06 一元二次方程、不等式 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦一元二次不等式解法、三个二次关系及恒成立问题，以题组训练构建知识逻辑链，培养推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式的解法|1例+4训练|含参不等式求解、集合综合|从具体到含参，构建不等式解法体系| |三个二次之间的关系|1例+2训练|已知解集反求参数、多选判断|联结二次函数、方程与不等式的内在联系| |一元二次不等式恒成立问题|1例+2训练|任意/存在性参数范围、命题真假|深化三个二次关系，提升模型应用能力|

2027届高三数学一轮复习—— 一元二次方程、不等式 专项训练 06一元二次方程、不等式 专项训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1、 不等式的解法 例1．（多选）下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式 的解集为 训练1-1．求关于的不等式的解集 训练1-2．求下列关于x的不等式的解集． (1)； (2)； (3)． 训练1-3．已知集合，集合，． (1)求集合，； (2)记，且集合中有且仅有一个整数，求实数的取值范围． 训练1-4．解关于x的不等式. 二、三个二次之间的关系 例2．（多选）已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 训练2-1．（多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集为 训练2-2．（多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的有（    ）． A． B．不等式的解集为 C． D． 三、一元二次不等式恒成立问题 例3．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 训练3-1．使命题“”为假命题的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 训练3-2．已知函数． (1)若，都有，求实数的取值范围； (2)若，使得，求实数的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习—— 一元二次方程、不等式 专项训练 06一元二次方程、不等式 专项训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1、 不等式的解法 例1．（多选）下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式 的解集为 【答案】AB 【详解】不等式，即，解得或， 故不等式的解集为或，A正确； 不等式，即，即， 所以，解得， 故不等式的解集为，B正确； 不等式，即或，解得或， 即不等式的解集为或，C错误； 因为不等式， 所以，即，D选项的解集中包含了，所以D错误. 训练1-1．求关于的不等式的解集 【答案】当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为 【详解】原不等式可化为 ， 两边除以得，对应方程的根为， 当即时，不等式解集为； 当即时，不等式化为，解集为空集； 当即时，不等式解集为. 训练1-2．求下列关于x的不等式的解集． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1). (2). (3)时解集为；时解集为； 时解集为； 【详解】（1）即为，故或， 故不等式的解集为. （2）即为，故或， 所以或， 故不等式的解集为. （3）即为， 若，则不等式的解集为； 若，则不等式的解集为； 若，则不等式的解集为； 综上，不等式的解集为： 时解集为；时解集为； 时解集为； 训练1-3．已知集合，集合，． (1)求集合，； (2)记，且集合中有且仅有一个整数，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 当时，； 当时，； 当时，． (2)或． 【分析】（1）由不等式可得，分类讨论与的关系，即可得到结果 （2）根据实数分类讨论，结合区间左右边界，保证集合中有且仅有一个整数，即可得到结果. 【详解】（1）由，解得或，所以或． 又， 当时，； 当时，； 当时，． （2）由于，且集合中有且仅有一个整数. 当时，，则，舍； 当时，，此时， 中仅有整数，则，即； 当时，，中仅有整数， 则，即． 综上，实数k的取值范围为或． 训练1-4．解关于x的不等式. 【答案】当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【分析】根据含参一元二次不等式的解法，分类讨论最高项系数以及根的大小即可得答案. 【详解】①当时，原不等式即为，解得； ②当时，原不等式化为，解得或； ③当时，原不等式化为， 若，即，不等式无解, 若，即时，解得, 若，即时，解得. 综上可知，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 二、三个二次之间的关系 例2．（多选）已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 【答案】BC 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理逐项分析判断即可. 【详解】由题意知，（A错误），且，是方程的两根， 所以，，即，. B：可化为，因为，， 所以不等式的解集是，B正确. C：因为，所以，C正确， D：可化为， 因为，所以，解得或，故D错误. 训练2-1．（多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】根据一元二次方程与不等式的关系得，，再结合一元一次不等式和一元二次不等式的解法，依次讨论各选项即可得答案. 【详解】∵关于的不等式的解集为， ∴，和3是关于的方程的两根，A选项正确； 由根与系数的关系得，则， ∴，B选项错误； ∴不等式可化为，即，解得，C选项正确； 不等式可化为，即，解得或， D选项正确． 训练2-2．（多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的有（    ）． A． B．不等式的解集为 C． D． 【答案】AB 【分析】由不等式的解集为两根之间可判断A；由不等式的解集可知对应方程的根，从而得到之间的关系，可判断BCD. 【详解】关于x的不等式的解集为， 由不等式的解集为两根之间，得，故A正确； 由题意可知和4是方程的两根， 可得，解得， 对于B，，所以， 所以不等式的解集为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：AB． 三、一元二次不等式恒成立问题 例3．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过对进行分类讨论来求解不等式恒成立问题. 【详解】首先，若，明显不恒成立. 若，恒成立. 若，可知当时最大， 所以即可， 解得. 所以综上所述，. 训练3-1．使命题“”为假命题的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若命题“”为假命题， 则命题“”为真命题. 由，得，所以. 所以. 训练3-2．已知函数． (1)若，都有，求实数的取值范围； (2)若，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）分和两种情况，结合函数单调性得到不等式，求出的取值范围； （2）变形，令，将其看作关于的一次函数，，使得，从而得到不等式，求出答案 【详解】（1） 当时，，符合题意； 当时，的对称轴为，故在区间上单调， 当时，开口向上，在区间上单调递减，只需， 即，解得，故； 当时，开口向下，在区间上单调递增，只需， 即，解得，故， 综上，且， 综上所述，实数的取值范围是． （2），即，， ，令， 将其看作关于的一次函数，，使得， 只需或， 由可得，解得， 由可得，解得， 因为，所以实数的取值范围是． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $