第2章有理数的运算基础与拔尖闯关 2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 分层清晰，基础巩固与拔尖提升衔接紧密，从单一知识点到综合应用，培养数学眼光、思维与表达。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础闯关|有理数概念、运算及简单应用|单选题（科学记数法）、填空题（倒数）、解答题（折返跑问题），强化基础运算与实际情境应用（数学眼光）| |拔尖闯关|综合运算、新定义与规律探究|新定义运算（加乘运算）、数轴动点问题，培养推理意识与创新思维，衔接阶段测评综合考点|

第2章有理数的运算基础与拔尖闯关-2026-2027学年数学七年级上册人教版（2024） 基础闯关 一、单选题 1．“十四五”期间，我国每年城镇新增就业稳定在万人以上，就业形势总体稳定．将数据万用科学记数法表示是（     ） A． B． C． D． 2．的倒数是（   ） A． B．3 C． D． 3．点P从数轴上表示2的点出发，先向左移动3个单位，再向右移动7个单位，则点P最终表示的数是（     ）． A．2 B．4 C．6 D．8 4．周日，小敏与妈妈一起去买月饼，妈妈买了一盒月饼（共计6枚）．回家后她仔细地看了标签和包装盒上面写着净含量克，她们把6枚月饼的质量称重后统计列表如下：（其中超出标准质量记为正，不足标准质量记为负），则这六枚月饼的总质量为（     ）． 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量偏差/克 A．420.3克 B．423克 C．420克 D．417克 5．下列说法正确的是（     ） A．正有理数和负有理数组成全体有理数 B．符号不同的两个数互为相反数 C．两数之和一定大于每一个加数 D．有最小的非负整数 6．数 a 四舍五入后的近似值为，则a 的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 7．有理数、在数轴上的位置如图所示，下列正确的是（     ） A． B． C． D． 8．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 9．嘉嘉在美术课上了解到，用不同比例的红、黄两种颜料能调配出多种暖色调颜色．如图，根据红色颜料的占比，可以将调配出的颜色分为①、②、③、④等四类．用红色颜料和黄色颜料调配出的颜色属于（     ） A．①类 B．②类 C．③类 D．④类 10．对于有理数，下列说法正确的有（     ） ①若，则与互为相反数； ②若，则一定异号； ③若且两数同号，则； ④若，两数异号，则； ⑤若，则． A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 二、填空题 11．计算的结果是________． 12．六枝老王山是一座巍峨挺拔的山峦，其海拔约为2126米，将数据2126用科学记数法表示为，则__________． 13．计算：________． 14．若，，则______． 15．某家纺公司生产四种针织产品，每种产品货源充足，各产品重量及价格如表： 产品 重量（千克） 价格（元） 在某次展销活动中，根据客户需求，现在想将部分产品做成套装礼盒销售，每个礼盒总重量不超过千克． （1）若每个礼盒中只装同一种产品，则一个礼盒的总价值最高是________元； （2）若每个礼盒中同一种产品最多装件，则一个礼盒的总价值最高是________元． 16．规定表示不超过的最大整数，则______． 三、解答题 17．计算 (1) (2) (3) 18．为了更好地推进“阳光体育”活动，在八年级的足球联赛活动期间，某足球守门员在直线跑道上练习折返跑，从初始位置出发，向前跑记作正数，向后跑记作负数，他的练习记录如下（单位：m）：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了初始位置？请说明理由； (2)本次练习中守门员共跑了多少米？若每跑10米奖守门员2个苹果，则守门员可得到多少个苹果？ 19．数轴上任意两点A，B表示的数分别是a，b． (1)当a，b分别取下列值时，求A，B两点间的距离． ；；． (2)用a，b表示A，B两点间的距离． 拔尖闯关 20．阅读下列内容，并完成相关问题： 嘉嘉说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算”然后他写出了一些按照（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；． 琪琪看了这些算式后说：“我知道你定义的（加乘）运算的运算法则了”． 聪明的你也明白了吗？ (1)归纳（加乘）运算的运算法则：同号得________、异号得_________、并把_________相加． 特别地，0和任何数进行（加乘)运算，或任何数和0进行（加乘）运算，都得这个数的__________； (2)计算：． 21．a，b分别是数轴上两个不同点A，B所表示的有理数，且，，A，B两点在数轴上的位置如图所示： (1)试确定数a，b； (2)若C点在数轴上，C点到B点的距离是C点到A点距离的，求C点表示的数； (3)点P从A点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，依次操作2025次后，求P点表示的数． 22．阅读材料解决问题 (1)数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴时，我们发现有许多重要的规律： 例如，若数轴上点，表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．若在数轴上，点，表示的数分别为，20， 则根据上面的材料可知_________线段的中点表示的数为_________（直接写出结果）； (2)数学李老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算： 解：原式 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方式计算： (3)阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时，当时，根据以上阅读完成： ①_______； ②计算：． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《第2章有理数的运算基础与拔尖闯关-2026-2027学年数学七年级上册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C A D A C D C A 1．B 【详解】解：1200万． 2．C 【详解】解：的倒数是. 3．C 【分析】根据数轴上的点左移减，右移加，可得答案． 【详解】解：点P从数轴上表示2的点出发，先向左移动3个单位，表示， 再向右移动7个单位，表示为， 即点P最终表示的数是6． 4．A 【分析】先计算6枚月饼的标准总质量，再计算所有质量偏差的和，两者相加得到实际总质量． 【详解】解：∵由题意得，每枚月饼标准质量为70克，共6枚， ∴6枚月饼的标准总质量为克， 计算6枚月饼的质量偏差和： ， ∴这六枚月饼的实际总质量为克． 5．D 【详解】解：对于选项A：全体有理数包括正有理数、、负有理数，故A错误； 对于选项B：互为相反数的定义是只有符号不同的两个数互为相反数，例如和符号不同，但不是相反数，故B错误； 对于选项C：例如，但，因此两数之和可能小于其中一个加数，故C错误； 对于选项D：非负整数是和正整数，最小的非负整数是，故D正确． 6．A 【分析】近似数是通过四舍五入得到的：精确到哪一位时，若下一位大于或等于5，则进1，若下一位小于5，则舍去，据此即可解答． 【详解】解：根据取近似数的方法，则a的取值范围是：． 7．C 【详解】解：由数轴可知，，， 则，，，， 只有C选项正确 8．D 【详解】解：． 9．C 【分析】先求出调配出的颜料总质量，再计算红色颜料的占比，最后结合数轴上的分类范围进行判断． 【详解】解：∵红色颜料质量为，黄色颜料质量为 ∴调配出的颜料总质量为 ∴红色颜料的占比为 ∵ ∴该颜色属于③类 ． 10．A 【分析】通过定义判断、举反例、分类讨论验证每个说法的正误即可． 【详解】解：①若，则与互为相反数，故①正确； ②若，举反例：取，，满足，但、同为负，是同号，故②错误； ③若且两数同号，根据同号两数相加的法则：同号相加取相同符号，若两数同为负，和一定为负，无法满足和大于0，因此两数只能同为正，即，故③正确； ④若且两数异号，举反例：取，，满足且两数异号，，不符合结论，故④错误； ⑤若，因为， 因此可得， 分类讨论：若，则，可得； 若，则，整理得， 因此无论取何值，都有，故⑤正确． 综上，正确的说法共3个． 11． 【分析】根据有理数乘法法则，异号两数相乘，积为负，再计算两个绝对值的乘积即可． 【详解】解：． 12． 【分析】本题考查科学记数法的概念， 解题思路为根据科学记数法的定义，确定的值，的值等于原数转化为（）时小数点向左移动的位数． 【详解】解：科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定的值时，原数绝对值大于时，为正数，的绝对值等于原数变为时小数点移动的位数，将变形为，小数点向左移动了位，因此． 13．6 【详解】解： ． 14． 【详解】解：，则， ，则， ． 15． 【分析】（1）分别计算只装同一种产品时，每个礼盒最多可装的包数，计算对应总价值，比较得到最大值； （2）根据每种产品最多装2件的限制，列举所有符合总重量要求的组合，计算总价值后比较得到最大值． 【详解】解：（1）分别计算每种产品的总价值： 产品A：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品B：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品C：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品D：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 比较得，一个礼盒的总价值最高是元； （2）计算单位重量价值（优先选单价高的）： 、（元）， 、（元）， 、（元）， 、（元）， ∵， 即按照单位重量价值从大到小排序为：， 故优先级为． 按照每种最多件：最多件（），最多件（），最多件（），最多件（）， 先装满优先级高的产品，再用剩余重量搭配次优产品： ①件：，价值（元）， 件：，价值（元）， 已用重量：，剩余重量：， 剩余恰好装件，且只装件，符合限制条件， 此时件件件，总重量：（千克），总价值：（元）； ②件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ③件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ④件件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ⑤件件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； 其余符合重量限制的组合总价均低于元，因此最高总价值是元． 16． 【详解】解： 17．(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ． 18．(1)守门员最后回到了初始位置． (2)本次练习中守门员共跑了60米，可得到12个苹果． 【分析】（1）计算所有跑动记录的代数和，根据和是否为0，即可判断是否回到初始位置； （2）先计算所有跑动记录的绝对值之和得到总路程，再结合奖励规则计算苹果数量即可． 【详解】（1）解：守门员最后回到了初始位置，理由如下： ，即守门员最后回到了初始位置． （2）解：总路程为各段跑动距离的绝对值之和：（米） ， 苹果数量： （个）． 答：守门员共跑了60米，可得到12个苹果． 19．(1)3，9，3 (2) 【分析】（1）根据题意，A，B两点间的距离等于两个数差的绝对值，计算即可． （2）根据题意，A，B两点间的距离等于两个数差的绝对值，计算即可． 【详解】（1）解：当时，A，B两点间的距离为：； 当时，A，B两点间的距离为：； 当时，A，B两点间的距离为：． （2）解：根据题意，得A，B两点间的距离为：． 20．(1)正；负；绝对值；绝对值 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）根据所给的算式进行分析即可； （2）根据所给的运算法则进行运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：（加乘）运算的运算法则：同号得正，异号得负，并把绝对值相加． 特别地，0和任何数进行（加乘）运算，或任何数和0进行（加乘）运算，都得这个数的绝对值； 故答案为：正；负；绝对值；绝对值． （2）解： ． 21．(1)，； (2)点表示的数为或； (3) 【分析】（1）根据绝对值的定义结合由数轴得出a，b的符号即可得； （2）先求出，分以下三种情况：点C在A，B之间、点C在点B右侧、若点在左侧时，画出图形即可作答； （3）根据平移的性质可知，点表示的数为，计算即可求解． 【详解】（1）解：，， ，， ∵由数轴可知，， ，； （2）解：∵，， ∴， ①若点在点的右侧，如图， 则， ∴点表示的数为：， ②若点在，点之间， 则， ， ∴点表示的数为：； ③若点在左侧时，如图， 显然，即不存在C点到B点的距离是C点到A点距离的，此种情况舍去； 综上，点表示的数为或； （3）解： ， 表示的数为． 22．(1)22，9 (2) (3)①；② 【分析】（1）（2）根据材料提供的方法求解即可； （3）根据绝对值的性质取绝对值求解即可． 【详解】（1）解：∵点，表示的数分别为，20， ∴，线段的中点表示的数为； （2）解： ； （3）解：①∵ ∴； ②，，，同理， ． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $