精品解析：上海市闵行中学2025-2026学年高三下学期期末考试数学试卷（B）

试卷类型：B 闵行中学2025学年第二学期期末考试 高三年级数学试卷 （完卷时间：120分钟 满分：150分） 考生注意： 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效； 2.答卷前，考生务必将姓名、准考证号和试卷类型等相关信息在答题卷上填写清楚； 3.本试卷共21道试题. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1. 已知全集为，集合，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据补集的定义即可得解. 【详解】因为集合， 所以或. 故答案为：或. 2. 不等式的解集为_____________． 【答案】##. 【解析】 【分析】由分式不等式的解法直接求解即可. 【详解】由得：，解得：，不等式的解集为. 故答案为：. 3. 椭圆的离心率为___________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据椭圆方程可得，进而结合离心率的定义求解即可. 【详解】由椭圆，则， 即，所以离心率为. 故答案为： 4. 设，，是等差数列的前项和，若，则的值为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据等差数列数列的性质结合通项公式、求和公式，可直接求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， . 所以，， 所以：. 故答案为： 5. 设，拋物线上的点到的焦点的距离为5，点到轴的距离为3，则的值为____________. 【答案】9 【解析】 【分析】根据给定条件，求出点的纵坐标，再利用抛物线的定义列式求解. 【详解】拋物线的准线为， 由点到轴的距离为3，得点的纵坐标， 由点到的焦点的距离为5，得，解得或，而， 所以. 故答案为：9 6. 设，若的展开式中项的系数为10，则____________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据二项式定理求项的系数即可. 【详解】项为， 由. 故答案为：2 7. 已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为____ 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质求解即可. 【详解】令，可得. 所以定点的坐标为. 故答案为：. 8. 已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱的底面积和侧面积公式求出圆柱的底面圆半径和高，再根据圆柱的体积公式即可得解. 【详解】设圆柱的底面圆的半径为，高为， 由题意可得，解得， 所以圆柱的体积. 故答案为：. 9. 已知中，，，点在线段上，且，则的值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据确定，从而可得，从而用向量数量积的运算律即可求解. 【详解】设等腰在边上的高为， 因为，所以， 所以， 所以， 所以 . 故答案为：. 10. 已知个小球的编号为、、、，从中有放回地摸取小球三次，并依次记录其编号，若这三个编号成等差数列，则共有______种不同的摸取方法. 【答案】 【解析】 【分析】设这三个编号分别为、、，对三个编号是否相同进行分类讨论，利用分类加法计数原理可得结果. 【详解】若三个编号成等差数列，若三个编号相同，共有种， 若三个编号彼此都不相同，设这三个编号为、、，则， 则、同为奇数或同为偶数，则可由来确定， 奇数编号的小球共个，偶数编号的小球共个， 若、同为奇数，则、的选择方法种数为种； 若、同为偶数，则、的选择方法种数为种. 当三个编号彼此不同时，不同的摸法种数为种. 综上所述，不同的摸法种数为种. 故答案为：. 11. 1798年，人口学家马尔萨斯假设：单位时间内的人口增长量与人口数成正比，进而建立马尔萨斯人口增长模型.19世纪中叶的生物学家们发现，由于人类生存条件的限制，存在人口最大瞬时增长率，当达到时，人口增长率会随着的增长而下降，因此需要改进马尔萨斯的假设．他们假设：①是随着时间连续变化的函数；②存在最大人口数，人口数达到时，；③仅与和有关；④，那么在这些条件下建立的人口增长模型___________．（用含有、、的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，当时，得到，求得，结合，代入化简得到，即可得到答案. 【详解】根据假设，可得， 当时，，代入可得，解得， 由单位时间内的人口增长量与成正比，可得， 将，代入可得， 所以假设下建立的人口增长模型. 故答案为：. 12. 记为有限集合中的元素个数.设，能被整除}，若对于任意实数和任意正整数，恒有，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，集合中的元素只需满足能被整除即可，设，则需取以为间隔的等间隔分布的实数，可知区间中最多只能找到三个值，即求的最大值，利用导数求出函数的最大值为，则任意一段长度不超过的区间里最多只能找到三个值，由此可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】由于， 所以，被除余数为， 因此，集合中的元素只需满足能被整除即可， 设，从而可得, 即需取以为间隔的等间隔分布的实数， 不论实数和正整数如何选取，区间中最多只能找到三个值， 考虑到任意性，考虑区间长度最长的情况，即求的最大值， 设，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为， 所以，， 因此，问题的要求是在任意一段长度不超过的区间里最多只能找到三个值， 而的取值是以为间隔的，故临界情况是：长度为的区间刚好对应个间隔， 因此，只需，解得. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. “”是“一元二次不等式的解集为R”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由题根据一元二次不等式的解集为R， 可得， 所以“”是“一元二次不等式的解集为R”的必要不充分条件. 故选：B. 14. 设，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边经过点，且，则角属于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式和二倍角公式可得，再根据角的终边经过点，即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 所以，异号， 所以在第二、四象限， 又，所以在第二象限. 故选：. 15. 设，点，是坐标原点，，是双曲线的左焦点，若直线经过点，且与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定直线与圆的位置关系，表示出直线的斜率，数形结合，根据直线斜率与双曲线渐近线斜率的关系，得到的关系，求出离心率的取值范围，即可进行判断. 【详解】如图： 因为，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，方程为：. 因为点到直线：的距离为：， 所以直线与圆相切. 又过点，且，直线与双曲线的右支在第一象限内交于点， 所以直线的斜率为：. 又一、三象限双曲线的渐近线的斜率为：. 又. 即. 故选：D 16. 在空间中，点、均为定点，且．设集合，则以下说法正确的是（ ）． ①若在上的数量投影为，则线段在运动过程中所形成的几何体体积为； ②对于任意的以及任意的正实数，设，若，则． A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】由，求得，得到，得出是以为球心，半径为的球体内部及其表面上的点构成的集合，①根据题意得到，设是轴上的单位向量，点的坐标为，求得，得到线段在运动中所形成的几何体为圆锥，结合圆锥的体积公式，可判定①是真命题；由集合是球体内部及其表面，得到集合是凸集，结合球体中的任意两点的连线段上的点均在球体内，以及凸集的性质，可判定②正确. 【详解】由， 因为且，可得， 即，即，所以是以为球心，半径为的球体内部及其表面上点构成的集合， ①若在上的数量投影为，则， 以为原点为轴正方向，则是轴上的单位向量，设点的坐标为， 则满足，且， 将代入可得，解得， 所以线段在运动中所形成的几何体为圆锥，其中底面半径为，高为， 则圆锥的体积为，所以①是真命题； 由集合是以为球心，半径为的球体内部及其表面上点构成的集合， 对于任意的，以及任意的正实数，且， 即，且，且 若， 因为球体中的任意两点的连线段上的点均在球体内， 根据是凸集，结合凸集的性质，可得，即， 所以，所以②正确. 故选：A. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤. 17. 已知向量、，记． （1）求函数的最小正周期； （2）若函数（其中常数）为奇函数，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标公式结合二倍角的余弦公式求出函数解析式，再根据余弦函数的周期性即可得解； （2）根据三角函数的奇偶性求解即可. 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期； 【小问2详解】 ， 因为函数为奇函数， 所以，解得， 又因为，所以. 18. 如图，在三棱柱中，，且. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1）连结，连结CO 在中，， 故是等边三角形，所以为菱形， 所以，且是的中点. 因为， 所以. 因为， 所以平面. 又平面， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连结，结合已知证明为菱形，以及.进而即可根据线面垂直以及面面垂直的判定定理得出证明； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，进而得出相关点以及向量的坐标，然后求出平面的法向量以及，然后根据向量法求解即可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，为轴，为轴，OC为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，. 设平面的一个法向量， 则有，即. 令，可得平面的一个法向量为， 所以，直线与平面所成的角的正弦值为 . 19. 一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球． （1）当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件与是否相互独立； （2）某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量？ 【答案】（1），不独立； （2）当时，获奖的可能性最大；当时，获奖的可能性最小. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率及条件概率公式求解，再利用全概率公式求出，利用相互独立事件定义判断即可. （2）求出获奖的概率，再构造函数，结合组合数公式探讨单调性确定概率最大、最小值. 【小问1详解】 当时，盒中有6个白球，14个黑球，，， ， ，则，所以事件与相互不独立. 【小问2详解】 从20个球中取10个球，恰有3个白球的概率， 设，当时，， ，当时，， 当时，，因此， 而，则， 所以当时，参与者获奖的可能性最大；当时，参与者获奖的可能性最小. 20. 设，点分别是椭圆的上顶点与右焦点，且，直线经过点与交于两点，是坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）若，点是轴上的一点，且的面积为，求点的坐标； （3）若点在直线上，向量在直线上的投影为向量，证明. 【答案】（1） （2）或 （3） 设， 因为向量在直线上的投影为向量，故， 故直线的斜率为，故直线的方程为，故， 而， 故， 联立， ，， 故， 设，设， 由双勾函数的性质可得在为增函数， 故，故， . 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标和的长度求出基本量后可得椭圆的标准方程； （2）求出直线与椭圆的交点后可得关于横坐标的方程，从而可求其坐标. （3）利用两角和的正切结合韦达定理可证. 【小问1详解】 ， 直线l过所以右焦点，即， 所以，椭圆方程为. 【小问2详解】 当，直线，， 解得， ， 设，到直线距离， 由面积，得或， 即或 . 【小问3详解】 略 21. 若存在实数常数k，m，对任意，不等式恒成立，则称直线是函数和函数在上的分界线． （1）请写出函数和函数在上的一条斜率为1的分界线；（不必证明） （2）求证：函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； （3）试探究函数（e为自然对数的底数）和函数在上是否存在分界线．若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（答案不唯一，满足的均可） （2）由题意，设是函数和函数在上过坐标原点的分界线， 则在上恒成立，即在上恒成立， 因为，所以， 因为，所以， 综上所述， 所以函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由题意直线是函数和函数在上的一条分界线，则在上恒成立，利用分离参数法，再构造函数，利用导数求出其最值，即可得解； （2）由题意，设是函数和函数在上过坐标原点的分界线，则在上恒成立，再分离参数，求出函数的最值，进而可求出的值，即可得证； （3）由题意可得恒成立，令，求出，则恒成立，再利用根的判别式求出，再构造函数，利用导数求出其最小值即可得出结论. 【小问1详解】 由题意直线是函数和函数在上的一条分界线， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，所以， 令，则， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 综上所述，， 所以满足题意的直线可以是；（答案不唯一，满足的均可） 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若存在，则恒成立， 令，则，所以， 因此，恒成立，即恒成立， 由得，， 现在只要判断是否恒成立， 设，则， 当时，，，， 当时，，， 所以，即恒成立 所以函数和函数在上存在分界线， 其方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷类型：B 闵行中学2025学年第二学期期末考试 高三年级数学试卷 （完卷时间：120分钟 满分：150分） 考生注意： 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效； 2.答卷前，考生务必将姓名、准考证号和试卷类型等相关信息在答题卷上填写清楚； 3.本试卷共21道试题. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1. 已知全集为，集合，则______． 2. 不等式的解集为_____________． 3. 椭圆的离心率为___________． 4. 设，，是等差数列的前项和，若，则的值为____________. 5. 设，拋物线上的点到的焦点的距离为5，点到轴的距离为3，则的值为____________. 6. 设，若的展开式中项的系数为10，则____________. 7. 已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为____ 8. 已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为_________. 9. 已知中，，，点在线段上，且，则的值为_________. 10. 已知个小球的编号为、、、，从中有放回地摸取小球三次，并依次记录其编号，若这三个编号成等差数列，则共有______种不同的摸取方法. 11. 1798年，人口学家马尔萨斯假设：单位时间内的人口增长量与人口数成正比，进而建立马尔萨斯人口增长模型.19世纪中叶的生物学家们发现，由于人类生存条件的限制，存在人口最大瞬时增长率，当达到时，人口增长率会随着的增长而下降，因此需要改进马尔萨斯的假设．他们假设：①是随着时间连续变化的函数；②存在最大人口数，人口数达到时，；③仅与和有关；④，那么在这些条件下建立的人口增长模型___________．（用含有、、的式子表示） 12. 记为有限集合中的元素个数.设，能被整除}，若对于任意实数和任意正整数，恒有，则实数的取值范围是______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. “”是“一元二次不等式的解集为R”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 设，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边经过点，且，则角属于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 15. 设，点，是坐标原点，，是双曲线的左焦点，若直线经过点，且与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（ ） A. B. C. D. 16. 在空间中，点、均为定点，且．设集合，则以下说法正确的是（ ）． ①若在上的数量投影为，则线段在运动过程中所形成的几何体体积为； ②对于任意的以及任意的正实数，设，若，则． A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤. 17. 已知向量、，记． （1）求函数的最小正周期； （2）若函数（其中常数）为奇函数，求的值． 18. 如图，在三棱柱中，，且. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 19. 一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球． （1）当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件与是否相互独立； （2）某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量？ 20. 设，点分别是椭圆的上顶点与右焦点，且，直线经过点与交于两点，是坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）若，点是轴上的一点，且的面积为，求点的坐标； （3）若点在直线上，向量在直线上的投影为向量，证明. 21. 若存在实数常数k，m，对任意，不等式恒成立，则称直线是函数和函数在上的分界线． （1）请写出函数和函数在上的一条斜率为1的分界线；（不必证明） （2）求证：函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； （3）试探究函数（e为自然对数的底数）和函数在上是否存在分界线．若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $