1.1 多项式的因式分解 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦多项式的因式分解，核心内容为因式分解的概念及与整式乘法的互逆关系。课堂导入通过整数分解（12=3×4）过渡到多项式分解（x²-1=(x+1)(x-1)），搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生建立新旧知识联系。 其亮点在于通过“观察与思考”引导抽象定义培养抽象能力（数学眼光），对比互逆关系发展推理意识（数学思维），结合图形剪拼（a²-b²=(a+b)(a-b)）体现模型意识（数学语言）。实例丰富，教学流程清晰，能帮助学生深化理解，教师可高效开展教学。

湘教版数学八年级上册1.1多项式的因式分解专项练习 核心考点：因式分解的定义、因式分解与整式乘法的互逆关系、多项式因式的判定、简单因式分解初步应用 答题要求：认真审题，规范书写解题步骤，区分因式分解与整式乘法变形，保证结果为整式积的形式 一、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 下列各式变形中，属于因式分解的是（） A. $$3x(x-2)=3x^2-6x$$ B. $$x^2-4=(x+2)(x-2)$$ C. $$x^2+2x+1=x(x+2)+1$$ D. $$x^2-5x=x^2(1-\frac{5}{x})$$ 2. 多项式$$2x^2-4x$$的一个因式是（） A. $$2x$$ B. $$x-2$$ C. $$x+2$$ D. $$2x-4$$ 3. 因式分解与整式乘法的关系是（） A. 完全相同 B. 互逆变形 C. 毫无关联 D. 部分相同 4. 若多项式$$x^2+mx-6$$可分解为$$(x+2)(x-3)$$，则$$m$$的值为（） A. -1 B. 1 C. -5 D. 5 5. 下列说法正确的是（） A. 所有多项式都能因式分解 B. 因式分解结果可以含分式 C. 因式分解是将和差式化为积的形式 D. 整式乘法是将积化为和差式，不属于恒等变形 二、基础填空题（每题4分，共20分） 6. 把一个________化为几个________的积的形式，叫做多项式的因式分解。 7. 整式乘法$$(a+3)(a-1)=a^2+2a-3$$的逆变形是________。 8. 多项式$$6a^2b-9ab^2$$的公因式是________。 9. 若$$x-1$$是多项式$$x^2+kx-1$$的因式，则$$k=$$________。 10. 因式分解：$$5x^2-10x=$$________。 三、基础解答题（每题10分，共30分） 11. 判断下列各式是否为因式分解，说明理由。 （1）$$4x^2-16x=4x(x-4)$$ （2）$$x^2+3x+2=x(x+3)+2$$ 12. 根据整式乘法与因式分解的互逆关系，完成填空。 （1）$$(x+5)(x-4)=x^2+x-20$$，则$$x^2+x-20=$$________ （2）$$3m(n-2)=3mn-6m$$，则$$3mn-6m=$$________ 13. 初步分解下列多项式：（1）$$8x^3-4x^2$$ （2）$$-6a^2+9a$$ 四、能力提升题（15分） 14. 利用因式分解的恒等变形特点，简便计算：$$2026^2-2026×2025$$ 五、拓展探究题（15分） 15. 已知多项式$$x^2+ax+b$$分解因式的结果为$$(x-2)(x+5)$$，求$$a、b$$的值，并说明多项式因式分解的验证方法。 参考答案与详细解析 一、选择题 1. B 解析：因式分解是多项式化整式积的恒等变形。A是整式乘法，C结果不是积的形式，D含分式，均不符合定义。 2. A 解析：$$2x^2-4x=2x(x-2)$$，因式为$$2x$$和$$x-2$$，选项中只有A符合。 3. B 解析：因式分解与整式乘法是方向相反的恒等变形，二者互为逆运算。 4. A 解析：展开$$(x+2)(x-3)=x^2-x-6$$，对应系数得$$m=-1$$。 5. C 解析：部分多项式无法因式分解，因式分解结果必须是整式，整式乘法是恒等变形，ABD错误。 二、填空题 6. 多项式；整式 7. $$a^2+2a-3=(a+3)(a-1)$$ 8. $$3ab$$ 解析：系数最大公约数3，相同字母最低次幂ab。 9. 0 解析：原式可分解为$$(x-1)(x+1)=x^2-1$$，故$$k=0$$。 10.$$5x(x-2)$$ 三、解答题 11. （1）是因式分解，将多项式化为两个整式的积的形式，符合定义；（2）不是，结果仍是和差形式，未化为整式积。 12. （1）$$(x+5)(x-4)$$ （2）$$3m(n-2)$$ 13. （1）原式$$=4x^2(2x-1)$$ （2）原式$$=-3a(2a-3)$$ 四、能力提升题 14. 解：原式$$=2026×(2026-2025)=2026×1=2026$$，提取公因式简化大数运算。 五、拓展探究题 15. 解：展开$$(x-2)(x+5)=x^2+3x-10$$，对应得$$a=3，b=-10$$。验证方法：将因式分解结果展开，若与原多项式完全一致，说明分解正确，核心依据是因式分解与整式乘法的互逆恒等变形关系。 练习总结：本节重点掌握因式分解的核心定义，牢记“多项式化整式积”的核心要求，区分因式分解与整式乘法，能借助互逆关系、提取简单公因式完成基础分解与简单应用，为后续公式法分解因式打好基础。 湘教版（新教材）数学八年级上册 1.1 多项式的因式分解 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第1章 因式分解 学习目标 1.理解因式分解的意义和概念； 2.掌握因式分解与整式乘法的区别和联系.（重点） 学习目标 问题1 12 等于 3 乘哪个整数？ 12 ＝ 3×4 问题2 x2 － 1 等于 x + 1 乘哪个多项式？ 复习导入 (1) 因为(x + 1)² = ， 所以 x² + 2x + 1 = (x + 1)( )； (2) 因为 x(x－) = ， 所以 x²－x = x( ). x² + 2x + 1 x + 1 x－ x²－x 观察“所以”后面的式子，有什么共同点？ 都是一个多项式化为几个多项式的积的形式 整式的乘法 探究新知 一般地，对于多项式 f 与 g，如果有多项式 h 使得 f = gh，那么把 g 叫作 f 的一个因式，此时，h 也是 f 的一个因式. 单项式可看作只有一项的多项式 ↗ x² + 2x + 1 = (x + 1)² x²－x = x(x－) x + 1 是多项式 x² + 2x + 1 的因式. x 和 x－ 都是 x²－x 的因式. 一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式. x² + 2x + 1 = (x + 1)² x²－x = x(x－) 例1 填空： 因为(x－2)(x－3) = ， 所以 = (x－2)(x－3) 是多项式 的因式分解. 解：(x－2)(x－3) = x²－3x－2x＋(－2)×(－3) = x²－5x＋6， 因此三个空格都填写 x²－5x＋6. x²－5x＋6 x²－5x＋6 x²－5x＋6 x2 － y2 ( x + y )( x － y ) x2 － y2 = ( x + y )( x － y ) 因式分解 多项式的乘法 因式分解等式的特征： 左边是多项式， 右边是几个多项式的乘积. 多项式的乘法运算与因式分解有什么关系？ 是互逆的变形过程 1. 下列各式由左边到右边的变形中，是因 式分解的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 9 2. 下列各式的变形中，是不是因式分解， 为什么? （1） ; 【解】不是因式分解.因为 是和的形式. （2） ; 不是因式分解.因为 是和的形式. （3） ; 不是因式分解.因为 是单项式. 举一反三 10 （4） ; 是因式分解.因为多项式 分解成三个整式 ,与 的积的形式，符合因式分解的定义. 返回 举一反三 11 例2 下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可. 解：(1) 不是因式分解. 理由：它是整式的乘法. (2) 不是因式分解. 理由：等式右边不是几个多项式的乘积形式. (1) x(x－2y) = x2－2xy； (2) x2－2x + 1 = x(x－2) + 1； (4) 是因式分解. 理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且 (x－1)(y－1) = xy－x－y + 1，因而符合因式分解的定义. xy－x－y + 1 的因式为 x－1 和 y－1. (3) 是因式分解. 理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且 x(3x－) = 3x2－x，因而符合因式分解的定义. 3x2－x 的因式为 x 和 3x－. (3) 3x2－x = x(3x－)； (4) xy－x－y + 1 = (x－1)(y－1). 方法总结：多项式的因式分解与多项式的乘法运算是互逆的变形过程，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个整式的积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式． 把多项式因式分解的重要用处之一是： 可以较简便地求出关于 x 的多项式中，x用哪些数代入能够使得这个多项式的值为 0. 归纳总结 x2﹣y2 9﹣25x2 x2 + 2x + 1 xy﹣y2 (x + 1)2 y(x﹣ y) (3﹣5x)(3 + 5x) (x + y)(x﹣y) 1. 连线： 当堂检测 2. 根据整式乘法的经验把下列多项式因式分解： ； 解： 当堂检测 3. 判断下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解： (1) x2﹣4y2 = (x + 2y)(x﹣2y) (2) 2x(x﹣3y) = 2x2﹣6xy (3) (5a﹣1)2 = 25a2﹣10a + 1 (4) x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 (5) 2πR + 2πr = 2π(R + r) 因式分解 整式乘法 整式乘法 因式分解 因式分解 当堂检测 4. 若多项式 x4 + mx3 + nx﹣16 含有因式 (x﹣2) 和 (x﹣1)， 求 mn 的值. 解：因为 x4 + mx3 + nx﹣16 的最高次数是 4， 所以可设 x4 + mx3 + nx﹣16 = (x﹣1)(x﹣2)(x2 + ax + b). 则 x4 + mx3 + nx﹣16 = x4 + (a﹣3)x3 + (b﹣3a + 2)x2 + (2a﹣3b)x + 2b. 比较系数得 a﹣3 = m，b﹣3a + 2 = 0，2a﹣3b = n，2b =﹣16. 解得 b =﹣8，a =﹣2，m =﹣5，n = 20. 所以 mn =﹣5×20 =﹣100． 当堂检测 5. 甲、乙两个同学分解因式 x2 + ax + b 时，甲看错了 b，分解结果为 ( x + 2 )( x + 4 )；乙看错了 a，分解结果为 ( x + 1)( x + 9 )，求 a + b 的值. 解：分解因式甲看错了 b，但 a 是正确的， 其分解结果为 x2 + ax + b = (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8， 所以 a = 6. 同理，乙看错了 a，但 b 是正确的， 分解结果为 x2 + ax + b = (x + 1)(x + 9) = x2 + 10x + 9， 所以 b = 9. 因此 a + b = 15. 当堂检测 a a b a – b a2 – b2 = (a + b)(a – b) 7. 手工课上，老师给小南同学发下一张如左图形状的纸张，要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成右图形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底．你能帮助小南同学解决这个问题吗？能给出数学解释吗？ b a + b 当堂检测 3. 是下列哪一个多项式因式分解的结果 ( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 21 返回 4．[衡阳市模拟]若多项式 有一个因式是 ，则这个多项式中 的值是( ) A A. 3 B. C. 5 D. 举一反三 22 返回 5. 科技赋能出行，无人驾驶重构美好．搭载第二代VLA大模型的Robotaxi测试车已能够自主完成接送乘客等任务．某测试车的激光雷达点云密度ρ与探测距离x(单位：m)的关系可近似表示为ρ＝x2＋Ax＋B，如果x2＋Ax＋B＝(x－3)(x＋5)，则3A－B的值为________． 21 举一反三 23 返回 6. 根据如图所示的拼图过程，写出一个多 项式的因式分解：___________________________. 举一反三 返回 7.将分解因式的结果为,则 的值为___. 4 举一反三 25 课堂小结 因式分解要注意以下几点： 3. 要分解到不能分解为止. 2. 分解的结果一定是几个多项式的乘积的形式； 1. 分解的对象必须是多项式； 因式分解与多项式乘法是互逆的变形过程. x2 － y2 ( x + y )( x － y ) 因式分解 多项式的乘法 谢谢观看 THANKS (5)1＋＋＝. 不是因式分解．因为1＋＋＝中含有不是整式的式子． $