专题02 二次根式的运算（题型专练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

**基本信息** 以“基础-进阶-求值-应用”四阶递进设计，系统覆盖二次根式运算全考点，通过分层题型培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|4题型|聚焦同类根式辨析、乘除法则应用|从概念（同类根式）到基本运算，构建运算基础| |进阶运算|4题型|突出分母有理化、混合运算技能|综合乘除与加减，强化运算技巧与符号意识| |化简求值|3题型|考查大小比较、条件式求值|结合代数变形，培养推理能力与转化思想| |拓展应用|3题型|包含实际问题、规律探究、新定义运算|链接现实与创新，发展应用意识与模型观念|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02二次根式的运算 常考题型精准突破 ·考点一基础运算·一 ◆题型1同类二次根式 1.B 2.C 3.10 4w3a+分5， 23-a) ◆题型2二次根式的乘法 5.B 6.B 7.2xV+18W 8.-5 ◆题型3二次根式的除法 9.A 10,VE 11.× 12.(1)-2:(2)3-3a ◆题型4二次根式的乘除混合运算 2a 13.6 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 g. )有意义， .x>0,y>0, 网) 〔周网 ( 网 15.解：原式 7-18+26 =3-√6+2√6 =3+V6 16解.名03西j-7语oa6>0 0662 =-7aab÷7v6 a =-7a/abx-a 7√6 =-a2a 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·考点二进阶运算·一 ◆题型1分母有理化 17.5-2,-2+5 3W6-2 18.4 5+2 19.解：原式3-2V5+2) -4x5+48÷5-24÷5 6 =-5+2)25+4-22 3 =-5-2-25+4-25 3 =2-55-2N2 3 20.解：原式 -5r 1-25+3 4 =4-2W5- 43+1 3-13+1） =4-2545+1) =4-25-(23+2 =4-2V5-2√5-2 =2-43 ◆题型2二次根式的加减运算 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.0 2.2W5-2 2a.-正-厨 =8yxy-3Vy-4Vxy+7√x =8yxy 24解： ++6-ggv层 -5+5+5-(5-)号 =3W2+5+5-5+2+⑤ =4V2+10 9. 25.(1)解：原式 3x25-25+45-25 3 -285+25 3 =14 3: 12×5+V13 3x(3+1o） 6×(4-10) (2)解：原式(5-i©)x5+i何)(W3-10)xWi3+i可4+04-而) 12×5+13)3×(13+v1o)6x(4-10) 25-13 13-10 16-10 =(5+i3)-(3+o)-(4-io) =5+√13-13-10-4+√0 4/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =1, ◆题型3二次根式的混合运算 26.2√2-3 273v2 28解：原式2-5+1 =3-√2 94 29.解：V53-1 =9V3 43+1 3(3-13+1 =3545+) 2 =33-2(3+ =35-2V5-2 =V5-2 30.解：+25-4到=21-F(5-4). x+2√-4=21-y+4VD ∴x+2√+y-4V-4V-21=0 (G+V-4F+)-21=0, (+-4G+)+4=25, (x+5-2=25. 5/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F+万-2=5 ∴E+=7或+5=-3】 t=+V20 :.x+vy=7 ◆题型4实数的混合运算 31.D 32V2-3 33.解： 18-8-2 =32-2-V2 =(32-2)-2 =22-2 2-V5 34.解：原式 =-3+25 2*j2-3 =-3+23-(2-5)+3 =-3+2√5-2+V3+3 =3√5-2 ●考点三化简求值·一 ◆题型1比较二次根式的大小 35.> 36.> 37.≤ 6/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型2已知字母的值，化简求值 382-V5 1 1x2-5)2-5=2-5, 39.解：依题意，x2+52+×2-可4-3 x-2=2-V5-2=-V3<0 则 Vx2-4x+4 x2-4 x-2 （x+2)(x-2) x-2 （x+2)(x-2) 2-x (x+2)(x-2) s、1 x+2; 1 把x=2-5代入x+2: 1 1 4+V3 4+5 得x+22-3+24-万(4-)×4+可13· =w5=425=2-5y=554+25=2+5 40.解：x=5+i65+15-D2 V3-1(3+10(3-1)2 :.xy+w=+)=(2-52+V52-5+2+V5)=1x4=4 1 3-2√2 3-25-3-22 41.1)解：x=3+256+2W2)3-2w万9-8 1 3+2W2 3+22-3+2万 y=3-2W56-22)3+22)9-8 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故x+y=3-22+3+2W2=6 y=(3-22)3+2V2)=9-8=1 x2+y+y2=(x+y)}-y=62-1=35 (2)解：(+=x+2四+y=x+y+2网=6+2=8 且+F>0 ∴VF+D=2W2 ◆题型3已知条件式，化筒求值 42.C 43.D 4.6 ·考点四拓展应用 ◆题型1二次根式的应用 45.6V2 46.6v3cm2 47.(1)2 (2)能量为90J，会对无防护人体造成伤害 48.)CD的长为(25-2列m(a剩余部分阴影)的面积S=24cm ◆题型2与实数运算相关的规律题 想 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 +1 =1+ 1 (2)Vn2(n+1)2 n(n+1) 3)20202020 2021 10-3 √n+l-vm 51.(1)2, 2 (2)2024 ◆题型3新定义下的实数运算 52.2 53.10 54 5v3-5√2 55.t仍 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.B 2.B 3.D 二、填空题 4.2v3 5.-65-62 6.4W2-V5 7.20242024 2025 三、解答题 8.解：-8+(a-314-（ 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =-1-2+1-5 =-7 9.解：原式9-7+12-45+1 =15-4v3 10.解：ab=4>0, .a>0,b>0或a<0,b<0, a+b=-4V2<0 ∴.a<0,b<0, v后8 =-Ilab-1lab b -6 (品+品小 -_(a+b)Vab ab, 将0+b=4V5b=4 代入， t+8425 1.(1)解：根据题意，得6+1=6 等式两边同时平方，得a+=b, -a=2Wa+1 整理得 10/11 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案为： (a+; m+11-m=2√m+1 (2)解：由题意可知， ，即m=25 故答案为：25. (3)解：根据题意，得历+4=Vn+216 等式两边同时平方，得Vn+4=(n+216}, 整理得：（+2n4+4=n+216 :n+8√历+16=n+216 :听=25 ∴.n=625 11/11 专题02 二次根式的运算 常考题型·精准突破 考点一 基础运算 题型1 同类二次根式 题型2 二次根式的乘法 题型3 二次根式的除法 题型4 二次根式的乘除混合运算 考点二 进阶运算 题型1 分母有理化（重） 题型2 二次根式的加减运算 题型3 二次根式的混合运算（高频） 题型4 实数的混合运算 考点三 化简求值 题型1 比较二次根式的大小 题型2 已知字母的值，化简求值 题型3 已知条件式，化简求值（难） 考点四 拓展应用 题型1 二次根式的应用 题型2 与实数运算相关的规律题 题型3 新定义下的实数运算 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 基础运算 ◆题型1 同类二次根式 1．下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式的判定，需先明确同类二次根式的定义，再将各选项中的二次根式化为最简形式，对比被开方数是否与的被开方数相同即可． 【详解】∵同类二次根式的定义是：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式为同类二次根式． ∴对各选项化简： A选项：，被开方数为5，与的被开方数2不同，不是同类二次根式． B选项：，被开方数为2，与的被开方数相同，是同类二次根式． C选项：，被开方数为6，与的被开方数2不同，不是同类二次根式． D选项：，被开方数为5，与的被开方数2不同，不是同类二次根式． 故选：B． 2．下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类二次根式的判断，熟练掌握二次根式性质，是解题的关键．判断二次根式是否同类，需化简为最简二次根式后检查被开方数是否相同． 【详解】解：A．，，被开方数均为2，是同类二次根式，故A不符合题意； B．，，被开方数均为10，是同类二次根式，故B不符合题意； C．被开方数为，，化简后非二次根式，不是同类二次根式，故C符合题意； D．，，被开方数均为，是同类二次根式，故D不符合题意． 故选：C． 3．最简根式与是同类二次根式，则___________． 【答案】10 【分析】本题考查同类二次根式，同类二次根式要求被开方数相同，据此列方程求解，并验证被开方数的非负性． 【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式， ∴， 解得 或 检验：当 时，，；当 时，，不符合二次根式定义， 故 ． 故答案为：10． 4．合并下列各式中的同类二次根式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式． ◆题型2 二次根式的乘法 5．下列各选项中，的有理化因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理化因式，熟练掌握两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式称作互为有理化因式是解题的关键．有理化因式是指与给定表达式相乘后结果不含根号的因式．据此求解即可． 【详解】解：∵为有理式， ∴是的有理化因式． 故选：B． 6．小海和小华分别用计算器求与的近似值．通过按键得到与的近似值分别如图1和图2所示，那么a与b的数量关系可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，二次根式的乘法，先理解题意，观察计算器，得，整理得，即． 【详解】解：观察计算器，得，， ∴， 则 ∴ 即， 故选：B 7．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算和化简二次根式，根据题意可得，据此先计算二次根式乘法，再化简二次根式即可得到答案． 【详解】解：∵二次根式，和有意义， ∴， ∴ ． 8．计算：． 【答案】 【详解】解：原式    ◆题型3 二次根式的除法 9．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的加法，二次根式的除法． 根据二次根式的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：，A正确； ，B错误； ，C错误； ，D错误； 故选：A． 10．计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法． 根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11．若，则“”内的运算符号为___________（填“”“”“”“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．分别计算与进行加、减、乘、除运算的结果，与比较，判断等式成立的运算符号． 【详解】加法：不是同类二次根式，不能合并，且数值不相等． 减法：不是同类二次根式，不能合并，且数值不相等． 乘法：，等式成立． 除法：，等式不成立． 故答案为：×． 12．（1）计算： （2）若，化简． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，二次根式的除法． （1）根据二次根式的性质，二次根式的除法计算即可求解； （2）利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴，， ∴， 故答案为：． ◆题型4 二次根式的乘除混合运算 13．化简：______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由题意可知: ． 故答案为：． 14．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的乘除的运算法则是解题的关键．根据二次根式的性质化简，然后根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴，， ∴ ． 15．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题关键． 根据二次根式的运算法则运算即可． 【详解】解：原式 ． 16．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的乘除混合运算等知识点，灵活运用二次根式的混合运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的性质化简，然后运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 考点二 进阶运算 ◆题型1 分母有理化 17．计算：________． 【答案】/ 【详解】解：． 18．已知，，且，则实数n的值为________． 【答案】 【分析】先将，进行分母有理化，再分别求出，的值，然后将已知等式变形为，最后代入求解． 【详解】解： ∴， ， ， ∴， ∴ ∴ ∴ 解得 ∵ ∴． 19．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键． 先化为最简二次根式，利用乘法分配律计算，再合并即可． 【详解】解：原式 ． 20．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先展开完全平方项，再对分式进行分母有理化，最后合并同类项完成计算． 【详解】解：原式 ． ◆题型2 二次根式的加减运算 21．已知，则的值为________． 【答案】 【分析】将代入，化简各个二次根式，再合并同类项即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 22．化简：_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的性质和二次根式的加减运算，熟练掌握绝对值内数的正负判断及二次根式合并方法是解题的关键．先判断绝对值内表达式的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类二次根式． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 23．计算：．（） 【答案】 【详解】解： ． 24．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，解题的关键是正确化简二次根式． 先分母有理化，化简二次根式，再进行加减计算． 【详解】解： ． 25．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查二次根式的混合运算及分母有理化的混合运算，熟练掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． （1）先算括号里面的，再算二次根式的除法即可； （2）先分母有理化，再加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． ◆题型3 二次根式的混合运算 26．计算：_____． 【答案】 【详解】解：． 27．计算：________． 【答案】 【详解】解： ． 28．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 29．计算：． 【答案】 【分析】先对原式中两个项分别进行分母有理化，再去括号合并同类二次根式得到最终结果． 【详解】解： ． 30．已知，x、y为实数，且，求的值． 【答案】 【分析】通过去括号，移项，并配方得到，根据平方根的定义，可求得，所以或，再结合，即可求得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 或， ， ． ◆题型4 实数的混合运算 31．下列选项正确的是（   ） A．的平方根是 B． C．有理数除以无理数的商一定是无理数 D． 【答案】D 【分析】本题需根据平方根、算术平方根、立方根的定义，以及实数的除法运算，解题关键在于需熟练掌握相关定义．根据知识点逐一判断即可． 【详解】解：A、，4的平方根是，原说法错误，不符合题意； B、，原说法错误，不符合题意； C、，即有理数除以无理数的商不一定是无理数，原说法错误，不符合题意； D、，原说法正确，符合题意． 故选：D． 32．若，其中，则b的值为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算（利用加法各部分的关系：加数和另一个加数），解题关键是通过移项将b表示为和与的差，再代入计算． 根据已知条件 和 ，通过等式变形求解 的值． 【详解】解：由 ，得 ，代入 ，得 ． 故答案为 ：． 33．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确计算，先计算算术平方根、开立方和绝对值，后计算加减． 【详解】解： ． 34．计算：； 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握实数的运算法则是解题的关键．先分别计算式子中的立方根、二次根式、分母有理化和平方项，再去括号，最后将有理数部分和含的根式部分分别合并，得出最终结果． 【详解】解：原式 ． 考点三 化简求值 ◆题型1 比较二次根式的大小 35．比较大小：__________（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查了比较二次根式的大小．先整理，根据，得，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：>． 36．比较大小（用“”、“”、“”连接）：________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，通过比较两个负数的绝对值大小，绝对值大的负数反而小，即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 37．比较大小：______．（用“”、“”、“”或“”填空） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，先计算出，令，，求出与的值，比较与的大小，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解： ， 令，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ◆题型2 已知字母的值，化简求值 38．当时，二次根式的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的求值，先化简二次根式，再将字母的值代入，即可求解． 【详解】解：． 当时，． 故答案为：． 39．先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，分母有理化，已知字母的值求代数式的值．正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，则，化简，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， ； 把代入， 得． 40．先化简，再求值，已知，，求：的值． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化， 先分母有理化求出x，y，再因式分解代入求值即可． 【详解】解：，， ∴． 41．已知，求下列代数式的值． (1) (2) 【答案】(1)35 (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式、代数式求值以及二次根式运算，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先计算的值，进而得到的值，然后根据代入计算即可； （2）根据平方，结合，再开算术平方根即可． 【详解】（1）解：， ， 故， ， ； （2）解：， 且， ． ◆题型3 已知条件式，化简求值 42．已知、为实数，且，求的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，先根据二次根式有意义的条件求出，从而可得，再代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， 解得：， ∴ ， ∴， 故选：C． 43．已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．通过对等式进行变形，凑成完全平方的形式，根据非负数的性质求出和的值，进而计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，， 解得，， ∴ ， 故选：D． 44．如果正数满足，那么的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则的关键． 由 可得 ，然后求出的平方即可求解． 【详解】解：由 ，可得 ， ∵，, ∴． 故答案为：． 考点四 拓展应用 ◆题型1 二次根式的应用 45．若一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式在长方形面积计算中的应用，明确二次根式乘法运算法则及如何化为最简二次根式是解题的关键．根据长方形面积公式，面积等于长乘以宽，将长和宽相乘，利用二次根式的乘法法则计算． 【详解】解：长方形的面积公式为， 所以． 计算过程： ， ， 因此． 故答案为：． 46．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查了正方形面积与边长的关系，二次根式的计算和面积的和差关系，先根据正方形面积公式求出两个小正方形的边长，进而得到大正方形的边长，再根据正方形面积公式求出大正方形的面积，最后用大正方形的面积减去两个小正方形的面积，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为． 47．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体．其下落的时间（单位：）和下落高度（单位：）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)物体从的高空落到地面的时间为_________． (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 【答案】(1)2 (2) 能量为，会对无防护人体造成伤害 【分析】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键． （1）根据公式，代入计算即可． （2）先根据公式，求得高度，再根据公式物体质量×高度，计算能量即可． 【详解】（1）∵，， ∴． 故答案为：2； （2）∵，, ∴， ∴， ∴，而 ∴， 故，会对无防护人体造成伤害． 48．情景：实践小组成员利用两块相同的长方形木板各切割两个正方形木板． 操作：甲组成员的切割方式如图1所示，小正方形①（一边与长方形边重合）的面积为，小正方形②（三边与长方形边重合）的面积为，． （1）求的长． 探究：乙组成员的切割方式如图2所示，从长方形木板上切下两块完全相同的最大的正方形木板③④． （2）求剩余部分（阴影）的面积． 【答案】(1)的长为(2)剩余部分（阴影）的面积 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序和运算法则并能正确根据图形，得出数量关系是解决此题的关键． (1)根据小正方形的面积，可求出边长，然后计算线段的和差即可得解； (2)先求出大长方形的长面积，再求出小正方形的面积，然后进行计算即可得解． 【详解】(1)解：∵小正方形①（一边与长方形边重合）的面积为，小正方形②（三边与长方形边重合）的面积为， ∴小正方形①的边长，小正方形②的边长， ∵， ∴， ∴的长为； (2)解：由(1)知大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的面积为， ∵从长方形木板上切下两块完全相同的最大的正方形木板③④， ∴切下两块完全相同的最大的正方形边长为， ∴切下两块完全相同的最大的正方形面积为， ∴剩余部分（阴影）的面积． ◆题型2 与实数运算相关的规律题 49．观察下列各式： ； ； ． 请你根据以上信息，计算______．（直接写出计算结果） 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，正确找到数字的变化规律是解题的关键． 观察已知等式的规律，发现对于形如 的式子，其计算结果为 ，将，代入公式计算即可． 【详解】解：由题意得： ， ， ， 由此发现规律：， 那么， 计算， 通分后，，， 则， 因此． 故答案为：． 50．观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1)__________________；__________________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：______； (3)利用上述规律计算： 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化规律和二次根式的化简计算，观察发现数据变化规律是解决问题的关键． （1）根据已知等式的规律可得结论； （2）根据已知等式的规律可得结论； （3）根据已知等式的规律可得答案． 【详解】（1）解：根据题中规律可得； ． （2）解：根据题中规律可得； （3）解：原式 ． 51．观察下列各式：①，②，③，④，…，利用你观察到的规律解决下列问题： (1) ， ； (2)计算的值． 【答案】(1)， (2)2024 【分析】本题主要考查了代数式规律、实数的运算等知识点，发现式子的变化规律是解题的关键． （1）根据已有式子类比、归纳即可解答； （2）先利用（1）的规律化简原式，然后再计算即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， …， ，． 故答案为：，． （2）解： ． ◆题型3 新定义下的实数运算 52．规定用符号表示实数的整数部分，例如：，，填空：________． 【答案】2 【分析】此题考查了估算无理数的大小，理解题中的新规定是解本题的关键．根据题目先判断的整数部分，再根据加减法即可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 53．定义一种新的运算：对于任意实数a，b，都有，则的值是_______ 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算、实数的混合运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据新运算的定义进行计算即可． 【详解】解：由定义，， 代入 ，，得： ． 故答案为：10． 54．对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为_____． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的混合运算．根据新定义运算得到、的结果，再相乘即可． 【详解】∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 55．对于有理数a、b，定义的含义为：当时，，例：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的平方根是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，无理数的估算，求一个数的平方根，根据新定义可得，再估算出的取值范围，从而确定a、b的值，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵a和b为两个连续正整数， ∴， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．下列各式中互为有理化因式的是（     ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题根据有理化因式的定义解题，即两个含有根式的代数式相乘，若乘积不含有根式，则两个代数式互为有理化因式，计算各选项中两个代数式的乘积，判断乘积是否含有根式即可得到结果． 【详解】解：对选项A，，乘积仍含有根式，因此A不符合题意； 对选项B， ，乘积是不含根式的整式，因此B符合题意； 对选项C，，乘积仍含有根式，因此C不符合题意； 对选项D，，乘积仍含有根式，因此D不符合题意． 2．下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对选项A，，A计算错误； 对选项B，，B计算正确； 对选项C，，C计算错误； 对选项D，，D计算错误. 3．已知，那么的值等于（     ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】先求出，，则可得，再化简分式、二次根式，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 二、填空题 4．计算：_____． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘法法则计算解答即可． 本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握法则是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 5．计算：__ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算以及化简，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 先计算分母的差值，通过通分合并为单一分数，然后利用除以分数等于乘以倒数的规则，最后有理化分母得到结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 6．我们规定运算符号“”：当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算：________________． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的加减，弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据运算符号“△”的定义，先比较每组数的大小，确定运算方式，再计算表达式． 【详解】解：∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ 。 原式 = ． 故答案为：． 7．观察下列各式： ，，， 请利用你所发现的规律， 计算， 其结果为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的应用，根据已知规律，每个根式可化为的形式，然后求和，利用裂项相消法计算即可得出结果，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由规律可知，，其中从开始， 故 ， 故答案为：． 三、解答题 8．计算：． 【答案】 【分析】根据乘方、开立方、零指数幂、负指数幂的运算法则依次计算，然后按照有理数的加减混合计算即可求出答案． 【详解】解：    9．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 10．已知，，求的值． 【答案】 【分析】先根据，判断的取值范围，再化简，最后代入、的值即可． 【详解】解：∵， ∴，或，， ∵， ∴，， ∵ ， 将，代入， 原式． 11．阅读材料： 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，；… 小海发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明： 根据题意，得，移项可得． 根据二次根式的性质，可以在等式两边同时平方，得． 整理得． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)在横线上填入适当的代数式，补全小海的证明过程． (2)若和为两个相邻整数，则的值是． (3)若和为相差的两个整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． ()根据证明过程补全即可； ()根据已知结论，得出，求出的值即可； ()根据题意，得，将等式两边同时平方，整理后求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 等式两边同时平方，得， 整理得， 故答案为：； （2）解：由题意可知，， ∴，即， 故答案为：. （3）解：根据题意，得， 等式两边同时平方，得， 整理得： ∴， ∴， ∴． 2 / 34 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次根式的运算 常考题型·精准突破 考点一 基础运算 题型1 同类二次根式 题型2 二次根式的乘法 题型3 二次根式的除法 题型4 二次根式的乘除混合运算 考点二 进阶运算 题型1 分母有理化（重） 题型2 二次根式的加减运算 题型3 二次根式的混合运算（高频） 题型4 实数的混合运算 考点三 化简求值 题型1 比较二次根式的大小 题型2 已知字母的值，化简求值 题型3 已知条件式，化简求值（难） 考点四 拓展应用 题型1 二次根式的应用 题型2 与实数运算相关的规律题 题型3 新定义下的实数运算 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 基础运算 ◆题型1 同类二次根式 1．下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．最简根式与是同类二次根式，则___________． 4．合并下列各式中的同类二次根式： (1)； (2)． ◆题型2 二次根式的乘法 5．下列各选项中，的有理化因式是（   ） A． B． C． D． 6．小海和小华分别用计算器求与的近似值．通过按键得到与的近似值分别如图1和图2所示，那么a与b的数量关系可能是（   ） A． B． C． D． 7．计算：． 8．计算：． ◆题型3 二次根式的除法 9．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．计算：_______． 11．若，则“”内的运算符号为___________（填“”“”“”“”）． 12．（1）计算： （2）若，化简． ◆题型4 二次根式的乘除混合运算 13．化简：______． 14．计算：． 15．计算：． 16．计算：． 考点二 进阶运算 ◆题型1 分母有理化 17．计算：________． 18．已知，，且，则实数n的值为________． 19．计算：． 20．计算：． ◆题型2 二次根式的加减运算 21．已知，则的值为________． 22．化简：_____． 23．计算：．（） 24．计算：． 25．计算 (1) (2) ◆题型3 二次根式的混合运算 26．计算：_____． 27．计算：________． 28．计算：． 29．计算：． 30．已知，x、y为实数，且，求的值． ◆题型4 实数的混合运算 31．下列选项正确的是（   ） A．的平方根是 B． C．有理数除以无理数的商一定是无理数 D． 32．若，其中，则b的值为_____________． 33．计算：． 34．计算：； 考点三 化简求值 ◆题型1 比较二次根式的大小 35．比较大小：__________（填“>”“<”或“=”） 36．比较大小（用“”、“”、“”连接）：________． 37．比较大小：______．（用“”、“”、“”或“”填空） ◆题型2 已知字母的值，化简求值 38．当时，二次根式的值为_______． 39．先化简再求值：，其中． 40．先化简，再求值，已知，，求：的值． 41．已知，求下列代数式的值． (1) (2) ◆题型3 已知条件式，化简求值 42．已知、为实数，且，求的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．13 43．已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 44．如果正数满足，那么的值是______． 考点四 拓展应用 ◆题型1 二次根式的应用 45．若一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为__________． 46．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影部分的面积为_____． 47．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体．其下落的时间（单位：）和下落高度（单位：）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)物体从的高空落到地面的时间为_________． (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 48．情景：实践小组成员利用两块相同的长方形木板各切割两个正方形木板． 操作：甲组成员的切割方式如图1所示，小正方形①（一边与长方形边重合）的面积为，小正方形②（三边与长方形边重合）的面积为，． （1）求的长． 探究：乙组成员的切割方式如图2所示，从长方形木板上切下两块完全相同的最大的正方形木板③④． （2）求剩余部分（阴影）的面积． ◆题型2 与实数运算相关的规律题 49．观察下列各式： ； ； ． 请你根据以上信息，计算______．（直接写出计算结果） 50．观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1)__________________；__________________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：______； (3)利用上述规律计算： 51．观察下列各式：①，②，③，④，…，利用你观察到的规律解决下列问题： (1) ， ； (2)计算的值． ◆题型3 新定义下的实数运算 52．规定用符号表示实数的整数部分，例如：，，填空：________． 53．定义一种新的运算：对于任意实数a，b，都有，则的值是_______ 54．对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为_____． 55．对于有理数a、b，定义的含义为：当时，，例：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的平方根是________． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．下列各式中互为有理化因式的是（     ）． A．和 B．和 C．和 D．和 2．下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．已知，那么的值等于（     ） A． B． C． D．3 二、填空题 4．计算：_____． 5．计算：__ ． 6．我们规定运算符号“”：当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算：________________． 7．观察下列各式： ，，， 请利用你所发现的规律， 计算， 其结果为_____________． 三、解答题 8．计算：． 9．计算：． 10．已知，，求的值． 11．阅读材料： 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，；… 小海发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明： 根据题意，得，移项可得． 根据二次根式的性质，可以在等式两边同时平方，得． 整理得． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)在横线上填入适当的代数式，补全小海的证明过程． (2)若和为两个相邻整数，则的值是． (3)若和为相差的两个整数，求的值． 2 / 34 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $