精品解析：广东肇庆市德庆县香山中学2026-2027学年高三上学期开学数学试题

香山中学2027届高三级第一学期数学科开学考试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式可化简集合A，然后由集合并集定义可得答案. 【详解】，则， 又，则. 故选：A 2. 已知集合，则集合的子集的个数为（ ） A. 15 B. 16 C. 31 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，利用集合的子集个数公式可求得结果. 【详解】因为， 所以． 因为是整数， 所以，故集合共有个子集． 故选：B 3. 的展开式中的系数为（ ） A. B. 56 C. D. 15 【答案】C 【解析】 【详解】展开式的通项公式为， 所以展开式中含有的项为： ， 所以的系数为. 4. 若随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得结果. 【详解】由可得，即， 因为随机变量，且， 故. 故选：B. 5. 甲、乙、丙三名同学相互做传球训练,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一个人,则次传球后球在甲手中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先求出次传球的路线总数,再求出次传球后球在甲手中的路线种数,再利用古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】根据题意次传球总的传球路线种数为种, 满足题意的有:甲-乙-甲-乙-甲、甲-乙-甲-丙-甲、甲-乙-丙-乙-甲、甲-丙-甲-乙-甲、甲-丙-甲-丙-甲、甲-丙-乙-丙-甲,共有种, 所以次传球后球在甲手中的概率为. 故选:C. 6. 某医院为了提高服务水平和病人满意度，对一周前出院的病人进行电话回访，主要涉及住院期间护士的服务态度、医生是否收取红包、对医院有什么建议等问题.某天上午回访的人中，通话时间(单位：秒)如表所示： 序号 时间 根据表中数据，得到关于的经验回归方程.据此求出残差为，则（ ） (定义：残差＝观测值－预测值) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合条件及残差的定义可求，再根据中心点在回归直线上列方程求. 【详解】由题意知，当时，， 所以， 解得， 所以关于的回归方程为. 当时，， 所以，解得. 7. 已知曲线在处的切线也是曲线的切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设，则，又，所以，则切线方程为， 设，则，令，解得，所以. 8. 一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由条件求出数列的前项的和，设新数列为，设其公差为，由条件可得，结合选项判断即可. 【详解】由已知，，，，， 设新数列为，， 由已知数列为等差数列，设其公差为，， 又的前项都为奇数，所有项都为偶数， 由已知为正偶数，为正偶数， 则，故， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾， 若，则，此时可取，，， ，，，满足要求. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下四个命题中，是真命题的是（ ） A. B. “”是“”的必要不充分条件 C. 若命题：，，则的否定为：， D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用全称量词命题的真假来判断A，由真子集关系来判断充要关系可推断B，利用命题的否定可判断C，利用不等式的性质可判断D． 【详解】对于选项A：，故A选项为真命题； 对于选项B：因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B选项为真命题； 对于C：由特称命题的否定可知：的否定为：，，故C选项为真命题； 对于选项D：若，则，，故D选项为假命题. 故选：ABC 10. 已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（　 　） A. 数列为递减数列 B. C. D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质，结合前项和公式及数列单调性逐项判断. 【详解】在等差数列中，，则，B正确； 等差数列的公差，数列为递增数列，A错误； ，C正确. 当时，，当时，，因此的最小值为，D错误. 11. 甲、乙两个罐子均装有2个红球，2个白球和1个黑球，除颜色外，各个球完全相同．先从甲罐中随机取出2个球放入乙罐中，再从乙罐中随机取出1个球，记事件（，1，2）表示从甲罐中取出的2个球中含有i个红球，B表示从乙罐中取出的球是红球，则正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件及古典概型的概率公式，利用条件概率和全概率公式即可求解. 【详解】由题可知，，，， ,; . ∴ . 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 【答案】 【解析】 【分析】方法一：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从人中任选人的选法种数减去没有女生的选法种数，即可解出. 【详解】［方法一］：反面考虑 没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法， 故至少有位女生入选，则不同的选法共有种． 故答案为：. ［方法二］：正面考虑 若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有种； 若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有种，则不同的选法共有种． 故答案为：. 【整体点评】方法一：根据“正难则反”，先考虑“至少有位女生入选”的反面种数，再利用没有限制的选法种数减去反面种数即可求出，对于正面分类较多的问题是不错的方法； 方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出． 13. 记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________． 【答案】. 【解析】 【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 【详解】详解：设等比数列的公比为，由已知 ，即 解得， 所以． 【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误． 一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算，避免繁分式计算． 14. 已知关于的不等式恒成立，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先将不等式变形构造得到恒成立，构造函数，利用单调性可得，再构造函数，利用导数研究函数的最大值. 【详解】因为且， 所以，即， 令，易知恒成立，则单调递增． 因为， 所以， 则，即， 设，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增，所以， 所以，则的取值范围为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）单调递增区间为、，单调递减区间为，极大值，极小值 【解析】 【分析】（1）结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得； （2）借助导数可讨论单调性，即可得极值. 【小问1详解】 ，则， 由题意可得，解得； 【小问2详解】 由，故， 则，， 故当时，，当时，，当时，， 故的单调递增区间为、，的单调递减区间为， 故有极大值， 有极小值. 16. 某市销售商为了解A、B两款手机的款式与购买者性别之间是否有关系，对一些购买者做了问卷调查，得到列联表如表所示： 购买A款 购买B款 总计 女 25 20 45 男 15 40 55 总计 40 60 100 （1）根据小概率之值的独立检验，能否认为购买手机款式与性别有关？ （2）用购买每款手机的频率估计一个顾客购买该款手机的概率，从所有购买两款手机的人中，选出3人作为幸运顾客，记3人中购买款手机的人数为，求的分布列与数学期望. 参考公式：（其中）.临界值表： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）购买手机款式与性别有关 （2） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）根据表格计算卡方值，并依据小概率值进行独立性检验即可. （2）先求出购买款手机的概率，然后利用二项分布的概率求解分布列和数学期望即可. 【小问1详解】 零假设：假设购买手机款式与性别无关.. 由. 根据小概率值的独立检验，我们推断不成立，即认为购买手机款式与性别有关. 【小问2详解】 由题设，从所有购买两款手机的人中，选出1人购买款手机的概率为， 所以，选出3人作为幸运顾客，其中购买款手机的人数， 故，， ，. 分布列如下： 0 1 2 3 所以. 17. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式． （2）设，数列的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2） 因为， 所以， 即， 所以 . 因为，所以，即， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用与的关系结合等比数列的通项公式求解即可； （2）结合（1）可得，利用裂项相消即可求出. 【小问1详解】 因为 所以令，可得， 解得. 当时，， 则，即， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 略. 18. 已知函数. （1）求的极值； （2）对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） 当时，无极值； 当时，在处取到极小值，无极大值； （2） 【解析】 【分析】（1）求导后，分及讨论函数的单调性，得到函数单调性后即可得其极值； （2）法一：参变分离：由题意可得对任意恒成立，再构造函数，借助导数研究该函数单调性后即可得其最大值，即可得解；法二：含参分类讨论：结合（1）中所得，可知当及时对应单调性，再分、及，结合单调性讨论是否恒成立即可得. 【小问1详解】 的定义域为， 当时，恒成立，此时单调递增，无极值； 当时，令，得， 故当时，单调递减； 当时，单调递增， 此时在处取到极小值，无极大值； 【小问2详解】 法一： 对任意时，恒成立，即恒成立， 令，则， 令，则， 即在区间上单调递减，又， 所以当时，，即，此时单调递增； 当时，，即，此时单调递减， 所以， 所以，即的取值范围为. 法二： 由（1）知，当时，在区间上单调递增， 因为，所以不符合题意； 当时，当时单调递减，当时单调递增， 对任意时，恒成立，即， 即， 令， 在区间上单调递增， 又，所以； 当时，在区间上单调递减， 所以，符合题意； 综上，的取值范围为. 19. 设整数．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮次.当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．记为停止练习时该同学的投篮次数． （1）当，时，求的分布列； （2）设，均为自然数． （i）当时，求； （ii）当时，证明：． 【答案】（1）的分布列如下图所示： 1 2 3 4 （2）（i）； （ii）由题意及（2）（i）证明如下： 即. 【解析】 【分析】（1）求出的可能取值，计算出不同取值下的概率，即可得出分布列. （2）（i）等价于前次投篮全部未中，利用各次投篮的独立性，可求出. （ii）利用条件概率公式，结合（i）的结论与事件的包含关系即可证明结论. 【小问1详解】 由题意知，整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次，当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习， ∴的可能取值为1，2，3，4. 当时，表示第一次就投进球，， 当时，表示第2次投进球，第1次没有投进，， 当时，表示第3次投进球，前两次没有投进，， 当时，此事件等价于前次投篮均未投中，， 作出的分布列，如下图所示： 1 2 3 4 【小问2详解】 （i）由题意及（1）得，整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次， 当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习， 当时，表示前次均未投中， ∴. （ii）略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 香山中学2027届高三级第一学期数学科开学考试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则集合的子集的个数为（ ） A. 15 B. 16 C. 31 D. 32 3. 的展开式中的系数为（ ） A. B. 56 C. D. 15 4. 若随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙三名同学相互做传球训练,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一个人,则次传球后球在甲手中的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 某医院为了提高服务水平和病人满意度，对一周前出院的病人进行电话回访，主要涉及住院期间护士的服务态度、医生是否收取红包、对医院有什么建议等问题.某天上午回访的人中，通话时间(单位：秒)如表所示： 序号 时间 根据表中数据，得到关于的经验回归方程.据此求出残差为，则（ ） (定义：残差＝观测值－预测值) A. B. C. D. 7. 已知曲线在处的切线也是曲线的切线，则（ ） A. B. C. D. 8. 一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下四个命题中，是真命题的是（ ） A. B. “”是“”的必要不充分条件 C. 若命题：，，则的否定为：， D. 若，则 10. 已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（　 　） A. 数列为递减数列 B. C. D. 的最大值为 11. 甲、乙两个罐子均装有2个红球，2个白球和1个黑球，除颜色外，各个球完全相同．先从甲罐中随机取出2个球放入乙罐中，再从乙罐中随机取出1个球，记事件（，1，2）表示从甲罐中取出的2个球中含有i个红球，B表示从乙罐中取出的球是红球，则正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 13. 记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________． 14. 已知关于的不等式恒成立，则的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 16. 某市销售商为了解A、B两款手机的款式与购买者性别之间是否有关系，对一些购买者做了问卷调查，得到列联表如表所示： 购买A款 购买B款 总计 女 25 20 45 男 15 40 55 总计 40 60 100 （1）根据小概率之值的独立检验，能否认为购买手机款式与性别有关？ （2）用购买每款手机的频率估计一个顾客购买该款手机的概率，从所有购买两款手机的人中，选出3人作为幸运顾客，记3人中购买款手机的人数为，求的分布列与数学期望. 参考公式：（其中）.临界值表： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式． （2）设，数列的前项和为，证明：． 18. 已知函数. （1）求的极值； （2）对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 19. 设整数．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮次.当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．记为停止练习时该同学的投篮次数． （1）当，时，求的分布列； （2）设，均为自然数． （i）当时，求； （ii）当时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $