2026-2027学年北师大版九年级数学上册 第一次月考仿真卷北

**基本信息** 聚焦一元二次方程与特殊四边形，融合中国结文化、校园实践等真实情境，通过基础巩固、能力提升、创新探究三级梯度设计，适配九年级月考对抽象能力、推理意识与模型意识的综合评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、矩形菱形性质判定|如第2题矩形门框判定，结合生活实践考查推理意识| |填空题|6/18|方程根的条件、菱形面积计算|第12题中国结菱形面积，渗透文化传承与几何直观| |解答题|8/72|解方程、实际应用、探究证明|20题销售增长问题（模型意识），23题正方形动点探究（创新意识），24题韦达定理材料题（推理能力）|

2026年9月份第一次月考仿真卷北师大版2026—2027学年九年级数学上册 测试范围：北师大版九年级上册第一章、第二章 (考试时间:120分钟 试卷满分:120分) 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（   ） A．测量其中三个角是否为直角 B．测量两组对边是否相等 C．测量对角线是否相互平分 D．测量对角线是否相等 3．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是（   ） A． B． C． D． 4．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 5．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 6．菱形具有而矩形不具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．四边相等 C．对角线互相平分 D．邻边互相垂直 7．如图，在矩形中，，对角线相交于点O，垂直平分于点E，则的长为（    ）      A． B． C．4 D． 8．如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．8 9．如图，将矩形沿对折，点C落在Q处，点D落在边上的E处，与相交于点F，若，，，则周长的大小为（     ） A． B． C． D． 10．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③存在实数，使得； ④若是方程的一个根，则一定有成立 其中正确的有（   ） A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①②③ 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．若关于x的一元二次方程有实数根，则最小整数________． 12．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小明家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积为______． 13．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______________． 14．关于x的方程的解是，（均为常数，），则方程的解是__． 15．如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，，则的长为_____． 16．如图，正方形的边长为2，是的中点，是上的动点，过点作分别交、于点、，当取最小值时，的长是______． 三、解答题（17、18题每题8分，19、20、21、22每题9分，23、24每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．解一元二次方程 (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)； (4)． 18．如图，，，连接． (1)尺规作图：在上作点，连接，使得平分．（保留作图痕迹，不写作法．） (2)连接，求证：四边形是菱形． 19．已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 20．今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． (2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 21．如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 22．为丰富校园艺术节活动，某校筹备文艺展演，准备利用一面墙（墙的最大可利用长度为24米）作为一边，用50米隔栏绳作为另三边，设立一个矩形表演区，如图，为了方便进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳），将矩形表演区中的长度用米表示． (1)的长度可表示为 米，并直接写出的取值范围； (2)若矩形表演区的面积为320平方米，那么的长度多少米？ 23．我校数学拓展学习小组倡导“刷题不如回头看”，立足旧题归纳总结、反思精进，优化解法、多题归一，做到举一反三、推陈出新． 【问题提出】M是正方形边上的一个动点（不与A，B重合），，且交正方形外角的平分线于点N，探究与的数量关系． 【问题猜想】 (1) ；（填“>”，“<”或者“=”） 【问题探究】 (2)如图1，当M是上的中点时，探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图2，当M为延长线上的任意一点时，探究与的数量关系，并说明理由． 24．请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料4：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，且，求的值． (2)已知实数、满足、，且，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D D A B B B A D 11． 12．96 13．且/且 14． 15．8 16． 17．【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴， ∴， ∴或， 解得：，； （2）解： ，，， ∴， ； （3）解： ∴， ∴或， 解得：； （4）解： ∴， ∴， ． 18．(1)如图，点即为所求； (2)证明：∵， ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵，即 ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 19．【详解】（1）解：∵方程有两个实数根，， ∴， 解得：； （2）解：∵方程有两个实数根，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 20．【详解】（1）解：设平均增长率为x，由题意得：， 解得：或舍； 四、五这两个月的月平均增长百分率为； （2）设降价y元，由题意得：， 整理得：， 解得：或舍； 当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元． 21．(1)证明：四边形是菱形， ，， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． （2）解：四边形是菱形， ， 由（1）得：，四边形是矩形， ，，， 是的中点， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 四边形是矩形，， ， ，  ，  四边形是菱形， ． 22．【详解】（1）解：∵的长为x米， ∴的长为（米）． 由题意可得， 解得， 即x的取值范围为． （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 由（1）有， ∴． 答：的长度为16米． 23．【详解】（1）解：如图，在边上取一点F，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是正方形的外角的平分线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2)解：， 理由：如图，作的中点P，连接， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵P，M分别是，的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ 在和中， ， ∴， ∴． (3)解： ， 理由：如图，延长使， ∵四边形是正方形 ∴，，， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 24．【详解】（1）解：由题意得：、为的两个不相等实数根， 可得，， 故． 答：． （2）解：， ， ， ，，， 和为的两个不相等实数根， ，， ． 答：． （3）解：由 ，， 可构造，和是方程的两个实数根， ， ， 可得的最大值为2． 答：2． 学科网（北京）股份有限公司 $