2.3.2 两点间的距离公式 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦两点间的距离公式，通过回顾数轴上两点距离，过渡到平面内与坐标轴平行的两点距离，再引导学生用勾股定理和向量模长推导任意两点距离公式，衔接上节课直线位置关系，搭建从特殊到一般的学习支架。 其亮点在于以坐标法解决几何问题为主线，明确“建系、表量、运算、翻译”四步骤，结合例4证明平行四边形对角线性质、例5判断三角形形状等实例，培养数学思维与推理能力，通过向量法推导体现数学语言表达，小结结构化整合知识，助力学生构建解析几何体系，教师可直接借鉴实例与方法提升教学效率。

2.3.2 两点间的距离公式 授课人：张发松 学 校：昆明市呈贡区第一中学 1 学习目标 目标导航 1. 能用文字语言和符号语言准确表述两点间的距离公式，并能说出公式中各部分（坐标差）的几何意义。 2.经历两点间距离公式的推导过程，理解“构造直角三角形—应用勾股定理”的转化策略，体会从特殊到一般、从几何直观到代数运算的思维路径。 3.能运用坐标法解决平面几何中的简单度量问题（如判断三角形形状、证明三点共线、求中垂线方程等），并在新情境中主动调用坐标法的一般路径。 4.感悟数形结合思想，建立一维、二维距离的类比迁移意识，理解本节课在整个解析几何单元中的地位，形成单元结构化认知。 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 2 内容解析 单元大观念： 平面几何图形的度量与位置关系，可以通过平面直角坐标系转化为坐标的代数运算；几何长度可以等价转化为向量模长进行计算，实现几何问题代数化。。 单元大问题： 坐标系是沟通平面几何与代数运算的桥梁。借助坐标系，几何对象可以翻译成坐标、方程；代数运算结果可以还原成几何结论，实现用代数工具研究几何问题。 本课大问题： 在平面直角坐标系中，已知两点的坐标，如何“计算”它们之间的距离？坐标法解决几何度量问题的一般路径是什么？ 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 3 数学本质： 两点间的距离公式的数学本质是勾股定理在平面直角坐标系中的坐标化表达。其深层结构是：在欧氏平面中，借助正交坐标系，将“两点间最短路径长度”这一几何不变量，转化为坐标差的平方和再开方的代数运算。具体表现为： 坐标化思想：建立平面中点与坐标的一一对应，把几何度量（两点之间线段长度） 转化为坐标代数运算，实现以数研形。线线垂直 向量模长思想：两点距离本质是两点所构成向量的模， 距离是向量模的几何意义，沟通向量运算与几何长度度量. 降维与勾股思想：把平面内斜线段，向坐标轴作投影，分解为横、纵坐标差两个正交方向， 借助勾股定理完成推导，体现几何问题分解转化思想。 通性通法 —— 坐标法（解析法）： ①建系，几何点坐标化； ②代数运算； ③代数结果翻译回几何结论，是解析几何解决平面几何问题普适程序性方法。 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 4 【环节一】锚定大问题，构建整体学习视野 核心问题： 在平面直角坐标系中，已知两点的坐标，如何“计算”它们之间的距离？坐标法解决几何度量问题的一般路径是什么？ 子问题 子问题 1：数轴上两点距离怎么算？升级到平面直角坐标系， 若两点在坐标轴平行线上，距离如何计算？ 子问题 2：平面任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，你能从哪些角度推导两点之间距离？ （勾股定理几何视角、平面向量模长代数视角） 子问题 3：距离公式中坐标作差的顺序是否影响结果？原点到任意点距离是什么特殊形式？ 子问题 4：得到距离公式之后，怎样利用坐标法解决平面几何问题？坐标法的基本步骤是什么？ 导语 上一节课我们研究了两条直线的交点坐标。怎样求交点？——通过联立直线方程、求解交点坐标，我们成功实现了“直线位置关系的代数化刻画”，解决了几何中的位置关系问题。 几何中除了“位置关系”，还有一类基本问题——“度量关系”。比如：两点之间有多远？点到直线有多远？两条平行线之间有多远？这些“距离”能否也像求交点一样，用坐标“算”出来？ 【环节二】从“位置”到“度量”——坐标法的再出发 1、在平面直角坐标系中，已知两点的坐标，如何计算它们之间的距离？ 2、坐标法解决几何度量问题的一般路径是什么？ 问题1-1：数轴上两点间的距离如何用坐标表示？这对平面情形有何启示？ 数轴上 【环节二】从“位置”到“度量”——坐标法的再出发 追问：为什么用绝对值？绝对值在这里的几何意义是什么？ 问题1-2：当两点连线与坐标轴平行时，距离如何用坐标表示？ x y O P2 (x2，y2) P1 (x1，y1) x y O P1 (x1，y1) P2 (x2，y2) Q (x2，y1) x y O P1 (x1，y1) P2 (x2，y2) || = || || = || 两点间的距离公式： 问题1-2：当两点连线与坐标轴平行时，距离如何用坐标表示？ 【环节二】从“位置”到“度量”——坐标法的再出发 问题1-3：当两点连线不与坐标轴平行时，如何构造几何关系求得距离？ 追问：你还有其他办法推导两点间的距离公式吗？ 探究 【环节二】从“位置”到“度量”——坐标法的再出发 辨析 识别 【环节三】辨析公式，深化理解 例3 已知点A(－1, 2), B(2, ), 在x轴上求一点P, 使得|PA|=|PB|, 并求|PA|的值. 【环节四】典例探究 坐标法解决几何问题 教材P74 巩固训练 1. 求下列两点间的距离： (1) A(6, 0), B(－2, 0)； (2) C(0, －4), D(0, －1)； (3) P(6, 0), Q(0, －2)； (4) M(2, 1), N(5, －1). |AB|=8 |CD|=3 2. 已知A(a, －5)与B(0, 10)两点间的距离是17，求a的值. 【环节四】典例探究 坐标法解决几何问题 12 例4 用坐标法证明: 平行四边形两条对角线的平方和等于两条相邻的平方和的两倍. y x O (b,c) (a+b,c) (a,0) (0,0) A B D C 解：如右图,以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系， 则有A(0,0). 设B(a,0)， 由平行四边形的性质，得 C(a+b,c). |AB|²=a²， |AD|²=b²+c² |AC|²=(a+b)²+c²， 由两点间的距离公式，得 |BD|²=(b-a)²+c² ∴ |AC|²+|BD|²=2(a²+b²+c²) |AB|²+|AD|²=a²+b²+c² ∴|AC|²+|BD|²=2( |AB|²+|AD|²) 【环节四】典例探究 坐标法解决几何问题 D(b,c), 13 总结 第 1 步 一建：建立适当的平面直角坐标系， 第 3 步 三算：进行有关代数运算 第 2 步 二表：用坐标表示点、距离等有关量 四翻译：把代数运算的结果“翻译”成几何结论 第 4 步 【环节四】典例探究 坐标法解决几何问题 追问：你还能想到其他解决本问题吗？ 例4：如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？ A B C D [来源:学科网ZXXK] 解：取 为基底，设 ， 则 所以 上面两式相加得 所以 第一步：形到向量 第二步：向量的运算 第三步：向量和数到形 【环节四】典例探究 坐标法解决几何问题 15 y x O 教材P74 （巩固训练）P74 3. 用坐标法证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等. B C A M (0,0) (a,0) (0,b) 解：以顶点C为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立直角坐标系，则有C(0,0)， 即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等. 【环节四】典例探究 坐标法解决几何问题 16 【环节四】典例探究 坐标法解决几何问题 思考：斜率为的直线上的两点， 则 的距离公式还可以怎样表示？ 【环节六】结构整合，体系建构 拓展 解，得于是， ＝＝. ＝＝. 已知斜率为的直线上的两点间的距离公式为： ＝＝. 【环节六】结构整合，体系建构 思考：斜率为的直线上的两点， 则 的距离公式还可以怎样表示？ 情境引入： 课堂小结 本节课你学习到了什么？ （知识？方法？思想？） 20 第 1 步 一建：建立适当的平面直角坐标系， 第 3 步 三算：进行有关代数运算 第 2 步 二表：用坐标表示点、距离等有关量 四翻译：把代数运算的结果“翻译”成几何结论 第 4 步 【环节四】典例探究 坐标法解决几何问题 1.平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)的距离： 01 02 03 基础：教科书第74页练习第1-3题， 第79页习题2.3第2题. 提升：教科书第79页习题2.3第3、4题， 拓展：用你喜欢的方式（思维导图、表格、流程图等） 整理“距离”在目前已学知识中的位置与联系。 情境引入： 课后作业 感谢大家的聆听 授课人：张发松 学 校：昆明市呈贡区第一中学 23 3、当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|. 2、当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|. 1、此公式计算两点间距离与两点的先后顺序无关 $