2.1 认识一元二次方程3种高频考点专项训练-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程定义及参数问题，通过“概念辨析-参数求解-解的应用”三级递进训练，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一元二次方程的定义|3例+3变式|定义辨析（选择）、一般形式转化（填空）|从定义本质（二次项系数非零、最高次2）到一般形式要素（二次项/一次项/常数项）| |由定义求参数|3例+3变式|参数取值判断（选择）、范围确定（填空）|依据定义条件（二次项系数≠0、次数=2）构建参数限定关系| |由解求参数|3例+3变式|解的代入求值（选择）、代数式化简（填空）|通过方程解的定义建立等量关系，渗透模型意识与运算能力|

认识一元二次方程3种高频考点专项训练 认识一元二次方程3种高频考点专项训练 考点目录 一元二次方程的定义 由一元二次方程的定义求参数 由一元二次方程的解求参数 考点一 一元二次方程的定义 例1．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级下·山东威海·期中）下列关于x的方程： ①；②；③；④；⑤，⑥，其中一元二次方程的是（     ） A．①②④ B．②④⑥ C．①③④ D．①④⑥ 例3．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）将一元二次方程化为一般形式为______，其一次项为______． 变式1．（26-27九年级上·广东中山·开学考试）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·吉林辽源·期末）一元二次方程的二次项系数（为正数）与常数项之和为（       ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·广东惠州·阶段检测）将方程化成一元二次方程的一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是__________． 考点二 由一元二次方程的定义求参数 例1．（26-27九年级上·重庆·开学考试）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（     ） A．3 B． C．3或 D．0 例2．（2026·四川宜宾·一模）若关于x的方程是一元二次方程，则（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为__________． 变式1．（25-26九年级上·湖南张家界·期末）关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·广东湛江·阶段检测）若是一元二次方程，则m的值为（    ） A． B．3 C． D．9 变式3．（25-26九年级上·福建漳州·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是________． 考点三 由一元二次方程的解求参数 例1．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）若是方程的一个根，则a的值为（     ） A．2 B． C．1 D．0 例2．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）已知a是方程的一个根，则代数式的值是（     ） A．1 B．－1 C．0 D．2 例3．（26-27九年级上·重庆·开学考试）若是关于的一元二次方程的一个实数根，则代数式的值是______． 变式1．（2026·四川雅安·一模）若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 变式2．（25-26八年级下·安徽六安·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值是（    ） A．2020 B．2030 C．2034 D．2045 变式3．（22-23九年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）若一元二次方程有一根为，则________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $认识一元二次方程3种高频考点专项训练 认识一元二次方程3种高频考点专项训练 考点目录 一元二次方程的定义 由一元二次方程的定义求参数 由一元二次方程的解求参数 考点一 一元二次方程的定义 例1．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从是否为整式方程、未知数个数、未知数最高次数三个维度逐一判断各选项． 【详解】解：选项A：中未知数最高次数为1，不符合题意； 选项B：不是整式方程，且含有两个未知数和，不符合题意； 选项C：是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2，符合题意； 选项D：中未知数最高次数为3，不符合题意； 故答案为C． 例2．（25-26九年级下·山东威海·期中）下列关于x的方程： ①；②；③；④；⑤，⑥，其中一元二次方程的是（     ） A．①②④ B．②④⑥ C．①③④ D．①④⑥ 【答案】B 【分析】本题根据一元二次方程的定义判定，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2且二次项系数不为0，逐个验证每个方程即可得出结果． 【详解】解：①，由于题目未规定，当时方程不是二次方程，则①不是一元二次方程； ②展开整理得：，则②是一元二次方程； ③是分式方程，不是整式方程，则③不是一元二次方程； ④，由于，则，则④是一元二次方程； ⑤是无理方程，不是整式方程，则⑤不是一元二次方程； ⑥，满足一元二次方程所有定义条件，则⑥是一元二次方程； 综上所述，②④⑥是一元二次方程． 例3．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）将一元二次方程化为一般形式为______，其一次项为______． 【答案】 【分析】利用完全平方公式展开左边，再移项，合并同类项得到一般形式，再根据定义确定一次项． 【详解】解：将原方程左边展开，得， 移项，合并同类项，得， 因此原一元二次方程的一般形式为， 其一次项为． 变式1．（26-27九年级上·广东中山·开学考试）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A、，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、，含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、，当时不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 变式2．（25-26九年级上·吉林辽源·期末）一元二次方程的二次项系数（为正数）与常数项之和为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项． 【详解】将一元二次方程变形为一般形式，一般形式的二次项系数为，常数项为，所以二次项系数与常数项之和为． 故选：B 变式3．（25-26九年级上·广东惠州·阶段检测）将方程化成一元二次方程的一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是__________． 【答案】1，4，0 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件． 将方程化为一般形式后，根据一元二次方程的定义确定二次项系数、一次项系数和常数项． 【详解】解：将方程 展开，得 ， 此即一元二次方程的一般形式，. 其中二次项系数为 1，一次项系数为 4，常数项为 0． 故答案为：1，4，0． 考点二 由一元二次方程的定义求参数 例1．（26-27九年级上·重庆·开学考试）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（     ） A．3 B． C．3或 D．0 【答案】A 【分析】一元二次方程，二次项系数不为0，未知数的最高次数是2． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 由得， 即或， 由得， ∴． 例2．（2026·四川宜宾·一模）若关于x的方程是一元二次方程，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得． 例3．（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据常数项为0列出方程求出k的值，根据一元二次方程的定义可知二次项系数不为，求解即可得到的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项为0， ∴， 解得或， ∵二次项系数不为0， ∴， ∴， ∴． 变式1．（25-26九年级上·湖南张家界·期末）关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程．根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且 ， 由得， ， 又， ， ． 故选：B． 变式2．（25-26九年级上·广东湛江·阶段检测）若是一元二次方程，则m的值为（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0． 【详解】解：∵方程为一元二次方程， ， 解得：， 故选：A． 变式3．（25-26九年级上·福建漳州·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，即得到关于的不等式，解之即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 考点三 由一元二次方程的解求参数 例1．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）若是方程的一个根，则a的值为（     ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】D 【详解】解：将代入方程， 得， 整理得， 解得． 例2．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）已知a是方程的一个根，则代数式的值是（     ） A．1 B．－1 C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据方程根的定义得到，将所求代数式化简降次后整体代入求值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， . 例3．（26-27九年级上·重庆·开学考试）若是关于的一元二次方程的一个实数根，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义得到的值，将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程的一个实数根， 将代入方程得， ， 可得：， 把代入， 可得：原式． 变式1．（2026·四川雅安·一模）若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 【答案】A 【分析】把代入一元二次方程中，得到，再把代入，即可． 【详解】解：将代入，得， ， ． 变式2．（25-26八年级下·安徽六安·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值是（    ） A．2020 B．2030 C．2034 D．2045 【答案】C 【分析】本题利用一元二次方程根的定义，将根代入原方程得到b和c的关系式，再用整体代入法计算所求代数式的值. 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴ ∴ ∴ 则． 变式3．（22-23九年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）若一元二次方程有一根为，则________． 【答案】 【分析】把根代入一元二次方程，求出的值，再整体代入计算即可． 【详解】解：把代入方程， ， ， ， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $