专题05 平行四边形和梯形（解决问题讲义）数学人教版四年级上册（新教材）

该小学数学讲义通过考点梳理框架系统构建平行四边形和梯形单元知识体系，涵盖平行与垂直的特征及性质、作图方法、平行四边形和梯形的定义性质与周长计算，以核心思路、方法技巧和易错点呈现知识脉络，突出同一平面内直线位置关系等重难点及内在联系。 讲义亮点在于结合生活情境的练习设计，如梯子结构判断、跳远距离测量等典例，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。分层练习从夯实基础到思维拓展，如平行四边形周长计算、梯形篱笆设计等题型，助力不同层次学生提升，为教师实施精准教学提供系统支持。

（新教材）人教版四年级数学上册解决问题 专题05：平行四边形和梯形 （考点梳理+典例分析+变式训练+分层练习） 考点01：平行与垂直的特征及性质 1．核心思路：抓住定义判断，牢记同一平面内两条直线的位置关系。 2．方法技巧： （1）同一平面内两条直线：要么相交，要么互相平行。 （2）相交成直角→互相垂直 【易错点】 （1）必须强调同一平面内，不在同一平面的直线不适用。 （2）垂直是相交的特殊情况。 （3）平行线永不相交。 考点02：画平行线、垂线 1．核心思路：借助三角尺、直尺平移、重合对齐来作图。 2．方法技巧： （1）画垂线：三角板一条直角边贴已知直线，移动三角板使另一直角边对准点，画线。 （2）画平行线：直尺固定，三角板紧贴直尺平移。 3．计算公式：点到直线的距离=垂线段长度 【易错点】 （1）垂线要标注直角符号⊥。 （2）点到直线，垂线段最短。 考点03：平行四边形 1．核心思路：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2．方法技巧： （1）对边平行且相等；对角相等。 （2）平行四边形容易变形，具有不稳定性。 3．计算公式：周长=（邻边长度之和）×2 考点04：梯形 1．核心思路：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2．方法技巧： （1）平行的一组对边：上底、下底；不平行的两边叫腰。 （2）等腰梯形：两腰相等； （3）直角梯形：有2个直角。 3．计算公式：梯形周长=上底+下底+腰+腰 【易错点】只有一组对边平行（两组平行就是平行四边形，不是梯形）。 考点01：平行与垂直的特征及性质 【典型例题1】小东家的梯子少了一根梯梁，哥哥用一根木头把梯子修整了一下，如下图。（为新钉上去的梯梁） （1）原来的梯子中和应该是什么位置关系？（     ） A．互相平行 B．相交 C．互相垂直 D．无法确定 （2）图中这个梯子中和所在的直线是这样的位置关系吗？请画图验证，并叙述结论。 【答案】（1）A （2）不是； 将和延长后，可以相交于一点，所以这个梯子中和所在的直线是相交的，不是互相平行的。 【分析】结合梯子的实用功能，判断正常梯梁的位置关系，依据生活常识和平行线的定义推导即可。 针对图中AB和CD的位置关系，将两条直线延长，观察是否有交点，以此判断是否符合平行的定义。 验证时根据直线延长后是否相交，来得出对应结论。 【详解】（1）原来的梯子中和应该是互相平行的。 （2）答：图中这个梯子中和所在的直线不是互相平行的。 将和延长后，可以相交于一点，所以这个梯子中和所在的直线是相交的，不是互相平行的。 【典型例题2】瓦工师傅砌墙时，为了使墙与地面垂直，先吊一根铅垂线，即用一根细线吊一个重锤，重锤由于受到地球引力，呈与地面水平线垂直的状态下垂。通过测量墙上不同点到铅垂线的距离，可以判断墙是否与铅垂线平行，从而判断墙是否与地面垂直。 （1）若瓦工师傅砌的墙与地面垂直，则他测量的墙上不同点到铅垂线的距离（     ）。（括号里填“相等”或“不相等”） （2）请利用上面的规律，检验下面一组直线a、b（    ）互相平行（括号里填“是”或“否”）。（保留作图痕迹） （     ） 【答案】（1）相等 （2）图见详解；是 【分析】（1）因为铅垂线与地面水平线是互相垂直的，从墙面上任意一点向地面作垂线段，那么这条垂线段与铅垂线是互相平行的，而两条直线若互相平行，那么这两条直线间的垂线段都是相等的，由此可知墙上任意一点到铅垂线的距离是相等的。 （2）从直线a向直线b作垂线段，把直角三角尺的一条直角边与直线b重合，固定三角尺，沿着另一条直角边，画出直线a与直线b之间的线段，即为直线a上任意一点到直线b的距离，按照这样的方法作两条垂线段，再测量两条垂线段的长度，若这两条垂线段相等，则两直线互相平行，若这两条垂线段不相等，则两直线不平行。 【详解】（1）若瓦工师傅砌的墙与地面垂直，则他测量的墙上不同点到铅垂线的距离相等。 （2） 直线a、b是互相平行。 【练习1】如图，小梦用尺子测量画框底部不同位置与地面的距离，以此来检测画框是否挂正（挂正时画框底部与地面互相平行），请你说明她这么做的原因。 【答案】见详解 【分析】若画框挂正，则画框底边上任意一点到地面的垂直距离相等。小梦用尺子测量画框底部不同位置与地面的距离，即是测量直线与平面的垂线段长度。当测得各点距离相等时，即可判定画框底边与地面平行；反之，若距离不相等，则说明两者不平行。据此解答即可。 【详解】根据平行线之间的距离处处相等，当画框底部的不同位置与地面的距离相等时，说明画框的底部与地面互相平行。 【练习2】老师让大家做抢凳子的游戏，下面的这种站位公平吗？如果不公平，对谁最有利？为什么？ 【答案】这种站位不公平，对小颖最有利。因为四个人在一条直线上，凳子到这条直线的垂直线段是最近的路线，而小颖就在垂直线段上，所以小颖离凳子最近，对小颖最有利。 【分析】从直线外一点，到这条直线所画的所有线段中，垂线段最短。 根据图片，四名参与者小华、小颖、小丽、小刚沿着一条直线站立，凳子的位置正好在小颖的正上方，形成了一个垂直线段至所有参与者所站的直线。根据几何原理，一个点到一条直线的最短距离是该点到直线的垂直距离。小颖的位置正好位于这条垂直线段上，意味着她到达凳子的路径是最短的直线距离。小华、小丽和小刚需要沿着各自的位置点至凳子的斜线前进，这比垂直距离要长，因此，这个站位对于小颖来说是最有利的，因为她可以直接垂直移到凳子，而不需要走任何斜线距离。 【详解】四人在一条直线上，凳子到这条直线的垂直线段是最近的路线，而四人到凳子的距离不相等，所以这种站位不公平。对小颖最有利，因为四人在一条直线上，凳子到这条直线的垂直线段是最近的路线，而小颖就在垂直线段上，所以小颖离凳子最近，对小颖最有利。 考点02：画平行线、垂线 【典型例题1】运动会跳远比赛中，每名运动员有三次试跳机会，最好的一次成绩作为最终的成绩，李明在运动会跳远比赛中，第一次犯规，后两次分别跳到了图中位置。 （1）用线段画出两次跳远的距离。 （2）你所画的两条线段互相______（填“垂直”或“平行”）。 （3）李明的成绩分别为420厘米和360厘米，张军的成绩分别为405厘米，410厘米和400厘米，你认为他们俩谁会获胜？说说你的理由。 【答案】（1）图见详解过程 （2）平行 （3）我认为李明会获胜，根据比赛规则，最好的一次成绩作为最终的成绩，张军的最好成绩是410厘米，李明虽然跳了两次，但其中一次的成绩为420厘米，比张军的最好成绩要好，所以我认为李明会获胜（答案不唯一） 【分析】（1）把踏跳板看作一条直线，跳到的位置看作一个点，画出点到直线的距离，就是两次跳远的距离； （2）根据在同一平面内，同时垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可知所画的两条线段互相平行； （3）本题答案不唯一，结合李明和张军跳远的成绩进行解答即可。 【详解】（1）两次跳远的距离如图所示： （2）所画的两条线段互相平行。 （3）我认为李明会获胜，根据比赛规则，最好的一次成绩作为最终的成绩，张军的最好成绩是410厘米，李明虽然跳了两次，但其中一次的成绩为420厘米，比张军的最好成绩要好，所以我认为李明会获胜。（答案不唯一） 【典型例题2】已知：a、b是一个长方形游泳池的两岸，游游和勇勇正在游泳，位置如下图所示： （1）游游一直沿着平行于a岸的方向游，请你画出他游的路线。 （2）勇勇要在b岸靠岸，请你帮他设计一条最近的上岸路线，并在图中画出来。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）游游一直沿着平行于a岸的方向游，所以用直尺对齐a岸，平移到游游所在的位置，画出与a岸平行的直线就是游游的游泳路线。 （2）从直线外一点到这条直线的所有线段中，垂直线段最短，据此可知，要求一条最近上岸的路线，则从勇勇所处位置向b岸作垂线，这条垂线即为所求。将三角板的一条直角边贴住b岸，另一条直角边对准勇勇的点，画出垂直线段即可。 【详解】（1） （2） 【练习1】某工厂的机器人要从点A处走到点P处搬起货物，再将货物放在置物架上，怎样走路线最短？画图表示。 【答案】见详解 【分析】两点之间线段最短，从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。所以先过点P向代表置物架的直线作垂线段，再连接A与P，所得折线即为最短路线。画垂线时，三角板的一条直角边与直线重合，沿直线平移，使另一条直角边过那个点，沿另一条直角边作出一条线段就是它的垂线，并标上垂直标记。 【详解】 【练习2】沙包投掷练习时，同学们站在起掷线原地投掷，沙包落地点到起掷线的距离为同学们的成绩。下图是三个同学投掷沙包的示意图，小红的成绩为100厘米。 （1）在图中分别画出表示小军和小丽沙包落地点到起掷线距离的线段。 （2）（     ）的成绩最好，是（     ）厘米。 【答案】（1）见详解 （2）小丽；150 【分析】（1）结合图形和题意可知，每条虚线之间的距离为50厘米，沙包落地点作垂线段到起掷线就是扔出去的距离。 （2）小军、小红和小丽扔出去的沙包都在左前方，其中小军落在第一根虚线处，小红落在第二根虚线处，小丽落在第三根虚线处，据此可以求出他们扔出去的距离，再比较大小即可。 【详解】（1） （2）小红投掷的距离为：50×2＝100（厘米） 小军投掷的距离为：50×1＝50（厘米） 小丽投掷的距离为：50×3＝150（厘米） 50＜100＜150 小丽的成绩最好，是150厘米。 考点03：平行四边形 【典型例题1】一个平行四边形花坛的周长是42米，其中一条边长8米，与它相邻的一条边长是多少米？ 【答案】13米 【分析】平行四边形对边相等，周长是相邻两条边长度和的2倍，用周长除以2再减去已知边长，即可求出相邻边的长度。 【详解】42÷2－8 ＝21－8 ＝13（米） 答：与它相邻的一条边长是13米。 【典型例题2】下面是一块平行四边形试验田，现在要在试验田中修几条小路，把它分成四块大小相同的平行四边形试验田。画一画，一共有几种修法？并说一说小路的总长度最短是多少米。 【答案】 3种；8米 【分析】先列举出将大平行四边形试验田分成四块大小相同的小平行四边形试验田的各种方法，再求出每种方法中小路的总长度，最后比较即可。 【详解】 第一种：此时小路的长度＝5＋3＝8（米） 第二种：此时小路的长度为3个3米；3×3＝9（米） 第三种：此时小路的长度为3个5米；5×3＝15（米） 15＞9＞8 答：一共有3种修法；小路的总长度最短是8米。 【练习1】一个平行四边形的广告牌，相邻两边的长度分别是16分米与90厘米。现在要在广告牌的四周装上灯带，灯带长多少分米？ 【答案】50分米 【分析】根据题意，要在广告牌的四周装上灯带，求灯带长就是求平行四边形的周长，即是求平行四边形4条边的长度之和，由于平行四边形对边相等，所以可以把相邻两边的长度分别乘2，再相加，也可以先把相邻两边长度相加，再把它们的和乘2，即求到平行四边形的周长，也就是灯带的长度；为了方便计算，需要根据1分米＝10厘米，把90厘米换算成9分米。据此解答。 【详解】90厘米＝9分米 方法一： 16×2＋9×2 ＝32＋18 ＝50（分米） 方法二： （16＋9）×2 ＝25×2 ＝50（分米） 答：灯带长50分米。 【练习2】一根60厘米长的铁丝刚好围成一个平行四边形，其中一条边长12厘米，其他三条边的长度各是多少厘米？请说明理由。 【答案】12厘米、18厘米、18厘米； 理由见详解 【分析】60厘米即围成平行四边形的周长，根据平行四边形特征：两组对边分别相等，所以平行四边形的周长等于两条相邻边的和乘2；其中一条边长12厘米，那么另一条对边的长也是12厘米；用60除以2，求出两条相邻边的和，再减去12，求出第三条边的长度，据此可知最后一条边的长度。 【详解】其中一条边长12厘米，那么另一条对边的长也是12厘米；因为平行四边形的周长等于两条相邻边的和乘2，所以用60除以2，再减去12，即可知道另外两边长度。 （厘米） 答：其他三条边分别是12厘米、18厘米、18厘米。 考点04：梯形 【典型例题1】过道两边各有一个等腰梯形的水池（如图），梯形的上底和腰都是6米，下底是10米。如果在两个水池四周围上栏杆，栏杆一共长多少米？ 【答案】56米 【分析】根据梯形周长＝上底＋下底＋腰＋腰，求出一个等腰梯形水池的周长，再乘2，求出在两个水池四周围上栏杆的总长度。 【详解】（6＋10＋6＋6）×2 ＝（16＋6＋6）×2 ＝（22＋6）×2 ＝28×2 ＝56（米） 答：栏杆一共长56米。 【典型例题2】四（1）班分到了一块等腰梯形的种植田，这块种植田的上底长7米，下底长15米，一条腰长10米。 （1）同学们想用篱笆将这块种植田围起来，最少需要多少米长的篱笆？ （2）如果这块种植田正好一面靠墙，那么哪面靠墙用的篱笆最少？最少需要多少米长的篱笆？ 【答案】（1）42米 （2）下底靠墙用的篱笆最少；27米 【分析】（1）因为篱笆长度是等腰梯形种植田的周长，且等腰梯形的两条腰长度相等，所以先明确等腰梯形周长公式为上底＋下底＋腰长×2，代入对应数值计算即可。 （2）分别计算上底、下底、腰靠墙时的周长再排序，找到最少的篱笆长度。 【详解】（1）7＋15＋10×2 ＝7＋15＋20 ＝42（米） 答：最少需要42米长的篱笆。 （2）上底靠墙： 15＋10×2 ＝15＋20 ＝35（米） 下底靠墙： 7＋10×2 ＝7＋20 ＝27（米） 腰靠墙：7＋15＋10＝32（米）   27＜32＜35 答：下底靠墙用的篱笆最少，最少需要27米长的篱笆。 【练习1】“绿色蔬菜”是绿色食品的一种，指蔬菜在生长过程中农药使用后残留在蔬菜里的农药残留物指标低于国家或国际规定的标准。王大爷准备一面靠墙围一个梯形菜地种植绿色蔬菜，菜地的上底是28米，下底是50米，两条腰都是24米，该梯形菜地至少要围多少米的篱笆？ 【答案】76米 【分析】要使篱笆长度最短，需让梯形最长的边靠墙（靠墙的边不需要围篱笆），只需计算其余三条边的长度和。 【详解】，梯形最长边是下底50米，将下底靠墙时篱笆最短。 ＝ 28 ＋ 48 （米） 答：该梯形菜地至少要围76米的篱笆。 【练习2】学校要给一个形状为等腰梯形的花坛围一圈装饰灯带，需要的灯带总长为18米，花坛的上底长4米，腰长3米。为了提前准备合适长度的灯带衔接件，需要先算出花坛的下底长度，请问这个花坛的下底长多少米？ 【答案】8米 【分析】等腰梯形的两条腰的长度相等。根据梯形的周长等于四条边长度之和，因此用周长减去上底长度和两条腰的长度，即可求出下底的长度。 【详解】 （米） 答：这个花坛的下底长8米。 夯实基础 1．“空中造楼机”可建千米级高楼。如图，在建筑过程中，有时用铅垂线来检查墙壁是否竖直。如果墙壁竖直，铅垂线会与墙壁（     ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．相交 【答案】A 【分析】同一平面内，垂直于同一条直线的两条线互相平行。墙面与地面是互相垂直的，而铅垂线与地面也是互相垂直的，由此可知墙壁与铅垂线是互相平行的。 【详解】根据分析可知：如果墙壁竖直，铅垂线会与墙壁互相平行。 2．跳远比赛中，裁判给乐乐的成绩是290厘米，但皮尺没有和起跳线垂直，乐乐的真实成绩可能是（     ）厘米。 A．280 B．325 C．368 【答案】A 【分析】测量跳远的落地点与起跳线之间的距离，是跳远落地点到起跳线之间的垂线段的长度，而实际测量时皮尺和起跳线不垂直，即测量的长度大于真正的长度，即实际成绩比290厘米小，但不会小太多，据此分析每个选项即可。 【详解】A．280厘米＜290厘米，比测量成绩小且没有小太多，符合题意； B．325厘米＞290厘米，比测量成绩大，不符合题意； C．368厘米＞290厘米，比测量成绩大，不符合题意； 所以乐乐的真实成绩可能是280厘米。 3．一只老虎追赶一只狐狸，狐狸慌不择路掉进河里了。狐狸想尽快上岸，又不能被老虎抓住。狐狸会选择（     ）这条路线逃生。 A．AB B．AC C．AD 【答案】C 【分析】狐狸要想不被老虎抓住，不能逃向老虎所在的岸边，应向对岸逃去。只有AD和AC可以选择。从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫做点到直线的距离。垂直线段最短，也就是AD。据此可以解答。 【详解】由分析知，狐狸会选择AD这条路线逃生。 4．用10cm和6cm的小棒各一根，8cm的小棒两根可以摆成（     ）。 A．平行四边形 B．等腰梯形 C．直角梯形 【答案】B 【分析】平行四边形需要两组对边分别相等；等腰梯形只有一组对边平行，且两条腰长度相等；直角梯形只有一组对边平行，两条腰长度不相等；根据平行四边形、等腰梯形、直角梯形的边的特征判断是否可以摆成。 【详解】A．平行四边形需要两组对边分别相等，现有小棒长度为10cm、6cm、8cm、8cm，不存在两组相等的对边，不能摆成平行四边形，不符合题意； B．等腰梯形只有一组对边平行，且两条腰长度相等，可用两根8cm的小棒做腰，6cm和10cm的小棒分别做上底和下底，可以摆成等腰梯形，符合题意； C．直角梯形的两条腰长度不相等，现有两根长度相等的8cm小棒，无法满足该要求，不能摆成直角梯形，不符合题意。 5．校园一角的花园是一个平行四边形（如图），已知这个平行四边形花园的周长是220dm，其中一条边长60dm，那么与它相邻的一条边长（     ）dm。 A．50 B．60 C．100 【答案】A 【分析】平行四边形有2组对边，且对边长度相等，用周长除以2可求出相邻两边的长度和，再减去其中一条边的长度，可求出相邻另一条边的长度。 【详解】220÷2＝110（dm） 110－60＝50（dm） 6．垂直与平行的现象在生活中很常见，比如一个田字格，上下边框互相（ ），相邻的两条边框互相（ ）；比如下面字母中的（ ），它们的笔画中既有互相垂直又有互相平行的现象。 【答案】 平行 垂直 E、F、H 【分析】互相平行：同一平面内不相交的两条直线； 互相垂直：两条直线相交成直角，据此解答。 【详解】上下边框互相平行，相邻的两条边框互相垂直；比如下面字母中的E、F、H，它们的笔画中既有互相垂直又有互相平行的现象。 7．从笑笑家出发有三条小路通往公路上，它们的长度分别是128米、206米、160米，其中有一条小路与公路是垂直的，那么这条小路的长度是（ ）米。 【答案】128 【分析】点到直线之间，垂线段最短，把笑笑家看作一个点，公路看作一条直线，三条小路就是从这个点到直线的三条线段，垂直的那条是垂线段，垂线段长度是三条里面最小的。 【详解】128＜160＜206 所以垂直小路长度是128米。 8．语文课上，笑笑写了几个拼音字母，如图所示，汉语拼音四线三格中的线是互相（ ）的。 【答案】平行 【分析】在同一平面内，两条直线永不相交，我们就说这两条直线互相平行。据此解答。 【详解】根据平行的定义可知，汉语拼音四线三格中的线是互相平行的。 9．如果（※表示增加一个“相邻两边长度相等”的条件就可以将长方形变成正方形），那么一般四边形横线上分别表示增加怎样的条件，可以使形状发生变化。（填序号） ①另一组对边也平行        ②一组对边平行 【答案】②；① 【分析】观察图形变化的顺序：一般四边形→直角梯形→平行四边形。从一般四边形变成直角梯形，需要增加一组对边平行，并且有直角。从直角梯形变成平行四边形，需要增加另一组对边也平行。 【详解】根据分析，一般四边形→直角梯形，填入条件②；直角梯形→平行四边形，填入条件①。 10．明明用下图所示方法画了直线a和直线b，则直线a和b的位置关系是（ ）。（填“互相平行”或“互相垂直”） 【答案】互相平行 【分析】三角尺沿着直尺平移，直线a、b是三角尺同一条边在不同位置画出的直线，图形平移后，对应直线互相平行。 【详解】三角尺平移画图，两条直线倾斜程度完全一致，所以直线a与直线b互相平行。 11．将长方形纸和等腰三角形纸用钉子固定，如图1.图1重叠的阴影部分是（ ）梯形。转动三角形，形成图2，图2重叠的阴影部分是（ ）梯形。 【答案】 等腰 直角 【分析】根据等腰梯形的定义：两腰相等的梯形或者同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形。根据直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。据此解答。 【详解】根据分析可知，将长方形纸和等腰三角形纸用钉子固定，如图1.图1重叠的阴影部分是等腰梯形。转动三角形，形成图2，图2重叠的阴影部分是直角梯形。 12．一块平行四边形稻田的周长是142米，一边的长为28米，与它相邻的一条边长度是（ ）米。 【答案】43 【分析】平行四边形的对边相等，平行四边形的周长除以2等于相邻两边的长度和，减去一条边的长度，即等于另一条边的长度，据此即可解答。 【详解】142÷2－28 ＝71－28 ＝43（米） 与它相邻的一条边长度是43米。 13．实验小学的教学楼前有一块平行四边形的草坪，小亮沿它相邻的两条边一共走了112步，已知他一步的平均长度约是50厘米，那么这块草坪的周长约是（ ）米。 【答案】112 【分析】由平行四边形的性质对边相等，平行四边形的周长等于四边之和。先用乘法算出相邻两边的总长度，再根据1米＝100厘米进行单位换算，最后再乘2即可。 【详解】112×50＝5600（厘米） 5600厘米＝56米 56×2＝112（米） 这块草坪的周长约是112米。 14．欢欢想画一个梯形，需要在下图中找一个点D，使点D和点A、B、C顺次连接成为一个梯形，点D一共有（ ）种不同的选法。 【答案】5 【分析】只有一组对边平行的四边形叫做梯形；过C点作AB边的平行线，此时有3个点可与点A、B、C依次连接成为一个梯形；过A点作BC边的平行线， 此时有2个点可与点A、B、C依次连接成为一个梯形；据此解答。 【详解】作图如下： （种） 一共有5种不同的选法。 15．如下图，从3根8厘米的小棒和3根7厘米长的小棒中选出4根围成一个平行四边形，这个平行四边形的周长是（ ）厘米。 【答案】30 【分析】平行四边形的特点是两组对边分别相等，要选4根小棒的话，需要2根长度一样的小棒当一组对边，再选另外2根长度一样的当另一组对边。我们刚好有3根8厘米、3根7厘米的小棒，各拿出2根就满足要求，计算出周长即可。 【详解】（8＋7）×2 ＝15×2 ＝30（厘米） 这个平行四边形的周长是30厘米。 16．万泰小区规划了一个等腰梯形的花坛，周围扎了一圈39米的篱笆，篱笆上底长12米，下底长15米，腰长（ ）米。 【答案】6 【分析】等腰梯形的两腰相等，因此用它的周长减上底和下底的长度之和后，再除以2即可，依此计算。 【详解】39－（12＋15） ＝39－27 ＝12（米） 12÷2＝6（米） 培优拔高 17．按要求完成题目。 （1）小兔从A点蘑菇屋去B点树洞实验室上手工课，请你画出最近的路线。你这样画的理由是：___________________________。 （2）手工课下课后，小兔要去溪边草地玩，请画出从B点树洞实验室到草地的最近路线。 （3）（2）问画出的这条路线，和从C点蒲公英驿站直接到草地的最近路线的位置关系是________________。 【答案】（1）；两点之间，线段最短 （2） （3）互相平行 【分析】（1）两点之间的所有连线中，线段最短。 （2）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线，垂线段最短。 （3）B、C两点分别向草地这条直线所作的垂线段，两条垂线垂直于同一条直线，位置关系是互相平行。 【详解】（1）理由：两点之间，线段最短。图略 （2）把草地边界看作一条直线，从B点向草地这条直线画垂线段，这条垂线段就是最近路线。图略 （3） B到草地的垂线段与C到草地的垂线段位置关系：互相平行。 18．王大叔家有一个等腰梯形的养鸡场，他准备了一张长300米的防鼠网，围这个养鸡场一圈后，还剩下多少米？ 【答案】191米 【分析】先根据等腰梯形的周长＝上底＋下底＋腰长×2，计算出等腰梯形的周长，再用防鼠网的长度减去等腰梯形的周长，即可计算出剩余长度。 【详解】 答：还剩下191米。 19．小龙家有一个别具一格的小花园，这个小花园是一个等腰梯形，其周长是86分米，上底和下底长度和是58分米。这个小花园的一条腰长是多少分米？ 【答案】14分米 【分析】根据等腰梯形两腰相等的特征，已知周长和上底与下底的和，用周长减去上底与下底的和，求出两条腰的长度和，再除以2即可求出一条腰的长度。 【详解】（86－58）÷2 ＝28÷2 ＝14（分米） 答：这个小花园的一条腰长是14分米。 20．华华用铁丝做一个平行四边形框架，若一组邻边分别是5厘米和6厘米，则做这个框架至少需用多少厘米长的铁丝？ 【答案】22厘米 【分析】平行四边形的对边相等，它的周长等于一组邻边长度之和的2倍，即平行四边形周长＝（一组邻边长度和）×2。该平行四边形框架一组邻边的长度分别为5厘米和6厘米。 【详解】（5＋6）×2 ＝11×2 ＝22（厘米） 答：做这个框架至少需用22厘米长的铁丝。 21．小丽将两个完全相同的等腰梯形拼成一个平行四边形（如图），两个梯形的周长都是32厘米，平行四边形的周长是42厘米，请你帮忙算算梯形的腰长是多少厘米？ 【答案】11厘米 【分析】两个完全相同的等腰梯形拼成平行四边形时，拼接处的两条腰会被隐藏，不再计入平行四边形的周长。先算出两个梯形的总周长，再用总周长减去平行四边形的周长，得到被隐藏的两条腰的总长度，最后除以2就能得到单个梯形的腰长。 【详解】两个梯形的总周长：32×2＝64（厘米） 周长减少的长度（即两条腰的总长）：64－42＝22（厘米） 梯形的腰长：22÷2＝11（厘米） 答：梯形的腰长是11厘米。 22．大明湖旁有一块平行四边形的亲水平台，相邻两条边的长度分别是50米和30米。工作人员每天绕着亲水平台巡查4圈，他每天要走多少米？ 【答案】640米 【分析】因为平行四边形对边相等，所以其周长等于相邻两条边长度之和的2倍。工作人员每天巡查4圈，即走的总路程为该平行四边形周长的4倍。 【详解】 （米） 答：他每天要走640米。 思维拓展 23．小区有一个近似梯形的健身区，下底与腰等长，且是上底的2倍，米豆和小麦两个小朋友绕健身区四周玩滑滑车，已知米豆以60米/分钟的速度从A点经过B点到C点，共花了5分钟；小麦从A点经过D点到C点只用了3分钟。 （1）小麦每分钟滑多少米？ （2）若米豆和小麦都按照A→B→C→D的方向玩滑滑车，18分钟时，小麦能再次遇见米豆吗？ 【答案】（1）75； （2）不能 【分析】（1）米豆以60米/分钟的速度从A点经过B点到C点，共花了5分钟，根据“路程＝速度×时间”即可求出AB与BC的长度之和为：60×5＝300（米）。再根据下底与腰等长，即可求出AB与BC的长度均为：300÷2＝150（米），AD的长度也是150米。下底是上底的2倍，因此可以求出DC的长度为：150÷2＝75（米）。因此小麦从A点经过D点到C点的路程为：150＋75＝225（米）。最后再根据“速度＝路程÷时间”即可求出小麦每分钟滑多少米。 （2）先求出小麦18分钟滑的路程，再求出米豆18分钟滑的路程，相减即可求出两人18分钟滑的路程之差。如果这个路程之差等于健身区一周的长度，则说明18分钟时小麦能再次遇见米豆；如果这个路程之差不等于健身区一周的长度，则说明18分钟时小麦不能再次遇见米豆。据此即可解决。 【详解】（1）AB与BC的长度均为： 60×5÷2 ＝300÷2 ＝150（米） DC的长度：150÷2＝75（米） 小麦的速度：（150＋75）÷3 ＝225÷3 ＝75（米/分钟） 答：小麦每分钟滑75米。 （2）健身区一周的长度：75＋150×3 ＝75＋450 ＝525（米） 米豆滑的路程：60×18＝1080（米） 小麦滑的路程：75×18＝1350（米） 1350－1080＝270（米） 270≠525 答：18分钟时，小麦不能再次遇见米豆。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ （新教材）人教版四年级数学上册解决问题 专题05：平行四边形和梯形 （考点梳理+典例分析+变式训练+分层练习） 考点01：平行与垂直的特征及性质 1．核心思路：抓住定义判断，牢记同一平面内两条直线的位置关系。 2．方法技巧： （1）同一平面内两条直线：要么相交，要么互相平行。 （2）相交成直角→互相垂直 【易错点】 （1）必须强调同一平面内，不在同一平面的直线不适用。 （2）垂直是相交的特殊情况。 （3）平行线永不相交。 考点02：画平行线、垂线 1．核心思路：借助三角尺、直尺平移、重合对齐来作图。 2．方法技巧： （1）画垂线：三角板一条直角边贴已知直线，移动三角板使另一直角边对准点，画线。 （2）画平行线：直尺固定，三角板紧贴直尺平移。 3．计算公式：点到直线的距离=垂线段长度 【易错点】 （1）垂线要标注直角符号⊥。 （2）点到直线，垂线段最短。 考点03：平行四边形 1．核心思路：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2．方法技巧： （1）对边平行且相等；对角相等。 （2）平行四边形容易变形，具有不稳定性。 3．计算公式：周长=（邻边长度之和）×2 考点04：梯形 1．核心思路：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2．方法技巧： （1）平行的一组对边：上底、下底；不平行的两边叫腰。 （2）等腰梯形：两腰相等； （3）直角梯形：有2个直角。 3．计算公式：梯形周长=上底+下底+腰+腰 【易错点】只有一组对边平行（两组平行就是平行四边形，不是梯形）。 考点01：平行与垂直的特征及性质 【典型例题1】小东家的梯子少了一根梯梁，哥哥用一根木头把梯子修整了一下，如下图。（为新钉上去的梯梁） （1）原来的梯子中和应该是什么位置关系？（     ） A．互相平行 B．相交 C．互相垂直 D．无法确定 （2）图中这个梯子中和所在的直线是这样的位置关系吗？请画图验证，并叙述结论。 【典型例题2】瓦工师傅砌墙时，为了使墙与地面垂直，先吊一根铅垂线，即用一根细线吊一个重锤，重锤由于受到地球引力，呈与地面水平线垂直的状态下垂。通过测量墙上不同点到铅垂线的距离，可以判断墙是否与铅垂线平行，从而判断墙是否与地面垂直。 （1）若瓦工师傅砌的墙与地面垂直，则他测量的墙上不同点到铅垂线的距离（     ）。（括号里填“相等”或“不相等”） （2）请利用上面的规律，检验下面一组直线a、b（    ）互相平行（括号里填“是”或“否”）。（保留作图痕迹） （     ） 【练习1】如图，小梦用尺子测量画框底部不同位置与地面的距离，以此来检测画框是否挂正（挂正时画框底部与地面互相平行），请你说明她这么做的原因。 【练习2】老师让大家做抢凳子的游戏，下面的这种站位公平吗？如果不公平，对谁最有利？为什么？ 考点02：画平行线、垂线 【典型例题1】运动会跳远比赛中，每名运动员有三次试跳机会，最好的一次成绩作为最终的成绩，李明在运动会跳远比赛中，第一次犯规，后两次分别跳到了图中位置。 （1）用线段画出两次跳远的距离。 （2）你所画的两条线段互相______（填“垂直”或“平行”）。 （3）李明的成绩分别为420厘米和360厘米，张军的成绩分别为405厘米，410厘米和400厘米，你认为他们俩谁会获胜？说说你的理由。 【典型例题2】已知：a、b是一个长方形游泳池的两岸，游游和勇勇正在游泳，位置如下图所示： （1）游游一直沿着平行于a岸的方向游，请你画出他游的路线。 （2）勇勇要在b岸靠岸，请你帮他设计一条最近的上岸路线，并在图中画出来。 【练习1】某工厂的机器人要从点A处走到点P处搬起货物，再将货物放在置物架上，怎样走路线最短？画图表示。 【练习2】沙包投掷练习时，同学们站在起掷线原地投掷，沙包落地点到起掷线的距离为同学们的成绩。下图是三个同学投掷沙包的示意图，小红的成绩为100厘米。 （1）在图中分别画出表示小军和小丽沙包落地点到起掷线距离的线段。 （2）（     ）的成绩最好，是（     ）厘米。 考点03：平行四边形 【典型例题1】一个平行四边形花坛的周长是42米，其中一条边长8米，与它相邻的一条边长是多少米？ 【典型例题2】下面是一块平行四边形试验田，现在要在试验田中修几条小路，把它分成四块大小相同的平行四边形试验田。画一画，一共有几种修法？并说一说小路的总长度最短是多少米。 【练习1】一个平行四边形的广告牌，相邻两边的长度分别是16分米与90厘米。现在要在广告牌的四周装上灯带，灯带长多少分米？ 【练习2】一根60厘米长的铁丝刚好围成一个平行四边形，其中一条边长12厘米，其他三条边的长度各是多少厘米？请说明理由。 考点04：梯形 【典型例题1】过道两边各有一个等腰梯形的水池（如图），梯形的上底和腰都是6米，下底是10米。如果在两个水池四周围上栏杆，栏杆一共长多少米？ 【典型例题2】四（1）班分到了一块等腰梯形的种植田，这块种植田的上底长7米，下底长15米，一条腰长10米。 （1）同学们想用篱笆将这块种植田围起来，最少需要多少米长的篱笆？ （2）如果这块种植田正好一面靠墙，那么哪面靠墙用的篱笆最少？最少需要多少米长的篱笆？ 【练习1】“绿色蔬菜”是绿色食品的一种，指蔬菜在生长过程中农药使用后残留在蔬菜里的农药残留物指标低于国家或国际规定的标准。王大爷准备一面靠墙围一个梯形菜地种植绿色蔬菜，菜地的上底是28米，下底是50米，两条腰都是24米，该梯形菜地至少要围多少米的篱笆？ 【练习2】学校要给一个形状为等腰梯形的花坛围一圈装饰灯带，需要的灯带总长为18米，花坛的上底长4米，腰长3米。为了提前准备合适长度的灯带衔接件，需要先算出花坛的下底长度，请问这个花坛的下底长多少米？ 夯实基础 1．“空中造楼机”可建千米级高楼。如图，在建筑过程中，有时用铅垂线来检查墙壁是否竖直。如果墙壁竖直，铅垂线会与墙壁（     ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．相交 2．跳远比赛中，裁判给乐乐的成绩是290厘米，但皮尺没有和起跳线垂直，乐乐的真实成绩可能是（     ）厘米。 A．280 B．325 C．368 3．一只老虎追赶一只狐狸，狐狸慌不择路掉进河里了。狐狸想尽快上岸，又不能被老虎抓住。狐狸会选择（     ）这条路线逃生。 A．AB B．AC C．AD 4．用10cm和6cm的小棒各一根，8cm的小棒两根可以摆成（     ）。 A．平行四边形 B．等腰梯形 C．直角梯形 5．校园一角的花园是一个平行四边形（如图），已知这个平行四边形花园的周长是220dm，其中一条边长60dm，那么与它相邻的一条边长（     ）dm。 A．50 B．60 C．100 6．垂直与平行的现象在生活中很常见，比如一个田字格，上下边框互相（ ），相邻的两条边框互相（ ）；比如下面字母中的（ ），它们的笔画中既有互相垂直又有互相平行的现象。 7．从笑笑家出发有三条小路通往公路上，它们的长度分别是128米、206米、160米，其中有一条小路与公路是垂直的，那么这条小路的长度是（ ）米。 8．语文课上，笑笑写了几个拼音字母，如图所示，汉语拼音四线三格中的线是互相（ ）的。 9．如果（※表示增加一个“相邻两边长度相等”的条件就可以将长方形变成正方形），那么一般四边形横线上分别表示增加怎样的条件，可以使形状发生变化。（填序号） ①另一组对边也平行        ②一组对边平行 10．明明用下图所示方法画了直线a和直线b，则直线a和b的位置关系是（ ）。（填“互相平行”或“互相垂直”） 11．将长方形纸和等腰三角形纸用钉子固定，如图1.图1重叠的阴影部分是（ ）梯形。转动三角形，形成图2，图2重叠的阴影部分是（ ）梯形。 12．一块平行四边形稻田的周长是142米，一边的长为28米，与它相邻的一条边长度是（ ）米。 13．实验小学的教学楼前有一块平行四边形的草坪，小亮沿它相邻的两条边一共走了112步，已知他一步的平均长度约是50厘米，那么这块草坪的周长约是（ ）米。 14．欢欢想画一个梯形，需要在下图中找一个点D，使点D和点A、B、C顺次连接成为一个梯形，点D一共有（ ）种不同的选法。 15．如下图，从3根8厘米的小棒和3根7厘米长的小棒中选出4根围成一个平行四边形，这个平行四边形的周长是（ ）厘米。 16．万泰小区规划了一个等腰梯形的花坛，周围扎了一圈39米的篱笆，篱笆上底长12米，下底长15米，腰长（ ）米。 培优拔高 17．按要求完成题目。 （1）小兔从A点蘑菇屋去B点树洞实验室上手工课，请你画出最近的路线。你这样画的理由是：___________________________。 （2）手工课下课后，小兔要去溪边草地玩，请画出从B点树洞实验室到草地的最近路线。 （3）（2）问画出的这条路线，和从C点蒲公英驿站直接到草地的最近路线的位置关系是________________。 18．王大叔家有一个等腰梯形的养鸡场，他准备了一张长300米的防鼠网，围这个养鸡场一圈后，还剩下多少米？ 19．小龙家有一个别具一格的小花园，这个小花园是一个等腰梯形，其周长是86分米，上底和下底长度和是58分米。这个小花园的一条腰长是多少分米？ 20．华华用铁丝做一个平行四边形框架，若一组邻边分别是5厘米和6厘米，则做这个框架至少需用多少厘米长的铁丝？ 21．小丽将两个完全相同的等腰梯形拼成一个平行四边形（如图），两个梯形的周长都是32厘米，平行四边形的周长是42厘米，请你帮忙算算梯形的腰长是多少厘米？ 22．大明湖旁有一块平行四边形的亲水平台，相邻两条边的长度分别是50米和30米。工作人员每天绕着亲水平台巡查4圈，他每天要走多少米？ 思维拓展 23．小区有一个近似梯形的健身区，下底与腰等长，且是上底的2倍，米豆和小麦两个小朋友绕健身区四周玩滑滑车，已知米豆以60米/分钟的速度从A点经过B点到C点，共花了5分钟；小麦从A点经过D点到C点只用了3分钟。 （1）小麦每分钟滑多少米？ （2）若米豆和小麦都按照A→B→C→D的方向玩滑滑车，18分钟时，小麦能再次遇见米豆吗？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $