精品解析：辽宁大连市第八中学2026-2027学年高三上学期9月统一练习数学试题

大连市第八中学2026-2027学年度高三年级9月统一练习 数学学科 一、单选题 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定规则，更换量词、保留原变量的取值范围、否定结论即可求解. 【详解】原命题为存在量词命题，其否定为全称量词命题， 所以命题“”的否定为. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，根据分式函数和对数函数的性质， 可得，解得，即，B正确. 3. 已知幂函数在上单调递减，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】因为为幂函数，所以，解得， 当时，，在上单调递增，不符合题意， 当时，，在上单调递减，所以， 所以 4. 某工厂的产量Q（单位：件）与资本投入K（单位：万元）、劳动投入L（单位：人）满足柯布-道格拉斯生产函数（其中，，为常数）.在劳动投入不变的前提下，要使该工厂的产量提升20%，资本投入需增加60%，则该工厂资本产出的弹性系数约为（ ）（参考数据：，） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得，又， 两式相除可得，两边取对数可得， 所以，所以. 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式化简函数解析式，可得为奇函数，函数图象关于原点对称，可排除C；由时，可排除AD，由此可得结果. 【详解】函数，定义域为， ， 为奇函数，图象关于坐标原点对称，可排除C； 当时，，，所以，可排除AD. 6. 命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】原命题“”为假命题，等价于它的否定“”为真命题， 即对于，​成立. 设，开口向上，对称轴为，故在上单调递减， 最小值为，因此原命题为假等价于，即原命题为假对应集合为. 充分不必要条件对应集合是的真子集，选项中仅有 ，满足条件， 因此命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是. 7. 集合，则中元素的个数为（ ） A. 136 B. 133 C. 134 D. 135 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分别化简，然后结合条件即可求得的整数解的个数. 【详解】由集合， 因为，， 设集合中的元素为， 令且，解得且，共有正整数， 所以中的元素个数为个. 故选：C. 8. 已知，且满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对已知条件取对数后得到，，.根据式子结构，构造函数，利用导数判断单调性，比较大小. 【详解】由得即. 同理得：，. 令则. 故在上单调递增，上单调递减.所以. 故选：C. 二、多选题 9. 以下关系式能构成关于的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用函数的定义，即可判断出AC选项，结合对数式的化简运算与函数的定义即可判断出BD选项. 【详解】对于A选项：,当时，一个有两个与之对应，不满足函数的定义，故A错误； 对于B选项：，满足函数的定义，故B正确； 对于C选项：，满足函数的定义，故C正确； 对于D选项：，，或，满足函数的定义，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 的极大值点是 B. 在上单调递增 C. 当时， D. 是的一个对称中心 【答案】ABC 【解析】 【分析】先对函数求导，得到单调区间与极值点，再结合三次曲线对称中心需满足的条件、区间最小值判定，依次验证四个选项是否正确. 【详解】对函数求导，则， 当时，，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则的极大值点是，所以选项A，B正确； 当时，单调递减，当时，单调递增， 故是上的最小值，故选项C正确； 若是的一个对称中心，则需满足， 而 ，知不是的对称中心，故D选项错误. 11. 设定义在R上的函数和，记的导函数为，且满足，，若为奇函数，则下列结论一定成立的有（ ）． A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用已知得出的图象关于对称，又得出是偶函数，从而它的周期性，然后通过的值计算出相应的值，判断各选项． 【详解】由得． 又，所以，即， 所以关于对称，． 又因为是奇函数，故是偶函数，所以满足条件． 对于选项A，因为，所以， 所以，选项A正确； ，选项B正确； 因为，所以， 所以，选项C正确； 对于选项D，，但不一定为0，选项D错误． 故选：ABC． 三、填空题 12. 函数的最小值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】先确定定义域，再利用导函数确定的单调性，即可求最小值. 【详解】由题意，的定义域为，， 令，得，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以时，函数有极小值，此时极小值也是最小值， 因此，的最小值为. 故答案为：1. 13. 已知函数，则满足的实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，分析其奇偶性和单调性，再解不等式即可. 【详解】令，定义域为， ，所以为奇函数. 因为，在上递增，易知函数在上为增函数， 因为，， 所以原不等式可转化为， 即， 由单调性可得，解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 14. 已知函数有且仅有三个零点，则a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】令，利用导函数研究其单调性画出图象，将问题转化为一元二次方程的根的问题即可求解. 【详解】因为有且仅有三个零点，则方程有且仅有三个根， 令，则， 由得；得； 则在单调递增，在上单调递减，则， 因为时；时，且时， 所以的函数图象如图： 因为不是的根， 所以有两个根，其中一个根位于，另一根位于或另一根是， 但方程的两根的乘积为， 所以一个根位于，另一根位于， 则，得， 故的取值范围是. 四、解答题 15. 已知集合，函数的定义域为. （1）若集合，求集合； （2）在（1）条件下，若，求； （3）在（1）条件下，若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由对数函数的性质，得到，求得集合或，结合补集的运算，即可求解； （2）当时，求得，利用并集的运算，即可求解； （3）根据题意，转化为A是的真子集，分类讨论，即可求解； 【小问1详解】 由函数，可得， 即，解得或，所以集合或， 则. 【小问2详解】 当时，可得集合， 由（1）知集合，所以. 【小问3详解】 若“”是“”的充分不必要条件，所以A是的真子集， 当时，即时，此时，满足A是的真子集； 当时，则满足且不能同时取等号，解得， 综上，实数的取值范围为. 16. 已知函数，． （1）求证：；； （2）解不等式； （3）当时，求证：． 【答案】（1）由题意可得：，所以，， 所以，又因为，所以，，所以 （2） （3） 要证，转化为证​， 两边同乘2（不等号方向不变），即证， 整理得，令， 求导得： ，令，解得： ， 当时，，故， 因此，即在上单调递增， 又，因此对任意，都有， 原不等式成立 【解析】 【分析】（1）先根据、表达式求出、，再分别化简、并与、比较. （2）先对不等式进行变形，通过换元将指数不等式转化为二次不等式求解，最后回代并取对数得到原不等式的解集. （3）将不等式变形为，设求导分析单调性，结合证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】  由题意得，两边同乘得： ，即，  令，不等式变为， 因式分解得，解得， 即，取自然对数可得：， 不等式解集为. 【小问3详解】 略 17. 已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数． （1）求k的值； （2）若函数y=f（x）的图象与直线y=x+a没有交点，求a的取值范围； （3）若函数h（x）=+m•2x-1，x∈[0，log23]，是否存在实数m使得h（x）最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) k=- (2) a≤0 (3) 存在,m=-1 【解析】 【分析】（1）若函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数，则f（-x）=f（x），可得k的值； （2）若函数y=f（x）的图象与直线y=x+a没有交点，方程log4（4x+1）-x=a无解，则函数g（x）=的图象与直线y=a无交点，则a不属于函数g（x）值域； （3）函数h（x）=4x+m•2x，x∈[0，log23]，令t=2x∈[1，3]，则y=t2+mt，t∈[1，3]，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，可得m的值． 【详解】（1）∵函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数， ∴f（-x）=f（x）， 即 log4（4-x+1）-kx=log4（4x+1）+kx恒成立． ∴2kx=log4（4-x+1）-log4（4x+1）===-x， ∴k=- （2）若函数y=f（x）的图象与直线y=x+a没有交点， 则方程log4（4x+1）-x=x+a即方程log4（4x+1）-x=a无解． 令g（x）=log4（4x+1）-x==，则函数g（x）的图象与直线y=a无交点． ∵g（x）在R上是单调减函数．， ∴g（x）＞0． ∴a≤0 （3）由题意函数h（x）=+m•2x-1=4x+m•2x，x∈[0，log23]， 令t=2x∈[1，3]，则y=t2+mt，t∈[1，3] ∵函数y=t2+mt的图象开口向上，对称轴为直线t=-， 故当-≤1，即m≥-2时，当t=1时，函数取最小值m+1=0，解得：m=-1， 当1＜-＜3，即-6＜m＜-2时，当t=-时，函数取最小值=0，解得：m=0（舍去）， 当-≥3，即m≤-6时，当t=3时，函数取最小值9+3m=0，解得：m=-3（舍去）， 综上所述，存在m=-1满足条件． 【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的值域，函数的单调性，二次函数的图象和性质，难度中档． 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，证明：有且只有一个零点； （3）求函数在上的最小值. 【答案】（1） （2） 证明：当时，， 令，则或，且，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以函数的极大值为， 极小值为， 故当时，， 又因为，由零点存在定理可知，函数在上存在唯一零点. 综上所述，当时，函数有且只有一个零点. （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可求得曲线在处的切线方程； （2）当时，求得，利用导数分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理可证得结论成立； （3）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，即可求得函数在上的最小值. 【小问1详解】 当时，，则，所以切线的斜率为， 所以当时，曲线在处的切线方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，所以. ①当时，对任意的，，则且不恒为零， 此时函数在上单调递增，则； ②当时，由，可得，由，可得， 此时函数在上单调递减，在上单调递增， 则； ③当时，对任意的，且不恒为零， 此时函数在上单调递减，则. 综上所述，. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 19. 已知函数，，． （1）求的最大值； （2）对任意实数x，恒成立，求实数的最大值； （3）若，且，其中，．求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明：由（2）知，所以， 不妨设，，因为， 由（1）知：；由（2）知：， 所以要证，则只需证， 因为，可得，， 由，且，，在上单调递增， 可得，同理可得，即，， 所以只需证，即证， 又因为，所以， 将此式乘以上式知只需证， 令，可得， 所以在上单调递增， 因为，所以，即， 所以成立，所以原不等式成立． 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，得到的单调性，进而求得最大值； （2）根据题意，转化为，利用导数求得函数单调性，得到其最大值，列出不等式，即可求解； （3）不妨设，，由，利用，转化为证明，构造函数，利用导数求得的单调性，结合单调性，即可得证. 【小问1详解】 解：由函数可得其定义域为，且， 令，即，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为． 【小问2详解】 解：由对于任意，都有，即， 因为函数，可得， 令，可得． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值，且， 所以，可得，解得，所以实数的最大值. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大连市第八中学2026-2027学年度高三年级9月统一练习 数学学科 一、单选题 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数在上单调递减，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 4. 某工厂的产量Q（单位：件）与资本投入K（单位：万元）、劳动投入L（单位：人）满足柯布-道格拉斯生产函数（其中，，为常数）.在劳动投入不变的前提下，要使该工厂的产量提升20%，资本投入需增加60%，则该工厂资本产出的弹性系数约为（ ）（参考数据：，） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 集合，则中元素的个数为（ ） A. 136 B. 133 C. 134 D. 135 8. 已知，且满足，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 以下关系式能构成关于的函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 的极大值点是 B. 在上单调递增 C. 当时， D. 是的一个对称中心 11. 设定义在R上的函数和，记的导函数为，且满足，，若为奇函数，则下列结论一定成立的有（ ）． A. B. C. D. 三、填空题 12. 函数的最小值为______． 13. 已知函数，则满足的实数的取值范围是___________． 14. 已知函数有且仅有三个零点，则a的取值范围是__________． 四、解答题 15. 已知集合，函数的定义域为. （1）若集合，求集合； （2）在（1）条件下，若，求； （3）在（1）条件下，若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数，． （1）求证：；； （2）解不等式； （3）当时，求证：． 17. 已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数． （1）求k的值； （2）若函数y=f（x）的图象与直线y=x+a没有交点，求a的取值范围； （3）若函数h（x）=+m•2x-1，x∈[0，log23]，是否存在实数m使得h（x）最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，证明：有且只有一个零点； （3）求函数在上的最小值. 19. 已知函数，，． （1）求的最大值； （2）对任意实数x，恒成立，求实数的最大值； （3）若，且，其中，．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $