辽宁朝阳市建平县实验中学2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题

建平县实验中学高三年级阶段性训练 (数学) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数z=-2-i,则2为 A.1 B.2 c.5 D.5 2.已知集合A={0,1,2,B={x2x2-x-3<0,则AnB=（) A{0吲 B.{ c.(o, D.(0,1,2} 3.设a>0,b>0,1g2是g4°与2的等差中项，则2a+b的值为（) A. B.7 C.1 D.2 4已知a>0,b>0,则“a+b>2”是“+<2”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5。巳知函数/回=cs2x-）, 则其图象离直线x=π最近的一条对称轴的方程是 () A.x= B.x=2知 3 C.x= 3 D.x=5 6.已知点P为ABC所在子百肉一点，若示-五+元，则（) A.3 B. c. D. 7.已知等差数列{a.}的公差为1，且4,4f1,2a成等比数列，则数列{《-c 的前20项和为() A.210或90 B.210 C.-210或90 D.-210 8.已知函数f(x)=cosx+m2+b,a,beR,下列说法不正确的有() A对任意a,b∈R,函数∫(x)是偶函数 B若a=,则函藏：在0，闲上存在报值点 C若a=克，则函数f(因在R上的极小值为6的 D.若a=克，且方程/八)=0有两个实轰解，则b<一 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得 部分分，有选错的得0分. 的展开式共有6项，则() A.n=5 B.展开式的二项式系数之和为32 C.展开式中存在常数项 D.展开式的各项系数之和为1 10.已知点P为圆C:(任-a+6-a}1主的二个点，点A(L,0),B(4,0),则() A.过点A一定存在两条直线与圆C相切B.存在实数a,使得|PB=2 C.存在实数O,使得PA·PB=0 D.存在实数a,使得|PA=2PB吲 扫描全能王创建 11.若m,n分别是函数f(x),g(x)的零点，且m-川s1,则称(x)与g(x)互为 “零点相邻函数”.已知∫(x)=hx+x2+2x-3与g(x)=c+ax互为“零点相邻函数”， 则口的取值可能是() A.-2c B.c C.-e D.-1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数f(x)=x-x+1,则m2+△=2)_ A- 18.若如（任a29,则m2a+-一· 14.若一个半径为1的实心球0放置于一个正方体形盒子内，且与该正方体内切， 若在该盒子内再放入一个球O,则球O的表面积的最大值是 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤 15.如图，在圆台O02中，上、下底面半径分别为1和4，高为4，轴截面为四 边形ABCD,E在下底OO2上，O,E⊥CD,F为OE中点. D (1)求证：O,E⊥平面O,CF: (2)求平面BDE与平面O,CF夹角的余弦值. 16.已知aMBC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c,且V5a-csinB=√bcosC. (1)求B; (2)若b=3,∠ABC的平分线与AC相交于点D,且BD=2,求△ABC的面积. 扫描全能王创建 ▣k 17.(17分)现将n+1个黑球与n个白球分装入甲、乙两袋中，通过掷骰子来决定每 火操作，掷出奇数点则从甲袋中取一个球，掷出偶数点则从乙袋中取一个球，每次 取出的球不放回。 (1)若n=4,且甲袋中放有2个黑球与2个白球，求操作一次取出的球是白球的概 率； (2)若n>5且甲袋中均为黑球，乙袋中均为白球， (1)操作5次时，求取出白球个数的数学期望； (ii)设事件A为“当白球取完时，黑球剩佘数量不少于2个”，求P() 18.巳知函数f(x)=e-nx. (1)求曲线y=(在点（山(）)处的切线方程； (2)设函数g(✉)=x+(1-x)lnx, （1)设为g(个的根值点，证明：1<g6)<3: (ⅱ)证明：对于任意正实数m,n,都有∫(m)-g(n)21. 【信恳】已知椭圆C二+片]@>b>0)的方程还可以由椭圆第二定义( 圆C上的动点M满足：到一个定点F(c0)(c≠0)的距离与到不经过这个定点的一条 定直线x=￠的距离之比是一个常数日，其中d=2+)得到， 【信息2】由椭圆的光学性质得到：从焦点F处发出的一束光线，射向椭圆C上的 点？，经椭圆反射后经过焦点F；继续传播，射向椭圆C上的点B,经椭圆反射后 经过焦点耳；如此反复.设第n次入射点为P(neN),规定：当n为奇数时， An=EPB。=EPl:当n为偶数时，4n=FPB=FP. 已知蒲图C药焦点为5(-L0)系BLo,点M写》 在椭個C上. (1)求椭圆C的方程； 1+1 C2②)求证：十为定值： 8)者4=3，记0=·成-公求证：桌列Q}为等比发列，8日行 扫描全能王创建建平县实验中学高三年级阶段性训练 (数学) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数z=-2-i,则为 A.1 B.2 c.√5 D.5 【答案】C 2.已知集合A={0,1,2},B={x2x2-x-3<0,则AnB=() A.{0 B.{ c.{0,1} D.{0,1,2} 【答案】C 3.设a>0,b>0,lg√2是lg4与lg2的等差中项，则2a+b的值为() A.号 B.月 C.1 D.2 【答案】C 【详解】因为a>0,b>0,lg√2是lg4与1g2的等差中项，则21lg√2=lg4+lg2, 即lg2=lg2a,所以2a+b=1 4.已知a>0,b>0,则a+b>2是1+1<2的() a b A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】对1+<2通分，得a+b<2,即a+b<2ab, a b ab :ab≤a+b,当且仅当a=b时等号成立。 4 点a+b<2ab5a+b、:a+b>2,故必要性成立 2 1 令a=。,b=2,满足题意， 2 得上+人>2，但上+2不成立，故充分性不成立 a b 2 a b 11 故“a+b>2”是“二+，<2”的必要不充分条件. a b 5.已知函数f()=co2x-号) 2元 则其图象离直线x=兀最近的一条对称轴的方程是() A.x=3 2π n B.x= C.x=- D.x=5I 3 6 【答案】D 【分析】利用余弦（型）函数对称性分析求解即可. 【详解1根据题意，令2x-2亚=机，k∈乙，解得函数f田)的对称轴为：x=+0,k∈乙， 3 32 令1，得=名=0，得-骨k=1,得x怎令=2，得x经 6 6 所以函数f(:)的图象离直线x=π最近的对称轴方程为x=5 6 6.已知点P为6ABC所在平面内一点，若亚=)4B+C,则壁=《) 4 1 A.3 B. 3 c D.3 【答案】B 【详解】过点4作证-A-4C, 则亚-西+C=证+丽. 以AE,AF为邻边作平行四边形AEPF, 所以SABP=2SA8P=2SAP,SAr=3S.PRc, 可得SAP=6S.Ppc,SACP=4SPrC, 所以g2=65匹3 SACP 4S.PFC 2 B 故选：B 7.已知等差数列{a,}的公差为1，且4，a,+1,2a,成等比数列，则数列{(-)”a}的前20 项和为() A.210或90 B.210 C.-210或90 D.-210 【答案】B 【详解】设等差数列{an}首项为a,已知公差d=l,故an=a,+(n-1), 因为a4,a+1,2a成等比数列，由等比中项性质：(a+)2=43·2a。, 代入表达式得：(a,+5)2=2(a+2)(a,+5),整理得：（a+5)(a-1)=0,解得a=1或 4=-5, 若41=-5，则a+1=0,等比数列不能含0项，故舍去a1=-5,仅保留41=1，故a2o=20, 数列{(-l)”a}的前20项和分组得：S,o=（-G+a)+(-a+a)+…+(-a+a), 对每组用平方差公式：a-ak1=(ak-马k-1)(ak+ak-)=1(ak+ak-), 因此：Sw=4+%+4++ao 201+20=210. 9y 8.已知函数f(x)=cosx+ar2+b,a,b∈R,下列说法不正确的有() A.对任意a,b∈R,函数f(x)是偶函数 B.若a= 2'则函数f()在[0，列上存在极值点 C若a则函数广四在R上的极小值为的 D.若a=。,且方程f(x)=0有两个实数解，则b<-1 【答案】B 【详解】函数的定义域为R,关于原点对称，且 f(-x)=cos(-x)+a(-x)+b=cosx+ax2+b=f(x),对任意a,b∈R,函数f(x)是偶 函数，故A正确 当a=号，f儿闭-or+6,f)=mx- 当x∈(0，π]时，-sinx<0,-x<0,故f'(x)<0,f(x在[0，π]上单调递减，无极值点，故 B错误 当a=,f(=osx+分r+h,f=-sm+x, 令g(x)='(x),则g(x)=-Cosx+1≥0，故f'(x)在R上单调递增， 又f'(0)=0,所以当x<0时，f'(x)<0:当x>0时，f'(x)>0, 因此x=0是在R上唯一的极小值点，为f(0)=1+b,故C正确 当a=2时，结合C选项可知，在x=0处取得最小值，方程f(,)=0有两个实数解，则最小 值b+1<0,即b<-1,故D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知 2x- 的展开式共有6项，则 A.n=5 B.展开式的二项式系数之和为32 C.展开式中存在常数项 D.展开式的各项系数之和为1 【答案】ABD 10.已知点P为圆C:(x-a)+(y-a)}=1上的一个点，点A(1,0),B(4,0),则 A.过点A一定存在两条直线与圆C相切 B.存在实数，使得PB=2 C.存在实数，使得PA·PB=0 D.存在实数，使得PA=2PB 【答案】BC 11.若m,n分别是函数f(x),g(x)的零点，且m-n≤1，则称f(x)与g(x)互为“零点相 邻函数”.已知f(x)=lnx+x2+2x-3与g(x)=e+ax互为“零点相邻函数”，则a的取值可 能是() A.-2e B、e2 C.-e D.-1 【答案】ABC 【详解】f(x)=nx+x2+2x-3定义域为(0，+∞)，f'(x)=1+2x+2>0, 则f(x)在(0，+∞)上单调递增，注意到f()=0,则f(x)有唯一零点1. g(x)定义域为R,由“零点相邻函数”定义， 存在teR,使t-1≤1→0≤t≤2，且t为g(x)零点， 若t=0,g()=g(0)=1=0,这显然不可能. 则1≠0.80=e+a=0a=-,1e(0,2引 令h()=g,xe02i)-0-e 上2 令h(x)>0→0<x<1,h(x)<0→1<x≤2， 则h(x)在(0，)上单调递增，在(1,2上单调递减，从而h(x)≤h()=-e, 且当x→0时，h(x)→-o, 故a≤-e时，可满足题意.则选项ABC满足题意. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数f(x)=x3-x+1,则im f(2+△x)-f(2) Ar>0 △x 【答案】11 【详解】根据导数的定义，极限lim f(2+△x)-f(2) 表示函数f(x)在x=2处的导数值 r-0 △x f'(2), 因为f(x)=x3-x+1求导，f(x)=3x2-1, 所以f'(2)=3×22-1=11. 13.若sin 1 【答案】 #0.04 25 【g-小25a引-25 以ma+引m经+2u-引ma-到}1-2am(a-引8 故答案为： 25 14.若一个半径为1的实心球0放置于一个正方体形盒子内，且与该正方体内切，若在该盒子 内再放入一个球O,则球O的表面积的最大值是 【答案】(28-16v3)π 【详解】设正方体为ABCD-AB,CD,又一个半径为1的实心球O与该正方体内切，所以正 方体的棱长为2， 当球O与正方体的三个面相切且与球O相切时，球O的半径能取得最大值， 设球O的半径为”，连接球心O与球心O,以及球心O到与它相切的正方体的三个面的垂足， 可构成一个以球心O,球心O和正方体顶点为顶点的直角三角形， 此时球心0与球心0的距离为1+r,球心O到正方体顶点的距离为√，2+r2+2=√5r,正 方体棱长的一半为1， 根据上述关系可列出方程：1+r+√5r=√3，解得r=2-3, 所以球0的表面积最大值为4π(2-V3=(28-163)π 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 15.如图，在圆台OO2中，上、下底面半径分别为1和4，高为4，轴截面为四边形ABCD, E在下底⊙O,上，O,E⊥CD,F为OE中点. B (1)求证：OE⊥平面O,CF: (2)求平面BDE与平面O,CF夹角的余弦值. 【解析】 【小问1详解】 证明：在圆台O,02中，上、下底面半径分别为1和4，高为4，所以O,02=02E=4, 因为F为OE的中点，所以O2F⊥O,E, 易知O,O2⊥平面CDE,CDc平面CDE,所以O,O2⊥CD, 又因为O2E⊥CD,OO2∩O,E=O,,OO2、O,Ec平面OO2E, 所以CD⊥平面O,O2E, 因为OEc平面OO,E,所以OE⊥CD, 因为CD∩O2F=O2,CD、O2Fc平面O,CF,故OE⊥平面O,CF.【小问2详解】 因为OO2⊥平面CDE,O,E⊥CD, 以点O2为坐标原点，O2E、O,C、O,O所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则B(0,1,4)、D(0,-4,0)、E(4,0,0)、0(0,0,4) 设平面BDE的一个法向量为m=(x,y,z),DB=(0,5,4),DE=(4,4,0), m.DB=5y+4z=0 则 取x=4,则m=(4,-4,5), mDE=4x+4y=0 易知平面O2CF的一个法向量为E0=（-4,0,4), EO·m 所以cos EO,m= 4 V114 EO:m4v2×V57114 故平面BDE与平面O,CF夹角的余弦值为14 114 B l6.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c,且V3a-csinB=V3 bcosC. (1)求B: (2)若b=3,∠ABC的平分线与AC相交于点D,且BD=2,求△ABC的面积. 【答案】(1)B= 3 (2)3v5 【小问1详解】 因为V3a-csinB=V3 bcosC,所以V3sin(B+C)--sinCsinB=V3 sinBcosC, 3 sin Bcos C+3 cos Bsin C-sin Csin B=3 sin Bcos C, 3cosBsinC=sinCsinB, 因为B、C∈(O,π)，则sinC≠0，所以tanB=V3,所以B= 3 【小问2详解】 因为BD为∠ABC的平分线，所以∠ABD=∠DBC=T 6 又SABC=S.BDC+SABD,即acsin」 21 -x2asim+x2csin,整理得V3ac=2(a+c) 3262 6 又由余弦定理b=d2+c2-2 accos=d2+c2-ac,得9=(a+c}-3ac, 2 所以9-(ac-3ac,即(ac-4ac-l12=0.解得ac=6或ac=-2(合去). 所以a16C架为5an乙18C=x6x5-35 2 22 17.（17分)现将n+1个黑球与n个白球分装入甲、乙两袋中，通过掷骰子来决定每次操作，掷 出奇数点则从甲袋中取一个球，掷出偶数点则从乙袋中取一个球，每次取出的球不放回 (1)若=4，且甲袋中放有2个黑球与2个白球，求操作一次取出的球是白球的概率； (2)若n>5且甲袋中均为黑球，乙袋中均为白球， ()操作5次时，求取出白球个数的数学期望： (i)设事件A为“当白球取完时，黑球剩余数量不少于2个”，求P(A) 【答案】)20 51 ②2 【详解】(1)当n=4时，由题意得甲袋中2黑2白，乙袋中3黑2白 则由全概率公式得p= 1x1+1x2-1+1-9 22254520 (2)()由题意得取到白球等价于选中乙袋， 设取出白球个数为X,则X~ 52) 由=项分布的期电公式得(X)5x号各 (ii)由题意得事件A等价于前2n-1次操作中就已经摸出所有白球， 即掷骰子至多2n-1次就出现了n次偶数， 不妨设掷骰子掷满2-1次，用Y表示其中掷出偶数的次数， 则Y~B 2n-1. 由题意得P(Y≥n)=P(Y≤n-l), 2 因为P(Y≥m)+P≤n-)=1,所以解得P(亿≥四-2 故（到=P收≥月 18.己知函数f(x)=e-lnx. (1)求曲线y=f(x)在点1，f1)处的切线方程： (2)设函数g(x)=x+(1-x)lnx, (①设5为g)的极值点，证明：1<8()< (i)证明：对于任意正实数n,n,都有f(m)-g(n)≥1. 【答案】(1)(e-1)x-y+1=0 回（①g()hx,显然g(y单调递减， :g0-1.ga)-2h2<0. 六存在飞∈12)，使得g)=0,即-血6=0. 当xe(0,)时，g'(x)>0,g(x)单调递增： 当x∈(，+o)时，g(x)<0,g(x)单调递减， ∴6为g(网的极大值点，8()=+1-)h6=6+1-6)片-6+1 一1 通数-在间2上单速小)-e》 1<g()K2 mf)-e- 易知'(x)单调递增， 6 令f(s)=0,即c-=0,即5+hx=0, 易知f(x)在区间(0，x)上单调递减，在区间(：，+0)上单调递增， f(x)的最小值为f(3), 由()可知，g)的最大值为g(6,且-h%-+n=0, 1 Xo Xo 1 由于函数y=x+nx为增函数，.= 对于任意正实数m,,都有f四-8创2fc)-g代)-f8(6) 1 1 =e6-n是-6-(1-)n6=e-5+6血， Xm :ln6=0,“e0=6n6= 1 1 1 .eo-+6ln=-为+h= 61=1 ∴.对于任意正实数m,n,都有f(m)-g(n)≥1 19【信息1】己知椭圆C:女 C:之+=1(a>b之O的方程还可以由椭圆第三定义（椭圆C上的 动点M满足：到一个定点F(c,0)(c≠O)的距离与到不经过这个定点的一条定直线x= 的距 离之比是一个带数9，其中ad=b2+c2)得到. a 【信息2】由椭圆的光学性质得到：从焦点F处发出的一束光线，射向椭圆C上的点P,经椭 圆反射后经过焦点：继续传播，射向椭圆C上的点，经椭圆反射后经过焦点：如此反 复.设第n次入射点为Pn(n∈N,规定：当n为奇数时，An=FPa,Bn=FPnl；当n为 偶数时，An=EP,B=FPn: 已知椭圆C的焦点为F(-1,0)和E(1,0),点M1兮 在椭圆C上。 (1)求椭圆C的方程： 1+1 2)求证：十R为定值： 42,9-1 (3)若4=3，记D,=。-4, 才，求证数别D,}为特批列，8骨名 【详解】【小问1详解】 由题知椭圆焦点在x轴上，设方程为C:之+2=(a>b>0), 因为焦友为R(-0)和L,0),点M号 在椭圆C上 b2=a2-c2 164 所以 a +96=l,解得a=3,b=2V2, 2 c=1 所以椭圆C的方程为+ -=1. 98 【小问2详解】 设Pn(xn,yn),xn∈[-3,3]， 因为当n为奇数时，An=EP B=FDn4: 所以Am1=FPn-B2m1=FBn,P2m-,F,D2n三点共线， 故设所在直线方程为x=my+1, x=my+1 联立方程父+兰-1得(8m+9)小广+16mv-64=0, 9 8 -16m -64 所以+ym8m+9’乃-2m8m2+9 所以由限的路三定义，4=小后5写明9小 ==k9-0-】 所 以 1 3 33(9-xn)+3(9-xn 54-3(x2n1+x2n) 4n1B219-x219-x2m(9-x2m)(9-x2n) 81-9(x2n+2n-1)+x2nx2n-l 因为+5=m(0n1+)+2=-16m+28m+9) 18 8m2+9 8m2+9 2=(my2n+1)(myan1+1)=my2ny2n+m(yn+y2n)+1 =m2.。二64。+m:-16m+1=64m2-16m2+8m+9=-72m2+9 8m2+98m2+9 8m2+9 8m2+9 所以 +1= 54-3(x2m1+x2n) 54-3.18 8m2+9 An-1 B2n1 81-9(3+为+81-9.。18。+-72m2+9 8m2+98m2+9 54×8m2+1 8m2+9 54×8(m2+1)3 81(8m2+9-18×9-72m2+972×8m2+72×84 8m2+9 综上， 1+ 13 An1 B2n-1 4 ⅓ Pir Par 【小问3详解】 FO Pin ，13 由(2)知- 1+1=3,即 Bn4即7 FBEB4 1 由椭圆的对称性可知， 1=1+1=3 FPn FPn An Ban 4' 14An 以+6=，则，3工3-4 所以 一十 4 A 由椭圆的定义得Bn+An+1Fn+1|+|F2Pn+1=2a=6, 议-6易-64数4 因为D,= 4n-4 4-2 144,-24-4 所以D1= 41-4_3An-4 4144-24-12A+16_24,-8 A1-2144.-24_-2144,-24-6A.+88A,-16 34n-4 2(4n-4)1 8(4-2列4D. 又4=3，D-44341, A-23-2 所以数列D,}为等比数列，首项为-1，公比为4： 11,111 整理得4424+2424 1 11 =66: 所以s4石石④名