9月学情自测卷（测试范围：第1～2章）2026-2027学年浙教版八年级数学上学期

**基本信息** 立足八年级数学第1-2章核心内容，通过放风筝测高、剑江河露营地规划等生活情境与三角形折叠、等边三角形探究等几何问题结合，梯度覆盖基础概念（命题、三角形三线）到综合应用（勾股定理、全等证明），培养抽象能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|命题概念、三角形三边关系、全等条件|第9题折叠长方形，融合轴对称与方程思想| |填空题|6/18|逆命题真假、镜面对称、直角三角形中点|第15题等边三角形中线探究，多结论辨析| |解答题|8/72|勾股定理应用、全等证明、垂直平分线性质|20题放风筝问题，用数学语言解决实际高度与收线长度；23题四边形综合，分层考查推理能力|

2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （测试范围：第1～2章） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列语句中，不属于命题的是（     ） A．两直线平行，内错角相等 B．如果，那么，互为相反数 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．探究三角形的外角和 2．已知三角形的三边长分别为，，，则x不可能是（     ） A． B． C． D． 3．如图，、、分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知，要使，只需要添加一个条件是（     ） A．B． C． D． 5．如图，的外角平分线交射线于点在延长线上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图， 中，为直线上一动点，连接，则线段 的最小值是（     ） A．3 B．3.6 C．4.8 D．5.2 7．如图，在中，，点是的中点，点是边上一点，且，连接．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，是的平分线，F是延长线上一点，且于点D，，，则（     ） A．88° B．85° C．65° D．72° 9．如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，中，是的中点，，，交于，则的值为（　　） A． B．1 C．3 D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．请你写出一个真命题，使其逆命题为假命题．真命题是______，它的逆命题是______命题．（填“真”或“假”） 12．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 13．如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则的度数为______________________． 14．如图，在四边形中，，若，则的度数为_________ ． 15．如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使，连接．有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的是___________．（填序号） 16．如图，在中，，，以斜边为边向外作正方形，连接，若正方形的面积为74，则的长为__________． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为，求的长； (2)当为的角平分线时，若，，求的度数． 18．如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，， (1)求证： (2)若，，求的长． 19．如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点F，E，，是的一条角平分线． (1)与垂直吗？请说明理由． (2)若的周长为26，，求的长． 20．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为16米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为34米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想要风筝沿方向下降18米，则他应该往回收线多少米？ 21．剑江河发源于斗篷山，谷江、杨柳街河、邦水河、清塘河等九条支流在此汇合，自古得名“九溪归一”．如图，在剑江河笔直的河流一侧有一露营地A，沿河步道设有两个观景打卡点B，C．已知，为方便游客，计划在沿河步道建一处休憩平台D（B，C，D三点在同一直线上），并修建一条观光小路，测得，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求原路线的长． 22．已知：如图，是等边三角形，点、分别在边、上，，过点作，点在射线上，． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 23．在四边形中，点F在边上，，连接，于E，连接交于点M． (1)求证：； (2)若，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求． 24．在中，延长到，使，在上方，右侧一点，且，连接． (1)如图1，求证：； (2)若，将沿直线翻折得到，连接交于． i）如图，若，求证：为的中点； ii）如图，交于点，若，求． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 (测试范围：第1~2章) 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列语句中，不属于命题的是() A.两直线平行，内错角相等 B.如果a+b=0,那么a,b互为相反数 C.平行于同一条直线的两条直线互相平行 D.探究三角形的外角和 【答案】D 【分析】根据命题的定义，判断一件事情的语句叫做命题，据此对各选项进行判断即可得到 答案 【详解】解：A.“两直线平行，内错角相等”，对位置关系和角的关系做出判断，属于命 题； B.“如果a+b=0,那么a,b互为相反数”，对a,b的关系做出判断，属于命题； C.“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，对两条直线的位置关系做出判断，属于命 题； D.“探究三角形的外角和”只是描述操作，没有对任何事情做出判断，不属于命题。 试卷第1页（共3页） 2.已知三角形的三边长分别为3Cm,5cm,x,则x不可能是() A.3cm B.5cm C.7cm D.8cm 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系，即三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三 边，求出第三边x的取值范围，再判断选项即可得到答案 【详解】解：，三角形两边长分别为3cm和5cm,第三边长为xCm, .5-3<x<5+3,即2<x<8, 8cm不在2<x<8范围内，3cm,5cm,7cm在2<x<8范围内， ∴.x不可能是8cm 3.如图，CD、AE、CF分别是△ABC的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的 是() ∠CAE=∠CAB A.CD⊥AB B C.AF=BF D.BE=CE 【答案】D 【分析】根据三角形的高线、角平分线、中线的定义判断即可. 试卷第2页（共3页） 【详解】解：：CD是高线， .CD⊥AB,故选项A正确： AE是角平分线， ZCME=∠BAc∠BAC故选顶B正确 2 CF是中线， .AF=BF,故选项C正确： 无法证明BE=CE,故选项D错误. 4.如图，己知∠A=∠D,要使△ABC≌△DBC,只需要添加一个条件是() A.∠ABC=∠DBCB.AB=DB C.AC=DC D.∠ACD=∠ABC 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可. 【详解】解：A、根据∠ABC=∠DBC,∠A=∠D和BC=BC能推出 △ABC≌DBC(AAS),故本选项符合题意： B、根据∠A=∠D,AB=DB,BC=BC不能推出△ABC≌△DBC,故本选项不符合 试卷第3页（共3页） 题意； C、根据AC=DC,BC=BC和∠A=∠D不能推出△ABC≌△DBC,故本选项不符合 题意； D、根据∠ACD=∠ABC,BC=BC和∠A=∠D不能推出△ABC≌△DBC,故本选项 不符合题意. 5.如图，△MBC的外角平分线4D交射线BC于点D,E在BA延长线上，若∠B=3S, ZDME=60°，则∠ACD 度数为() E B A85° B.95° C.100° D.105° 【答案】B 【分析】利用角平分线的定义求得∠CAE的度数，利用邻补角的定义求得∠BAC的度数， 再利用三角形的外角性质求解即可， 【详解】解：：AD平分∠CAE,∠DAE=60°， .∠CAE=2∠DAE=120°， .∠BAC=180°-∠CAE=60°， 试卷第4页（共3页） ∴.∠ACD=∠B+∠BAC=35°+60°=95° 6.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,AB=10,P为直线AB上一动 点，连接PC,则线段PC的最小值是() A.3 B.3.6 C.4.8 D.5.2 【答案】C 【详解】解：点到直线的距离，垂线段最短， .当PC⊥AB时，PC的值最小， 在Rt△ABC中， :∠ACB=90°，AC=6,BC=8,AB=10, 1 A)ABPC=2AC-BC,即：10PC=6x8 .PC=4.8 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是AB的中点，点D是AC边上一点，且 DE1AB,连接DB.若MC=6,BC=3,则CD的长为《) 试卷第5页（共3页） 9 11 A.4 B.2 C.2 D.3 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出BD=AD,设CD=x,在Rt△BCD中利用勾股 定理列方程求解. 【详解】解：点E是AB的中点，DE⊥AB,DE垂直平分AB, .:'BD=AD, 设CD=x, .BD=AD=AC-CD=6-x, 在RIABCD中，BD2=CD2+BC2, :.(6-x)2=x2+32 解得x=4, :CD=9 8.如图，在△ABC中，AE是∠BAC的平分线，F是AE延长线上一点，且FD⊥BC于点 D,∠B=28°，∠F=18°，则∠BAC=() 试卷第6页（共3页） A.88° B.85 C.65° D.72° 【答案】A 【分析】利用直角三角形两锐角互余求出∠DEF,根据对顶角相等得到∠AEC,再利用三 角形外角性质求出∠BAE,最后根据角平分线定义计算即可. 【详解】解：FD⊥BC, ∴.∠FDE=90° .∠F=18° ∴.∠DEF=90°-∠F=72° .∠AEC=∠DEF ∴.∠AEC=72° :∠AEC=∠B+∠BAE∠B=28° ∴.∠BAE=72°-28°=44° :B平分∠BAC, ∴.∠BAC=2∠BAE=88° 试卷第7页（共3页） 9.如图，折叠长方形的一边AD,使点D落在边BC的点F处，己知 AB=8cm,BC=10cm, 则线段EF的长为() D A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 【答案】C 【分析】根据四边形ABCD是长方形，则AB=CD=8cm,AD=BC=10cm, ∠ABC=∠BCD=∠ADC=90° 由折叠的性质可知AF=AD=I0cm.DE=FE CE=CD-DE=8-DE=8-EF ，由勾股定理得 BF=6cm,则 CF=BC-BF=4cm,在Rt△CEF中，由勾股定理得到CF+CE=EF, 解方程即 可. 【详解】解：：四边形ABCD是长方形， :.AB=CD=8cm,AD=BC=10cm,∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°， :折叠长方形的一边AD,点D落在BC边的点F处， .AF=AD=10cm,DE=FE, :.CE=CD-DE=8-DE=8-EF, 试卷第8页（共3页） :.BF=VAF2-AB2=V102-82=6(cm), ∴.CF=BC-BF=4cm, 在RtACEF中，由勾股定理得到CF2+CE2=EF2,即4+(8-EF}'=EF2, 解得EF=5cm. 10.如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB,∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥AC 交4C于F,AC=12,BC=9,则CF的值为《) A.2 B.1 C.3 D. 2 【答案】D 【分析】连接BE,过点E作EGLBC,交BC的延长线于点G,证明 △ADE≌△BDE,△AFE≌ABGE,△EFC≌AEGC ，进一步结合全等三角形的性质即可得到 答案。 【详解】解：连接BE, :D是AB的中点，DE⊥AB,EF⊥AC 试卷第9页（共3页） :AD=BD,∠ADE=∠BDE=909, DE=DE, :.△ADE≌aBDE(SAS) .'AE=BE 过点E作EG⊥BC,交BC的延长线于点G, B D .∠ACE+∠BCE=180°，∠GCE+∠BCE=180°， ∴.∠ACE=∠GCE, EF L AC,EC=EC .EF=EG, ·.△AFE≌aBGE(HL),AEFC≌AEGC(HL) .AF BG,CF=CG. .AF=BG=BC+CG=BC+CF=BC+AC-AF :2AF=BC+AC, AC=12,BC=9 试卷第10页（共3页） AF=21 , CF=AC-AF=12- 213 22 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11.请你写出一个真命题，使其逆命题为假命题.真命题是 它的逆命题是 命 题.（填“真”或“假”） 【答案】 对顶角相等 假 【分析】写出一个真命题，交换命题的条件与结论得到逆命题，再判断逆命题的真假即可. 【详解】解：命题“对顶角相等”是真命题； 交换原命题的条件和结论，得到逆命题：相等的角是对顶角： 等腰三角形的两个底角相等，但这两个角不是对顶角，因此该逆命题不成立，是假命题。 12.小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的 实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是 2051 1205 1021 从镜面中 电子钟的 镜面中的时间 看到的时间对称轴实际时间 图1 图2 【答案】15：01 【分析】实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，据此解答即可. 试卷第11页（共3页） 【详解】解：根据实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称可知： 时间应该是1501 13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,∠BCD=20°，E是斜边 的中点，则∠DCE AB 的度数为 B 0 【答案】50°/50度 【分析】先根据直角三角形斜边中点的性质可得∠B=∠BCE，再由垂直可得∠B的度数， 由此可解. 【详解】解：：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是斜边AB的中点， .CE-TAB BE-1AB 2 .CE=BE, .∠B=∠BCE, ,CD⊥AB,即∠BDC=90° 又：∠BCD=20°， .∠B=90°-20°=70°， .∠BCE=70°， 试卷第12页（共3页） .∠DCE=70°-20°=50° 14.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2,CD=1,AD=3,若∠B=90°，则∠BCD 的度数为 【答案】135° 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股逆定理，三角形内角和性质，等边对等角，先结合 ∠B=90°，AB=BC=2,得AC2=8,∠ACB=∠CAB=45°，又因为 CD=1,AD=3 故AD=AC+CD,所以∠ACD=90°，即可计算出∠BCD的度数，即可作答。 【详解】解：连接AC,如图所示： ∠B=90°.AB=BC=2, AC2=2+22=8,∠ACB=∠CMB=180°-90 2 459 试卷第13页（共3页） .CD=1,AD=3 :AD2-CD2=32-1P=8 则AC2=AD2-CD2 即AD=AC2+CD2 ∴.∠ACD=90°， ∴.∠BCD=45°+90°=135° 故答案为：135° I5.如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E,使CE=CD,连接DE .有下列结论：①BD⊥AC;②BD平分∠ABC;③BD=DE;④LBDE=120°.其中正 确的是 (填序号) B 【答案】①②③④ 【分析】根据等边三角形的性质及等边对等角依次判断即可. 【详解】：△ABC是等边三角形，BD是中线， .BD平分∠ABC;BD⊥AC;故①②正确： 试卷第14页（共3页） .∠ACB=∠CDE+∠DEC=60°， 又CD=CE, .∠CDE=∠DEC=30°， .∠CBD=∠DEC=30°， .DB=DE .∠BDE=∠CDB+∠CDE=120°，故③④正确， 综上其中正确的是①②③④. 16.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=5,以斜边AB为边向外作正方形ABDE, 连接CE,若正方形ABDE的面积为74，则CE的长为 【答案】13 【分析】根据正方形面积求出AB的平方，利用勾股定理求出BC的长；作辅助线构造全等 三角形△AEF≌△BAC,得出EF和AF的长，最后在Rt△CFE中利用勾股定理求解. 【详解】解：：正方形ABDE的面积为74， .AB2=74 试卷第15页（共3页） 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5, 由勾股定理得：BC=VAB2-AC2=V74-25=7, 延长CA,过点E作EF⊥CA的延长线于点F, 四边形 是正方形， B ABDE ∴.AE=AB∠EAB=90° .EF⊥CF ∴.∠EFA=90° ∴.∠EFA=∠ACB :∠EAF+∠BAC=180°-∠EAB=90°∠ABC+∠BAC=90° ∴.∠EAF=∠ABC 在△AEF和△BAC中， ∠EFA=∠ACB ∠EAF=∠ABC AE=BA ∴.△AEF≌△BAC(AAS) ∴.EF=AC=5AF=BC=7 ∴.CF=AC+AF=5+7=12 试卷第16页（共3页） 在Rt△CFE中，由勾股定理得：CE=VCF2+EF2=V12+52=13 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） I7.如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD. (I)当AD为边BC上的中线时，若AE=5,△ABC的面积为30，求CD的长； 2)当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C=50°，∠B=30°，求∠DAE的度数. 【答案】(1)6 e10. 【分析】(I)利用三角形面积公式求出底边BC长度，结合中线定义得到CD为BC的一半 算出线段长即可： (2)利用三角形内角和为180°，角平分线定义，直角三角形两锐角互余结合等量关系求解 即可. 【详解】(1)解：：AE为边BC上的高，AE=5,△ABC的面积为30， 1 ×BC×AE=30 2 ∴.BC=12 试卷第17页（共3页） :AD为 BC上的中线， “点D为BC的中点， BC :.CD-1BC-6 (2)解：：∠C=50°，∠B=30°，AE为边BC上的高， ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=100°∠EAC=90°-∠C=40° :AD为∠BAC 角平分线， ÷∠DAC=∠BAC=50° ∴.∠DAE=∠DAC-∠EAC=10° 18.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC,点D为直线AB上方一点，且 ∠ADB=90°CE⊥AD (I)求证：△ACE≌△BAD (2)若BD=9,CE=20,求DE的长. 【答案】(I)证明：：∠CAB=90°，∠ADB=90°，CE⊥AD, ∴.∠CAB=∠AEC=∠BDA=90° 试卷第18页（共3页） ·∠ACE+∠CAE=90°∠BAD+∠CAE=90° ∴.∠ACE=∠BAD 在△ACE和△BAD中， ∠AEC=∠BDA=90° ∠ACE=∠BAD AB=AC :.△ACE≌aBAD(AAS): 311 【分析】(I)由题意易得∠CAB=∠AEC=∠BDA=90°，则有∠ACE=∠BAD,然后根 据全等三角形的判定定理可进行求证： (2)由(1)可知AE=BD=9,AD=CE=20,然后问题可求解. 【详解】(1)略 (2)解：·△ACE≌ABAD, ∴.AE=BD=9AD=CE=20 ∴.DE=AD-AE=20-9=11 19.如图，在△MBC中，边AB的垂直平分线EF分别交边1B,BC于点A,E,BE=AC ,AD是△ACE的一条角平分线. 试卷第19页（共3页） O)AD与BC 直吗？请说明理由. 2)若△ABC的周长为26，AF=5,求BD的长. 【答案】(1)垂直，理由如下： .EF垂直平分AB .AE=BE .BE=AC AF=AC 。 :AD是△ACE的一条角平分线 :.∠DAC=∠DAE .AD=AD ·.△ADC≌△ADE(SAS) :∠ADC=∠ADE .∠ADC+∠ADE=1800 ·∠ADC=∠ADE=90° .AD⊥BC: (2)8 试卷第20页（共3页） 【分析】(1)先由线段垂直平分线的性质结合BE=AC得到AE=AC,再证明 △ADC≌△ADE(SAS)即可； (2)由全等三角形可得CD=DE,而AC=AE=BE,AF=BF=5,再由三角形周长 公式求解即可 【详解】(1)略 (2)解：.△ADC2△ADE CD=DE 由题意得，AF=BF=5, 由(I)可得，AC=AE=BE :△ABC的周长为26 AC+CD+DE+BE+AF+BF=26 AC+CD+DE+BE=16 .DE+BE=16÷2=8 20.“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节.某校八年级某班的 小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为16米： ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为34米； 试卷第21页（共3页） ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米. B D 77777777777 (I)求风筝的垂直高度CE； 2)如果小明想要风筝沿CD方向下降18米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的高度CE为31.7米 (2)他应该往回收线14米 【分析】(I)利用勾股定理求出CD的长度，再加上DE的长度，即可求出CE的高度： (2)根据勾股定理即可得出结论， 【详解】(I)解：在RtACDB中， 由勾股定理得，CD2=BC2-BD2=342-162=900 ∴.CD=30 米（负值舍去）， ∴.CE=CD+DE=30+1.7=31.7 (米)· 答：风筝的高度CE为31.7米 (2)解：由题意得，CM=18米， 试卷第22页（共3页） 米， B D g,.DM=12 :.BM=DM2+BD2=V122+162=20(米)， ∴.BC-BM=34-20=14 (米)， 14 他应该往回收线4米. 21.剑江河发源于斗篷山，谷江、杨柳街河、邦水河、清塘河等九条支流在此汇合，自古得 名“九溪归一”·如图，在剑江河笔直的河流一侧有一露营地A,沿河步道设有两个观景打 卡点B,C.己知BA=BC,为方便游客，计划在沿河步道建一处休憩平台D(B,C,D三 点在同一直线上)，并修建一条观光小路D,测得AC=l.5km,DC=0.9km AD =1.2 km ---B--D-------C- (I)判断△ACD的形状，并说明理由； (2)求原路线AB的长. 试卷第23页（共3页） 【答案】(I)解：△ACD为直角三角形，理由如下： AC=1.5DC=0.9AD=1.2 .AD2+DC2=1.22+0.92=2.25AC2=1.52=2.25 :AD2+DC2=AC2 ∴.△ACD 为直角三角形. ②)原路线AB的长为 1.25km 【分析】(1)利用勾股定理的逆定理求解即可： (2)设BD=xkm,则BA=BC=(x+0.9)km,再利用勾股定理求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：设BD=xkm,则BA=BC=(r+0.9)km 由(1)知△ACD为直角三角形， .AD⊥BC :△ABD为直角三角形， ..AD2+BD2 AB2 即1.2+x=(x+0.9)2, 解得x=0.35, AB=0.35+0.9=1.25(km) 原路线AB的长为 .25km 试卷第24页（共3页） 2.已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，DEl14C,过 点C作CN川B,点F在射线CN上，∠AEF=60 (I)求证：△BDE是等边三角形： (2)求证：AE=EF, 【答案】(I)证明：：△ABC是等边三角形， ∴.∠BAC=∠BCA=60° .DE‖AC ∴.∠BDE=∠BED=∠BAC=∠BCA=60° ∴.△BDE 是等边三角形： (②)证明：：△BDE是等边三角形， ∴.BD=BE .△ABC 是等边三角形， ∴.BA=BC BA-BD=BC-BE,即DA=CE .DE‖AC 试卷第25页（共3页） ∴.∠DEA=∠EAC .∠AEF=60° ∴.∠DEA+∠FEC=∠DEC-∠AEF=120°-60°=60° ∴.∠DAE=60°-∠EAC=60°-∠DEA=∠CEF .CN‖AB ∴.∠ECF=180°-∠B=120° .·∠ADE=180°-∠BDE=120° ∴.∠ADE=∠ECF 在△ADE与△ECF中， 「∠DAE=∠CEF AD=EC ∠ADE=∠ECF' .△ADE≌△ECF(ASA) ∴.AE=EF 【分析】(1)利用平行线的性质可得∠BDE=∠BED=60°，即可解答： (2)证明△ADB≌aECF(4SM)即可解答. 【详解】(1)略 (2)略 试卷第26页（共3页） 23.在四边形ABDC中，点F在边AB上，DF=CD,连接CF,DE⊥CF于E,连接 交 F于点M. B D M E (I)求证：FE=CE: (2)若∠B=90°，∠AFD+∠ACD=180°，求证：∠DAB=∠DAC: 3)在(2)的条件下，若AC=6BF,ME=1,求MF. 【答案】(I)证明：·DF=CD,DE⊥CF, ∴.FE=CE (②)证明：作DN⊥AC于点N, B D M E C.∴.∠DWC=∠DBF=90° .∠AFD+∠ACD=180°，∠AFD+∠BFD=180° ∴.∠BFD=∠DCN .DF =CD. 试卷第27页（共3页） .△DBF≌ADNC(AAS) ∴.DB=DN DN⊥AC∠B=90° ∴.AD平分∠BAC, ∴.∠DAB=∠DAC 3)MF=4 【分析】(1)根据等腰三角形性质证明结论即可； (2)作DN⊥AC于点N,证明△DBF≌aDNC(AAS),得出DB=DN,进而得出AD平 分∠BAC,即可得出结论； AF FM (3)作MP⊥AB于点P,作MQ⊥AC于点O,证明ACCM，证明 AF 2 FM △ADB≌aADN(AAS)得出AN=AB,得出AC3CM,设FM=2k,CM=3k,求 出FE=CE=2.5k,结合ME=1,求出k值即可求出结论. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：作MP LAB于点P,作M01AC于点O, 试卷第28页（共3页） B P D M :AD平分∠BAC, ∴MP=Mg 1 S,4=2 AF.MP AF 「SAMc AC.MO AC, S.AME FM 同理：SAMC CM, AF FM AC CM, 由(2)知， △DBF≌△DNC(AAS) ∴.BF=NC AC=6BF .∴.AC=6NC .AN =5NC,AN5 AC6, .·∠DAB=∠DAC,∠B=∠AND=90°，AD=AD .△ADB≌△ADN(AAS) 试卷第29页（共3页） .AN=AB=5NC,AF=AB-BF=5NC-NC=4NC .4F=4_2_FM AC 6 3 CM, 设FM=2k,CM=3认 则CF=5k, ∴.FE=CE=2.5k ∴.ME=EF-FM=2.5k-2k=0.5k=1 .k=2 ∴.MF=2k=4 24.在△ABC中，延长AC到D,使CD=AB,E在AD上方，BC右侧一点，且 ∠A=∠BCE=∠D ，连接 BE B B B H A 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：△ABC≥aDCE: 2)若∠ACB=90°，将DE沿直线CD翻折得到DE,连接BE交CE于F. )如图2，若BE'∥ED,求证：F为BE'的中点； 试卷第30页（共3页） i)如图3，BE'交CD于点G,若∠ABC=4∠CBG,求∠BFC. 【答案】(I)证明：：∠ABC+∠A=∠BCD,∠BCE+∠ECD=∠BCD,∠A=∠BCE ∴.∠ABC=∠ECD 在△ABC与△DCE中， ∠ABC=∠ECD AB=CD ∠A=∠D :.△ABC=aDCE(ASA) ②)D证明：同(I)得△ABC兰ADCE(ASM)） ∴.BC=CE∠ACB=∠DEC=90° 连接CE,如图， B E 将 沿直线 翻折得到 D DE CD DE' ∴.CE=CE'=CB BE∥ED ∴.∠CFE'=∠DEC=90° .CF⊥BE 试卷第31页（共3页） 由三线合一得：F是BE的中点. i)135° 【分析】(I)由∠ABC+∠A=∠BCD,∠BCE+∠ECD=∠BCD,∠A=∠BCE,得 ∠ABC=∠ECD ,即可求解： (2)i)由△ABC兰△DCE和翻折得CE'=CB,由BE∥ED得∠CFE'=∠DEC=90°， 即CF⊥BE,由三线合一得F是BE的中点： i)连接EG,延长EG、BC交于M,设∠CBG=x°，∠ABC=4x°，证明 △BGC兰aCGM(ASM,可得BC=CM,∠CBG=∠M=x°，而△ABC兰△DCE(ASM) ,有BC=CE,∠ABC=∠DCE=4x°，故CE=CB=CM, ∠BCE=90°-∠DCE=90°-4x° ,可得 ∠CBE=∠CEB=(I80°-∠BCE)÷2=45+2xr°，∠CEM=∠CME,从而 ∠BEM=∠CEB+∠CEM=)×180°=90°，求出x的值，再利用三角形内角和定理即可 得到∠BFC的度数. 【详解】(1)略. (2))略. i)解：连接EG,延长EG、BC交于M,如图： 试卷第32页（共3页） B G E 设∠CBG=x°， .∠ABC=4∠CBG ∴.∠ABC=4x° ”将DE沿直线 CD 翻折得到DE ∴.∠DGE=∠DGE' .'∠DGE=∠CGM∠DGE'=∠BGC ∴.∠BGC=∠CGM 在△BGC与△CGM中， ∠BGC=∠CGM CG=CG ∠BCG=∠MCG' .ABGC兰ACGM(ASA) ∴.BC=CM∠CBG=∠M=x° 同(I)知，△ABC≥aDCE(ASM) ∴.BC=CE∠ABC=∠DCE=4x° 试卷第33页（共3页） ∴.CE=CB=CM∠BCE=90°-∠DCE=90°-4x° :∠CBE=∠CEB=(I80°-∠BCE)÷2=45°+2x°，∠CEM=∠CME, ∠BEM=∠CEB+∠CEM=×180°=90° ∴.∠CBE+∠M=90°mm45°+2x°+x°=90° ，即1 解得x=15, ∴.∠CBG=15°∠BCE=90°-4x°=30° ∴.∠BFC=180°-∠CBG-∠BCE=135° 试卷第34页（共3页）