第五章 一元一次方程 单元卷 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦一元一次方程，覆盖概念、解法及应用，融入古代数学文化与生活情境，适配单元复习，助力抽象能力、运算能力与模型意识培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|方程定义、变形、移项|基础概念辨析，考查抽象能力| |填空题|6/18|列方程、新定义运算、古代数学问题|结合《算法统宗》素材，体现文化传承| |解答题|8/72|解方程、实际应用（行程、利润）、新定义“和解方程”|分层设计，从步骤纠错到创新应用，发展模型意识与运算能力|

第五章 一元一次方程（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．其中是方程的有（    ） A．①②④⑥ B．①②⑤ C．①④⑥ D．①②⑥ 2、下列等式变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 如果，那么 C. 如果，则 D. 如果，那么 3、下列各式的变形中，属于移项的是（ ） A．由变形为 B．由变形为 C．由变形为 D．由变形为 4、已知关于一元一次方程的解为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5、小赵解方程的步骤如下： 解：方程两边同乘6，得① 去括号，得② 移项，得③ 合并同类项，得④ 以上解题步骤中，开始出错的一步是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 6、把方程的分母化为整数的方程是（   ） A． B． C． D． 7、某家具加工厂有21名木工加工桌子和椅子，一张桌子配4把椅子，已知每名木工一天能加工5张桌子或者8把椅子，若安排x名木工加工桌子，则恰好一天加工的桌子能与椅子配套，可列方程为（    ） A． B． C． D． 8、已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是（    ） A．21 B． C．23 D．24 9、某工程，甲独做需24天完成，乙独做需16天完成．现由甲先做4天，乙再参加合做，求完成这项工程共用的时间．若设此项工程从开始到结束共用天，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 10、如图是某月的月历，用形如“十”字型框任意框出5个数，这5个数的和不可能是（   ） A．125 B．110 C．75 D．60 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、x与6的和的2倍等于x的3倍，用方程表示数量关系为 ． 12、如图所示的框图表示解方程的流程，其中代表的步骤是 ． 13、已知代数式比 多1，则x的值为______． 14、对于数、定义这样一种运算：，例如，若，则的值为 ． 15、我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”．其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．如果1托为5尺，那么索和竿各为几尺？设竿为尺，可列方程为_____． 16、幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．“三阶积幻方”是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵，其中每一横行，每一竖列，每条斜对角线上的三个数字之积均相等的幻方，如图为“三阶积幻方”，m，n为有理数，则的值是 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-20，每题8分，21-22，每题9分, 23-24，每题11分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、解方程： （1） （2） 18、下面是小赵将等式进行变形的过程： ，① ，② ．③ (1)步骤①的依据是 ___________； (2)小赵出错的步骤是 ___________，错误的原因是 ___________； (3)请利用等式的基本性质，把该等式变形为“”的形式． 19、已知关于x的方程，若该方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． 20、A、B两地相距64千米，甲从A地出发，每小时行14千米，乙从B地出发，每小时行18千米．若两人同时出发相向而行，则需几小时两人相距16千米？ 21、商场新进一批服装，把进价提高作为售价，但是销量并不好，于是又降价销售，结果每件亏损6元．这批服装原来的售价是每件多少元？ 22、已知数轴上，，三点对应的数分别为，，，点为数轴上任意一点，其对应的数为．点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． (1)若，则___________； (2)若，求的值； (3)点以每秒个单位的速度向右运动，设运动时间为秒．计算点需要运动多长时间能够到达点． 23、国庆期间，七年级（1）班的小赵、小刘等同学随家长一同到某公园游玩，如下是购买门票时，小赵与他爸爸的对话，试根据信息，解答下列问题： 票价 成人：每张元 学生：按成人票五折优惠 团体票（人以上含人）：按成人票6折优惠 大人门票是每张元，学生门票是5折优惠，我们一共人，共需元 爸爸，等一下，我算算换一种方式买票是否可以省钱？ (1)小赵他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)请你帮助小赵算一算，用哪种方式购票更省钱？ (3)购完票后，小赵发现七年级（2）班的王小明等8个学生和他们的个家长共人也来购票，请你为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 24、 我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： (1)下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有 　 　． ①；②；③． (2)已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和都是“和解方程”，求代数式的值． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．其中是方程的有（    ） A．①②④⑥ B．①②⑤ C．①④⑥ D．①②⑥ 【答案】C 【详解】解：①符合方程的定义，故本小题正确； ②不含有未知数，不是方程，故本小题错误； ③不是等式，故本小题错误； ④符合方程的定义，故本小题正确； ⑤不是等式，故本小题错误； ⑥ 符合方程的定义，故本小题正确． 2、下列等式变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 如果，那么 C. 如果，则 D. 如果，那么 【答案】B 【详解】解：A.当时，等式不成立，不符合题意； B.如果，那么，变形正确，符合题意； C.当时，等式不成立，不符合题意； D.如果，那么，变形错误，不符合题意； 3、下列各式的变形中，属于移项的是（ ） A．由变形为 B．由变形为 C．由变形为 D．由变形为 【答案】D 【详解】解：A、由变形为，不属于移项，故选项不符合题意； B、由变形为，不属于移项，故选项不符合题意； C、由变形为，不属于移项，故选项不符合题意； D、由变形为，属于移项，故选项符合题意； 4、已知关于一元一次方程的解为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【详解】解：关于的一元一次方程的解为， ， ∴， 5、小赵解方程的步骤如下： 解：方程两边同乘6，得① 去括号，得② 移项，得③ 合并同类项，得④ 以上解题步骤中，开始出错的一步是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【详解】解：方程两边同乘6，得① ∴开始出错的一步是①， 6、把方程的分母化为整数的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：把方程的分母化为整数的方程是， 7、某家具加工厂有21名木工加工桌子和椅子，一张桌子配4把椅子，已知每名木工一天能加工5张桌子或者8把椅子，若安排x名木工加工桌子，则恰好一天加工的桌子能与椅子配套，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】安排x名木工加工桌子，则名木工加工椅子 所以一天能加工张桌子，把椅子 要使一天加工的桌子能与椅子配套，则椅子的数量为桌子的4倍 所以列方程为： ． 8、已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是（    ） A．21 B． C．23 D．24 【答案】B 【详解】解：设，则关于y的方程化为， ∵关于x的一元一次方程的解是， ∴关于z的一元一次方程，的解是， ∴， ∴； 9、某工程，甲独做需24天完成，乙独做需16天完成．现由甲先做4天，乙再参加合做，求完成这项工程共用的时间．若设此项工程从开始到结束共用天，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设此项工程从开始到结束共用天，由题意得， 10、如图是某月的月历，用形如“十”字型框任意框出5个数，这5个数的和不可能是（   ） A．125 B．110 C．75 D．60 【答案】A 【详解】解：设框出的最中间的数为，则其它几个数分别为， ∴这五个数的和为， 当，解得，而25不能作为最中间的数，故A符合题意； 当，解得，而22能作为最中间的数，故B不符合题意； 当，解得，而15能作为最中间的数，故C不符合题意； 当，解得，而12能作为最中间的数，故D不符合题意； 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、x与6的和的2倍等于x的3倍，用方程表示数量关系为 ． 【答案】 【详解】解：依题意得，， 故答案为：． 12、如图所示的框图表示解方程的流程，其中代表的步骤是 ． 【答案】移项 【详解】解：由图可知，A代表的步骤是移项． 故答案为：移项． 13、已知代数式比多，则的值为______． 【答案】0 【详解】解：由题意得： ， ， ， ， -， ， 故答案为：0． 14、对于数、定义这样一种运算：，例如，若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：， ， 解得：， 故答案为：． 15、我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”．其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．如果1托为5尺，那么索和竿各为几尺？设竿为尺，可列方程为_____． 【答案】 【详解】解：设竿为尺，则索为（x+5）尺， 根据题意得：， 故答案是：． 16、幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．“三阶积幻方”是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵，其中每一横行，每一竖列，每条斜对角线上的三个数字之积均相等的幻方，如图为“三阶积幻方”，m，n为有理数，则的值是 ． 【答案】48 【详解】解：设公共积为P， 由第二列可得：， 由第一行可得：， ， ， ， ， 由对角线可得：， 由第一列：， ， ， ， ， ． 故答案为：48． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-20，每题8分，21-22，每题9分, 23-24，每题11分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【小问1详解】 解：， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 化系数为1，； 小问2详解】 解：， 去分母，， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 化系数为1，． 18、下面是小赵将等式进行变形的过程： ，① ，② ．③ (1)步骤①的依据是 ___________； (2)小赵出错的步骤是 ___________，错误的原因是 ___________； (3)请利用等式的基本性质，把该等式变形为“”的形式． 【答案】（1）等式两边加上同一个数，等式仍然成立 （2）③；未考虑的情况；(3)见详解 【详解】（1）解：步骤①的依据是：等式两边加上同一个数，等式仍然成立， 故答案为：等式两边加上同一个数，等式仍然成立； （2）解：小赵出错的步骤是③，错误的原因是未考虑的情况， 故答案为：③；未考虑的情况； （3）解：， ， ， ， ， ， ． 19、已知关于x的方程，若该方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． 【答案】m的值为0 【详解】解：， 解得：， ∵方程的解为与方程的解互为相反数， ∴方程的解为， 把代入方程，得： ， 解得：． 故m的值为0． 20、A、B两地相距64千米，甲从A地出发，每小时行14千米，乙从B地出发，每小时行18千米．若两人同时出发相向而行，则需几小时两人相距16千米？ 【答案】若两人同时出发相向而行，则需1.5或2.5小时两人相距16千米 【详解】解：设两人同时出发相向而行，需小时两人相距16千米． 第一种情况：当两人没有相遇他们相距16千米， 依题意可得：，解得：； 第二种情况：当两人相遇之后他们相距16千米， 依题意可得：，解得：， 答：若两人同时出发相向而行，则需1.5或2.5小时两人相距16千米． 21、商场新进一批服装，把进价提高作为售价，但是销量并不好，于是又降价销售，结果每件亏损6元．这批服装原来的售价是每件多少元？ 【答案】这批服装原来的售价是每件180元 【详解】解：设这批服装的进价是每件元，则原来的售价为元，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 则原来的售价为（元）， 答：这批服装原来的售价是每件180元． 22、已知数轴上，，三点对应的数分别为，，，点为数轴上任意一点，其对应的数为．点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． (1)若，则___________； (2)若，求的值； (3)点以每秒个单位的速度向右运动，设运动时间为秒．计算点需要运动多长时间能够到达点． 【答案】(1) (2)或 (3)点需要运动秒时间能够到达点 【详解】（1）解： ，，， ， 解得， 故答案为：； （2） ， 或； （3） ， 秒， 点需要运动秒时间能够到达点． 23、国庆期间，七年级（1）班的小赵、小刘等同学随家长一同到某公园游玩，如下是购买门票时，小赵与他爸爸的对话，试根据信息，解答下列问题： 票价 成人：每张元 学生：按成人票五折优惠 团体票（人以上含人）：按成人票6折优惠 大人门票是每张元，学生门票是5折优惠，我们一共人，共需元 爸爸，等一下，我算算换一种方式买票是否可以省钱？ (1)小赵他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)请你帮助小赵算一算，用哪种方式购票更省钱？ (3)购完票后，小赵发现七年级（2）班的王小明等8个学生和他们的个家长共人也来购票，请你为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【答案】(1)学生人数为4人，成人人数为8人 (2)购团体票更省钱，理由见解析 (3)买人的团体票，再买4张学生票 【详解】（1）解：设成人人数为x人，则学生人数为人，则： 由题中所给的票价单可得：， 解得， 学生人数为人，成人人数为8人， 答：学生人数为4人，成人人数为8人． （2）解：如果买团体票，按人计算，共需费用： 元， ， ∴购团体票更省钱． （3）解：需要分三种情况， ①若成人和学生分开买票，费用：（元）， ②若购买团体票，费用：（元）， ③人全部买团体票，费用：（元）， ∵， 最省的购票方案为：买人的团体票，再买4张学生票． 24、 我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： (1)下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有 　 　． ①；②；③． (2)已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和都是“和解方程”，求代数式的值． 【答案】 (1) ② (2) (3) 【详解】（1）解：①＝的解是， ∵， ∴①不是“和解方程”； ②的解是， ∵， ∴②是“和解方程”； ③的解是， ∵， ∴③不是“和解方程”； 故答案为：②． （2）∵， ∴， ∴， ∵即是“和解方程”， ∴， ∴； （3）∵， ∴， 而是“和解方程”， ∴， ∴，（①式） ∵， ∴， 而是“和解方程”， ∴， ∴，（②式）， 由①-②得：， ∴ ． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $