3.1二次根式的概念及性质（题型专练）数学新教材湘教版八年级上册

3.1二次根式的概念及性质 （9大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 辨别二次根式 题型二 二次根式有意义的条件 题型三 求二次根式的值 题型四 二次根式的化简 题型五 辨别最简二次根式 题型六 由二次根式的非负性求字母的值 题型七 由二次根式的非负性求字母的的取值范围 题型八 由二次根式的值求参数 题型九 根据二次根式是整数求字母的值 能力提升题 题型一 逆用二次根式的性质在实数范围内分解因式 题型二 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 题型一 辨别二次根式 1．下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4.下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5.下列各式中，属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 6．下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？请说明理由． （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ； （6） ；（7） ． 题型二 二次根式有意义的条件 7．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若二次根式在实数范围内没有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9.当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义（   ） A． B． C． D． 10.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 11.要使代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 12.当时，下列二次根式没有意义的是（    ） A． B． C． D． 13.代数式中的取值范围在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 14．当 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 题型三 求二次根式的值 15．若，则计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 16.当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型四 二次根式的化简 18．化简得（   ） A． B． C． D． 19．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 20．化简：（    ） A． B． C． D． 21．化简为最简二次根式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 22．成立的条件是（   ） A． B． C． D． 23．下列各式中计算正确的是（    ） A．； B．； C．； D． 24．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 25．素养提升：阅读下列解题过程： ， ． 利用上面的解法化简下列各式： (1)； (2)． 题型五 辨别最简二次根式 26．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 27．下列二次根式属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 28．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 29．判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 30．在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简． （1），（2），（3），（4），（5）． 题型六 由二次根式的非负性求字母的值 31．已知，则（   ） A．2025 B． C． D．5050 32．若，则（    ） A． B． C． D． 33．已知实数，满足，则的值为（   ） A． B． C．10 D．18 34.已知，则的值（    ） A．2011 B．2012 C．2013 D．2014 35．问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法． 例：已知，求的值 解：由，得 (1)尝试应用：若x，y为实数，且，化简：； (2)拓展创新：已知，求的值． 36．已知，且，求的值． 题型七 由二次根式的非负性求字母的的取值范围 37．若，则的取值范围是（    ）． A． B．且 C． D．可以取一切实数． 38.如果成立，那么实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 题型八 由二次根式的值求参数 39．若二次根式，则的值是（   ） A． B． C．5 D． 40．观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m、n的值为（　　） A． B． C． D． 41．若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 题型九 根据二次根式是整数求字母的值 42．已知是整数，则满足条件的最小正整数（    ）． A．5 B．0 C．3 D．75 43．已知是整数，则自然数m的最小值是（　　） A．2 B．3 C．8 D．11 44．已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 ． 题型一 逆用二次根式的性质在实数范围内分解因式 45.将在实数范围内分解因式得 ． 46.在实数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 47．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A． B． C．b D． 48．实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．0 B． C． D． 49．已知，那么下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 50．化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 51．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 52．先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解法是错误的；错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：__________． (2)先化简，再求值：，其中． 53．已知x，y都是实数，且，又知的整数部分为a，小数部分为b，若，，比较 m、n 的大小． 54．若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为．请解答下列问题： (1)的“阳光区间”是___________；的“阳光区间”是___________； (2)若无理数（为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值； (3)实数满足关系式： ，求的算术平方根的“阳光区间”． 55．阅读下面的解题过程，并回答问题．化简： ． 解：由，得， ， ∴原式． 按照上面的解法，解决下列问题． (1)． (2)若满足，求的值． 56．阅读下列解题过程： 例：若代数式的值是2，求的取值范围． 解：原式 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当，原式，解得（舍去）． 的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：_____． (2)若等式成立，求的取值范围． (3)若，求的值． 57．（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①，②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： ___________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 58．三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，两两乘积的算术平方根分别为整数6，3，2，所以这三个数称为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为9，求m的值． 59．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：________； (2)解方程：已知为非负整数，满足以下方程： ①若方程，则的值有________； ②若方程，则的取值是________． (3)如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．对254连续求根整数，至少________次之后结果为1； (4)至少需要进行4次连续求根整数运算后结果才为1的所有正整数中，最小的是________． 60．阅读下列材料： 材料1：集合是数学中最基本的概念之一，指具有某种特定性质的对象的总体．这些对象称为集合的元素（或成员），且满足以下特性： （1）确定性：任一元素要么属于集合，要么不属于集合（不存在模糊状态）； （2）互异性：集合中的元素互不相同； （3）无序性：元素排列顺序不影响集合本身． 例如：集合均是集合P的元素，因此1，2，3均属于集合P，0不是集合P的元素，因此0不属于集合P． 材料2：集合的表示方法： （1）列举法：直接列出元素．例如：； （2）描述法：通过条件定义元素．例如：是偶数 材料3：集合间的关系：（1）若，则A，B两个集合中的元素完全一样．例如：若，，则、（2）若 (读作：A包含于B），则集合A中的每个元素都属于集合B．例如：，，若，则，即 请根据上述材料完成下列问题： (1) 整数集合， 有理数集合；（填序号） ①属于；②不属于． (2)已知，若，求x，y的值； (3)已知，，若；直接写出的取值范围． 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A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义逐项分析判断即可，形如的式子是二次根式． 【详解】解：A. 不是二次根式，故该选项不正确，不符合题意； B. ，不是二次根式，故该选项不正确，不符合题意； C. 是二次根式，故该选项正确，符合题意； D. 不是二次根式，故该选项不正确，不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解定义是解题的关键． 6．下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？请说明理由． （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ； （6） ；（7） ． 【答案】，，，是二次根式；，），不是二次根式． 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义逐一排除即可，解题的关键是正确理解满足二次根式的条件有三个：含有根号；根指数是；被开方数是非负数，三个条件缺一不可． 【详解】解：（）是二次根式； （）中，不是二次根式； （）中，是二次根式； （）立方根，不是二次根式； （）中，是二次根式； （）中，是二次根式； （）中，不是二次根式； ∴，，，是二次根式；，，不是二次根式． 题型二 二次根式有意义的条件 7．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 根据二次根式被开方数为非负数，列出一元一次不等式，然后求解即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得，， ∴， 故选：D． 8．若二次根式在实数范围内没有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义，根据二次根式有意义，即被开方数为非负数，当二次根式没有意义，则被开方数为负数，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内没有意义， ∴ ∴， 故选：C 9.当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式和二次根式有意义的条件．要使分式有意义，需满足分母存在且不为零．根据二次根式和分式有意义的条件，分析求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴且，则， 解得， 故选：B． 10.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件计算即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴且， 解得且， 即， 故选：B 11.要使代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式分母不为零．根据二次根式有意义的条件可得，根据分式有意义的条件可得，即可求解． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：，且． 故选：A． 12.当时，下列二次根式没有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式无意义的条件，根据被开方数为负数时二次根式无意义逐一判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴有意义，故该选项不符合题意， B．∵ ∴没有意义，故该选项符合题意， C．∵， ∴有意义，故该选项不符合题意， D．∵， ∴有意义，故该选项不符合题意， 故选：B． 13.代数式中的取值范围在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式被开方数的非负性，分式分母不为0，把不等式解集在数轴上表示出来等知识；由二次根式被开方数的非负及分式分母不为0，得，求得x的范围，然后在数轴上表示出来即可求解． 【详解】解：由二次根式被开方数的非负及分式分母不为0，得， 解得：， 在数轴上表示如下： 故选：A． 14．当 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3)，且 (4) 【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件， 对于（1），根据二次根式有意义的条件可知，可求出答案； 对于（2），根据题意可知，可得答案； 对于（3），根据二次根式和分式有意义的条件可知，且，求出答案； 对于（4），根据题意可得，可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，可知， 解得． 所以当得时，原式有意义； （2）解：根据题意，得， 解得． 所以当时，原式有意义； （3）解：根据题意，得，且， 解得，且． 所以当，且时，原式有意义； （4）解：根据题意，得， 解得． 所以当时，原式有意义． 题型三 求二次根式的值 15．若，则计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质和化简，先根据求出，即可求解． 【详解】∵ ∴ ∴ 故选：A． 16.当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根． 【详解】当时， ， 故选：C． 17．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 题型四 二次根式的化简 18．化简得（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，将分解为平方数乘积形式，利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故选：B 19．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了求一个数的算术平方根和二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．直接利用算术平方根以及二次根式的性质分别化简，进而得出答案． 【详解】解：A．，故此选项不合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不合题意； D．，故此选项不合题意； 故选：B． 20．化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质，根据化简即可得出答案． 【详解】解：， 故选：B 21．化简为最简二次根式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式化简，首先计算根号内的分数，然后化简二次根式为最简形式． 【详解】解：， 故选：C． 22．成立的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质，被开方数必须非负，且等式两边相等需满足各自根号下的表达式均非负，据此求解. 【详解】由题意，得 ， 解得：， 故选：B. 23．下列各式中计算正确的是（    ） A．； B．； C．； D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：A：==，选项计算错误，不符合题意； B：==（），选项计算错误，不符合题意； C：==，选项计算错误，不符合题意； D： ，选项计算正确，符合题意； 故选：D． 24．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． （）根据二次根式性质即可求解； （）根据二次根式性质即可求解； （）根据二次根式性质即可求解； （）根据二次根式性质即可求解． 【详解】（1）解：由二次根式非负性，可得， ∴原式 ； （2）解：由二次根式非负性，结合，可得， ∴ 原式 ； （3）解：原式= ； （4）解：由二次根式非负性，即有，可得， ∴原式 ． 25．素养提升：阅读下列解题过程： ， ． 利用上面的解法化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的运算、二次根式的性质，正确掌握二次根式的性质是解答的关键． （1）仿照例子，直接利用二次根式的性质化简求出答案； （2）仿照例子，直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【详解】（1）解：根据材料中的方法看，可得 （2）解： 题型五 辨别最简二次根式 26．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式的概念．最简二次根式应该根号里没(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；(2)被开方数中不含分母．被开方数是多项式时，还需将被开方数进行因式分解，然后再观察判断． 【详解】A、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； C、，不能化简，是最简二次根式，本选项符合题意； D、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； 故选：C． 27．下列二次根式属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了最简二次根式的识别，解题的关键是熟知最简二次根式的定义． 根据最简二次根式的定义即可判断． 最简二次根式同时满足下列三个条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含有能开的尽的因式；（3）被开方数不含分母． 【详解】A．含有能开的尽的因式16，不是最简二次根式，故选项错误，不符合题意； B．含有能开的尽的因式4，不是最简二次根式，故选项错误，不符合题意； C．里有分母，不是最简二次根式，故选项错误，不符合题意； D．为最简二次根式，故选项正确，符合题意； 故选：D． 28．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念和二次根式的化简．根据最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式进行判断即可． 【详解】解：A项，，本项不是最简二次根式，故不符合题意；     B项，，本项是最简二次根式，故符合题意；     C项，，本项不是最简二次根式，故不符合题意；     D项，，本项不是最简二次根式，故不符合题意； 故选：B． 29．判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【答案】（3）（4）是最简二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最简二次根式，原因见解析 【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：（1） 不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因式； （2）不是最简二次根式，被开方数含分母． （3）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； （4）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； （5）不是最简二次根式，被开方数含分母． （6） 不是最简二次根式，被开方数含分母． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 30．在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简． （1），（2），（3），（4），（5）． 【答案】（1）不是，；（2）不是，；（3）是；（4）不是，；（5）不是，. 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】（1），含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式． （2），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式； （3），被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式； （4），在二次根式的被开方数中，含有小数，不是最简二次根式； （5），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 题型六 由二次根式的非负性求字母的值 31．已知，则（   ） A．2025 B． C． D．5050 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的意义和性质，正确掌握二次根式的意义和性质是解题的关键．根据二次根式的被开方数非负性，确定x的值，进而求出y的值，代入所求表达式即可求解． 【详解】解：由和的被开方数非负性，得， 解得：， 将代入原方程，得， ， 将和代入，得， 故选：B． 32．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查平方及算术平方根的非负性，求代数式的值，熟练掌握这些基础知识点是解题关键. 根据非负数的性质，平方项和算术平方根均为非负数，它们的和为零时，每个部分都为零，由此可解出a和b的值，再计算. 【详解】解：， ∵， ， ∴且， ∴，， ∴， 故选：B. 33．已知实数，满足，则的值为（   ） A． B． C．10 D．18 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式计算等． 首先根据平方根的定义确定x的值，再代入求出y的值，最后计算表达式的值． 【详解】解：∵和同时有意义， ∴且， ∴． 将代入，得． ∴． 故选A． 34.已知，则的值（    ） A．2011 B．2012 C．2013 D．2014 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式的被开方数是非负数、绝对值的计算法则求得的值，将其代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选C． 35．问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法． 例：已知，求的值 解：由，得 (1)尝试应用：若x，y为实数，且，化简：； (2)拓展创新：已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，完全平方公式，绝对值的意义，熟练掌握二次根式有意义的条件，完全平方公式是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件可求出的值，从而得到的值，即可求解； （2）根据二次根式有意义的条件可求出，从而得到，再根据完全平方公式的变形，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ， ， ； （2）解：由题意得：， 解得：， ， ， ， ． 36．已知，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值、算术平方根的非负性，二次根式有意义的条件，实数的运算等知识点，根据二次根式有意义的条件得出且，求出x，再求出，再根据算术平方根和绝对值的非负性得出且，求出y和z，最后代入求出答案即可． 【详解】解：要使有意义，必须， 解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 题型七 由二次根式的非负性求字母的的取值范围 37．若，则的取值范围是（    ）． A． B．且 C． D．可以取一切实数． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质（）以及绝对值的性质（绝对值等于其本身的数是非负数），解题的关键是利用二次根式和绝对值的性质，分析等式成立的条件，从而确定的取值范围． 先依据二次根式性质将转化为，再根据绝对值等于自身时被绝对值的数是非负的，列出关于的不等式求解． 【详解】， ，解得， 故选：A． 38.如果成立，那么实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 即 故选B. 题型八 由二次根式的值求参数 39．若二次根式，则的值是（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是利用二次根式的性质解方程，根据二次根式的性质，表示的绝对值，即．由此可建立方程求解的值． 【详解】解：由题意得： 根据二次根式的非负性，， 因此原方程可转化为： 解得：或， 即的值为，经检验符合题意； 故选：D． 40．观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m、n的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的知识，关键是仔细观察所给的式子，根据所给的式子得出规律．仔细观察所给式子，可得出根号外面的数字等于被开方数中的分子，被开方数的分母为分子上的数的平方减去1，依据规律进行计算即可． 【详解】解：根据所给式子的规律可得：， 解得：． 故选：B． 41．若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即，解得， 故选：C． 题型九 根据二次根式是整数求字母的值 42．已知是整数，则满足条件的最小正整数（    ）． A．5 B．0 C．3 D．75 【答案】C 【分析】此题考查了无理数与有理数的联系，根据二次根式的定义进行解答，解题的关键是正确理解什么情况下为正整数． 【详解】解：∵， ∴是一个平方数， ∴正整数最小是， 故选：． 43．已知是整数，则自然数m的最小值是（　　） A．2 B．3 C．8 D．11 【答案】B 【分析】先根据二次根式求出m的取值范围，再根据是整数对m的值进行分析讨论． 【详解】解：由题意得：，解得， 又因为是整数， ∴是完全平方数， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，自然数m的值可以是3、8、11、12，所以m的最小值是3， 故答案选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数是指大于等于0的整数是解答本题的关键． 44．已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义． 根据二次根式的定义即可求出答案． 【详解】由题意可知：， ， ∵是整数，是正整数， ∴或7或8， ， 故选：D． ． 题型一 逆用二次根式的性质在实数范围内分解因式 45.将在实数范围内分解因式得 ． 【答案】 【分析】利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解常用的方法是解题关键 46.在实数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）首先将7化为，然后利用平方差公式，即可得解； （2）首先提取公因式，将5化为，然后利用平方差公式，即可得解； （3）首先将化为，11化为，然后利用平方差公式，即可得解； （4）首先将3化为，然后利用完全平方公式，即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】此题主要考查利用二次根式的性质进行分解因式，熟练掌握，即可解题． 题型二 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 47．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A． B． C．b D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握其性质是解题的关键． 由数轴易得，则，利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由数轴可得， 则， ， 故选：D． 48．实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴、二次根式的性质与化简，掌握二次根式性质与化简的应用，根据数轴上点的位置关系判断绝对值里面的数与0的关系，是解题关键．根据数轴可得，进而可得，再根据二次根式的性质即可求解． 【详解】解：根据数轴可得， ∴， ∴ ， 故选：C． 49．已知，那么下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了化简二次根式． 由已知条件且可知，和均为负数，逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵， ∴和均为负数， A：，选项A错误； B：当和均为负数时，和在实数范围内无意义，等式不成立，选项B错误； C：左边结果为负数，右边为正数，等式不成立，选项C错误； D：，等式成立，选项D正确； 故选：D． 50．化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，化为最简二次根式，先判断，再化简即可． 【详解】解：由， ∴且， ∴； ∴ ； 故选：D． 51．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查利用数轴化简绝对值、化简二次根式、化简立方根，解题的关键是利用数轴确定式子的正负． 先根据数轴确定式子的正负，再化简即可． 【详解】观察数轴可得：， ∴， ∴ ． 52．先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解法是错误的；错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：__________． (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮， (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式，二次根式的性质，整式的混合运算，掌握以上知识是关键． （1）根据二次根式的性质判定即可； （2）运用完全平方公式，根据二次根式的性质化简，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴小亮的解法是错误的， 二次根式的性质， 故答案为：小亮；； （2）解： ∵， ∴， ∴原式 ． 53．已知x，y都是实数，且，又知的整数部分为a，小数部分为b，若，，比较 m、n 的大小． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，无理数的整数部分与小数部分，正确判断带根号的无理数在两个整数之间是解答此题的关键．分别求出，的值，即可求出m的值，再根据的整数部分为a，小数部分为b，可求出n，即可比较大小， 【详解】解：∵ ∴，解得， ∴，即． ∴， ∵的整数部分为a，小数部分为b，且 ∴，， ∴， ∵，， ∴，即． 54．若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为．请解答下列问题： (1)的“阳光区间”是___________；的“阳光区间”是___________； (2)若无理数（为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值； (3)实数满足关系式： ，求的算术平方根的“阳光区间”． 【答案】(1)， (2)或3 (3) 【分析】本题考查算术平方根、不等式、解方程等知识点，解题的关键是理解题目中“阳光区间”的定义． （1）仿照题干中的方法，根据“阳光区间”的定义求解； （2）先根据无理数和的“阳光区间”求出a的取值范围，再根据a为正整数求出a的值，代入即可求解； （3）先根据，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“阳光区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ∴的“阳光区间”是，的“阳光区间”是， 故答案为：，； （2）解：∵无理数的“阳光区间”为， ∴， ∴，即， ∵的“阳光区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵a为正整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为或3； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 两式相减，得， ∴， ∴m的算术平方根为， ∵， ∴， ∴m的算术平方根的“阳光区间”是． 55．阅读下面的解题过程，并回答问题．化简： ． 解：由，得， ， ∴原式． 按照上面的解法，解决下列问题． (1)． (2)若满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的性质，整式的化简，解方程，代数式求值，熟练掌握二次根式有意义的条件，绝对值的性质是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件及性质，绝对值的性质化简即可； （2）结合已知条件，根据二次根式有意义的条件及性质计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得且， 则， ， 原式 ； （2）解：由题意可得， ， ， 原方程化为 ， 两边同时平方得：， ． 56．阅读下列解题过程： 例：若代数式的值是2，求的取值范围． 解：原式 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当，原式，解得（舍去）． 的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：_____． (2)若等式成立，求的取值范围． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，在解答此类问题时要注意进行分类讨论． （1）根据，得出；再将原式化为去绝对值即可得出答案； （2）先将原式化为再分，，三种情况解方程，得出符合条件的即可； （3）先将原式化为，再分，，三种情况解方程，即可求出a的值． 【详解】（1）解：当时， 原式； （2）解：原式= 当时，原式，解得(舍去)； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得 (舍去)． 所以，的取值范围是； （3）解：∵， ∴原式=， 当时，原式，解得符合条件； 当时，原式，不符合条件； 当时，原式，解得 符合条件． 所以，的值是或． 57．（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①，②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： ___________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 【答案】（1）10；（2）；（3）①5050；②41075 【分析】（1）观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和； （2）所有自然数相加的和等于首项＋尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可； （3）利用（1）（2）中的规律综合运用即可求解． 【详解】解：（1）； （2）根据以上等式的规律可得，； （3）① ； ② ． 【点睛】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律，掌握这三个知识点的应用，其中探求规律是解题关键 58．三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，两两乘积的算术平方根分别为整数6，3，2，所以这三个数称为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为9，求m的值． 【答案】(1)，，这三个数是“完美组合数”，理由见解析 (2)m的值是 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，新定义运算，解题的关键是熟练掌握算术平方根定义，准确计算，并注意进行分类讨论． （1）根据“完美组合数”的定义进行判断即可； （2）分两种情况进行讨论，①当时，②当时，分别求出m的值即可． 【详解】（1）解：，，这三个数是“完美组合数”， 理由如下： ∵，，， ∴，，这三个数是“完美组合数”； （2）解：∵， ∴分两种情况讨论： ①当时，， ∴； ②当时，， ∴（不符合题意，舍之）； 综上，m的值是． 59．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：________； (2)解方程：已知为非负整数，满足以下方程： ①若方程，则的值有________； ②若方程，则的取值是________． (3)如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．对254连续求根整数，至少________次之后结果为1； (4)至少需要进行4次连续求根整数运算后结果才为1的所有正整数中，最小的是________． 【答案】(1)6 (2)4，5，6，7，8；7，8，9 (3)3 (4)256 【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是理解题意，掌握无理数的估算． （1）根据题意得，则，即可得出答案； （2）①根据知，求得，故可得整数x的值； ②先确定x的取值，再由可得； （3）根据题意得，第一次：；第二次：；第三次：，即可得结论； （4）根据运算法则进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：6； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴x的整数值为4，5，6，7，8， 故答案为：4，5，6，7，8； ②根据题意得，， 解得，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故答案为：7，8，9； （3）解：第一次：； 第二次：； 第三次：， 故答案为：3； （4）解：设第4次运算的整数为，则有：， ∴第4次运算的最小整数为； 第3次运算的整数为，则有：， ∴第3次运算的最小整数为； 第2次运算的整数为，则有：， ∴第2次运算的最小整数为16； 第1次运算的整数为，则有：， ∴第1次运算的最小整数为256； 故答案为：256． 60．阅读下列材料： 材料1：集合是数学中最基本的概念之一，指具有某种特定性质的对象的总体．这些对象称为集合的元素（或成员），且满足以下特性： （1）确定性：任一元素要么属于集合，要么不属于集合（不存在模糊状态）； （2）互异性：集合中的元素互不相同； （3）无序性：元素排列顺序不影响集合本身． 例如：集合均是集合P的元素，因此1，2，3均属于集合P，0不是集合P的元素，因此0不属于集合P． 材料2：集合的表示方法： （1）列举法：直接列出元素．例如：； （2）描述法：通过条件定义元素．例如：是偶数 材料3：集合间的关系：（1）若，则A，B两个集合中的元素完全一样．例如：若，，则、（2）若 (读作：A包含于B），则集合A中的每个元素都属于集合B．例如：，，若，则，即 请根据上述材料完成下列问题： (1) 整数集合， 有理数集合；（填序号） ①属于；②不属于． (2)已知，若，求x，y的值； (3)已知，，若；直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，② (2) (3)， 【分析】本题考查了无理数与有理数、二次根式、立方根、一元一次不等式组等知识，正确理解集合的定义和特性是解题关键． （1）根据整数、无理数与有理数、集合的定义即可得； （2）先根据集合的特性和二次根式有意义的条件可得，再根据可得，从而可得，然后根据可得，即，利用立方根的性质可得的值，由此即可得； （3）先解一元一次不等式组可得，再根据可得，，由此即可得． 【详解】（1）解：∵整数包括正整数、0和负整数， ∴属于整数集合， ∵是无理数， ∴不属于有理数集合， 故答案为：①，②． （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵，，且， ∴这个不等式组有解， ∴， ∴， 又∵，且， ∴，， ∴，． 学科网（北京）股份有限公司 $$