1.3.3十字相乘法与分组分解法 课件 -2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦因式分解中的十字相乘法与分组分解法，通过复习整式乘法与因式分解的互逆关系，回顾提公因式法和公式法，再以计算与逆向填空引导学生发现规律，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于通过规律总结培养抽象能力，典例精析与分层练习发展推理意识，分组分解法步骤总结体现模型意识。实例涵盖不同系数类型题目，教学方法循序渐进，小结清晰。学生能逐步掌握方法，教师可直接用于教学提升效率。

湘教版数学八年级上册1.3.3十字相乘法与分组分解法专项练习 核心考点：二次三项式十字相乘法分解因式、常数项正负规律判断、四项式分组分解法、先分组再公式法综合分解、因式分解综合解题顺序 答题要求：熟练掌握十字相乘的拆项规律，掌握“两两分组、一三分组”技巧，严格遵循“先提公因式、再分组、最后套公式”的解题流程，分解必须彻底，步骤书写规范完整 一、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 二次三项式$$x^2+5x+6$$十字相乘分解的结果是（） A. $$(x+2)(x+3)$$ B. $$(x-2)(x-3)$$ C. $$(x+1)(x+6)$$ D. $$(x-1)(x-6)$$ 2. 多项式$$x^2-2x-8$$因式分解的正确结果是（） A. $$(x+4)(x-2)$$ B. $$(x-4)(x+2)$$ C. $$(x-8)(x+1)$$ D. $$(x+8)(x-1)$$ 3. 对于四项式$$ax+ay+bx+by$$，最适合的分解方法是（） A. 完全平方公式 B. 平方差公式 C. 两两分组分解法 D. 十字相乘法 4. 下列多项式适合用十字相乘法分解的是（） A.$$x^2-4$$ B. $$x^2+6x+9$$ C. $$x^2+3x-4$$ D. $$2x+4$$ 5. 分组分解的核心目的是（） A. 简化式子书写 B. 分组后提取公因式或套用公式彻底分解因式 C. 改变多项式大小 D. 仅适配四项式变形 二、基础填空题（每题4分，共20分） 6. 十字相乘法分解$$x^2+px+q$$的核心：找到两个数，使其________等于一次项系数p，________等于常数项q。 7. 因式分解：$$x^2+7x+12=$$________。 8. 四项式分组分解常用两种方法：________分组和________分组。 9. 因式分解：$$x^2-x-20=$$________。 10. 分解复杂多项式的通用顺序：先________，再分组或十字相乘，最后套用公式分解彻底。 三、基础解答题（每题10分，共30分） 11. 用十字相乘法分解下列二次三项式。 （1）$$x^2+9x+14$$ （2）$$x^2-3x-10$$ 12. 用两两分组分解法分解下列四项式。 （1）$$ab-ac+bc-b^2$$ （2）$$x^2-xy+2x-2y$$ 13. 综合运用分组法和公式法分解因式。 （1）$$x^2-y^2+2x+2y$$ （2）$$a^2-4ab+4b^2-16$$ 四、能力提升题（15分） 14. 先提公因式，再用十字相乘法分解因式：$$2x^2+10x+12$$。 五、拓展探究题（15分） 15. 已知二次多项式$$x^2+mx-15$$可十字相乘分解为两个整系数一次因式的积，写出所有可能的m值及对应的因式分解结果。 参考答案与详细解析 一、选择题 1. A 解析：找2和3，和为5、积为6，故$$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$$。 2. B 解析：找-4和+2，和为-2、积为-8，原式$$=(x-4)(x+2)$$。 3. C 解析：该四项式无平方结构，两两分组后可提取公因式，适配分组分解法。 4. C 解析：A适配平方差公式，B适配完全平方公式，D只需提公因式，只有C适合十字相乘法。 5. B 解析：分组分解是为了创造提公因式、套公式的条件，实现多项式彻底因式分解。 二、填空题 6. 和；积 7. $$(x+3)(x+4)$$ 解析：3和4的和为7、积为12，符合十字相乘规律。 8. 两两；一三分组 9. $$(x-5)(x+4)$$ 10. 提取公因式 三、解答题 11. 解：（1）原式$$=(x+2)(x+7)$$；（2）原式$$=(x-5)(x+2)$$。 12. 解：（1）原式$$=a(b-c)-b(b-c)=(a-b)(b-c)$$；（2）原式$$=x(x-y)+2(x-y)=(x+2)(x-y)$$。 13. 解：（1）原式$$=(x+y)(x-y)+2(x+y)=(x+y)(x-y+2)$$；（2）原式$$=(a-2b)^2-4^2=(a-2b+4)(a-2b-4)$$，先分组用完全平方公式，再用平方差公式彻底分解。 四、能力提升题 14. 解：原式$$=2(x^2+5x+6)=2(x+2)(x+3)$$。先提取公因式2，再对二次三项式十字相乘分解，保证分解彻底。 五、拓展探究题 15. 解：常数项-15的整数拆分组合：①1×(-15)，和为-14，$$x^2-14x-15=(x+1)(x-15)$$；②-1×15，和为14，$$x^2+14x-15=(x-1)(x+15)$$；③3×(-5)，和为-2，$$x^2-2x-15=(x+3)(x-5)$$；④-3×5，和为2，$$x^2+2x-15=(x-3)(x+5)$$。综上，m的值为±14、±2。 练习总结：十字相乘法适用于二次三项式，核心是熟练掌握常数项拆数规律；分组分解法多用于四项及以上多项式，关键是合理分组创造分解条件。本节是因式分解综合难点，需牢记“先提公因式、再分组或十字相乘、最后套公式”的解题逻辑，区分各类方法的适用场景，杜绝分解不彻底、拆分错误、分组不合理等问题，是后续分式化简、方程求解的重要基础。 湘教版（新教材）数学八年级上册 1.3.3十字相乘法与分组分解法 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第1章 因式分解 学习目标 整式乘法 因式分解 一个多项式 几个整式的积 1.多项式的因式分解和乘法运算的关系是？ 2.我们已经学习了哪些因式分解的方法？ 互逆的变形过程 ①提公因式法： ②公式法： pa + pb + pc = p(a + b + c) 1. a2 － b2 = (a + b)(a － b) 2. a2±2ab + b2 = (a ± b)2 复习导入 1.计算： (1) (x+2)(x+3) = ___________； (2) (x+1)(x－4) =___________； (3) (x+4 )(x－2)=___________； 2. 根据题 1 和等式的性质填空： (1) x2+5x+6= ______________ ； (2) x2－3x－4=______________； (3) x2+2x－8=_______________； x2+5x+6 x2－3x－4 x2+2x－8 (x+2 )(x+3) (x+1)(x－4) (x+4)(x－2) 新知探究 仔细观察等式两边，你有什么发现？ 多项式 常数项 一次项的 系数 分解因式 x2+5x+6 6 5 (x+2)(x+3) x2－3x－4 －4 －3 (x+1)(x－4) x2+2x－8 －8 2 (x+4)(x－2) x2 + (p + q)x + pq = 规律 (x + p) (x + q). 2×3 2+3 1×(－4) 1+(－4) 4×(－2) 4+(－2) 可以将某些二次项系数是 1 的二次三项式因式分解. 多项式 x²+5x+6 分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示： x²+5x+6 ③然后交叉相乘并求和，使其等于一次项系数. ＝(x+2)(x+3) ①先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角； ②再分解常数项， 分别写在十字交叉线的右上角和右下角； 1 1 2 3 1×3+1×2＝5 适用于任意二次多项式 上述步骤用于分解二次多项式ax²+bx+c的具体过程： 这种把二次多项式因式分解的方法叫作十字相乘法. ① 画一个十字交叉线，使得左边两个数 d，e 的乘积等于二次项系数 a， ② 右边两个数 m，n 的乘积等于常数项 c， ③ 交叉数的乘积之和 dn+em等于一次项系数b， d e m n de=a ax²+bx+c =(dx+m)(ex+n) mn=c dn+em=b 例1 把多项式x2－5x+6因式分解. 解：如图，左边两个数为1，1，它们的乘积等于二次项系数1，右边两个数为－2，－3，它们的乘积等于常数项6，交叉数的乘积之和为 1×(－3)+1×(－2)＝－5， 它是一次项的系数，因此 x²－5x+6＝(x－2)(x－3) 1 1 －2 －3 典例精析 例2 把多项式 10x²+23x+12 因式分解. 解：如图，在十字交叉线的左上角和左下角分别写2，5，右上角和右下角分别写3，4， 2 5 3 4 10x²+23x+12＝(2x+3)(5x+4) 左边两个数的乘积等于二次项系数10， 右边两个数的乘积等于常数项12， 交叉数的乘积之和为2×4+5×3＝23， 它是一次项的系数， 1. 把下列多项式因式分解： (1) x2－4x－5； 解：如图，左边两个数为1，1，它们的乘积等于二次项系数1，右边两个数为1，－5，它们的乘积等于常数项－5，交叉数的乘积之和为 1×1+1×(－5)＝－4，它是一次项的系数，因此 x2－4x－5＝(x+1)(x－5) 1 1 1 －5 练习 【选自教材P15 练习】 (2) 6x2+7x+2. 解：如图，在十字交叉线的左上角和左下角分别写2，3，右上角和右下角分别写1，2， 2 3 1 2 6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2). 左边两个数的乘积等于二次项系数6， 右边两个数的乘积等于常数项2， 交叉数的乘积之和为2×2+3×1＝7， 它是一次项的系数， 例3 把多项式 x3－x²－x+1 因式分解. 分析 x3－x²－x+1既不能直接使用提公因式法或公式法进行因式分解，也不能运用十字相乘法. 但若将其恰当分组，如分为x3－x²与－x+1两组，则可继续进行因式分解. 解：x3－x²－x+1=(x3－x²)－(x－1) =x²(x－1)－(x－1) =(x－1)(x²－1) =(x－1)(x+1)(x－1) =(x+1)(x－1)². 利用分组来分解因式的方法叫作分组分解法. 分组后再用公式法 把下列多项式因式分解： (1) x²－y²－3x－3y； 解：原式=(x²－y²)－(3x+3y) =(x－y)(x+y)－3(x+y) =(x+y)(x－y－3) (2) x²－10x+25－y². 原式=(x²－10x+25)－y² =(x－5)²－y² =(x－5+y)(x－5－y). 练习 【选自教材P15 练习】 1.把下列多项式因式分解： （1）x2－49； （3）9(x－y)2－25； （4）(x2－y)2－(2y－2)2 ； 解：原式=(x+7)(x－7) 原式=(x2+y－2) (x2－3y+2) 【选自教材P13 习题1.3 第1题】 （2）x2－y2 ； 原式=(x+y)(x－y) 原式=[3(x－y)+5][3(x－y)－5] 举一反三 1.把下列多项式因式分解： （5）x4－81； 原式=(x2+9)(x2－9) 【选自教材P13 习题1.3 第1题】 （6）3x6－3x2. 原式=3x2(x4－1) =(x2+9)(x+3)(x－3) =3x2(x2+1)(x2－1) =3x2(x2+1)(x+1)(x－1) 举一反三 2.把下列多项式因式分解： （2）25x2+20xy+4y2； 原式=(5x)2+2·5x·2y+(2y)2 【选自教材P13 习题1.3 第2题】 （1）x2+14x+49； 解：原式=x2+2·x·7+72 =(x+7)2 =(5x+2y)2 （3）－x2+14xy－49y2 ； （4）x4－2x3+x2； 原式=x2(x2－2x+1) =x2(x2－2·x·1+12) 原式=－(x2－14xy+49y2) =－[x2－2·x·7y+(7y)2] =－(x－7y)2 =x2(x－1)2 举一反三 （5）x4－8x2y2+16y4 ； 原式=(x2)2－2·x2·4y2+(4y2)2 =(x2－4y2)2 =[(x+2y)(x－2y)]2 （6）(x+y)2+12(x+y)+36. 原式=(x+y)2+2·(x+y)·6+62 =(x+2y)2(x－2y)2 =(x+y+6)2 举一反三 3.把下列多项式因式分解： （1）4x2－(y2－2y+1)； （2）(x4+4x2+4)－4y2； （3）(x+4)(x+1)+3x+12； （4）(x－y)2+6(x－y)+9. 解：原式=4x2－(y－1)2 =(2x－y+1)(2x+y－1) 原式=(x2+2)2－4y2 =(x2+2+2y)(x2+2－2y) 原式=(x+4)(x+1)+3(x+4) =(x+4)(x+4) 【选自教材P13 习题1.3 第3题】 =(x+4)2 原式=(x－y)2+2·(x－y)·3+32 =(x－y+3)2 举一反三 4.两个连续奇数的平方差能被8整除吗？说明理由. 解：设这两个连续奇数为2n－1、2n+1(n为整数). =4n·2 【选自教材P13 习题1.3 第4题】 由题意得 (2n+1)2－(2n－1)2 =8n 8n能被8整除，故两个连续奇数的平方差能被8整除. 举一反三 5.当a取什么值时，多项式9x2+ax+16能利用完全平方公式进行因式分解？ 解：由 9x2+ax+16应满足完全平方式的特点 得 =±24 【选自教材P13 习题1.3 第5题】 则 a=±(2×3×4)2 9x2+ax+16=(3x)2+ax+42=(3x±4)2 举一反三 十字相乘法与分组分解法 十字相乘法公式 x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q) ax²+bx+c＝(dx+m)(ex+n) 一分：先分组； 二提：公因式； 三套：公式； 四查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. 分组分解法步骤 课堂小结 谢谢观看 THANKS $