四川成都市蓉城联盟2026-2027学年高三上学期开学数学试题

**基本信息** 高三数学开学试卷，以红蜘蛛产卵回归分析、古镇旅游统计等真实情境为载体，覆盖函数、立体几何、统计等核心知识，梯度设计适配一轮复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合、命题、函数最值、立体几何翻折|第6题通过红蜘蛛产卵数据考查回归分析，体现数学眼光观察现实世界| |填空题|3/15|二项式系数、集合运算、正方体异面直线|第14题结合正方体几何特征，考查空间观念与运算能力| |解答题|5/77|数列证明、立体几何体积与二面角、统计案例、椭圆综合、导数应用|第17题以古镇旅游调查为情境，融合独立性检验与回归分析，体现数学语言表达现实世界；第19题导数证明与恒成立问题，考查逻辑推理与创新意识|

高三年级 数 学 考试时间 120 分钟，满分 150 分 注意事项： 1. 答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、考籍号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的"贴条形码区"。 2. 选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦干净后再填涂其它答案；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。 3. 考试结束后由监考老师将答题卡收回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合 ，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 2. 已知命题，则命题的否定 为 A. B. C. D. 3. 函数的最大值为 A. −2 B. −4 C. −6 D. −9 4. 是 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 不等式的解集为 A. B. C. D. 6. 每只红蜘蛛的平均产卵数（个）和平均温度 （摄氏度）有关，用模型 （其中 为自然对数的底数）拟合，引入中间变量，令，将原始数据进行变换，得到新的成对数据： 23 24 25 26 27 3.5 4 5 5 6.5 由上表可得经验回归方程 ，则等于 A. −8 B. C. −12.7 D. 7. 已知在菱形 中，，将菱形沿对角线翻折，使得二面角为直二面角，则异面直线 与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 8. 如果过点作曲线 的切线，恰有三条，则实数 的取值范围为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9. 下列说法正确的是 A. 当经验回归方程为 时，变量 和 负相关 B. 样本相关系数 r 的绝对值越接近 1，成对样本数据的线性相关程度越强 C. 回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为 0 的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好 D. 回归分析中，决定系数 越大，拟合效果越好 10. 下列命题为真命题的是 A. 若 且，则 的最小值为 8 B. 若 且，则 的最小值为 9 C. 若，则 的最小值为 4 D. 若 ，且 ，则 的最小值为 2 11. 已知抛物线 的焦点为， 为坐标原点，则下列结论正确的是 A. 抛物线上任意一点到点 的距离最小值为 B. 若点为抛物线上的动点，点，则 的最小值为 C. 若过焦点且倾斜角为 的直线与抛物线交于， 两点，且，则 D. 若过点的直线与抛物线交于 ， 两点，则点 在以为直径的圆内 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12. 的展开式中 的系数为________。（用具体的数字作答） 13. 已知集合，，，，若 ，则实数 m 的取值范围为________。 14. 从正方体两个顶点连接所得的直线中，任取一对异面直线，其所成角为 π/3 的概率为________。 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （13 分） 已知数列满足，。 （1）证明数列 是等比数列； （2）求数列 的前 项和。 16. （15 分） 如图，四边形 是圆柱的轴截面， 是下底面圆周上一点，，点为线段 的中点。 （1）求三棱锥 的体积； （2）求二面角的余弦值。 17. （15 分） 青江城厢古镇为打造群众满意的旅游景区，大力开发旅游产业。 （1）某部门对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查，下表是从接待游客中随机抽取的 100 位游客的满意度调查表，依据小概率值 的独立性检验，分析游客对本地景区的满意度是否与报团游或自助游有关联； 报团游 自助游 合计 满意 30 30 60 不满意 30 10 40 合计 60 40 100 附表： α 0.10 0.05 0.010 0.001 xₐ 2.706 3.841 6.635 10.828 χ² = （2）为安排好 2026 年 6 月份的游客接待工作，该部门统计了景区 2026 年 1 月份到 5 月份的接待游客人数 （单位：万人），统计结果如下： 月份 1 2 3 4 5 接待游客人数 （万人） 1 2 2.5 3 4 求样本相关系数 的值（精确到 0.01），请说明月份 与接待游客人数 之间线性相关的强弱；若线性相关强，求出 关于 的经验回归方程，并预测 2026 年 6 月份游客的人数。 附：经验回归方程 的斜率及截距的最小二乘估计公式分别为： 相关系数，。 18. （17 分） 已知椭圆的左、右焦点分别为，。 （1）求椭圆的离心率 ； （2）设点为第一象限内椭圆上的点，若 ，求点的坐标； （3）过右焦点 的直线与椭圆交于 ， 两点，在 轴上是否存在定点，使得 的值为定值？若存在，求出定点 的坐标及该定值；若不存在，请说明理由。 19. （17 分） 已知函数 . （1）求函数 的极值； （2）证明：； （3）若 恒成立，求实数 的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $高三年级 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 2 3 6 7 B C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9 10 11 AC ABD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.3 13.(-o0,0] 14. 4 29 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 解：（1)证明： an+1=2an-2, an+1-2=2(an-2), ………4分 又：4-2=1≠0， 故数列{an-2}是首项为1，公比为2的等比数列： ……………………6分 (2)由(1)得， an-2=(a1-2):2-1=2-1, .an=21+2, …8分 ∴.Sn=(1+2+4+…+2"-)+(2+2+2+.+2) …10分 1×0-2）+2m 1-2 =2"-1+2n =2”+2n-1. …13分 16.(15分) 解：(1)AB为下底面圆周的直径，C是下底面圆周上一点， ∴CA⊥CB, SA-1AC.CD= ……………2分 2 V题四三Saos3的 3 …4分 又：V三棱维D-Mc=V三棱4-4cD' …6分 故棱锥D-A4C的体积为2 3 …7分 1 (2)分别以CB,CA所在直线为x轴，y轴，过点C且垂直于平面ACB的直线为z轴，如图，建立 空间直角坐标系， 则C(0,0,0),A(0,2,0),B(2V5,0,0),D(N5,0,0),B(25,0,2), …8分 平面BAD的一个法向量为m=(O,0,1), …9分 设平面BAD的一个法向量为n=(x,y,z), ·AD=(3,-2,0),AB=(2V3,-2,2), n.AD=3x-2y=0, n·AB=2W3x-2y+2z=0, D 令x=2,则y=√3，z=-√5， ∴.n=(2,V3,-V5), …12分 .cos<m,n > mn--3_V30 …14分 lm‖no 10 又二面角B一AD-B为锐二面角， 故二面角8-AD-B的余弦值为V50 ……15分 10 17.(15分) 解：(1)零假设H。为：游客对本地景区的满意度与报团游或自助游无关， ……1分 则z2-10030x10-30x302-2=625>3.841=xs …6分 60×40×60×40 4 .依据小概率值=0.05的独立性检验，推断H。不成立，因此可以认为游客对本地景区的满意 度与报团游或自助游有关： …7分 (2)2x=15,2y=12.5, 1 ∑y,=2.5, 5e 2x-=10,÷20y-列=5， 4-0y-)=7 ……10分 2x-0,-列 相关系数r= 24-r2m-可 V5元*09， 故月份x与接待游客人数y之间线性相关程度很强， ……………………12分 62现%- =0.7,a=-bx=0.4, 24- 10 故y关于x的经验回归方程为)=0.7x+0.4, …14分 当x=6时，=0.7×6+0.4=4.6， 估计2026年6月份游客的人数为4.6万人. …15分 18.(17分) 解：(1)a2=6,b2=2, c2=a2-b2=4, …………2分 a=√6，c=2, e=e=2=6 aV631 故椭圆的离心率e= 3 …4分 (2)设P(x,),x>0,y>0, :点P在椭圆上， 故空+公=1，即x2+32=6, …5分 62 PE⊥PF,F(-2,0),F(2,0), ∴PE.PF=(-2-x0,-y%)(2-xo,-y)=0, x02+y%2=4, …7分 由52+3%2=6， x02+y%2=4, 解得x0=V5,。=1, 故点P的坐标为(W3,1): …9分 (3)假设在x轴上存在定点T(t,0),使得TA,TB的值为定值， 当直线AB的斜率为0时， A(-V6,0),B(N6,0),TA.TB=t2-6, 当直线AB的斜率不存在时， 425,2-5.7-历=u-2P-号 3 由产-6=-2-号得1子且万7西=哥 …11分 3 接下来判断当点T的坐标为（乙，0），直线4B的斜率存在且不为0时，西的值是否为定值， 设直线AB的方程为x=y+2,A(:,),B(x2,y2), x=+2,得， 由 x2+3y2=6 (m2+3)y2+4my-2=0, 4m 2 X+%=m产+3’%=m+3 △=16m2+8(m2+3)>0, …13分 五历=化子wc子) =G33+% =my-3w3 )+y2 1 =m2+y-3my+2)+g =m+g0架时 -m· m2+39 =-5m2-15 9(m2+3) 、5 9 …16分 当点T的坐标为，0)时，万，历的值为定值。 …17分 19.(17分) 解：(1)函数f(x)的定义域为(0，+o), …1分 f()=1-1=-- …2分 1 令f'(x)=0,解得x=1, (0,1) 1 (1,+∞) f'(x) + 0 - f(x) 单调递增 极大值 单调递减 …3分 ·f极大值=f四=0，无极小值； …4分 (2)证明： 由(1)得f(x)=lnx-x+1≤0，即nx≤x-1,当且仅当x=1时，等号成立， 故nl+宁<， 1 …5分 hl++点0+分-+克-h+2+nl+++++n+为 1,11，，1 222+2++ -1- <1, ……………8分 +20++分-0+<e: …9分 (3)lnx-x+1≤xe-mx在(0，+oo)上恒成立， ..m-15er_Inx 1 xx 设g(w)=e-nx-1 xx g'闭=te+lnx ……11分 x2 令h(x)=x2e+lnx, h(x)在(0，+oo)上单调递增， h()=e>0,x→0*，h(x)→-o, ∴.3x。∈(0,1)，h(x)=0, 当xe(0,x)时，h(x)<0,g'(x)<0, 当x∈(xo,+o)时，h(x)>0,g'(x)>0, 六8wm=gx）=e-h五-1 …13分 0X0 e+n=0e若=-ln%台e=h台飞e=he, 1 1 设F(x)=xe, F6)=飞e=he片=Fmh. ∈(0,1)， 1>1, o h1>0, 0 又：F(x)=xe在(0，+oo)上单调递增， x=ln1=-n%,6=-nxe=, …15分 g)=e_h五-1=L--1=1, Xoxoxoxoxo .m-1≤1，m≤2， 故实数m的取值范围为(-o0,2]. …17分 部分解析： 1.解：A={0,1,2,3,4,5},故选D 3.解：当x=-3时取得最小值-6，故选C. 4.解：m(m-2)<0台0<m<2,故选A. 5.解：x=0,x=3时不等式成立，故选B. 6.解：中心点(25,4.8)在回归方程2=0.7x+a上，a=-12.7,nc=-12.7,故选D. 7.解：c0s0=c0s60c0s60°=子，故选C 8.解：设切点(x,x,3-x),f"(x)=3x2-1，.切线方程为y-(x3-x)=(3x2-1(x-x)，过点 (2,m),∴m=-2x,3+6x,2-2有三个根，设g(x)=-2x3+6x2-2，g'(x)=-6x2+12x, ∴g(x)极小值=g(0)=-2，g()极大值=g2)=6,故选A. 9.解：样本相关系数r的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强，故B错误；决定系数R 越大，残差和越小，拟合效果越好，故D错误；故选AC. 10.解：选项A:a+4b≥2W4ab=8,当且仅当a=4b,即a=4,b=1时，等号成立，故A正确； 选项B:a+46=a+4b2+3=5+0+马≥9，当且仅当b=,即a=3,b=2时，等号 a b a a b 2 成立，故B正确； 选项C:a+后a-2刃+。2+2≥4，当且仅当。-2= .1 。一2即a=3,b=1时，等号成立，故 C错误； 选项D::a+2b+2ab=3,.(a+1)(2b+1)=4,.a+2b=(a+1)+(2b+1)-2≥2Va+1)(2b+1)-2 =2,当且仅当a+1=2b+1,即a=1,b=时，等号成立，故D正确： 故选ABD. 11.解：选项A:设抛物线上任一点(x,%),y。2=2px,距离为V(x,-2p)2+2px=V(x-p)2+3p2≥V3p, 故A错误； 选项B:点D到准线的距离为DE,当Q,D,E三点共线时最小，为P,故B正确： 选项C:1AF1=P2p,BP1=P。=2,AF=3到BF1,故C正确： 1-c0s 1+cos- π3 选项D:设直线方程为x=my+p,与y2=2px联立得y2-2pmy-2p2=0，设M(x,y), N(x2,y2),OM·ON=xx2+yy2=p2-2p2=-p2<0,∠MON为钝角，故D正确； 故选BCD. 12.解：C=3. 13.解：A=(-o,],B=[0,+o),C=[0,1],又C∩D=C,∴CcD,当m=2时，D={2},不成立； 当m>2时，D=[2,m,不成立；当m<2时，D=[m,2],得m≤0. 14.解：异面直线对共有3(C:-12)=174,所成角为的异面直线对为24，故所求概率为24=4 17429 6