2.2.1有理数的乘法（第1课时有理数的乘法法则）（导学案）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学导学案聚焦有理数乘法法则及倒数概念，通过复习有理数加法法则，将负数连加转化为乘法引入新课，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生自然过渡到新知学习。 导学案以规律探究推导法则，培养学生推理意识，设置自主与合作探究环节，分题型习题覆盖基础计算、倒数、数轴综合及实际应用，提升运算能力与应用意识，助力学生深度理解和灵活运用知识。

2.2.1有理数的乘法 导学案 第1课时 有理数的乘法法则 1.理解有理数乘法法则的推导过程，掌握有理数乘法法则，并能熟练运用有理数乘法法则进行两个有理数的乘法运算。 2.理解倒数的概念，掌握求一个数的倒数的方法，能区分倒数与相反数。 3.经历从规律探究到法则归纳的过程，体会从特殊到一般的归纳思想和类比思想。 学习重点：有理数乘法法则的形成及符号判断。 学习难点： “负数乘负数得正”的规律证明与接受。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 旧知复习： 思考：你还记得有理数加法法则是什么吗？ 有理数加法法则 ①同号相加取相同符号，绝对值 ； ②异号相加取绝对值大的符号，绝对值 . 快速计算以下式子： （1）(－3)＋(－3)＋(－3)＝_______. （2）(－3)＋(－3)＋(－3)＋(－3)=_____. 新课引入 在小学，我们知道3＋3＋3＋3可以写成3×4＝12。 以上计算中的(－3)＋(－3)＋(－3)能不能写成乘法？ 思考：(－3)×3等于多少？ 与加法、减法一样，乘法也是有理数的基本运算，本节课我们就一起来学习——有理数的乘法. 新知自研：自研课本第38-40页的内容． 【学法指导】 自研课本P38-40的内容，思考： ●探究一：有理数乘法法则的推导 ◆1.探究思考 观察下面的两列乘法算式，你能发现什么规律？ 3×3＝9 3×2＝6 3×1＝3 3×0＝0 ↓ 随着后一乘数逐次递减1，积逐次递减 . 3×3＝9 2×3＝6 1×3＝3 0×3＝0 ↓ 随着前一乘数逐次递减1，积逐次递减 。 要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有： 3×(－1)＝－3 3×(－2)＝ 3×(－3)＝ (－1)×3＝－3 (－2)×3＝ (－3)×3＝ ◆2.知识小结 从符号和绝对值两个角度观察上述所有算式，你能发现什么？ ①正数乘正数，积为 ； ②正数乘负数，积为 ； ③负数乘正数，积也为 ； ④积的绝对值等于乘数的绝对值的 。 ◆3.讨论探究 利用上面归纳的结论计算下面的算式，你能发现什么规律？ (－3)×3＝ (－3)×2＝ (－3)×1＝ 规律：随着后一乘数逐次递减1，积逐次增加 . 按照上述规律，下面的空格应各填什么数？ (－3)×0＝ (－3)×(－1)＝ (－3)×(－2)＝ (－3)×(－3)＝ 思考：你能得出负数与0相乘的结果吗？ ◆4.新知探究 观察上述乘数不为0的三个算式，你能发现什么？ 负数乘负数，积为 ，且积的绝对值等于乘数的绝对值的 . 在以上的探究中， 正数乘负数、负数乘正数、负数乘负数、负数乘0的情况我们都已经进行探究并作了归纳，结合所学以及归纳的结论，你能总结有理数的乘法法则吗？ ◆5.知识小结 有理数乘法法则 ①两数相乘，同号 ，异号 ，并把 相乘。 ②任何数与0相乘，都得 。 字母表示：设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 (＋a)×(＋b)＝ (a×b)，(－a)×(－b)＝ (a×b)； (－a)×(＋b)＝ (a×b)，(＋a)×(－b)＝ (a×b)； c×0＝ ，0×c＝ . ◆6.拓展延伸 在进行有理数的乘法运算时，有以下的点需要注意： ①两个有理数相乘，积是一个 . ② "同号得正，异号得负"只适用于两个 的有理数相乘； ③任何数同1相乘都等于它 ，任何数同－1相乘都等于它的 数. ◆7.新知巩固 计算： （1）(−4.5)×0.2； （2）(−6)×(−5)； （3）1.25×(−4)； （4）(−2)×(−4)． ◆8.例题讲解 例 1 计算： (1) 8×(−1)； (2) (−)×(−2)； (3) (−)×(−)。 ●探究二：倒数的概念及求法 ◆1.新知探究 计算下列各式，你有什么发现？ 2×= (−3)×(−)= × = −0.5×(−2)= 以上式子的乘积都是 . 在以上式子中，我们说-和-2互为倒数，同样的， - 和-3 等也互为倒数。 【总结】一般地，在有理数中仍然有： 的两个数互为倒数。 ◆2.新知归纳 （一）概念辨析 ① 倒数是两个数之间的相互关系，单独一个数 称为倒数； 例：3是倒数，这样的说法就是错误的. ② 因为任何数与0相乘都得0，所以0 数。 （二）倒数的性质 ① 互为倒数的两个数符号相同——正数的倒数是 ，负数的倒数是 （由"同号得正"可知）； ② 倒数等于它本身的数是 ； ③ 检验两个数是否互为倒数的方法：看两个数的 是否为1。 ◆3.新知巩固 求下列各数的倒数： （1）−； （2）1.2； （3）1； （4）−0.08． ◆4.例题讲解 用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负.登山队攀登一座 山峰，每登高 1 km 气温的变化量为-6 °C.登高 3 km后，气温有什么变化？ 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A. 探讨有理数乘法法则，两数相乘符号判断，倒数的定义与求法，带分数拆分简便运算技巧； B. 交流例题的已知条件和所求问题，理清解题思路，辨析符号判断错误、0 没有倒数、带分数变形易错点； C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.在简便运算时，把 21×(−9) 变成最合适的形式是（　　） A. 21×(−10+) B. 21×(−9−) C. 21×(−10−) D. 21×(−9+) 2.计算： （1）(−8)×(−0.125)； （2）×(−)； （3）(−)×(−)； （4）(−)×(−)． 3.−的倒数是（ ） A. − B. C. D. − 4.求下列各数的倒数：−9，−3，0.75，−(−2)，−|−|． 5.某公司去年1—3月平均每月亏损1.6万元，4-6月平均每月盈利14.7万元，7—10月平均每月盈利12.4万元，11—12月平均每月亏损2.6万元（记盈余额为正，亏损额为负），请通过计算说明该公司去年总的盈亏情况． 6.甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，甲的速度为 4km/h，乙的速度为 6km/h，经过 2h 两人相遇，则 A、B 两地的距离为（　　） A. 10km B. 20km C. 30km D. 40km ▲1、①两数相乘，同号 ，异号 ，并把 相乘。 ②任何数与0相乘，都得 。 ▲２、一般地，在有理数中仍然有： 的两个数互为倒数。 题型一：两个有理数相乘 1．计算（）×（﹣3）的结果等于（　　） A． B．1 C． D．﹣1 2．若两数之积为负数，则这两个数一定是（　　） A．同为正数 B．同为负数 C．一正一负 D．无法确定 3．下列说法正确的是（　　） A．正数和负数互为相反数 B．相反数等于它本身的只有0 C．﹣a一定小于0 D．一个数和它的相反数之积一定为负数 4．在2，﹣3，4，﹣5这四个数中，任取两个数相乘，所得的积最大是 　 ． 5．计算： （1）（）； （2）（）； （3）（）×（）； （4）（﹣3）×（﹣4）． 题型二：求一个数的倒数 6．﹣2026的倒数是（　　） A．﹣2026 B．2026 C． D． 7．的倒数是（　　） A． B． C．﹣3 D．3 8．一个数的倒数是它的本身，这个数是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1 9．下列互为倒数的是（　　） A．﹣3和 B．﹣2和2 C．3和 D．﹣2和 10．已知两个数的积是，其中一个数的倒数是，则另一个数是 　 　． 题型三：数轴与有理数乘法的综合 11．已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（　　） A．a＞b B．a﹣b＞0 C．|a|﹣|b|＜0 D．ab＜0 12．在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若a+b＜0，ac＜0，则下面四个结论：①abc＜0；②b+c＜0；③|a|﹣|b|＞0；④|a﹣c|＜|a|，其中一定成立的结论个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 13．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式成立的是 　 （填序号）． ①a+b＞0； ②a﹣b＞0； ③ab＜0； ④|b|＞a． 14．有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，有如下四个结论： ①|a|＞3； ②ab＞0； ③b+c＜0； ④b﹣a＞0． 上述四个结论中，所有正确结论是 　 　． 题型四：绝对值与有理数乘法的综合 15．已知|x|＝2，|y|＝1，且xy＜0，则x+y＝（　　） A．3 B．3或﹣3 C．1或﹣1 D．1 16．已知，且，则的值为___________． 17．已知|x|＝4，|y|＝3，且xy＞0，则x﹣y的值是 　 ． 18．已知|x|＝2，|y|＝5，且xy＜0，求2x﹣3y的值． 题型五：有理数乘法实际应用 19．某水库的水位近期平均每天下降0.3米（记下降为负），经过6天后水位的变化情况可用算式 　 　表示，其计算结果为 　 ，可知水位 　 　了 　 　米． 20．2026年世界杯将于2026年6月在北美（美国、加拿大和墨西哥）举行．为了备战世界杯，某运动员沿一条东西方向的跑道，以每秒钟9米的速度向东跑．记该运动员在跑道上的某一位置为点O，那么在点O的3秒后、2秒后、1秒后、0秒、1秒前、2秒前、3秒前，他位于点O的哪个方向？相距多少米？ 提示：向东和向西行进的速度都是具有方向的量，如果我们规定：向东为正，向西为负． 21．一辆出租车在一条东西走向的大街上行驶，这辆出租车连续送客20次，其中8次向东行驶，12次向西行驶，向东行驶每次行程10km，向西行驶每次行程7km． （1）该出租车经连续20次送客后，停在何处？ （2）该出租车一共行驶了多少路程？ 22．一个粮库月日有存粮吨，从月日至月日，该粮库由汽车运送粮食进出情况如下表．记进库为正 日期 日 日 日 日 日 日 日 日 日 日 数量吨 (1)至月日运粮食结束时，仓库内存粮食多少吨 (2)若每吨粮食的运费为元，问这天共需运费多少元 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.1有理数的乘法 导学案 第1课时 有理数的乘法法则 1.理解有理数乘法法则的推导过程，掌握有理数乘法法则，并能熟练运用有理数乘法法则进行两个有理数的乘法运算。 2.理解倒数的概念，掌握求一个数的倒数的方法，能区分倒数与相反数。 3.经历从规律探究到法则归纳的过程，体会从特殊到一般的归纳思想和类比思想。 学习重点：有理数乘法法则的形成及符号判断。 学习难点： “负数乘负数得正”的规律证明与接受。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 旧知复习： 思考：你还记得有理数加法法则是什么吗？ 有理数加法法则 ①同号相加取相同符号，绝对值相加； ②异号相加取绝对值大的符号，绝对值相减. 快速计算以下式子： （1）(－3)＋(－3)＋(－3)＝_______. （2）(－3)＋(－3)＋(－3)＋(－3)=_____. 解：-9，-12 新课引入 在小学，我们知道3＋3＋3＋3可以写成3×4＝12。 以上计算中的(－3)＋(－3)＋(－3)能不能写成乘法？ 解：能，可以将它们看作(－3)×3. 思考：(－3)×3等于多少？ 与加法、减法一样，乘法也是有理数的基本运算，本节课我们就一起来学习——有理数的乘法. 新知自研：自研课本第38-40页的内容． 【学法指导】 自研课本P38-40的内容，思考： ●探究一：有理数乘法法则的推导 ◆1.探究思考 观察下面的两列乘法算式，你能发现什么规律？ 3×3＝9 3×2＝6 3×1＝3 3×0＝0 ↓ 随着后一乘数逐次递减1，积逐次递减3. 3×3＝9 2×3＝6 1×3＝3 0×3＝0 ↓ 随着前一乘数逐次递减1，积逐次递减3。 要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有： 3×(－1)＝－3 3×(－2)＝－6 3×(－3)＝－9 (－1)×3＝－3 (－2)×3＝－6 (－3)×3＝－9 ◆2.知识小结 从符号和绝对值两个角度观察上述所有算式，你能发现什么？ ①正数乘正数，积为正数； ②正数乘负数，积为负数； ③负数乘正数，积也为负数； ④积的绝对值等于乘数的绝对值的积。 ◆3.讨论探究 利用上面归纳的结论计算下面的算式，你能发现什么规律？ (－3)×3＝－9 (－3)×2＝－6 (－3)×1＝－3 规律：随着后一乘数逐次递减1，积逐次增加3. 按照上述规律，下面的空格应各填什么数？ (－3)×0＝0 (－3)×(－1)＝3 (－3)×(－2)＝6 (－3)×(－3)＝9 思考：你能得出负数与0相乘的结果吗？ 任何数与0相乘都得0 ◆4.新知探究 观察上述乘数不为0的三个算式，你能发现什么？ 负数乘负数，积为正数，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积. 在以上的探究中， 正数乘负数、负数乘正数、负数乘负数、负数乘0的情况我们都已经进行探究并作了归纳，结合所学以及归纳的结论，你能总结有理数的乘法法则吗？ ◆5.知识小结 有理数乘法法则 ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 ②任何数与0相乘，都得0。 字母表示：设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 (＋a)×(＋b)＝＋(a×b)，(－a)×(－b)＝＋(a×b)； (－a)×(＋b)＝－(a×b)，(＋a)×(－b)＝－(a×b)； c×0＝0，0×c＝0. ◆6.拓展延伸 在进行有理数的乘法运算时，有以下的点需要注意： ①两个有理数相乘，积是一个有理数. ② "同号得正，异号得负"只适用于两个非0的有理数相乘； ③任何数同1相乘都等于它本身，任何数同－1相乘都等于它的相反数. ◆7.新知巩固 计算： （1）(−4.5)×0.2； （2）(−6)×(−5)； （3）1.25×(−4)； （4）(−2)×(−4)． 【分析】根据两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍得0进行计算即可. （1）解：(−4.5)×0.2=−0.9； （2）解：(−6)×(−5)=30； （3）解：1.25×(−4)=−5； （4）解：(−2)×(−4)=8． ◆8.例题讲解 例 1 计算： (1) 8×(−1)； (2) (−)×(−2)； (3) (−)×(−)。 【分析】依据有理数乘法法则，先判断乘积符号，再计算绝对值相乘得到结果. 解：(1) 8×(−1)=−(8×1)=−8； (2)(−)×(−2)=+(×2)=1; (3)(−)×(−)=+(×)=. ●探究二：倒数的概念及求法 ◆1.新知探究 计算下列各式，你有什么发现？ 2×= 1 (−3)×(−)= 1 × = 1 −0.5×(−2)= 1 以上式子的乘积都是1. 在以上式子中，我们说-和-2互为倒数，同样的， - 和-3 等也互为倒数。 【总结】一般地，在有理数中仍然有：乘积是1的两个数互为倒数。 ◆2.新知归纳 （一）概念辨析 ① 倒数是两个数之间的相互关系，单独一个数不能称为倒数； 例：3是倒数，这样的说法就是错误的. ② 因为任何数与0相乘都得0，所以0没有倒数。 （二）倒数的性质 ① 互为倒数的两个数符号相同——正数的倒数是正数，负数的倒数是负数（由"同号得正"可知）； ② 倒数等于它本身的数是±1； ③ 检验两个数是否互为倒数的方法：看两个数的乘积是否为1。 ◆3.新知巩固 求下列各数的倒数： （1）−； （2）1.2； （3）1； （4）−0.08． 【分析】本题主要考查倒数，解题的关键牢记倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数. （1）解：−的倒数为−7/4； （2）∵1.2=， ∴1.2的倒数为； （3）∵1=， ∴1的倒数为； （4）∵−0.08=−， ∴−0.08的倒数为−． ◆4.例题讲解 用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负.登山队攀登一座 山峰，每登高 1 km 气温的变化量为-6 °C.登高 3 km后，气温有什么变化？ 【分析】用每千米气温变化量乘登高千米数，通过有理数乘法求出总气温变化，再结合正负含义作答. 解：(−6)×3=−18. 答：登高 3 km 后，气温下降 18 °C. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A. 探讨有理数乘法法则，两数相乘符号判断，倒数的定义与求法，带分数拆分简便运算技巧； B. 交流例题的已知条件和所求问题，理清解题思路，辨析符号判断错误、0 没有倒数、带分数变形易错点； C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.在简便运算时，把 21×(−9) 变成最合适的形式是（　　） A. 21×(−10+) B. 21×(−9−) C. 21×(−10−) D. 21×(−9+) 【分析】本题考查了有理数的简便运算，将带分数变形为凑整的形式，便于计算，据此进行分析，即可作答. 解：依题意， −9=−10+ ， ∴21×(−9)=21×(−10+) 这样便于后面的运算， 故选：A 2.计算： （1）(−8)×(−0.125)； （2）×(−)； （3）(−)×(−)； （4）(−)×(−)． （1）解：(−8)×(−0.125)=1； （2）解：×(−)=−； （3）解：(−)×(−)=； （4）解：(−)×(−)=3． 3.−的倒数是（ ） A. − B. C. D. − 【分析】本题考查了倒数的定义，直接根据倒数的定义求解即可，掌握倒数的定义是解题的关键． 解：−的倒数是− 故选：D. 4.求下列各数的倒数：−9，−3，0.75，−(−2)，−|−|． 解：−9 的倒数为 −； 因为 −3=−，所以 −3的倒数为 −； 因为 0.75=，所以 0.75 的倒数为 ； 因为 −(−2)=2，所以 −(−2) 的倒数为 ； 因为 −|−|=−，所以 −|−| 的倒数为 −． 5.某公司去年1—3月平均每月亏损1.6万元，4-6月平均每月盈利14.7万元，7—10月平均每月盈利12.4万元，11—12月平均每月亏损2.6万元（记盈余额为正，亏损额为负），请通过计算说明该公司去年总的盈亏情况． 【分析】根据亏损的为负数，盈利的为正数，列式计算即可． 解：由题得，(−1.6)×3+14.7×3+12.4×4+(−2.6)×2 =(−4.8)+44.1+49.6+(−5.2) =83.7（万元）． 答：该公司去年总的盈利83.7万元． 6.甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，甲的速度为 4km/h，乙的速度为 6km/h，经过 2h 两人相遇，则 A、B 两地的距离为（　　） A. 10km B. 20km C. 30km D. 40km 解：∵ 甲的速度为 4km/h，乙的速度为 6km/h，两人相向而行经过 2h 相遇 ∴A、B 两地的距离为两人 2h 行驶的路程之和 ∴ 距离 =(4+6)×2=20(km). ▲1、①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 ②任何数与0相乘，都得0。 ▲２、一般地，在有理数中仍然有：乘积是1的两个数互为倒数。 题型一：两个有理数相乘 1．计算（）×（﹣3）的结果等于（　　） A． B．1 C． D．﹣1 【分析】根据有理数的乘法法则：两数相乘，同号相乘得正，并把绝对值相乘，进行计算即可． 【解答】解：原式 ＝1， 故选：B． 【点评】本题主要考查了有理数的乘法运算，解题关键是熟练掌握有理数的乘法法则． 2．若两数之积为负数，则这两个数一定是（　　） A．同为正数 B．同为负数 C．一正一负 D．无法确定 【分析】根据有理数的乘法法则，举反例，排除错误选项，从而得出正确结果． 【解答】解：例如（﹣2）×1＝﹣2，2×（﹣2）＝﹣4，所以C正确， 故选：C． 【点评】在进行有理数乘法运算时，首先判断两个乘数的符号：是同号还是异号，是否有0，从而确定结果符号． 3．下列说法正确的是（　　） A．正数和负数互为相反数 B．相反数等于它本身的只有0 C．﹣a一定小于0 D．一个数和它的相反数之积一定为负数 【分析】根据相反数的定义以及有理数的乘法法则进行解题即可． 【解答】解：A、正数和负数互为相反数说法错误，不符合题意； B、相反数等于它本身的只有0，故该项正确，符合题意； C、﹣a不一定小于0，也有可能等于0，故该项不正确，不符合题意； D、一个数和它的相反数之积不一定为负数，也可能是0，故该项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查有理数的乘法，相反数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 4．在2，﹣3，4，﹣5这四个数中，任取两个数相乘，所得的积最大是 　 ． 【分析】根据有理数的乘法法则，两数相乘，同号得正，异号得负，而正数大于负数，可知同号两数相乘的结果大于异号两数相乘的结果．故本题只需要计算两种情况，计算后比较即可． 【解答】解：2×4＝8，（﹣3）×（﹣5）＝15， 15＞8． ∴积最大是15． 故答案为：15． 【点评】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数乘法法则是解题关键． 5．计算： （1）（）； （2）（）； （3）（）×（）； （4）（﹣3）×（﹣4）． 【分析】根据有理数的乘法法则解答即可． 【解答】解：（1）（）； （2）（）； （3）（）×（）； （4）（﹣3）×（﹣4）＝13． 【点评】此题考查有理数的乘法，关键是根据有理数的乘法法则解答． 题型二：求一个数的倒数 6．﹣2026的倒数是（　　） A．﹣2026 B．2026 C． D． 【分析】根据题意利用倒数定义即可得出本题答案． 【解答】解：∵， 故选：C． 【点评】本题考查倒数定义，解题的关键是掌握倒数的定义． 7．的倒数是（　　） A． B． C．﹣3 D．3 【分析】根据倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数．据此进行解题即可． 【解答】解：﹣（）， 故的倒数是3． 故选：D． 【点评】本题主要考查的是倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 8．一个数的倒数是它的本身，这个数是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1 【分析】乘积是1的两个数互为倒数．根据倒数的意义，可知一个数的倒数是它的本身，这个数一定是1或﹣1，由此进行选择． 【解答】解：一个数的倒数是它的本身，这个数是1或﹣1． 故选：D． 【点评】此题考查1或﹣1的倒数的特殊性：明确1或﹣1的倒数是它的本身是解题的关键． 9．下列互为倒数的是（　　） A．﹣3和 B．﹣2和2 C．3和 D．﹣2和 【分析】根据互为倒数的意义，找出乘积为1的两个数即可． 【解答】解：A．因为，所以﹣3和是互为倒数，因此选项符合题意； B．因为﹣2×2＝﹣4，所以﹣2与2不是互为倒数，因此选项不符合题意； C．因为，所以3和不是互为倒数，因此选项不符合题意； D．因为，所以﹣2和不是互为倒数，因此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了倒数，解题的关键是理解互为倒数的意义是正确判断的前提，掌握“乘积为1的两个数互为倒数”． 10．已知两个数的积是，其中一个数的倒数是，则另一个数是 　 　． 【分析】根据倒数的定义求解即可． 【解答】解：由题意其中一个数为， ∴另一个数（） ． 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的乘法，解题的关键是理解题意，属于中考基础题． 题型三：数轴与有理数乘法的综合 11．已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（　　） A．a＞b B．a﹣b＞0 C．|a|﹣|b|＜0 D．ab＜0 【分析】由数轴得，a＜0，b＞0，|a|＞|b|，进一步判断出a＜b，a﹣b＜0，|a|﹣|b|＞0，ab＜0，从而作出判断． 【解答】解：由数轴得，a＜0，b＞0，|a|＞|b|， ∴a＜b，a﹣b＜0，|a|﹣|b|＞0，ab＜0， 故选：D． 【点评】本题考查了数轴，有理数的大小比较，熟练掌握数轴的性质是解题的关键． 12．在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若a+b＜0，ac＜0，则下面四个结论：①abc＜0；②b+c＜0；③|a|﹣|b|＞0；④|a﹣c|＜|a|，其中一定成立的结论个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用有理数的加法，乘法法则判断即可． 【解答】解：∵a+b＜0，ac＜0， ∴a＜0，c＞0，b＞0且|a|＞|b|或b＜0， ∴abc＞0或abc＜0，选项①错误； b+c＞0或b+c＜0，选项②错误； |a|＞|b|，即|a|﹣|b|＞0，选项③正确； |a﹣c|＞|a|，选项④错误， 其中一定成立的结论个数为1． 故选：A． 【点评】此题考查了有理数的乘法，数轴，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式成立的是 　 （填序号）． ①a+b＞0； ②a﹣b＞0； ③ab＜0； ④|b|＞a． 【分析】由数轴得出b＜0，a＞0，|a|＞|b|，然后根据有理数的加减法、有理数的乘法法则判断即可． 【解答】解：由数轴得，b＜0，a＞0，|a|＞|b|， ∴a+b＞0，a﹣b＞0，ab＜0，|b|＜a， ∴①②③成立， 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了数轴，有理数的乘法，有理数的加减法，绝对值，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 14．有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，有如下四个结论： ①|a|＞3； ②ab＞0； ③b+c＜0； ④b﹣a＞0． 上述四个结论中，所有正确结论是 　 　． 【分析】根据图示，可得：﹣3＜a＜﹣2，﹣2＜b＜﹣1，3＜c＜4，据此逐项判断即可． 【解答】解：根据题意，可得：﹣3＜a＜﹣2，﹣2＜b＜﹣1，3＜c＜4， ∵﹣3＜a＜﹣2， ∴|a|＜3， ∴①不正确； ∵a＜0，b＜0， ∴ab＞0， ∴②正确； ∵﹣2＜b＜﹣1，3＜c＜4， ∴b+c＞0， ∴③不正确； ∵﹣3＜a＜﹣2，﹣2＜b＜﹣1， ∴b﹣a＞0， ∴④正确， ∴四个结论中，所有正确结论是②、④． 故答案为：②、④． 【点评】此题主要考查了有理数加减乘除的运算方法，绝对值的含义和求法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 题型四：绝对值与有理数乘法的综合 15．已知|x|＝2，|y|＝1，且xy＜0，则x+y＝（　　） A．3 B．3或﹣3 C．1或﹣1 D．1 【分析】求出符合条件的x、y的值，代入计算即可． 【解答】解：∵|x|＝2，|y|＝1， ∴x＝±2，y＝±1， 又∵xy＜0， ∴x＝2，y＝﹣1或x＝﹣2，y＝1， 当x＝2，y＝﹣1时，x+y＝1， 当x＝﹣2，y＝1时，x+y＝﹣1， ∴x+y的值为1或﹣1． 16．已知，且，则的值为___________． 【分析】先根据绝对值的性质得到、的所有可能取值，再结合和确定、的具体值，最后计算． 【解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴与同号， 即有两种情况：或 ∵，当时，，不满足条件，舍去； 当时，，满足条件 ∴． 17．已知|x|＝4，|y|＝3，且xy＞0，则x﹣y的值是 　 ． 【分析】根据绝对值的意义得到x＝±4，y＝±3，而xy＞0，则x＝4，y＝3或x＝﹣4，y＝﹣3，把它们分别代入x﹣y进行计算即可． 【解答】解：∵|x|＝4，|y|＝3， ∴x＝±4，y＝±3， 而xy＞0， ∴x＝4，y＝3或x＝﹣4，y＝﹣3， 当x＝4，y＝3时，x﹣y＝4﹣3＝1； 当x＝﹣4，y＝﹣3时，x﹣y＝﹣4﹣（﹣3）＝﹣1． 故答案为：±1． 【点评】本题考查了绝对值的意义，熟记若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0，若a＜0，则|a|＝﹣a是解答此题的关键． 18．已知|x|＝2，|y|＝5，且xy＜0，求2x﹣3y的值． 【分析】利用绝对值的意义，有理数的乘法法则进行计算，即可得出结果． 【解答】解：∵|x|＝2，|y|＝5， ∴x＝±2，y＝±5， ∵xy＜0， ∴x＝2，y＝﹣5或x＝﹣2，y＝5， 当x＝2，y＝﹣5时， 2x﹣3y＝2×2﹣3×（﹣5） ＝4+15 ＝19， 当x＝﹣2，y＝5时， 2x﹣3y＝2×（﹣2）﹣3×5 ＝﹣4﹣15 ＝﹣19， 综上所述，2x﹣3y的值为19或﹣19． 【点评】本题考查了有理数的乘法及绝对值，掌握绝对值的意义，有理数的乘法法则是解决问题的关键． 题型五：有理数乘法实际应用 19．某水库的水位近期平均每天下降0.3米（记下降为负），经过6天后水位的变化情况可用算式 　 　表示，其计算结果为 　 ，可知水位 　 　了 　 　米． 【分析】根据乘法的意义和正数与负数的意义即可得出答案． 【解答】解：（﹣0.3）×6＝﹣1.8（米）， 故答案为：（﹣0.3）×6；﹣1.8；下降；1.8． 【点评】本题考查了有理数的乘法，正数与负数，注意最后计算结果如果是正数表示水位上升，如果是负数表示水位下降． 20．2026年世界杯将于2026年6月在北美（美国、加拿大和墨西哥）举行．为了备战世界杯，某运动员沿一条东西方向的跑道，以每秒钟9米的速度向东跑．记该运动员在跑道上的某一位置为点O，那么在点O的3秒后、2秒后、1秒后、0秒、1秒前、2秒前、3秒前，他位于点O的哪个方向？相距多少米？ 提示：向东和向西行进的速度都是具有方向的量，如果我们规定：向东为正，向西为负． 【答案】 3秒后 2秒后 1秒后 0秒 1 秒前 2秒前 3秒前 位于点O方向 东 东 东 西 西 西 距点O的距离 27米 18米 9米 0米 9米 18米 27米 【分析】根据速度，时间，路程之间的关系，结合有理数的乘法，以及绝对值的意义进行计算，即可解题． 【解答】解：某运动员以每秒钟9米的速度向东跑． 时间在当下及之后，向东运动， 3 秒后：距离为米； 2 秒后：距离为米； 1 秒后：距离为米； 0 秒：距离为米； 时间在当下之前，可理解为向西运动， 1 秒前：距离为米； 2 秒前：距离为米； 3 秒前：距离为米． 则可填表如下： 3秒后 2秒后 1秒后 0秒 1 秒前 2秒前 3秒前 位于点O方向 东 东 东 西 西 西 距点O的距离 27米 18米 9米 0米 9米 18米 27米 21．一辆出租车在一条东西走向的大街上行驶，这辆出租车连续送客20次，其中8次向东行驶，12次向西行驶，向东行驶每次行程10km，向西行驶每次行程7km． （1）该出租车经连续20次送客后，停在何处？ （2）该出租车一共行驶了多少路程？ 【分析】（1）根据正负数的意义判断即可； （2）把所行路程相加即可． 【解答】解：（1）10×8+（﹣7）×12 ＝80﹣84 ＝﹣4． 故停在西方向4km处； （2）10×8+7×12 ＝80+84 ＝164（千米） 故该出租车一共行驶了164千米． 【点评】本题考查了数轴，掌握正负数的意义以及有理数的加减运算法则是解题的关键． 22．一个粮库月日有存粮吨，从月日至月日，该粮库由汽车运送粮食进出情况如下表．记进库为正 日期 日 日 日 日 日 日 日 日 日 日 数量吨 (1)至月日运粮食结束时，仓库内存粮食多少吨 (2)若每吨粮食的运费为元，问这天共需运费多少元 【分析】本题考查了正数和负数，利用有理数的运算是解题关键． （1）用粮库存粮加上天的进出的变化量，进行计算即可得解； （2）求出天变化量的绝对值的和，再乘以3，计算即可得解． 【答案】（1）解：吨， 答：至月日运粮食结束时，仓库内存粮食吨； （2）解：吨， 元， 答：共花运费元． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $