第2章 分式（复习课件）数学湘教版2024八年级上册

单元复习课件 第2章 分式 湘教版2024·八年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.能完成分式概念判断、简单分式的约分通分、基本四则运算（分母为单项式）、简单分式方程求解（无增根）、基础应用题（如行程问题）。 3.能解决分式与整数指数幂的综合运算、含参数的分式方程 2.能处理分母为多项式的分式运算、含增根的分式方程、复杂应用题（如工程问题与经济问题结合），能运用整体代换等技巧进行分式条件求值 单元学习目标 分式 分式的定义及运算 分式的定义及有意义的条件等 分式方程 分式方程的应用 步骤 一审二找三设四列五解六检七答，尤其不要忘了检验解的合理性 类型 行程问题、工程问题、销售问题等 分式的运算及化简求值 分式方程的定义 分式方程的解法及求值检验问题 单元知识图谱 1. 分式的定义： 2. 分式有意义的条件： g ≠ 0 分式无意义的条件： g = 0 分式值为 0 的条件： f = 0 且 g ≠ 0 一、分式的概念及基本性质 设 f 和 g 都是多项式，其中 g 不为 0. 我们把 f 除以 g 的结果记作 ，称 是分式，其中 f 称为分子，g 称为分母. 考点串讲 即对于分式 ，有 分式的分子与分母都乘同一个不为0的多项式（或除以他们的一个不为0的公因式），所得分式与原分式相等. 3.分式的基本性质 分式的符号法则： 考点串讲 1. 分式的乘除法法则 分式的乘法 分式的除法 分式的乘方 2. 分式的加减 (1) 同分母分式相加减 ； (2) 异分母分式加减时需先通分化为同分母分式再加减. 这个相同的分母叫公分母. (确定最简公分母的方法：一般取各分母系数的最小公倍数与各分母各个因式的最高次幂的积为最简公分母) 二、分式的运算 考点串讲 三、整数指数幂 (a ≠ 0，m、n为正整数且m>n). ( a ≠ 0，n 为正整数). 2. 零次幂、负整数指数幂： 1. 同底数幂除法： 3. 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数： 0.00…01 n 个 0 考点串讲 1. 解分式方程的思路： 运用转化思想把分式方程去分母转化成一元一次方程求解. (3) 验：把一元一次方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，那么这个解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，即原分式方程无解； 2. 解分式方程的一般步骤： (1) 化：方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成一元一次方程； (2) 解：解这个一元一次方程； (4) 写解：写出原分式方程的解. 四、分式方程及其应用 考点串讲 3. 列分式方程解应用题的一般步骤： 1. 审清题意； 2. 找等量关系；3. 设出未知数4. 列出方程；5. 解这个分式方程； 6. 检验解的合理性（包括两方面：①是否是分式方程的根； ②是否符合实际情况）； 7. 作答. 考点串讲 考点一、 分式有意义的条件 3.［2024湖南长沙中考］要使分式有意义，则 需满足的条件是_______. 【解析】由题可知，当时，分式有意义，解得.故答案为 . 1.［2025江苏常州质检］如果分式中的， ，那么这个分式的值为 ( ) D A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】因为，，所以 ．故选D． 2.［2025湖南岳阳质检］分式 的值存在的条件是( ) C A. B. C. D. 【解析】因为要使分式的值存在，所以，即 ，故选C. 考点串讲 11 考点二、 分式的计算及化简求值 4.［2024天津中考］计算 的结果等于( ) A A.3 B. C. D. 【解析】原式 .故选A. 5.［2024河北中考］已知为整式，若计算的结果为，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】因为计算的结果为，所以 ，所以 ，所以 .故选A. 考点串讲 12 6.［2024北京中考］已知，求代数式 的值. 【解】原式. 因为，所以 ， 所以原式 . 7.［2024遂宁中考］先化简： ，再从1，2，3中选择一个合适 的数作为 的值代入求值. 解： 原式 ， 因为,2，所以取3，当时，原式 . 考点串讲 13 考点三、 科学记数法 8.［2024黑龙江大庆中考］人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于 米，数字 用科学记数法表示为( ) C A. B. C. D. 【解析】数字用科学记数法表示为 ，故选C. 9.用科学记数法表示下列各数： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 考点串讲 14 考点四、 零指数幂、负整数指数幂的计算 10.［2024重庆中考A卷］计算： ___. 3 【解析】原式 ，故答案为3. 11.［2024广东中考］计算： . 【解】原式 . 考点串讲 15 考点五、 解分式方程 12.［2024四川遂宁中考］分式方程的解为正数，则 的取值范围 ( ) B A. B.且 C. D.且 【解析】去分母得，解得 .由方程的解为正数，得到 ，且，则的取值范围为且 .故选B. 考点串讲 16 13.［2024黑龙江龙东地区中考］已知关于的分式方程无解，则 的 值为( ) A A.或 B. C.或 D. 【解析】去分母并整理得.①当 时,整式方程 无解,即原分式方程无解,此时;②当时，解得.因为关于 的 分式方程无解，所以，解得，则 ，解得 ，经检验,是方程的解.综上,或 .故选A. 考点串讲 17 14.［2024陕西中考］解方程： . 【解】去分母得，去括号得 ， 移项、合并同类项得 . 检验：把代入，得， 所以 是原方程的解. 考点串讲 18 考点六、 分式方程的实际应用 15.［2024云南中考］某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观，已知A地 到B地的路程为300千米，乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时，C型车的平均速度是D 型车的平均速度的3倍，求D型车的平均速度. 【解】设D型车的平均速度是千米/时，则C型车的平均速度是 千米/时. 根据题意得，解得. 经检验， 是所列方程的解，且符合题意. 答：D型车的平均速度是100千米/时. 考点串讲 19 难关 1.［2025湖南湘潭期中］若，，则 的值为( ) C A.2 021 B.0 C.1 D.2 【解析】因为，所以 ， 所以 .故选C. 题型一、化简后直接代入未知数的值求值 2.［2025河北张家口期中］先化简，再求值： ，其中 . 【解】原式 . 当时，原式 . 题型剖析 20 3.［2025湖南怀化质检］先化简，再求值： ，其中 ，且 为整数. 【解】原式 . 因为，且为整数，所以，，， ，0. 由分式有意义的条件可知，不能取2和4.当时，原式； 当时，原式 ;当时，原式； 当时，原式；当 时，原式； 当时，原式；当 时，原式 . 易错警示 根据取的值时，注意前提是要使分式有意义，故 不能取2，4. 题型一、化简后直接代入未知数的值求值 题型剖析 21 4.［2025河南信阳期末］已知，，则 的值为( ) D A.2 B. C.3 D. 【解析】原式，把，代入得原式 .故选D. 题型二、整体代入求值 5.［2025山东烟台质检，中］若，则 的值为( ) D A. B. C. D. 【解析】因为，所以，所以 ，所以 ，故选D. 题型剖析 22 6.［2025安徽合肥质检］已知，则 的值是 ( ) D A.2 B. C.或 D.2或 【解析】因为，所以或 ， 解得或.原式. 当 时，原式； 当时，原式 ,所以原式的值是2或 . 题型三、化简后利用限定条件求值 题型剖析 23 7.［2025黑龙江哈尔滨期中］先化简，再求值： ，其中 . 【解】 . 因为，所以,, 解得， ，所以原式 . 8.［2025湖南长沙期中］已知，求 的值. 【解】由已知得,所以，所以 ， 所以 ,所以 . 题型三、化简后利用限定条件求值 题型剖析 24 9.［2025四川眉山期中］若方程 有增根，则它的增根是( ) C A.0 B. C.1 D. 或1 【解析】， 方程两边同乘 ，得， 由最简公分母，可得 或. 当时，,所以；当 时，等式不成立， 所以增根是 .故选C. 题型四、分式方程有增根 题型剖析 25 10.［2025北京大兴区期末］若关于的分式方程有增根，则 的值为____ 【解析】，去分母得，解得. 因为关于 的分式方程有增根， 所以，所以，故答案为 . 题型剖析 26 11.［2025湖南张家界期中，中］若关于的方程有解，则 的值不能为 ( ) D A.3 B.2 C. D. 【解析】方程两边同乘，得，解得 . 因为方程有解，所以当时， ，即 ，，解得 ，故选D. 题型五、分式方程有解或无解 题型剖析 27 12.［2025河南周口期末］若关于的分式方程无解，则 的值 为___________. 或10或3 【解析】 , 去分母，得， . 当增根为或时，或, 解得或 ，所以当或时，分式方程无解； 当，即 时，整式方程无解，则分式方程无解. 综上可知，的值为或10或3.故答案为 或10或3. 题型五、分式方程有解或无解 题型剖析 28 分式方程无解的两种情况: （1）分式方程转化为整式方程后，整式方程的解是分式方程的增根，则分式方程 无解； （2）分式方程转化为整式方程后，整式方程无解，则分式方程无解. 注意：分式方程无解 最简公分母的值为0. 方法技巧 29 13.［2025江苏扬州期中］关于的分式方程的解为非正数，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 【解析】，方程两边同乘，得 ，所以 ，所以，所以 .因为方程的解为非正数， 且，所以，且，所以 .故选A. 题型六、分式方程有（非）正数解 题型剖析 30 14.［2025河北邢台期末］已知关于的方程 的解是正数， 求 的取值范围. 【解】，方程两边同乘 ，得 ，，， . 因为分式方程的解为正数，所以，解得 .因为分式方程有解，所以 ，所以，，所以， ， 所以的取值范围为且 . 题型六、分式方程有（非）正数解 题型剖析 31 15.［2025贵州铜仁质检］若关于的分式方程有正整数解，则整数 的值为( ) D A. B.0 C. D. 或0 【解析】原方程去分母，得.因为分式方程有正整数解，所以 且，所以或，解得或 ，故选D. 题型七、分式方程有整数解 题型剖析 32 16.［2025湖南永州期中，中］若关于的分式方程有整数解，求整数 的值. 【解】，去分母，得 . 因为分式方程有解，所以. 因为 ， 分式方程有整数解，且为整数，所以,,,, 则的值为 ，9，0，6，5，1，4，2. 因为时，方程无解，所以整数的值是 ，9，6，5，1，4，2. 题型七、分式方程有整数解 题型剖析 33 含参分式方程中的整数解问题常常要用到整除的相关知识，即如果分式的值是整 数，那么分母必为分子的因数. （1）当分子为常数时，找出分子的因数即可求出未知数. 例：若为整数，则，， . （2）当分子含有未知数时，需用分离常数法将分子化为常数. 例：若为整数，则，所以，,则 , 0,4, . 方法技巧 34 1.在代数式，，， 中，分式有( ) B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列分式中，属于最简分式的是( ) B A. B. C. D. 3.［2025常德期末］若分式的值为0，则 的值为( ) D A.0 B.2 C. D. 针对训练 4.［2025益阳期末］若把分式中的, 都扩大到原来的3倍，则分式 的值( ) B A.扩大到原来的3倍 B.不变 C.扩大到原来的9倍 D.缩小为原来的 5.下列运算正确的是( ) D A. B. C. D. 针对训练 36 6.若关于的分式方程无解，则 的值为( ) A A.或0 B. C. D.0 7.某书店在开学之初用760元购进工具书若干本，按每本20元出售，很 快销售一空，据了解学生还急需2倍这种工具书，于是又用1 300元购进 所需工具书，由于购入量大，每本的进价比上次优惠2元，该店仍按每 本20元出售，最后剩下2本按七五折卖出，这笔生意该店共盈利( ) C A.1 220元 B.1225元 C.1 230元 D.1235元 针对训练 37 8. “碧玉妆成一树高，万条垂下绿丝绦.”每到春天，人 们流连于柳绿桃红之间的同时也被漫天飞舞的柳絮所烦扰.据测定，柳 絮纤维的直径约为 ，该数值用科学记数法表示为_______ _______. 9.分式，， 的最简公分母是_______. 针对训练 38 10.《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是 一个长为，宽为 的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是 ，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度是____ . 0.1 针对训练 39 11.解方程： （1） ； 解：去分母,得，解得 ，经检验， 是原方程的解. （2） . 解：去分母，得 ，整理，得，解得 . 经检验， 是原方程的增根，所以原方程无解. 12.化简： . 解：原式 . 针对训练 40 13.［2024重庆中考］为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有 甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代. （1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策.根据相关政策， 更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万 元的补贴.这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴.该企业甲、 乙两类生产线各有多少条？ 解：设该企业有条甲类生产线， 条乙类生产线， 根据题意，得解得 答：该企业有10条甲类生产线，20条乙类生产线. 针对训练 41 （2）经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多 投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生 产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新 生产线的设备？ 解：设购买更新1条乙类生产线的设备需投入 万元，则购买更新1条甲 类生产线的设备需投入 万元， 根据题意，得，解得 ， 经检验， 是所列方程的解，且符合题意， 所以 . 答：还需投入1 330万元资金更新生产线的设备. 针对训练 42 感谢聆听! $$