精品解析：福建省龙岩市某校2025-2026学年高一下学期期中模拟数学试题

2028届高一下学期半期考模拟 数 学 试 题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则=（　　） A. B. C. D. 2. 若平面向量与方向相反，且，则（　　） A. B. C. D. 3. 已知一个圆柱与一个圆台的高和体积都相等，圆柱的底面半径是，圆台的上底面半径是1，则圆台的下底面半径是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4. 设是非零向量，则是成立的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（ ） A. B. C. 4 D. 8 6. 下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．其中正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 用一个平面去截正方体，不可能截得的是以下平面图形中的（ ） A. 正三角形 B. 梯形 C. 直角三角形 D. 矩形 8. 如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（    ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，则下列命题正确的是（ ） A. 若复数，则在复平面内对应的点在第四象限 B. 若，则的最大值为2 C. 若，则或 D. 若复数是纯虚数，则或 10. 如图，矩形是圆柱的轴截面，，为的中点，为的中点，则（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 三棱锥的体积为 C. 圆柱的外接球的表面积为 D. 平面 11. 已知点为所在平面内一点，满足，（其中）（ ） A. 当时，直线过边的中点 B. 若时，与的面积之比为 C. 若，且，则 D. 若，且，则满足 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图所示，是长方体的一条棱，这个长方体中与异面的棱有________条． 13. 如图，在中，分别为边上的点，且，AE与CD交于点P，记，，．若，，，求的余弦值为___________． 14. 在中，，为中点，，则面积的最大值为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量 （1）若 求A； （2）若 求的面积. 16. 如图，在直三棱柱中，，点为的中点.在中，内角的对边分别为，若的面积为. （1）求证：平面； （2）求； （3）求三棱锥的体积. 17. 位于唐山市中心区的凤凰山，山势挺拔秀丽，苍松翠柏密布，因前山如凤凰展翅故名．古朴典雅的八角重檐凤凰亭矗立在山巅，登二楼平台眺望，唐山美景一览无余．某测量小组为测量山的高度，建立了如图所示的数学模型三棱锥C–OAB，OC垂直水平面OAB，点C代表凤凰亭的上顶点，A，B两点代表山脚地面上的两个观测点，同学甲在A处测得仰角为45°，同学乙在B处测得仰角为30°，同学丙测得两个观测点之间的距离AB为90米．（附：若一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线．） （1）求； （2）同学甲测出∠CAB为钝角，同学乙测算出，求山高的近似值OC． 18. 在四面体中，、分别是、的中点，点、分别是、边上的点，且． （1）求证：、、、四点共面； （2）若四面体为棱长为6的正四面体， ①求该正四面体外接球的表面积； ②求四边形的周长． 19. 如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设，分别为Ox，Oy正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中． （1）若向量，求． （2）已知向量，，证明：． （3）若向量，的斜坐标分别为和，，设函数，，． ①证明：有且只有一个零点． ②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高一下学期半期考模拟 数 学 试 题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则=（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，， . 2. 若平面向量与方向相反，且，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线设出向量的坐标，然后由向量的模的坐标表示列方程可解. 【详解】因为与方向相反，且， 所以， 所以，解得， 所以. 3. 已知一个圆柱与一个圆台的高和体积都相等，圆柱的底面半径是，圆台的上底面半径是1，则圆台的下底面半径是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】设圆柱的高为，圆台的下底面半径为，则圆台的高为， 圆柱的体积为， 所以圆台的体积为，解得（舍去）. 4. 设是非零向量，则是成立的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分、必要条件，以及向量共线等知识确定正确答案. 【详解】对于非零向量， 若，则同向，不一定有； 若，则同向，此时. 所以是成立的必要不充分条件. 故选：C 5. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】先余弦定理可得，再由同角三角函数关系式可得，从而可求三角形的面积. 【详解】由，，，由余弦定理得， 又因为，所以， 所以. 故选：A 6. 下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．其中正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行判定定理判定①，③，④，应用线面平行判断线线平行判定②. 【详解】①中可能在内，①错误； ②中与可能相交或平行或异面，②错误； ③中也可在内，③错误； ④中与也可能异面，④错误． 故选：A. 7. 用一个平面去截正方体，不可能截得的是以下平面图形中的（ ） A. 正三角形 B. 梯形 C. 直角三角形 D. 矩形 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合正方体的几何结构特征，以及正方体截面的性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，在正方体中，连接， 此时截面为等边三角形，所以A不符合题意； 对于B中，取的中点分别为，连接， 可得，且，所以， 所以截面为等腰梯形，所以B不符合题意； 对于D中，在正方体中，截面为矩形，所以D不符合题意； 对于C中，在分别取点，设， 可得， 则， 同理可得：，所以均为锐角， 所以截面为锐角三角形，所以C符合题意. 故选：C. 8. 如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出圆锥侧面展开图，根据最短路程和母线长，利用余弦定理可求得侧面展开图扇形的圆心角，结合扇形弧长公式和勾股定理可求得圆锥底面半径和高，代入圆锥体积公式即可. 【详解】设圆锥的顶点为，以母线为轴可作出圆锥侧面展开图如下图所示， 小虫爬行的最短路程为，，又， ，， 设圆锥底面半径为，高为， 则，解得，， 圆锥体积. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，则下列命题正确的是（ ） A. 若复数，则在复平面内对应的点在第四象限 B. 若，则的最大值为2 C. 若，则或 D. 若复数是纯虚数，则或 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，，其对应的点为，该点在第四象限，故A正确； 对于B，因为，故对应的点在圆心为，半径为的圆上， 故的最大值为，故B正确； 对于C，取，则，故C错误； 对于D，因为为纯虚数， 故，故，故D错误. 10. 如图，矩形是圆柱的轴截面，，为的中点，为的中点，则（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 三棱锥的体积为 C. 圆柱的外接球的表面积为 D. 平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】代入圆柱侧面积的公式，判断A，将三棱锥的体积转化为求三棱锥的体积，判断B，首先确定是圆柱外接球的直径，根据勾股定理求半径，再代入球的表面积公式，判断C，构造平行四边形，得到线线平行，再结合线面平行的判断定理，即可判断D. 【详解】对于A，圆柱的侧面积，故A错误； 对于B，由题意得，且 所以，故B正确； 对于C，取的中点，连接，易求得， 即圆柱的外接球的半径为，故该球的表面积为，故C正确； 对于D，取的中点．连接．因为为的中点，所以， 又，所以，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面，所以平面，故D正确． 故选：BCD． ， 11. 已知点为所在平面内一点，满足，（其中）（ ） A. 当时，直线过边的中点 B. 若时，与的面积之比为 C. 若，且，则 D. 若，且，则满足 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据向量的线性运算结合向量数乘的含义可判断A;对于B，利用作图，结合向量加减法的几何意义，可判断与的面积之比；对于C，由条件可判断为等边三角形，利用数量积的定义即可求得的值；对于D,由得，，平方后结合数量积的运算可推得结果. 【详解】对于A，设AB的中点为D，则当时，有, 即得O,C,D三点共线，故直线过边的中点，故A正确； 对于B，延长OA至,使 , 延长OB至,使,    连接,设其中点为E,连接OE并延长至 ，使 , 连接 ,则四边形是平行四边形， 所以，而时，， 故,即 三点共线，且， 根据同底等高三角形面积相等，则, 即与的面积之比为，故B错误； 对于C，由于且时，， 故O为的外心和重心，故为等边三角形， 则,由可得， 故，故C错误； 对于D，因为，且， 由得，， 所以,即，故D正确， 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图所示，是长方体的一条棱，这个长方体中与异面的棱有________条． 【答案】 【解析】 【详解】根据异面直线的定义，与异面的棱有共4条． 13. 如图，在中，分别为边上的点，且，AE与CD交于点P，记，，．若，，，求的余弦值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先以为基底表示，算出基底的模与数量积，再求出和两向量模长，最后用向量夹角公式求得的余弦值. 【详解】因为，，， 所以，，， 因为，， 所以． ， ． 因为， 所以． 14. 在中，，为中点，，则面积的最大值为______ 【答案】2 【解析】 【详解】设，由于， 所以， 故， 所以 ， 故当即时，此时取最大值4，故面积的最大值为2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量 （1）若 求A； （2）若 求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过向量平行转化为边角关系，再用正弦定理和三角恒等变换求解即可. （2）通过向量垂直得到边的关系，结合余弦定理和面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为所以①. 又由正弦定理，即，代入①式， 可得，整理得， 又，所以，解得. 【小问2详解】 因为，所以， 即，又，所以. 因为，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）. 故. 16. 如图，在直三棱柱中，，点为的中点.在中，内角的对边分别为，若的面积为. （1）求证：平面； （2）求； （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1） 证明： 连接，设，连接， 在直三棱柱中， 四边形为平行四边形，则为的中点， 又因为为的中点，则， 又因为平面平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，利用中位线性质可得，再用线面平行判定可证结论成立； （2）三角形面积公式结合余弦定理，化简可得取值，从而得角的大小； （3）三棱锥换底，以为底，为高，根据体积公式计算可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，由， 又由余弦定理，可得， 所以. 又由，可得， 即. 【小问3详解】 由直三棱柱可知，三棱锥的高为，， 在中，为的中点，由（1）知， 所以. 因此. 17. 位于唐山市中心区的凤凰山，山势挺拔秀丽，苍松翠柏密布，因前山如凤凰展翅故名．古朴典雅的八角重檐凤凰亭矗立在山巅，登二楼平台眺望，唐山美景一览无余．某测量小组为测量山的高度，建立了如图所示的数学模型三棱锥C–OAB，OC垂直水平面OAB，点C代表凤凰亭的上顶点，A，B两点代表山脚地面上的两个观测点，同学甲在A处测得仰角为45°，同学乙在B处测得仰角为30°，同学丙测得两个观测点之间的距离AB为90米．（附：若一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线．） （1）求； （2）同学甲测出∠CAB为钝角，同学乙测算出，求山高的近似值OC． 【答案】（1）； （2）90米. 【解析】 【分析】（1）在与中，求出AC，BC与OC的关系，再利用正弦定理计算作答. （2）在中，利用余弦定理列方程，求解并验证作答. 【小问1详解】 在中，由得，在中，由得， 在中，利用正弦定理得：，所以． 【小问2详解】 在中，利用余弦定理得：， 即，化简为， 解得，或，当时，，与为钝角矛盾，经验证符合条件， 所以山高的近似值OC为90米. 18. 在四面体中，、分别是、的中点，点、分别是、边上的点，且． （1）求证：、、、四点共面； （2）若四面体为棱长为6的正四面体， ①求该正四面体外接球的表面积； ②求四边形的周长． 【答案】（1）如图，连接，   因为、分别是、的中点，所以，又， 所以，所以， 所以、、、四点共面； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）连接，利用平行的传递性证明即可； （2）①该正四面体可以看成由正方体切割而得，故该正四面体的外接球等价于正方体的外接球，运算得解；②表示出，利用余弦定理求出，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①该正四面体可以看成由棱长为的正方体切割而得， 所以该正四面体的外接球等价于正方体的外接球， 设球的半径为，则=， 所以， ②因为四面体为棱长为6的正四面体，又，则， ∴， 因为、分别是、的中点，则， ∴ ， ∴ . 19. 如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设，分别为Ox，Oy正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中． （1）若向量，求． （2）已知向量，，证明：． （3）若向量，的斜坐标分别为和，，设函数，，． ①证明：有且只有一个零点． ②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1） （2） 因为向量，，所以，， 所以 化简得. （3） ①由（2）得， 化简得， 所以， 当时，单调递增，因为， 又因为，，所以， 又因为，所以， 由零点存在定理可得，存在，使得， 所以在上有一个零点. 当时，，，所以， 故在上没有零点. 当时，，， 所以，故在上没有零点. 综上可得，有且只有一个零点. ②. 理由如下：在上单调递减， 所以，即，所以. 【解析】 【分析】（1）（2）直接利用提干信息进行计算； （3）①先化简出，然后分别讨论在，，三个区间的正负，然后利用零点存在定理判断零点是否存在以及有多少个； ②利用①将化成，从而根据的范围判断与的大小. 【小问1详解】 因为向量，所以，又因为，， 所以， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：在证明函数零点时，我们常用零点存在定理： 如果一个函数在闭区间上连续，并且满足，那么在区间内至少存在一个点，使得. 如果一个函数在闭区间上连续且单调，并且满足，那么在区间内有且仅有一个点，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $