1.2.1提单项式公因式（课件）2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“提单项式公因式”，系统涵盖公因式确定、提取方法、符号变换及应用等核心知识点。课堂导入通过“说一说”环节引导学生观察多项式因式，从具体实例抽象出公因式定义，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生逐步理解提公因式法原理。 其亮点在于以数学眼光引导学生抽象公因式概念，通过例题分析、错误纠正（如分解不彻底、符号错误）培养数学思维中的推理意识和运算能力，结合简便计算、几何应用等实例强化数学语言表达。采用分层练习与系统小结，学生能提升因式分解技能，教师可借助结构化资源高效开展教学。

湘教版数学八年级上册1.2.1提单项式公因式专项练习 核心考点：单项式公因式的确定方法、提取单项式公因式分解多项式、含负号公因式的提取、提公因式法的简单应用 答题要求：熟练掌握公因式的判定规则，提取公因式要彻底，注意符号变换，解题步骤书写规范，最终结果化为最简整式积的形式 一、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 多项式$$9x^2-6x$$的单项式公因式是（） A. $$3x$$ B. $$9x$$ C. $$3x^2$$ D. $$x$$ 2. 分解因式$$-4a^2+8a$$的正确结果是（） A. $$-4a(a-2)$$ B. $$4a(-a+2)$$ C. $$-4a(a+2)$$ D. $$4a(a-2)$$ 3. 下列多项式中，公因式为$$2xy$$的是（） A. $$2x^2y-4xy^2$$ B. $$2x^2y+3xy$$ C. $$x^2y-2xy^2$$ D. $$2xy^2-3x^2y^2$$ 4. 分解因式时，提取公因式的基本原则是（） A. 只提取数字公因数 B. 提取次数最低的相同字母因式 C. 提取各项最大单项式公因式 D. 随意提取任意因式 5. 若将$$5m(x-y)-10n(x-y)$$提取公因式后，剩余因式是（） A. $$m-2n$$ B. $$m+2n$$ C. $$5(m-2n)$$ D. $$m(x-y)-2n(x-y)$$ 二、基础填空题（每题4分，共20分） 6. 确定多项式单项式公因式时，系数取各项系数的________，字母取各项________的字母，且次数取最________次。 7. 多项式$$12a^3b-8a^2b^2$$的公因式是________。 8. 因式分解：$$7x^2y-21xy^2=$$________。 9. 提取负号公因式时，括号内各项符号需________。 10. 若$$6x^2+kx=2x(3x-4)$$，则$$k=$$________。 三、基础解答题（每题10分，共30分） 11. 找出下列多项式的单项式公因式。 （1）$$15x^3-10x^2+5x$$（2）$$-9a^2b+6ab^2-3ab$$ 12. 用提单项式公因式法分解下列多项式。 （1）$$8m^2n-24mn^2$$ （2）$$-5x^3+10x^2-15x$$ 13. 纠正下列错误的因式分解过程，写出正确结果。 （1）$$4x^2-6x=2(2x^2-3x)$$ （2）$$-3a^2+6a=-3a(a+2)$$ 四、能力提升题（15分） 14. 利用提公因式法简便计算：$$3.14×26+3.14×65+3.14×9$$ 五、拓展探究题（15分） 15. 已知长方形的面积为多项式$$12a^2b-8ab^2$$，其中一条边长为$$4ab$$，请利用提公因式因式分解求出另一条边长。 参考答案与详细解析 一、选择题 1. A 解析：系数9和6的最大公约数为3，相同字母为x，最低次数为1，故公因式为$$3x$$。 2. A 解析：原式提取公因式$$-4a$$，括号内各项变号，得$$-4a(a-2)$$，分解彻底且符号正确。 3. A 解析：A选项公因式为$$2xy$$，B选项公因式为$$xy$$，C选项公因式为$$xy$$，D选项公因式为$$2xy^2$$。 4. C 解析：提公因式法核心是提取多项式各项的最大单项式公因式，保证分解结果最简彻底。 5. A 解析：原式提取公因式$$5(x-y)$$，剩余因式为$$m-2n$$。 二、填空题 6. 最大公约数；共有；低 7. $$4a^2b$$ 解析：系数12、8最大公约数为4，共有字母a、b，最低次数分别为2、1。 8. $$7xy(x-3y)$$ 9. 全部改变 10. $$-8$$ 解析：展开右边$$2x(3x-4)=6x^2-8x$$，对应系数得$$k=-8$$。 三、解答题 11. 解：（1）系数最大公约数5，共有字母x，最低次数1，公因式为$$5x$$；（2）系数最大公约数3，共有字母a、b，最低次数均为1，首项为负，公因式为$$-3ab$$。 12. 解：（1）原式$$=8mn(m-3n)$$；（2）原式$$=-5x(x^2-2x+3)$$。 13. 解：（1）分解不彻底，仍有公因式x，正确结果：$$2x(2x-3)$$；（2）符号错误，正确结果：$$-3a(a-2)$$。 四、能力提升题 14. 解：原式$$=3.14×(26+65+9)=3.14×100=314$$，通过提取公因数简化小数复杂运算。 五、拓展探究题 15. 解：长方形面积=长×宽，另一条边长=面积÷已知边长。对面积因式分解：原式$$=4ab(3a-2b)$$，除以边长$$4ab$$，得另一条边长为$$3a-2b$$。 练习总结：提取单项式公因式是因式分解的基础方法，核心是精准找准最大公因式，重点掌握负数公因式的提取规则，避免符号错误和分解不彻底的问题。本节知识是后续公式法因式分解的前提，需熟练掌握基本步骤，灵活应用于化简、简便计算和几何求值中。 湘教版（新教材）数学八年级上册 1.2.1提单项式公因式 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第1章 因式分解 学习目标 1.能准确地找出各项的公因式，并注意各种变形的 符号问题； 2.能简单运用提公因式法进行因式分解.（难点） 学习目标 新课导入 分别说出xy，3xz中次数大于0的因式，其中有相同的因式吗？ xy 3xz x y x z 由此看出，xy，3xz有相同的因式x. 几个多项式的相同因式称为它们的公因式. 如何把多项式xy+3xz因式分解？ xy+3xz 提取公因式x 乘法分配率 =x·y+x·3z =x(y+3z) 如果一个多项式的各项有公因式，从右到左使用多项式的乘法对加法的分配律，可以把所有公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫作提公因式法． 探索新知 例1 把多项式 4x2－6x3 因式分解． 分析： 1. 定系数：多项式由 4x² 和 －6x3 这两项组成，它们的系数分别为 4，－6，不考虑其符号，则 4 与 6 的最大公因数是 2； 2. 定字母：这两项都含有字母 x， 3. 定指数： x 的最低次数为 2. 因此，可提出公因式 2x². 解：4x2－6x3 = 2x²(2－3x). 1. 把多项式 分解因式，应 提的公因式是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 6 A 2. 将多项式3ab2(x－y)n－9ab(x－y)5因式分解时，提取的公因式是3ab(x－y)5，则n的值可能为(　　) A．6 B．4 C．3 D．2 返回 举一反三 C 3．下列各式的变形中，用提取公因式法分解因式正确的是(　　) A．12abc－9a2b2c3＝3abc(4－3ab) B．3x2y－3xy＋6y＝3y(x2－x＋2y) C．－a2＋ab－ac＝－a(a－b＋c) D．x2y＋5xy－y＝y(x2＋5x) 返回 举一反三 例2 把多项式 8x²y4－12xy²z 因式分解． 解： 8x²y4－12xy²z＝ 4xy² · 2xy²－4xy² · 3z ＝4xy²(2xy²－3z). 三名同学对多项式 2x²＋4x 进行因式分解，结果如下： (1) 2x² + 4x = 2(x² + 2x)； (2) 2x² + 4x = x(2x + 4)； (3) 2x² + 4x = 2x(x + 2). 上述结果正确吗？用提公因式法分解因式时，你认为应注意什么？ 注意：公因式要提尽. (1) 错误. 理由：公因式没有提尽，还可以提出公因式 x. (2) 错误. 理由：公因式没有提尽，还可以提出公因式 2. (3) 正确. 注意：提公因式后，第三项还剩下数字 1. 例3 把多项式 5x²－3xy＋x 因式分解. 分析： 1. 定系数：多项式由 5x²，－3xy 和 x 这三项组成，它们的系数分别为 5，－3，1，不考虑其符号，则5，3，1的最大公因数是 1； 2. 定字母：这三项都含有字母 x， 3. 定指数： x 的最低次数为1. 因此，可提出公因式x. 解：5x²－3xy＋x＝x(5x－3y＋1). 例4 把多项式 －3x²＋6xy－3xz 因式分解. 分析：多项式 －3x²＋6xy－3xz 的首项系数为负数，一般先将负号提取出来，此时括号内各项都要改变符号，然后进行因式分解. 解：－3x²＋6xy－3xz = －(3x²－6xy＋3xz) =－3x(x－2y＋z). 注意：首项有负常提负. 1. 因式分解： (1) 3a3c2＋12ab3c； (2) 3a²－9ab； (3) －5a² + 25a. 解：(1) 3a3c2＋12ab3c＝3ac(a2c＋4b3). (2) 3a²－9ab = 3a(а－3b). (3) －5a² + 25a = －5a(a－5). 针对训练 2. 已知 a＋b＝7，ab＝4，求 a2b＋ab2 的值. 所以 原式＝ab(a ＋ b)＝4×7＝28. 解：因为 a＋b＝7，ab＝4， 方法总结：含 a±b，ab 的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用 a±b 和 ab表示的式子，然后将 a±b，ab 的值整体代入即可. 1.因式分解： (1) 3a3c2＋12ab3c； (2) 3a²－9ab； (3) －5a² + 25a. 解：(1) 3a3c2＋12ab3c＝3ac(a2c＋4b3). 练一练 (2) 3a²－9ab = 3a(а－3b). (3) －5a² + 25a = －5a(a－5). 当堂检测 2. 已知 a＋b＝7，ab＝4，求 a2b＋ab2 的值. 所以 原式＝ab(a ＋ b)＝4×7＝28. 解：因为 a＋b＝7，ab＝4， 方法总结：含 a±b，ab 的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用 a±b 和 ab表示的式子，然后将 a±b，ab 的值整体代入即可. 当堂检测 1. 多项式 15m3n2 + 5m2n - 20m2n3 的公因式是（　　） A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D．5mn2 2. 下列多项式的因式分解，正确的是（　　） A．12xyz - 9x2y2 = 3xyz（4 - 3xyz） B．3a2y - 3ay + 6y = 3y（a2 - a + 2） C．- x2 + xy - xz = - x（x2 + y - z） D．a2b + 5ab - b = b（a2 + 5a） B C 当堂检测 3. 把下列各式分解因式： (1) 8m2n + 2mn = _____________； (2) 12xyz - 9x2y2 = _____________； (3) - x3y3 - x2y2 - xy = _________________. 2mn ( 4m + 1) 3xy ( 4z - 3xy) - xy ( x2y2 + xy + 1) 4. 把 - 24x3 - 12x2 + 28x 分解因式. 当堂检测 5. 简便计算： (1) 1.992 + 1.99 × 0.01； (2) 20002 + 2000 - 20012； (3) (- 2)101 + (- 2)100. (2) 原式 = 2000×(2000+1) - 20012 = 2000×2001 - 20012 = 2001×(2000 - 2001) = -2001． 解：(1) 原式 = 1.99(1.99 + 0.01) = 3.98. (3) 原式 = (- 2)100×(- 2 + 1) = 2100×(- 1) = - 2100. 当堂检测 6. 已知 2x + y = 4，xy = 3，求代数式 2x2y + xy2 的值. 解：2x2y + xy2 = xy(2x + y) = 3×4 = 12. 当堂检测 3x2(答案不唯一) 4. 在□处填入一个整式，使关于x的多项式4x3＋□＋x可以因式分解，则□处可以填：____________________(写出一个即可)． 返回 举一反三 21 【解】原式＝9xy(x－y)[3x－4(x－y)] ＝9xy(x－y)(3x－4x＋4y)＝9xy(x－y)(－x＋4y)． (2)27x2y(x－y)－36xy(x－y)2； 举一反三 22 返回 举一反三 23 返回 D 6. [娄底市期中]将多项式x2y(a－b)－xy(b－a)＋y(a－b)提公因式后，另一个因式为(　　) A．x2－x＋1 B．x2＋x＋y C．x2－x－1 D．x2＋x＋1 举一反三 24 课堂小结 2. 确定公因式的方法： 一看系数，二看字母，三看指数. 1. 提公因式法分解因式步骤 (分两步)： 第一步，找出公因式； 第二步，提公因式. 3. 用提公因式法分解因式应注意的问题： (1) 公因式要提尽； (2) 小心漏项； (3) 多项式的首项取正号. 谢谢观看 THANKS 5.把下列各式分解因式： (1)a2b4＋a2b2； 【解】原式＝a2b2. (3)－3x3myn－1－2x2myn＋6xmyn＋1(m，n均为大于1的正整数)． 【解】原式＝－xmyn－1(3x2m＋2xmy－6y2)． $