2.3 课时1 用反比例函数解决跨学科问题 同步训练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册
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摘要：
**基本信息**
聚焦跨学科情境下反比例函数应用，通过基础理解、综合应用、拓展探究三层设计，实现从单一知识点识别到复杂问题解决的递进，强化数学建模与实际应用能力。
**分层设计**
|层次|知识覆盖|设计特色|
|----|----------|----------|
|基础理解|压强、电压等单一跨学科反比例关系识别|以选择、填空为主，如压强公式应用选择题，直接考查概念理解|
|综合应用|跨学科问题中函数解析式建立与计算|结合图表数据，如杠杆原理表格题，需推导函数关系并计算|
|拓展探究|多学科融合的实际情境问题解决|如电子秤工作原理解答题，综合物理电路与反比例函数，检验实际意义|
内容正文：
2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练
第2章 反比例函数
2．3 用反比例函数解决问题
课时1 用反比例函数解决跨学科问题
▌课时目标
1. 能识别压强、电压、杠杆、密度等跨学科情境中的反比例函数关系，理解相关公式的代数本质，明确常量与变量。
2. 能根据跨学科问题中的不变量建立反比例函数解析式，并运用解析式进行相关量的计算，体会数学工具在解决实际问题中的作用。
3. 能结合实际问题对变量的取值范围进行合理限制，养成检验计算结果是否符合实际意义的习惯。
▌课时目录
知识点01：压强与受力面积的反比例关系
知识点02：电压、电流与电阻的反比例关系
知识点03：力与力臂的反比例关系（杠杆原理）
知识点04：其他跨学科中的反比例关系（密度等）
知识点05：跨学科问题中反比例函数解析式的建立与计算
▌知识点01：压强与受力面积的反比例关系
根据压强公式（p为压强，F为压力，S为受力面积）。
当压力F为定值时，p与S成反比例关系，可表示为（k＝F为定值，且S＞0）。
例如：人站立和行走时，对地面压力约等于重力，站立时双脚着地受力面积大，压强小；行走时单脚着地受力面积小，压强大。
1．（2026·内蒙古·中考真题）已知压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）之间的函数关系式为．当时，，则压强关于受力面积的函数图象正确的是（）
A． B．
C． D．
2．（2026·四川广元·中考真题）根据压强公式，当压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）成反比例关系．若某物体受力面积增加，则受到的压强比原来减少．设该物体原受力面积为，压力为定值，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·四川自贡·中考真题）科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强p（单位：）与受力面积S（单位：）存在函数关系．下表是他们实验的几组数据：
（单位：）
1
2
4
8
（单位：）
80
40
20
10
则压强（）与受力面积（）之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于 的函数图象如图所示．则反比例函数的解析式为__________．
▌知识点02：电压、电流与电阻的反比例关系
根据欧姆定律（I为电流，U为电压，R为电阻）。
当电压U为定值时，I与R成反比例关系，可表示为（k＝U为定值，且R＞0）。
例如：在家庭电路（电压220V）中，接入的用电器电阻越大，通过的电流越小。
5．（2026·江苏南通·中考真题）在某闭合电路中，经过电路的电流（单位：）与电阻（单位：）的数据如下表所示．
…
4
5
6
…
…
30
20
…
已知是的反比例函数，则表格中的值为（ ）
A．24 B．25 C．26 D．28
6．（25-26八年级下·吉林长春·期末）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（ ）
A．与的函数关系式是
B．当时，
C．当时，
D．当时，的取值范围是
7．（2026·河北邯郸·模拟预测）已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，它们的函数关系图象如图所示．当电流I从增加到时，电阻R（ ）
A．减小了 B．减小了 C．增大了 D．增大了
8．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）图为某电子秤的实物图，图为其工作电路图，其工作原理为：电源两端电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知：①可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）满足图所示的一次函数关系；②定值电阻，总电阻；③电路中的电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例；④当在电子秤上放置质量为的物体时，电流表显示电流为．
(1)求可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间满足的函数关系式；
(2)求电流（单位：）与总电阻（单位：）之间满足的函数关系式；
(3)已知该电子秤正常工作的电流范围为（单位：），求该电子秤可称量物品的最大质量．
▌知识点03：力与力臂的反比例关系（杠杆原理）
根据杠杆平衡条件F1L1＝F2L2（F1为动力，L1为动力臂，F2为阻力，L2为阻力臂）。
当阻力F2和阻力臂L2不变时，动力F1与动力臂L1成反比例关系，可表示为F1＝（k＝F2L2为定值，且L1＞0）。
例如：用撬棍撬石头，动力臂越长，所需的动力越小，越省力。
9．（2026·河南平顶山·三模）公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德发现了杠杆平衡，如图1，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“动力动力臂阻力阻力臂”．如图2，若某科学实验小组成员设计了一套杠杆，其阻力和阻力臂不变，分别为1000N和0.5m，则下列说法错误的是（ ）
A．动力和动力臂之间的大致图象可以用图3表示
B．当动力臂为2m时，撬动石头需要的力量为250N
C．若想使动力不超过题中所用阻力的一半，则动力臂要比阻力臂长至少1m
D．利用此杠杆时，动力臂越长越省力
10．（2026·江西上饶·一模）如图甲，根据杠杆原理，我们知道当杠杆水平平衡时，弹簧测力计的示数（单位：）与弹簧测力计与支点的距离（单位：）成反比例函数关系．已知它们之间的函数关系如图乙所示，那么当为时，弹簧测力计与支点的距离为______．
11．（2026·江苏泰州·二模）某物理实验小组在探究“杠杆平衡条件”时，记录了动力臂与对应动力的部分数据如下表：
动力臂
0.1
0.2
0.4
0.8
动力
20
10
5
2.5
观察表中数据发现，与的乘积始终为定值2．若该定值保持不变，当动力臂时，所需的动力______．
12．（2026·河北石家庄·二模）杆秤是中国传统的不等臂杠杆式称重工具，是古代度量衡的代表．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆的端点处，提纽固定在点处，秤砣悬挂的位置记为点．杆秤称物符合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”．
设秤盘的质量为，秤砣的质量为，物体的质量为，，．根据杠杆原理、可得：．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点处．）
(1)已知一款秤杆长度，提纽到秤盘固定点距离；
①根据题意，求出关于的函数表达式；
②在秤杆上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点之间的距离；
(2)在（1）的条件下．由于秤砣生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为，若该物体的实际质量为，求生锈秤砣的质量；
(3)若杆秤可用长度，为保证杆秤的最大刻度不小于，请计算的取值范围．
▌知识点04：其他跨学科中的反比例关系（密度等）
常见关系：
1.
密度公式，当质量m一定时，密度ρ与体积V成反比例关系（，k＝m）；
2.
功的公式W＝Fs，当功W一定时，力F与在力的方向上移动的距离s成反比例关系（）。
解题时，先确定哪个量保持不变（即常数k），再建立反比例函数模型。
13．（2026·浙江·中考真题）【科学知识】①同一物体漂浮在不同的液体中，它在液面以下的体积与液体密度成反比例关系．②两种液体混合后密度满足：（其中，为两种液体的密度，，为两种液体的体积，为方便计算，假定）．
【问题解决】图1中的液体由的水与的溶液甲混合而成，为测算溶液甲的密度，小明将一正方体木块置于图1液体中，测得漂浮的正方体木块浸入液体的深度为；小明又将该木块置于图2的水中，测得漂浮的正方体木块浸入水的深度为．已知水的密度为，则溶液甲的密度为（ ）．
A． B． C． D．
14．（2026·江苏宿迁·中考真题）小慧用小孔成像实验装置研究像高和物距的关系．在保持物体高度、小孔到光屏的距离不变的条件下，像高与小孔到物体的距离成反比例函数关系．已知当小孔到物体的距离为时，光屏上的像高为．若要使像高为，则小孔到物体的距离为____________．
15．（2026·广东广州·中考真题）生活中有各式各样的电子屏幕，不同尺寸的屏幕，在同一分辨率下，像素密度也会不同．某班学生收集了在同一分辨率下，某些电子屏幕尺寸（单位：英寸）和像素密度（单位：）的相关数据，在图中描出了部分数据所对应的点，发现像素密度和屏幕尺寸之间近似存在一个函数关系．
(1)判断：是关于的__________函数（填“一次”或“反比例”）；
(2)求这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
(3)某电子屏幕尺寸为50英寸，根据（2）中求出的函数解析式，求它在该分辨率下的像素密度．
16．（26-27九年级上·全国·课后作业）浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度h（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度h（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度h与液体密度的对应关系（如下表）．
酒精
水
蜂蜜
浸没深度h（）
17.5
14
10
液体密度（）
m
1
n
(1)求出关于h的函数解析式；
(2)________，________；
(3)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围．
▌知识点05：跨学科问题中反比例函数解析式的建立与计算
步骤：
1. 明确跨学科情境中的常量（不变量）和变量；
2. 根据物理或科学公式写出变量间的等量关系，确定k的值；
3.
设反比例函数（注意自变量x＞0通常成立）；
4. 代入已知数据求未知量，或根据函数性质分析变化趋势；
5. 作答时注明单位，并结合实际意义检验（如电阻、面积、力臂等均为正数）。
例如：已知某物体质量为10kg，求密度ρ关于体积V的函数，由得（V＞0）。
17．（2026·河南平顶山·三模）新情境跨学科数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物的质量变化调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R（单位：）与物体质量m（单位：）之间的关系如图2所示，电流I（单位：）与可变电阻R之间的关系式为，其图象如图3所示，则下列说法正确的是（ ）
A．I随着m的增大而减小
B．电流I是可变电阻R的反比例函数
C．当物体质量为时，电流
D．若该款电子秤中的电路电流范围设定为，则该电子托盘秤不能称出物体的质量
18．（2026·广东河源·二模）/跨学科/在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图像如图所示．根据图像，下列结论正确的是（ ）
A．该函数图像满足的表达式为
B．当振动弦长为时，振动频率为
C．当振动弦长时，振动频率
D．该函数图像与坐标轴有一个交点
19．（2026·广东汕头·一模）跨学科题（数学＋物理）
某中学科技小组设计了一款节能小车，其动力由可充电电池提供．实验数据显示，小车行驶时的耗电量与速度成反比．当速度为米/秒时，电池每小时耗电量为度．
(1)求耗电量E（度/小时）与速度v（米/秒）的函数关系式；
(2)为确保小车在科技展上连续行驶至少小时，科技小组需将速度调整为，此时每小时耗电量降至．已知调整后的耗电量满足分式方程：．结合第（1）问的函数关系，求调整后的速度（米/秒）．
20．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）杆秤体现了古代劳动人民的智慧，它的制作原理就是根据：杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力×动力臂=阻力×阻力臂，即．跨学科小组的同学，想制作一个简易杆秤（如图所示），它们利用一根长的均匀木杆，在木杆的中点并穿上细绳将木杆吊起．在距离点的左侧处垂直悬挂一个物体，物体重量（即）．在点的右侧挂上一个弹簧秤，竖直向下拉弹簧秤，使木杆处于水平静止状态．设此时弹簧秤与点的距离是，弹簧秤的示数是．完成下列问题：
(1)求关于的函数关系式；
(2)在右侧任意移动弹簧秤的位置，但使木杆始终保持水平静止状态，求的最小值．
▌课时训练
一、选择题
1．（2026·内蒙古通辽·二模）某物体对地面的压力为，物体对地面的压强与受力面积之间的函数关系式为，该函数图象位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2026·甘肃平凉·二模）古希腊著名的科学家阿基米德发现了“杠杆原理”，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．其实我国古代著作《天工开物》中记载的三千多年前古人利用桔槔在井上汲水就是利用了“杠杆原理”（如图1）．如图2，是古人利用桔槔在井上汲水的示意图，已知在处的力为，长为，则处的动力与动力臂（的长）的关系可以表示为（ ）．
A． B． C． D．
3．（25-26八年级下·上海普陀·期末）已知将相同质量的金属完全浸入盛满水的杯中，金属的密度与溢出的水的体积成反比例（常见金属密度如表所示）．如果将密度为的A种金属完全浸入盛满水的杯中，测得溢出的水的体积为，再将与A种金属质量相同的B种金属完全浸入盛满水的杯中后，测得溢出的水的体积为，那么B种金属的种类是（ ）
金属种类
密度（）
金
19.3
银
10.5
铜
8.9
铁
7.9
A．金 B．银 C．铜 D．铁
4．（2026·河南驻马店·三模）智能机器人可以辅助或替代酒店的很多工作．某款智能机器人送餐时的电路原理图如图1所示，图中为电阻箱（一种变阻器，电阻阻值大小可调），为餐盘下的压力传感器，压力传感器的阻值随所受压力变化的函数图象如图2所示，下列说法正确的是（ ）
信息窗
1．电路中的（触发器电阻忽略不计）；
2．为保证智能机器人的正常运行，智能机器人送餐一次的最大送餐量（餐盘质量不计）为，压力为（g取），要求不低于．
A．压力传感器阻值随所受压力的增大而增大
B．当时，压力传感器阻值
C．当送餐量为时，
D．为保证智能机器人的正常运行，电阻箱阻值
二、填空题
5．（25-26八年级下·山西临汾·阶段检测）某算力中心总算力固定不变，完成全部运算任务所需时间：t（单位：）与在线算力节点数（单位：个）成反比例函数关系．已知开启40个算力节点工作时，完成全部任务需．若全部任务需在内完成，则至少需要开启__________个算力节点．
6．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）小国在学习了压强计算公式后，发现可以通过函数知识研究，，的关系．如图是他在压力一定的前提下画出的压强（单位：）与受力面积（单位：）的函数图象，根据图象信息，压力的大小是___________．
7．（2026·湖北武汉·二模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当时，电阻的值为__________．
8．（2026·吉林·模拟预测）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示，则密度关于体积V的函数解析式为_______________________．
三、解答题
9．（2026·浙江丽水·二模）已知一张桌面所能承受的最大压强为（牛/平方米），有一个长方体铁块的长、宽、高分别为，，．小明和小聪在讨论能否把这个铁块放在这张桌面上．（铁的密度为，取）
小明：无论怎么摆放，应该都没问题．
小聪：不一定，根据所学知识，桌面所受的压强与压力、受力面积
小明：哦，铁块对桌面的压力是不变的……
(1)求出该铁块对桌面的压力．
(2)请用反比例函数的性质，说明能否把铁块放在这张桌面上．
10．（2026·河南三门峡·二模）小明在野外考察时，准备利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，小明知道，当压力不变时，压强与受力面积存在一定的函数关系，为研究这个关系，小明借助自身体重，利用若干大小不同的木板（质量不计）和电子压强计进行实验，每次实验小明均竖直站立在木板上，用电子压强计测量木板对地面的压强，经过多次实验，得到了木板对地面的压强与木板面积的部分对应值，如下表：
木板面积
0.5
1
1.5
2
2.5
3
木板对地面的压强
600
300
150
120
100
(1)求与之间的函数关系式及表中的值．
(2)在如图所示的平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．
(3)资料显示：这片烂泥湿地所能承受的最大压强为．小明若用一块面积为的木板，则他能否安全通过这片烂泥湿地？若能，求湿地所承受的压强；若不能，则木板面积至少需要比原来增加多少平方米才能安全通过？
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2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练
第2章 反比例函数
2．3 用反比例函数解决问题
课时1 用反比例函数解决跨学科问题
▌课时目标
1. 能识别压强、电压、杠杆、密度等跨学科情境中的反比例函数关系，理解相关公式的代数本质，明确常量与变量。
2. 能根据跨学科问题中的不变量建立反比例函数解析式，并运用解析式进行相关量的计算，体会数学工具在解决实际问题中的作用。
3. 能结合实际问题对变量的取值范围进行合理限制，养成检验计算结果是否符合实际意义的习惯。
▌课时目录
知识点01：压强与受力面积的反比例关系
知识点02：电压、电流与电阻的反比例关系
知识点03：力与力臂的反比例关系（杠杆原理）
知识点04：其他跨学科中的反比例关系（密度等）
知识点05：跨学科问题中反比例函数解析式的建立与计算
▌知识点01：压强与受力面积的反比例关系
根据压强公式（p为压强，F为压力，S为受力面积）。
当压力F为定值时，p与S成反比例关系，可表示为（k＝F为定值，且S＞0）。
例如：人站立和行走时，对地面压力约等于重力，站立时双脚着地受力面积大，压强小；行走时单脚着地受力面积小，压强大。
1．（2026·内蒙古·中考真题）已知压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）之间的函数关系式为．当时，，则压强关于受力面积的函数图象正确的是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意确定与的函数关系为反比例函数，求出常数的值，再根据反比例函数图象的性质及图象上点的坐标进行判断即可．
【详解】，且为定值
是的反比例函数，且，图象位于第一象限
排除选项A、B
将，代入
得
函数解析式为
对于C选项，当时，，图象经过点，符合题意
对于D选项，当时，，不符合题意．
2．（2026·四川广元·中考真题）根据压强公式，当压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）成反比例关系．若某物体受力面积增加，则受到的压强比原来减少．设该物体原受力面积为，压力为定值，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】已知该物体原受力面积为，压力是定值，
由压强公式可得，原压强为，
受力面积增加，
变化后的受力面积为，变化后的压强为，
由题意得，变化后的压强比原来减少，即原压强 现压强 ，
可得方程．
3．（2026·四川自贡·中考真题）科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强p（单位：）与受力面积S（单位：）存在函数关系．下表是他们实验的几组数据：
（单位：）
1
2
4
8
（单位：）
80
40
20
10
则压强（）与受力面积（）之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】判断p与S为反比例函数关系，再根据表格数据求比例系数，即可得到函数关系式．
【详解】解：∵根据表格数据计算得：，，，，
∴压力一定时，压强与受力面积成反比例关系，可设，
∴，
∴．
4．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于 的函数图象如图所示．则反比例函数的解析式为__________．
【答案】
【详解】解：设关于的函数解析式为，
由图象可把点代入得：，
∴关于的函数解析式为．
▌知识点02：电压、电流与电阻的反比例关系
根据欧姆定律（I为电流，U为电压，R为电阻）。
当电压U为定值时，I与R成反比例关系，可表示为（k＝U为定值，且R＞0）。
例如：在家庭电路（电压220V）中，接入的用电器电阻越大，通过的电流越小。
5．（2026·江苏南通·中考真题）在某闭合电路中，经过电路的电流（单位：）与电阻（单位：）的数据如下表所示．
…
4
5
6
…
…
30
20
…
已知是的反比例函数，则表格中的值为（ ）
A．24 B．25 C．26 D．28
【答案】A
【分析】根据待定系数法求出与的函数关系式，再计算的值．
【详解】解：∵是的反比例函数，
∴设
将，代入，得，
∴关于的函数关系式为，
当时，，
解得，
∴．
6．（25-26八年级下·吉林长春·期末）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（ ）
A．与的函数关系式是
B．当时，
C．当时，
D．当时，的取值范围是
【答案】C
【分析】先求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、设与的函数关系式是，
∵图象经过点，
∴，解得，
∴与的函数关系式是，故A正确，不符合题意；
B、当时，，解得，故B正确，不符合题意；
C、 ∵反比例函数图象在第一象限，随的增大而减小，
∴当时，，故C错误，符合题意；
D、当时，，
当时，，
∴当时，的取值范围是，故D正确，不符合题意．
7．（2026·河北邯郸·模拟预测）已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，它们的函数关系图象如图所示．当电流I从增加到时，电阻R（ ）
A．减小了 B．减小了 C．增大了 D．增大了
【答案】A
【分析】先利用待定系数法求出电压的值，得到与的函数关系式，再分别计算电流为和时对应的电阻值，最后求差即可．
【详解】解：设，
由图象可知，函数图象经过点，
把，代入得：，
反比例函数的解析式为，
当时，，
当时，，
，
当电流从增加到时，电阻减小了．
8．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）图为某电子秤的实物图，图为其工作电路图，其工作原理为：电源两端电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知：①可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）满足图所示的一次函数关系；②定值电阻，总电阻；③电路中的电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例；④当在电子秤上放置质量为的物体时，电流表显示电流为．
(1)求可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间满足的函数关系式；
(2)求电流（单位：）与总电阻（单位：）之间满足的函数关系式；
(3)已知该电子秤正常工作的电流范围为（单位：），求该电子秤可称量物品的最大质量．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设关于的一次函数解析式为，代入图3给出的两组坐标点，求解待定系数得到函数关系式．
（2）设关于的反比例函数解析式为，先利用已知条件时的值，结合第一步得到的与的关系求出对应的，再计算总电阻，代入反比例式求解，得到与的函数关系式．
（3）因为电流越大总电阻越小，越小则物体质量越大，所以取电流最大值，代入与的关系式求出最小总电阻，再减去得到对应的，最后代入与的关系式求出最大质量．
【详解】（1）解：设关于的一次函数为．
由图3可知，该函数过点和：
把代入，
得；
把和代入，
得，
解得．
∴函数关系式为：．
（2）解：已知与成反比例，设（为定值，对应电源电压）．
当物体质量时，代入（1）的结论，
得，
总电阻，
此时．
将、代入反比例式，
得．
∴函数关系式为：．
（3）解：由可知，随的增大而减小：电流越大，总电阻越小，由知，对应的物体质量越大，
∴最大质量对应电流最大值．
把代入，
得，
解得总电阻；
由，
得；
把代入，
得，
解得，
∴电子秤可称量的最大质量为．
▌知识点03：力与力臂的反比例关系（杠杆原理）
根据杠杆平衡条件F1L1＝F2L2（F1为动力，L1为动力臂，F2为阻力，L2为阻力臂）。
当阻力F2和阻力臂L2不变时，动力F1与动力臂L1成反比例关系，可表示为F1＝（k＝F2L2为定值，且L1＞0）。
例如：用撬棍撬石头，动力臂越长，所需的动力越小，越省力。
9．（2026·河南平顶山·三模）公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德发现了杠杆平衡，如图1，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“动力动力臂阻力阻力臂”．如图2，若某科学实验小组成员设计了一套杠杆，其阻力和阻力臂不变，分别为1000N和0.5m，则下列说法错误的是（ ）
A．动力和动力臂之间的大致图象可以用图3表示
B．当动力臂为2m时，撬动石头需要的力量为250N
C．若想使动力不超过题中所用阻力的一半，则动力臂要比阻力臂长至少1m
D．利用此杠杆时，动力臂越长越省力
【答案】C
【分析】根据杠杆原理公式，代入已知的阻力和阻力臂的数值，推导得到关于的函数表达式，明确函数类型与自变量取值范围．
A选项，将推导得到的函数特征和图3的图象特征对比，验证是否一致．B选项，把给定的动力臂数值代入函数表达式，计算对应的动力．C选项，先确定阻力一半的数值，将其作为的上限代入函数，求解对应的动力臂最小值，再计算动力臂与阻力臂的差值．D选项，根据反比例函数的增减性，判断动力随动力臂变化的趋势．
【详解】对于A，∵，阻力和阻力臂不变，
∴，
即动力与动力臂成反比例函数关系，
此说法正确，不符合题意；
对于B，由图象知，反比例函数的解析式为，
当动力臂时，
撬动石头需要的力量．
此说法正确，不符合题意；
对于C，当时，，，
∴若动力不超过阻力1000N的一半，则动力臂要比阻力臂长至少0.5．
此说法错误，符合题意；
对于D，设动力与动力臂的函数关系式为．
根据反比例函数的性质可知，动力随动力臂的增大而减小，
∴动力臂越长越省力，
此说法正确，不符合题意．
综上，故选C．
10．（2026·江西上饶·一模）如图甲，根据杠杆原理，我们知道当杠杆水平平衡时，弹簧测力计的示数（单位：）与弹簧测力计与支点的距离（单位：）成反比例函数关系．已知它们之间的函数关系如图乙所示，那么当为时，弹簧测力计与支点的距离为______．
【答案】
【分析】先根据题意确定弹簧测力计关于的函数解析式，再根据反比例函数上点的坐标特征，即可求解．
【详解】解：根据题意设反比例函数的解析式为，
根据图乙可得，反比例函数的图象经过点，
把代入求得，
∴反比例函数的解析式为，
当时，代入得，
解得．
11．（2026·江苏泰州·二模）某物理实验小组在探究“杠杆平衡条件”时，记录了动力臂与对应动力的部分数据如下表：
动力臂
0.1
0.2
0.4
0.8
动力
20
10
5
2.5
观察表中数据发现，与的乘积始终为定值2．若该定值保持不变，当动力臂时，所需的动力______．
【答案】8
【分析】根据，代入即可求解．
【详解】解：由题意得，，
∴当时，．
12．（2026·河北石家庄·二模）杆秤是中国传统的不等臂杠杆式称重工具，是古代度量衡的代表．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆的端点处，提纽固定在点处，秤砣悬挂的位置记为点．杆秤称物符合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”．
设秤盘的质量为，秤砣的质量为，物体的质量为，，．根据杠杆原理、可得：．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点处．）
(1)已知一款秤杆长度，提纽到秤盘固定点距离；
①根据题意，求出关于的函数表达式；
②在秤杆上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点之间的距离；
(2)在（1）的条件下．由于秤砣生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为，若该物体的实际质量为，求生锈秤砣的质量；
(3)若杆秤可用长度，为保证杆秤的最大刻度不小于，请计算的取值范围．
【答案】(1)①；②零刻度所对应的点与点之间的距离为
(2)生锈秤砣的质量为
(3)
【分析】（1）①根据公式代入已知数量可得答案；②由零刻度时，，即可求解；
（2）根据题意可得当一个物体的质量为，，设生锈的秤砣的质量为，可得，即可求解；
（3）把 ，代入，可得，从而得到越大，越小，即可求解．
【详解】（1）解：① ，，，
，
．
②∵零刻度时， ，
．
∴零刻度所对应的点与点之间的距离为．
（2）解：∵当一个物体的质量为，
，
，
设生锈的秤砣的质量为，
，
解得：，
∴生锈秤砣的质量为．
（3）解：由题意得： ，代入．得：
，
，
，
越大，越小，
当时，，
．
▌知识点04：其他跨学科中的反比例关系（密度等）
常见关系：
1.
密度公式，当质量m一定时，密度ρ与体积V成反比例关系（，k＝m）；
2.
功的公式W＝Fs，当功W一定时，力F与在力的方向上移动的距离s成反比例关系（）。
解题时，先确定哪个量保持不变（即常数k），再建立反比例函数模型。
13．（2026·浙江·中考真题）【科学知识】①同一物体漂浮在不同的液体中，它在液面以下的体积与液体密度成反比例关系．②两种液体混合后密度满足：（其中，为两种液体的密度，，为两种液体的体积，为方便计算，假定）．
【问题解决】图1中的液体由的水与的溶液甲混合而成，为测算溶液甲的密度，小明将一正方体木块置于图1液体中，测得漂浮的正方体木块浸入液体的深度为；小明又将该木块置于图2的水中，测得漂浮的正方体木块浸入水的深度为．已知水的密度为，则溶液甲的密度为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设正方体木块底面积为S，混合液体密度为ρ ，先列方程求得，再根据题意列方程求解即可．
【详解】解：设正方体木块底面积为S，混合液体密度为ρ ，
∵同一物体漂浮在不同的液体中，它在液面以下的体积与液体密度成反比例关系，
∴，解得：，
由两种液体混合后密度公式可得：
，
解得：．
14．（2026·江苏宿迁·中考真题）小慧用小孔成像实验装置研究像高和物距的关系．在保持物体高度、小孔到光屏的距离不变的条件下，像高与小孔到物体的距离成反比例函数关系．已知当小孔到物体的距离为时，光屏上的像高为．若要使像高为，则小孔到物体的距离为____________．
【答案】
【分析】已知与成反比例函数关系，先设出反比例函数表达式，利用已知条件求出比例系数，再代入目标像高计算对应小孔到物体的距离即可．
【详解】解：设与的反比例函数解析式为，
将，代入解析式，得，
解得，
反比例函数解析式为，
当时，代入得，
解得，
即小孔到物体的距离为．
15．（2026·广东广州·中考真题）生活中有各式各样的电子屏幕，不同尺寸的屏幕，在同一分辨率下，像素密度也会不同．某班学生收集了在同一分辨率下，某些电子屏幕尺寸（单位：英寸）和像素密度（单位：）的相关数据，在图中描出了部分数据所对应的点，发现像素密度和屏幕尺寸之间近似存在一个函数关系．
(1)判断：是关于的__________函数（填“一次”或“反比例”）；
(2)求这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
(3)某电子屏幕尺寸为50英寸，根据（2）中求出的函数解析式，求它在该分辨率下的像素密度．
【答案】(1)反比例
(2)这个函数的解析式为；
(3)它在该分辨率下的像素密度为．
【分析】（1）根据图象得像素密度和屏幕尺寸之间近似存在反比例函数关系；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）把代入求解即可．
【详解】（1）解：根据图象得像素密度和屏幕尺寸之间近似存在反比例函数关系；
（2）解：设反比例函数解析式为，
将时，代入得：
，
解得，
∴这个函数的解析式为；
（3）解：把代入得
，
答：它在该分辨率下的像素密度为．
16．（26-27九年级上·全国·课后作业）浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度h（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度h（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度h与液体密度的对应关系（如下表）．
酒精
水
蜂蜜
浸没深度h（）
17.5
14
10
液体密度（）
m
1
n
(1)求出关于h的函数解析式；
(2)________，________；
(3)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围．
【答案】(1)
(2)0.8；1.4
(3)
【分析】（1）因为已知是的反比例函数，所以先设反比例函数的一般形式为，再将表格中水的、代入，求出常数，即可得到关于的函数解析式．
（2）因为已经得到函数解析式，所以将酒精对应的代入解析式可求出，将蜂蜜对应的代入解析式可求出．
（3）因为随的增大而减小，所以将最小浸没深度代入解析式得到最大密度，将最大浸没深度代入解析式得到最小密度，即可确定的范围．
【详解】（1）解：设反比例函数解析式为，
把，代入，得，
解得，
反比例函数解析式为．
（2）解：将酒精的浸没深度代入解析式，得，
将蜂蜜的浸没深度代入解析式，得；
（3）解：当时，；
当时，，
该密度计能测量的液体密度的范围为．
▌知识点05：跨学科问题中反比例函数解析式的建立与计算
步骤：
1. 明确跨学科情境中的常量（不变量）和变量；
2. 根据物理或科学公式写出变量间的等量关系，确定k的值；
3.
设反比例函数（注意自变量x＞0通常成立）；
4. 代入已知数据求未知量，或根据函数性质分析变化趋势；
5. 作答时注明单位，并结合实际意义检验（如电阻、面积、力臂等均为正数）。
例如：已知某物体质量为10kg，求密度ρ关于体积V的函数，由得（V＞0）。
17．（2026·河南平顶山·三模）新情境跨学科数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物的质量变化调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R（单位：）与物体质量m（单位：）之间的关系如图2所示，电流I（单位：）与可变电阻R之间的关系式为，其图象如图3所示，则下列说法正确的是（ ）
A．I随着m的增大而减小
B．电流I是可变电阻R的反比例函数
C．当物体质量为时，电流
D．若该款电子秤中的电路电流范围设定为，则该电子托盘秤不能称出物体的质量
【答案】D
【分析】根据图象可判断A，B，C选项，求出，然后结合得到，求出当时，m有最大值1.5，进而判断D．
【详解】解：由图2可知，R随m的增大而减小，由图3可知，I随R的增大而减小，
随着m的增大而增大，A选项错误；
由图3可知，I与R之间的函数图象与y轴有交点，故I不是R的反比例函数，B选项错误；
当时，由图2可知，；
当时，由图3可知，，C选项错误；
由题意，设，
将，代入，得
解得
．
又，
．
随着m的增大而增大，
当时，m有最大值1.5．
而，故该电子托盘秤不能称出物体的质量，D选项正确．
18．（2026·广东河源·二模）/跨学科/在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图像如图所示．根据图像，下列结论正确的是（ ）
A．该函数图像满足的表达式为
B．当振动弦长为时，振动频率为
C．当振动弦长时，振动频率
D．该函数图像与坐标轴有一个交点
【答案】B
【分析】首先结合图像确定该反比例函数的解析式，然后结合反比例函数的图像与性质，逐一分析判断即可．
【详解】解：设弦的振动频率与振动弦长的函数关系为，
由图可知，该函数图像经过点，即，
解得，
∴该函数图像满足的表达式为，故选项A错误，不符合题意；
当振动弦长为时，振动频率，B选项正确，符合题意；
∵，
∴该函数图像在第一象限内，随的增大而减小，
当振动弦长时，振动频率，
故选项C错误，不符合题意；
该反比例函数的图像只会与坐标轴无限接近，不会与坐标轴相交，
故D选项错误，不符合题意．
19．（2026·广东汕头·一模）跨学科题（数学＋物理）
某中学科技小组设计了一款节能小车，其动力由可充电电池提供．实验数据显示，小车行驶时的耗电量与速度成反比．当速度为米/秒时，电池每小时耗电量为度．
(1)求耗电量E（度/小时）与速度v（米/秒）的函数关系式；
(2)为确保小车在科技展上连续行驶至少小时，科技小组需将速度调整为，此时每小时耗电量降至．已知调整后的耗电量满足分式方程：．结合第（1）问的函数关系，求调整后的速度（米/秒）．
【答案】(1)
(2)米/秒
【分析】（1）设函数关系式为，再代入，求出的值即可求解；
（2）解分式方程求出的值，由（1）得，再代入的值，即可求出的值．
【详解】（1）解：设函数关系式为，
代入，得，，
解得，
∴耗电量E（度/小时）与速度v（米/秒）的函数关系式为；
（2）解：∵，
∴，
解得，
由（1）得，，
代入，得，
解得，
∴调整后的速度为米/秒．
20．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）杆秤体现了古代劳动人民的智慧，它的制作原理就是根据：杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力×动力臂=阻力×阻力臂，即．跨学科小组的同学，想制作一个简易杆秤（如图所示），它们利用一根长的均匀木杆，在木杆的中点并穿上细绳将木杆吊起．在距离点的左侧处垂直悬挂一个物体，物体重量（即）．在点的右侧挂上一个弹簧秤，竖直向下拉弹簧秤，使木杆处于水平静止状态．设此时弹簧秤与点的距离是，弹簧秤的示数是．完成下列问题：
(1)求关于的函数关系式；
(2)在右侧任意移动弹簧秤的位置，但使木杆始终保持水平静止状态，求的最小值．
【答案】(1)
(2)的最小值为
【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质是解题的关键．
（1）根据反比例函数的定义，运用待定系数法即可求解；
（2）根据反比例函数图形的性质即可求解．
【详解】（1）解：由题意设，把，代入，得，
∴关于的函数解析式为．
（2）解：由（1）可知，关于的函数解析式为，，表示弹簧秤与中点的距离，最大值是，
∵，
∴随的增大而减小，
∴把代入，得，
∴弹簧秤的示数的最小值为．
▌课时训练
一、选择题
1．（2026·内蒙古通辽·二模）某物体对地面的压力为，物体对地面的压强与受力面积之间的函数关系式为，该函数图象位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据实际意义确定自变量和函数值的取值范围，即可判断图象所在象限．
【详解】解：∵已知函数关系式为，，
∴当时，，
∵横坐标和纵坐标都为正，
∴该函数图象上所有点都在第一象限
∴该函数图象位于第一象限．
2．（2026·甘肃平凉·二模）古希腊著名的科学家阿基米德发现了“杠杆原理”，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．其实我国古代著作《天工开物》中记载的三千多年前古人利用桔槔在井上汲水就是利用了“杠杆原理”（如图1）．如图2，是古人利用桔槔在井上汲水的示意图，已知在处的力为，长为，则处的动力与动力臂（的长）的关系可以表示为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂即可求得.
【详解】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，
∴，
∴.
3．（25-26八年级下·上海普陀·期末）已知将相同质量的金属完全浸入盛满水的杯中，金属的密度与溢出的水的体积成反比例（常见金属密度如表所示）．如果将密度为的A种金属完全浸入盛满水的杯中，测得溢出的水的体积为，再将与A种金属质量相同的B种金属完全浸入盛满水的杯中后，测得溢出的水的体积为，那么B种金属的种类是（ ）
金属种类
密度（）
金
19.3
银
10.5
铜
8.9
铁
7.9
A．金 B．银 C．铜 D．铁
【答案】B
【分析】本题利用反比例函数的性质求解，根据密度与溢出体积成反比例得到定值（即金属质量），再计算B金属的密度，对照表格得到结果．
【详解】解：设金属密度为，溢出的水的体积为 ，
∵金属的密度与溢出的水的体积成反比例，且A，B金属质量相同，
∴（ 为定值，即金属质量），且
将A金属数据代入得：，，
∴
对B金属，，
∴.
对照表格可知，密度为的金属是银，因此B种金属为银．
4．（2026·河南驻马店·三模）智能机器人可以辅助或替代酒店的很多工作．某款智能机器人送餐时的电路原理图如图1所示，图中为电阻箱（一种变阻器，电阻阻值大小可调），为餐盘下的压力传感器，压力传感器的阻值随所受压力变化的函数图象如图2所示，下列说法正确的是（ ）
信息窗
1．电路中的（触发器电阻忽略不计）；
2．为保证智能机器人的正常运行，智能机器人送餐一次的最大送餐量（餐盘质量不计）为，压力为（g取），要求不低于．
A．压力传感器阻值随所受压力的增大而增大
B．当时，压力传感器阻值
C．当送餐量为时，
D．为保证智能机器人的正常运行，电阻箱阻值
【答案】C
【分析】根据函数图象逐项进行判断即可．
【详解】解：A．由图得，压力传感器阻值R随所受压力F的增大而减小，此选项错误；
B．由图得，当时，压力传感器阻值，此选项错误；
C．由图得，当送餐量为时，即当时，，此选项正确；
D．因为智能机器人送餐一次的最大送餐量的压力F为150N，所以由图得此时，因为要求不低于140Ω，所以，即，此时，因此为保证智能机器人的正常运行，电阻箱阻值，此选项错误．
二、填空题
5．（25-26八年级下·山西临汾·阶段检测）某算力中心总算力固定不变，完成全部运算任务所需时间：t（单位：）与在线算力节点数（单位：个）成反比例函数关系．已知开启40个算力节点工作时，完成全部任务需．若全部任务需在内完成，则至少需要开启__________个算力节点．
【答案】
【分析】根据题意求出反比例函数解析式即可得解．
【详解】解：根据题意设，
开启40个算力节点工作时，完成全部任务需，
，
解得：，
，
当时，，解得：，
若全部任务需在内完成，则至少需要开启个算力节点．
6．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）小国在学习了压强计算公式后，发现可以通过函数知识研究，，的关系．如图是他在压力一定的前提下画出的压强（单位：）与受力面积（单位：）的函数图象，根据图象信息，压力的大小是___________．
【答案】100
【分析】本题考查反比例函数的应用．根据函数图象经过的点坐标满足其函数解析式求解F值即可．
【详解】解：由函数图象可知，该函数的图象经过点，
∴，解得，
故答案为：100．
7．（2026·湖北武汉·二模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当时，电阻的值为__________．
【答案】
【分析】先设反比例函数解析式，将点代入求值和反比例函数的解析式，最后代入，即可求解电阻的值．
【详解】∵电流与电阻是反比例函数关系，
∴设，
∵由图象可知，点在反比例函数上，
∴，即，
∵，
∴．
8．（2026·吉林·模拟预测）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示，则密度关于体积V的函数解析式为_______________________．
【答案】
【分析】用待定系数法求解即可．
【详解】解：设密度关于体积的函数解析式为，
把点代入上式中得：，
解得：，
．
三、解答题
9．（2026·浙江丽水·二模）已知一张桌面所能承受的最大压强为（牛/平方米），有一个长方体铁块的长、宽、高分别为，，．小明和小聪在讨论能否把这个铁块放在这张桌面上．（铁的密度为，取）
小明：无论怎么摆放，应该都没问题．
小聪：不一定，根据所学知识，桌面所受的压强与压力、受力面积
小明：哦，铁块对桌面的压力是不变的……
(1)求出该铁块对桌面的压力．
(2)请用反比例函数的性质，说明能否把铁块放在这张桌面上．
【答案】(1)牛
(2)能放在桌面上，理由如下：
由（1）知，铁块对桌面的压力牛，
，
压强是关于受力面积的反比例函数，
在每一个象限内，随的增大而减小，
当取最大压强时，受力面积最小取到平方米，
当受力面积为平方厘米平方米平方米，
这样放置能放在桌面上．
【分析】（1）根据密度公式求出铁块的质量，再求出铁块的重力，利用“水平面上物体对接触面的压力等于自身重力”求解即可；
（2）由于压力固定时，则压强与受力面积满足反比例函数关系，利用桌面所能承受的最大压强，求出桌面能承受的最小受力面积，计算铁块摆放的受力面积，与桌面能承受的最小受力面积比较求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：铁块的质量为克千克，
铁块的重力为牛，
该铁块对桌面的压力牛；
（2）略
10．（2026·河南三门峡·二模）小明在野外考察时，准备利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，小明知道，当压力不变时，压强与受力面积存在一定的函数关系，为研究这个关系，小明借助自身体重，利用若干大小不同的木板（质量不计）和电子压强计进行实验，每次实验小明均竖直站立在木板上，用电子压强计测量木板对地面的压强，经过多次实验，得到了木板对地面的压强与木板面积的部分对应值，如下表：
木板面积
0.5
1
1.5
2
2.5
3
木板对地面的压强
600
300
150
120
100
(1)求与之间的函数关系式及表中的值．
(2)在如图所示的平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．
(3)资料显示：这片烂泥湿地所能承受的最大压强为．小明若用一块面积为的木板，则他能否安全通过这片烂泥湿地？若能，求湿地所承受的压强；若不能，则木板面积至少需要比原来增加多少平方米才能安全通过？
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)不能，木板面积至少需要比原来增加才能安全通过
【分析】（1）根据表格中数据可判断与之间是反比例函数关系，设，代入一组对应值求得的值即可；将代入关系式，求的值．
（2）根据表格中数据描点，用平滑曲线顺次连接这些点可得反比例函数的图象．
（3）求出时的值，与最大压强比较，即可判断能否安全通过；求出时的值，进而计算木板面积的增加量．
【详解】（1）解：由表格中数据可知，与之间是反比例函数关系，
设与之间的函数关系式为，
把代入，得，
解得，
故与之间的函数关系式为．
当时，
；
（2）解：描点、画出该函数图象如图所示．
（3）解：不能．
将代入，得．
∴小明不能安全通过．
由（1）可知时，．
结合图象可知，当时，，
故木板面积最小为，
，
故木板面积至少需要比原来增加才能安全通过．
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