福建龙岩第一中学等校2025-2026学年第二学期期中测试高一数学试题

2025一2026学年第二学期期中测试 高一数学试题 (考试时间：120分钟总分：150分) 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题 目要求的， 1.已知复数满足=一3十4i(i为虚数单位)，则z的虚部为 A.3 B.-4 C.-3 D.4 弥 2.如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，则Oi+CD A.元 B.OD C.OE D.OF 3.已知a,b是两条不同的直线，a,3是两个不同的平面，则下列说法正确的是 9 A若aa,ab.则ba B.若aa,aC3,a∩3=b,则a% C.若ab,bCa,则aa D.若aa,bCa,则a% 4.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=2,a=7,A=60°，则c= 封 A.1 B.2 C.3 D.7 5.已知向量a,b满足a=1,b=2,a-2b=3.则a在b上的投影向量等于 A.2b B.b czo D.-b 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,bc…面积为5.若a=1,B=吾，且4S=c0sC+ ccosA.则sinC 线 B号 1 C.2 D 7.在菱形ABCD中，AB=4,∠A=120,P为菱形ABCD所在平面内的动点，且A户·AB 器 8,则DP+A户的最小值为 八.4 B.43 C.2+3 D.45 8.已知正四棱台ABCD-AB,C,D1的上、下底面的边长分别为2,6，高为4.P,Q分别是侧棱 AA,CC,的中点，经过P,Q作该正四棱台外接球的截面，则截面面积的最小值为 A.8 B.10m C.12x D.14x 【期中测试高一数学试卷第1页（共4页）】 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.若复数x=(3十4i)(1+i),则 A.之的虚部为7 B.之在复平面内对应的点位于第三象限 C.之·z=5√2 D.之是方程x2+2x十50=0的一个根 10.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则 A.若a>b>c,则sinA>sinB>sinC B.若AB·AC>0,则△ABC是锐角三角形 bc 2 G若ca3则anA D若满足A=吾AB=尽的△ABC有两个，则边长BC的取值范围是（号3） 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B,C,D1中，Q为DD1的中点，动点P在侧面 BCC,B,内且满足BP=BC+BB,A∈[0,1]，4∈[O,1],则下列结论正确的是 A若X-A=号·则四面体QPBC的体积为号 1 D B.若A=24,则BPAQ C.若存在点P,使PQ平面B,AD1,则PQ长度的最小值是22 D.若入十4=1，则AP+PQ的最小值为√11十63 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.如图，△ABC的斜二测画法的直观图是△A,B,C1,其中AB1= B1C1=2,那么△ABC的面积为△ 13.在梯形ABCD中.AB=3DC.BC=2EC,设AE=入AB+AD(a, C ∈R),则入十a= 14.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若csin(C-A)=asin2C,且a=4,则 △ABC面积的最大值为▲ 【期中测试高一数学试卷第2页（共4页）】 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知向量a=(2,1),b=(-2,3). (1)若向量(ka一b)∥(2a+b),求实数k的值： (2)若向量c=λa十b满足c⊥(a一b),求|c|的值 16.(15分) 已知复数z=a十i(a∈R),且2x十x2为实数，其中i为虚数单位. (1)求复数之； (2)在复平面内，设复数2-号十i.。+1对应的点分别为AB,C,若四个点A,B,C,D 构成平行四边形ABCD,求点D对应的复数， 17.(15分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos2A-cos2B=(sinC+sinA)sinC. (1)求B; (2)若∠ABC的平分线交边AC于点D,且AD=2DC,BD=2,求△ABC的面积 【期中测试高一数学试卷第3页（共4页）】 18.(17分) 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,P分别为棱D1C1,B1C1,AA1的中点 (1)求证：D,B,F,E四点共面. (2)设平面A,BD∩平面A,B1C,D1=l,求证：BDL AM (3)棱AD1上是否存在一点M,使PM/平面DBFE?若存在，求MD.的值：若不存在，请 说明理由。 D 19.(17分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c. (1)已知beos C.+√3 bsin C=a+c. 封 (1)求角B: (M)若c=1,且△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围. (2)设P为△ABC内一点，满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，若cos2B+cos2C- cos2A=1,PB+PC=tPA,求实数t的最小值. 线 【期中测试高一数学试卷第4页（共4页）】 2025一2026学年第二学期期中测试 高一数学参考答案 一、单选题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A D B C B D 二、多选题（共3小题） 题号 9 10 11 答案 AD ACD ABD 1L.【答案】ABD 【解析】对于A,当入==时.P是线段BC,的中点，此时点Q到平面BCC,B的距离为 2,所以Var= ×2X×2X1=子A正确 对于B.当入=2红时.B驴=2BC+BB,=红(2BC+BB,).取线段CC,的中点M.则B丽= Bi,正方体中易知BMAQ,所以BP∥AQ,B正确. 对于C,取线段BB1的中点R,线段B,C:的中点S,当点P位于线段RS上时，满足PQ∥ 平面B1AD1,此时有QR=QS+RS,QR=22,QS=5,RS=2,所以△QRS为直角 三角形，当P位于点S时，PQ长度的最小值是6，C错误 对于D,当入十2=1时，点Q位于线段CB1上，把平面ACB1翻折展开至平面QCB,当点 Q,P,A三点共线时，AP+PQ取最小值，在△QB1C中，QB1=3,QC=5,BC,=22,由 余弦定理得∠QB,C-BOB,COC-号.所以∠QB,C=于，又△AB,C为等边 2B,Q·B1C 2 三角形，所以在△AB,Q中，∠AB,Q=吾+吾，所以s∠AB,Q=E=E 所以QA2= B1Q+B1A2=11+65,所以QA=11+6万，D正确， 三，填空题（共3小题] 12.4213.日 14.16 14.【答案】16 【解析】依题意由csin(C一A)=asin2C,可得sin Csin(C-A)=2 sin Asin Ceos C, 所以sin Ceos A-cos Csin A=2 sin Acos C, 即sin Ccos A=3 sin Acos C,因此tanC=3tanA. 【期中测试高一数学·参考答案第1页{共4页)】 令tanA=1,易知t>0,则tanC=31, 因此可得sinA= 31 又因为A+B十C=x, 4 sin B=sin(-A-C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= √+/+9 由正弦定理可得6出-瑞。 snA,又a=4, 所以△ABC的面积S=besin A=2 x asin B asin C sin A ,m·smA=in Bsin C 2sin A 4 3t 8× 1+F1+9 1+9 96t 96t =16,当且仅当1=9t2,即tanA=1= 1+9r22/1X9t +元 吉时，等号成立，因此△ABC面积的最大值为16. 四、解答题（共5小题】 15.【解析】(1)由a=(2,1),b=(一2,3)， 得ka一b=(2k+2,k一3)，2a+b=(2,5). 4…4分 因为(ka一b)2a+b),所以2(k一3)=5(2k十2). 解得k=一2. …6分 (2)由a=(2,1),b=(一2,3)，得a一b=(4,一2)，c=a十b=(2a一2，A十3)，…8分 7 由cL(a-b),得c·(a-b)=0,4(2以-2)-2(1+3)=0，解得入=3，…11分 c=(停9》. 4小4…12分 则√+野 …13分 16.【解析】(1)因为x=a+i, 所以2x+x2=2(a+i)+(a十i)2=(a2+2a一1)+(2+2a)i∈R, 0则2十2a=0,所以a=一1，所以g=一1十i.…6分 2 2(-1-i) (2)由题意可知2--年=2一-十-1-万-3+i.+i=一1+2i,+1=(一1+i 十1=1一2i,所以A(3,1),B(一1,2)，C(1,一2).…12分 设D(x,y),又ABCD为平行四边形，所以AD=BC,即(x-3,y-1)=(2,一4)，解得x= 5,y=-3, 故D(5,一3)，即点D对应的复数为5一3引，…15分 17.【解析】(1)，cosA一cosB=(sinC十sinA)sinC, 【期中测试高一数学·参考答案第2页（共4页）】 .(1一sinA)一(1一sinB)=sinC+sin Asin C,…2分 即sin2B=sin2A十sinC十sin Asin C,即b2=a2十c2十ac,4分 ∴osB=-号，：B∈0，B- …7分 CD (2)在△CBD中，由正弦定理得，snm∠CBD一sin/CDB: AD 在△ABD中，由正弦定理得 sin∠ABD sin∠BDA 两式相除可得S一 AD 万=2，即=2,4411分 在△ADB中，由余弦定理可得AD2=4a2十4一4a, 在△CDB中，由余弦定理可得CD2=a2十4一2a,解得a=3,.c=6.…13分 △AC的面积Sr血B号。-号6 …15分 18.【解析】(1)证明：连接D,B,(图略) 因为E,F分别为棱DC,BC的中点， 所以EF/D1B1,…1分 又在正方体ABCD-A,B,C,D1中，DD1BB,且DD1=BB1, 所以四边形DBB,D1为平行四边形，…3分 所以DBB,D1,所以EFBD, 所以D,B,F,E四点共面.…5分 (2)证明：由(1)知EF∥BD,又EFC平面A,B,C,D1,BD￠平面A,B,C,D1, 所以BD/平面ABCD.”8分 因为平面A1BD∩平面ABCD1=l,BDC平面ABD,所以BD.…11分 @存在，且> 12分 理由如下：取A,D1的中点G,连接AG,FG(图略).因为F,G分别为B,C1A,D1的中点 所以FGA1B,FG=AB1 又AB∥A,B1,AB=A,B1,所以FG∥AB,FG=AB, 所以四边形ABFG为平行四边形，所以BF∥AG.· …14分 设M为A,G的中点，所以PM∥AG,所以PMBF, 又BFC平面BDEF,PM在平面BDEF,所以PM平面BDEF 故存在所求的点M,且哈品子 …7分 19.【解析】(1)(i)因为bcos C+3 bsin C=a十c, 所以由正弦定理得sin Bcos C十5 sin Bsin C=sinA十sinC,…1分 sin Boos C+/3sin Bsin C=sin(B+C)+sin C. 【期中测试高一数学·参考答案第3页{共4页)】 所以3 sin Bsin C=cos Bsin C+sinC(sinC>0),所以3sin B一cosB=l,…3分 即im(B-)=又B∈(0，x),所以B-晋-晋得B=导 …分 (1)因为△ABC是锐角三角形，且B=否，所以后<A<受·晋<C<受， …5分 又出2“所以a地2 sin C 3 3 4 8tan C8 ,…7分 sin C 因为c∈（告，号），所以tmC∈（气，+）.则∈0.万. …9分 从面S:∈（停写》.放△C面积的取值范固是气马） 10分 (2)因为c0s2B十c0s2C-0s2A=1. 所以1-2sin2B+1-2sinC-(1-2sin'A)=1,所以sin2A=sinB+sinC, 所以a2=b+c2,所以△ABC为直角三角形.A=受 12分 ∠APB=∠BPC=∠CPA-, PA=x.PB=mPA.PC=nPA(m000). 则由PB+PC=tPA,得m十n=t, 由余弦定理得AB=r2+mx-2=(m2+m十1r, AC-n+D BCm2mmcosmnm). 故由AC十AB2=BC2,得(n2十n十1)x十(m十m十1)x2=(m十n2十mm)x2, 即m十n十2=m,雨m>0,n>0,故m十n十2=mm≤(0）.…15分 当且仅当m=H,结合m十#+2=m,解得m==1十3时，等号成立， 又m十n=t,所以2一4一80，解得t≥2十25或1≤2一25（舍去）》 故实数1的最小值为2十2尽.…17分 【期中测试高一数学·参考答案第4页{共4页)】