参与调研学生每周课外体育锻炼时长的中位数； （2）若规定：每周课外体育锻炼时长不低于为达标，低于为不达标．根据调研数据整理得到如下不完整的列联表，请补全列联表．用样本频率估计总体概率，若从该校高二年级开展调研的学生中随机抽取1人，已知该学生锻炼时长达标的条件下，求该学生是女生的概率． 不达标 达标 合计 男生 50 女生 10 合计 120 【答案】（1），中位数为4. （2） 不达标 达标 合计 男生 50 20 70 女生 40 10 50 合计 90 30 120 条件概率为. 【解析】 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，各组频率之和为1，组距为2， 则，解得， 前两组频率之和为，恰好为，所以中位数为第二组右端点，即4. 【小问2详解】 锻炼时长达标频率为：，所以达标总人数为（人），不达标人数为90人，因此可以补全表格. 不达标 达标 合计 男生 50 20 70 女生 40 10 50 合计 90 30 120 设“该学生锻炼时长达标”为事件，“该学生是女生”为事件， 由表可知该学生锻炼时长达标的条件下， 求：既是女生同时锻炼达标，， 求：学生达标概率，， 该学生是女生的概率为. 16. 已知数列的前项的和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据，并结合等比数列的定义即可求得答案； （2）结合（1），并通过错位相减法即可求得答案. 【小问1详解】 当时，，当时，，是以2为首项，2为公比的等比数列，. 【小问2详解】 ，…① …② ①-②得 ，. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，为线段的中点． （1）求证：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）取的中点，连接，. 因为为线段的中点，所以，. 又，，所以，， 则四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质，得到线线垂直，建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 延长到点，使，连接. 因为，所以. 又，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形为矩形，则，. 因为，所以. 又，所以. 又平面，，所以平面. 又平面，所以，即两两垂直. 故以点为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，所以. 设与平面所成角为， 则. 故与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数． （1）时，求的极值； （2）时： （i），证明：； （ii），证明：． 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2）（i）证明：当时，. 要证时，，即证，也即. 当时，，不等式等价于. 令，， 则 ，当且仅当时等号成立， 故在上单调递增， 所以当时，，即，原不等式得证. 因此，当时，. （ii）由（i）知，当时，，即当时，. 设，则，所以可变形为， 即，. 令，，则， 即， 所以， 即. 所以，当时，. 【解析】 【分析】（1）根据导数与单调性及极值的关系求解即可. （2）（i）当时，待证不等式等价于，；构造函数，根据导数与单调性及最值的关系，结合基本不等式证明即可. （ii）由（i）可得，当时，；令，可变形为，令，，代入上式可得，结合累加法证明即可. 【小问1详解】 当时，，则. 令，即，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取得极大值，为. 故的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 略 19. 已知椭圆：的离心率为，且过点． （1）求的标准方程； （2）设为坐标原点，，直线与交于，两点，线段的中点为，的外心为，直线的斜率为，直线的斜率为． （i）试用表示点的坐标； （ii）试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）（ii）是定值 【解析】 【分析】利用已知条件求出标准方程，借助参数表示出所求内容并进行求解. 【小问1详解】 将代入椭圆方程得，解得， 由离心率，所以， 所以，解得， 所以的标准方程； 【小问2详解】 （i）设， 联立，消去得：， 由韦达定理得，， 因为为的中点，所以， ，所以的坐标为； （ii）是定值，推导如下，， 设， 的外接圆方程设为，其中， 因为D在圆上，所以， 所以的外接圆方程为， 联立得 得， 所以 解得， 故， 所以，故是定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 锡林郭勒盟2027届高三上学期教学诊断检测 数学 2026.9 本试卷共4页，19小题，考试时间120分钟，总分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线：的焦点为，是上一点，则点到焦点的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面．下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 6. 已知非零向量，的夹角为，且，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的最小正周期为，且在内有两个零点，则实数的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 有8张分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8的卡片，现从这8张卡片中随机抽出3张，则事件“抽出的3张卡片上的数字之和不小于其余5张卡片上的数字之和”的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线：，其左、右焦点分别为，，过作轴的垂线，交于，两点，则（ ） A. 的渐近线方程为 B. 的离心率为 C. 的面积为 D. 的周长为 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 有且仅有一个零点 B. 在区间单调递减，在区间单调递增 C. 关于的方程有两个不同的实数解 D. 曲线有两条经过点的切线 11. 将一副直角三角板按图1所示的方式拼接，从中抽象出图2所示的平面四边形，其中，，，．现将沿着折起，连接，得到图3所示的三棱锥，，的中点分别为，．记二面角的平面角为，下列结论正确的是（ ） A. B. 存在使得直线与所成的角为 C. 当时，三棱锥的外接球表面积为 D. 当时，三棱锥的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知定义域为的偶函数，当时，，则__________． 13. 过原点且圆心在轴上的圆与圆外切，则圆的标准方程为__________． 14. 在中，，，为的中点，且，则的面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某中学落实“五育并举”理念，为研究高二年级学生每周课外体育锻炼时长与性别是否存在关联，学校从高二年级随机抽取120名学生开展调研，按性别分组后，统计每名学生的周锻炼时长（单位：），得到锻炼时长的频率分布直方图，分组区间为：，，，，． （1）求实数的值，并根据频率分布直方图估计该校高二年级参与调研学生每周课外体育锻炼时长的中位数； （2）若规定：每周课外体育锻炼时长不低于为达标，低于为不达标．根据调研数据整理得到如下不完整的列联表，请补全列联表．用样本频率估计总体概率，若从该校高二年级开展调研的学生中随机抽取1人，已知该学生锻炼时长达标的条件下，求该学生是女生的概率． 不达标 达标 合计 男生 50 女生 10 合计 120 16. 已知数列的前项的和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，为线段的中点． （1）求证：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数． （1）时，求的极值； （2）时： （i），证明：； （ii），证明：． 19. 已知椭圆：的离心率为，且过点． （1）求的标准方程； （2）设为坐标原点，，直线与交于，两点，线段的中点为，的外心为，直线的斜率为，直线的斜率为． （i）试用表示点的坐标； （ii）试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $