湖南省衡阳市衡阳县第四中学2026-2027学年高二上学期开学测试数学试题

**基本信息** 高二开学数学测试卷立足基础，通过统计图表、立体几何、概率模型等真实情境，考查数学眼光、思维与语言，适配学段衔接需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5题77分|统计（分位数）、立体几何（正四棱台）、解三角形、概率（赛程模型）|第15题结合居民用水频率分布直方图考查分位数计算与概率应用，第18题以围棋赛程设计多情境概率问题，体现逻辑推理与数据意识|

衡阳县四中2026-2027学年上学期高二开学测试卷 数学 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若，则( ) A. B. C. D. 2.甲班和乙班同学在体育课上进行拔河比赛，比赛采取三场两胜制，假设每场比赛甲班获胜的概率均为，每场比赛结果互不影响，则甲班最终获胜的概率为( ) A. B. C. D. 3.在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为( ) A. B. C. D. 4.已知，，若从集合M，N中各任取一个数x，y，则为整数的概率为( ) A. B. C. D. 5.如图，在平行四边形ABCD中，，F为BC的中点，G为EF上的一点，且，则实数m的值为( ) A. B. C. D. 6.已知α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是( ) A.， B.， C.， D.，，， 7.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为S.若，且，则( ) A. B. C. D. 8.正方体中，下列结论错误的是( ) A. B.平面ABC C.平面平面 D.平面平面 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.有一组样本数据，，…，，其中是最小值，是最大值，则( ) A.，，，的平均数等于，，…，的平均数 B.，，，的中位数等于，，…，的中位数 C.，，，的标准差不小于，，…，的标准差 D.，，，的极差不大于，，…，的极差 10.如图，已知，，，，其内有一点G，满足，过点G的直线分别交AB，AC于点D，E.设，（，），则下列说法正确的是( ) A. B.点G为的重心 C. D. 11.已知圆锥（O是圆锥底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为4，底面半径为3.若P，Q为底面圆周上的任意两点，则下列说法正确的是( ) A.圆锥SO的侧面积为 B.面积的最大值为 C.三棱锥体积的最大值为 D.圆锥SO的内切球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知向量，，，且，则______. 13.设复数满足，，，则______. 14.猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，三位同学独立竞猜，其中的20道灯谜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道.以频率估计概率，任选一道灯谜，甲、乙两位同学恰有一个人猜对的概率为__________；若甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，则n的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）为了解居民用水情况，相关部门通过抽样，获得了某年100户居民每户的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值并估计该地区月均用水量的60%分位数； （2）现从该地区居民中任选2户居民，将月均用水量落入各组的频率视为概率，不同户居民的月均用水量相互独立，求恰有1户居民月均用水量大于分位数的概率； （3）现有4户居民甲、乙、丙、丁，经调查，甲和乙月均用水量大于分位数，丙和丁月均用水量不大于60%分位数，现从该4户中随机选2户，求所选2户中恰有1户月均用水量大于分位数的概率. 16.（15分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点. （1）若，求的值； （2）若AC交BN于点P，求线段MP的长. 17.（15分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且. （1）求角A的大小； （2）若，求的面积. 18.（17分）甲、乙、丙、丁4名棋手进行围棋比赛，赛程如框图所示，其中编号为的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为，乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同. （1）求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率； （2）求甲获得冠军的概率； （3）求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率. 19.（17分）如图，在正四棱台中，，. （1）若，求直线与平面所成的角. （2）证明：平面；并求当该正四棱台的高为3时，三棱锥的体积. 答案 1.答案：C 解析：因为，所以，故，故选C. 2.答案：D 解析：甲班最终获胜有三种情况：①甲班前两场获胜；②甲班第1场和第3场获胜，第2场输；③甲班第1场输，第2场和第3场获胜.故甲班最终获胜的概率为. 3.答案：B 解析：设平面ABCD的法向量为，则即取，得，四棱锥的高即为点S到平面ABCD的距离，为.故选B. 4.答案：C 解析：，，从集合M，N中各任取一个数x，y的样本空间，共有8个样本点.记事件“为整数”，则，共4个样本点，所以. 5.答案：B 解析：因为，F为BC的中点，所以，.连接AE，AF，因为E，G，F三点共线，所以设，又，所以解得所以实数m的值为. 6.答案：C 解析：A：直线l可能平行于平面α、在平面α内或垂直平面α，无法确定. B：a平行平面α，与a垂直的直线l可在面内，无法确定. C：若一条直线垂直于一个平面，则与这条垂线平行的直线垂直该平面，成立. D：缺少a，b相交的条件，若，l可平行于平面α或在平面α内，不能推出. 7.答案：A 解析：在中，，而，由，得，又，，则，由正弦定理得，解得，由，得，所以. 8.答案：D 解析：因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，A正确. 正方体的各面都为正方形，所以，，又，，平面ABC，所以平面ABC，B正确. 由，平面，平面，可得平面，同理由可得平面.又，所以平面平面，C正确. 过C作，若平面平面，则由，平面平面，平面可得平面，这与平面矛盾，所以假设不成立，D错误. 9.答案：BD 解析：取，，，则，，，的平均数为2，标准差为0，，，…，的平均数为3，标准差为，故A，C不正确；根据中位数的定义，将，，…，按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数，由于是最小值，是最大值，故，，，的中位数是将，，，按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与，，…，的中位数相等，故B正确；根据极差的定义，知，，，的极差不大于，，…，的极差，故D正确. 10.答案：BCD 解析：由，得，得，得，A错误；如图，取BC的中点为M，连接GM，由，得，所以点A，G，M共线，且G为靠近点M的三等分点，故G为的重心，B正确；由，及D，G，E三点共线，得，故，C正确；因为，，，即，所以.以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，则，，（另解：延长CG交AB于点N，则N为AB的中点，则，在中，，又G为重心，所以）D正确. 11.答案：ACD 解析：A选项，底面半径为3，则底面圆周长为，又母线长为4，则侧面积为，故A正确； B选项，由母线长为4，底面半径为3，可得圆锥的高.设BC是底面圆的一条直径，如图①，则在中，，则是钝角，又，则存在点P，Q，当时，，面积的最大值为8，故B错误； C选项，，由圆锥的几何特征知三棱锥的高在圆锥底面上，当，即OQ为三棱锥的高时，，故C正确； D选项，设内切球球心为，则在线段SO上，半径为r，过作，如图②，则，，，则，则，即，解得，内切球表面积为，D正确.故选ACD. 12.答案：3 解析：因为，，，所以，可得，因为，解得，故答案为3. 13.答案： 解析：设在复平面内对应的向量分别为，则，，且. 考虑到，故，故，所以. 14.答案：；10 解析：设事件A为“任选一道灯谜甲猜对”，事件B为“任选一道灯谜乙猜对”，事件C为“任选一道灯谜丙猜对”，则，，，故，，.“甲、乙两位同学恰有一个人猜对”即，且与互斥.每位同学独立竞猜，故A，B相互独立，则A与，与B，与均相互独立，所以.设事件D为“甲、乙、丙三人中至少有一个人猜对”，则，所以，解得. 15.解析：（1）由频率分布直方图，得，解得. 数据落在区间的频率为， 数据落在区间的频率为， 则用水量吨数的分位数， 由，解得， 故估计该地区月均用水量的分位数为2.25吨. （2）设事件表示第i户居民月均用水量大于分位数，则， 事件B表示恰有1户居民月均用水量大于分位数，， 因此， 所以恰有1户居民月均用水量大于分位数的概率为0.48. （3）试验的样本空间（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁）， （丙，丁），共6个样本点， 事件M表示所选2户中恰有1户月均用水量大于分位数， 则（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），共4个样本点，所以. 所以所选2户中恰有1户月均用水量大于分位数的概率为. 16.解析：（1）以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， 则，，. 由，得， 所以解得 因此. （2）设，因为B，P，N三点共线，所以， 则存在唯一实数m，使得， 则，可得，，即. 又A，P，C三点共线，且，， 所以，解得， 则，所以， 所以， 所以线段MP的长为. 17.解析：（1）因为， 所以由正弦定理得， 又， 故， 所以， 整理得， 因为，所以， 两边同除以得，即， 又，所以. （2）由及正弦定理知， 由（1）知，所以. 因为，所以，故B为锐角，. 因为， 所以. 由正弦定理，得， 则， 故. 18. 解析：（1）乙连负两场，即乙在第1场、第4场均负， 所以乙连负两场的概率为. （2）甲获得冠军，则甲参加比赛的结果有三种情况： 1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜， 所以甲获得冠军的概率为. （3）若乙的决赛对手是甲，则两人参加比赛的结果有两种情况： 甲的比赛结果为1胜3胜，乙的比赛结果为1负4胜5胜； 甲的比赛结果为1负4胜5胜，乙的比赛结果为1胜3胜. 所以所求概率为. 若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加比赛的结果有两种： 乙的比赛结果为1胜3胜，丙的比赛结果为2胜3负5胜； 乙的比赛结果为1胜3负5胜，丙的比赛结果为2胜3胜. 又考虑甲在第4场和第5场的结果，则乙与丙在第3场和第6场相遇的概率为 . 若乙的决赛对手是丁，则其比赛结果与乙的决赛对手是丙的结果相同， 所以乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为 . 19. 解析：（1）如图，连接AC，交BD于O，取的中点，连接，则，O分别为正四棱台上、下底面的中心，且平面ABCD. 因为，，所以，， 在平面中，过作，交OA于E， 则平面，即直线和平面ABCD所成的角， 又，， 所以在中，， 所以，即直线与平面ABCD所成的角为. 因为平面平面， 所以直线与平面所成的角也为. （2）如图，连接，在正四棱台中，， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面， 所以点A和到平面的距离相等，连接，则， 因为该正四棱台的高为3， 所以， 所以三棱锥的体积为8. 学科网（北京）股份有限公司 $